第14講 拋物線（七大題型）（原卷版）

第14講拋物線【題型歸納目錄】題型一：拋物線的定義題型二：求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程題型三：拋物線的綜合問題題型四：軌跡方程題型五：拋物線的幾何性質(zhì)題型六：拋物線中的范圍與最值問題題型七：焦半徑問題【知識點(diǎn)梳理】知識點(diǎn)一：拋物線的定義定義：平面內(nèi)與一個定點(diǎn)和一條定直線（不經(jīng)過點(diǎn)）的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，定點(diǎn)叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線叫做拋物線的準(zhǔn)線．知識點(diǎn)詮釋:（1）上述定義可歸納為“一動三定”，一個動點(diǎn)，一定直線；一個定值（2）定義中的隱含條件：焦點(diǎn)F不在準(zhǔn)線上，若F在上，拋物線變?yōu)檫^F且垂直與的一條直線.（3）拋物線定義建立了拋物線上的點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線三者之間的距離關(guān)系，在解題時(shí)常與拋物線的定義聯(lián)系起來，將拋物線上的動點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與動點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離互化，通過這種轉(zhuǎn)化使問題簡單化.知識點(diǎn)二：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的四種形式：根據(jù)拋物線焦點(diǎn)所在半軸的不同可得拋物線方程的的四種形式，，，。知識點(diǎn)詮釋：①只有當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)是原點(diǎn)，對稱軸是坐標(biāo)軸時(shí)，才能得到拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；②拋物線的焦點(diǎn)在標(biāo)準(zhǔn)方程中一次項(xiàng)對應(yīng)的坐標(biāo)軸上，且開口方向與一次項(xiàng)的系數(shù)的正負(fù)一致，比如拋物線的一次項(xiàng)為，故其焦點(diǎn)在軸上，且開口向負(fù)方向（向下）③拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中一次項(xiàng)的系數(shù)是焦點(diǎn)的對應(yīng)坐標(biāo)的4倍.④從方程形式看，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程僅需確定一次項(xiàng)系數(shù)。用待定系數(shù)法求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，首先根據(jù)已知條件確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的類型（一般需結(jié)合圖形依據(jù)焦點(diǎn)的位置或開口方向定型），然后求一次項(xiàng)的系數(shù)，否則，應(yīng)展開相應(yīng)的討論.⑤在求拋物線方程時(shí)，由于標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式，易混淆，可先根據(jù)題目的條件作出草圖，確定方程的形式，再求參數(shù)p，若不能確定是哪一種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，應(yīng)寫出四種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程來，不要遺漏某一種情況。知識點(diǎn)三：拋物線的簡單幾何性質(zhì)：拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的幾何性質(zhì)范圍：，，拋物線y2=2px（p＞0）在y軸的右側(cè)，開口向右，這條拋物線上的任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)（x，y）的橫坐標(biāo)滿足不等式x≥0；當(dāng)x的值增大時(shí)，|y|也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸。拋物線是無界曲線。對稱性：關(guān)于x軸對稱拋物線y2=2px（p＞0）關(guān)于x軸對稱，我們把拋物線的對稱軸叫做拋物線的軸。拋物線只有一條對稱軸。頂點(diǎn)：坐標(biāo)原點(diǎn)拋物線y2=2px（p＞0）和它的軸的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn)。拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，0）。拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程幾何性質(zhì)的對比圖形標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px（p＞0）y2=－2px（p＞0）x2=2py（p＞0）x2=－2py（p＞0）頂點(diǎn)O（0，0）范圍x≥0，x≤0，y≥0，y≤0，對稱軸x軸y軸焦點(diǎn)離心率e=1準(zhǔn)線方程焦半徑知識點(diǎn)詮釋：（1）與橢圓、雙曲線不同，拋物線只有一個焦點(diǎn)、一個頂點(diǎn)、一條對稱軸，一條準(zhǔn)線；（2）標(biāo)準(zhǔn)方程中的參數(shù)p的幾何意義是指焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離；p＞0恰恰說明定義中的焦點(diǎn)F不在準(zhǔn)線上這一隱含條件；參數(shù)p的幾何意義在解題時(shí)常常用到，特別是具體的標(biāo)準(zhǔn)方程中應(yīng)找到相當(dāng)于p的值，才易于確定焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程.【典例例題】題型一：拋物線的定義【例1】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）若P為拋物線y2=2px（p>0）上任意一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，則以|PF|為直徑的圓與y軸的位置關(guān)系為（）A．相交 B．相離C．相切 D．不確定【對點(diǎn)訓(xùn)練1】（2023·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）若拋物線上一點(diǎn)到軸的距離為，則點(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)的距離為（

）A． B． C． D．【對點(diǎn)訓(xùn)練2】（2023·浙江臺州·高二期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，是C上一點(diǎn)，，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【對點(diǎn)訓(xùn)練3】（2023·四川德陽·高二四川省廣漢中學(xué)?？茧A段練習(xí)）拋物線的方程為，拋物線上一點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，則點(diǎn)P到拋物線的焦點(diǎn)的距離為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【對點(diǎn)訓(xùn)練4】（2023·四川綿陽·高二四川省綿陽實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知為拋物線：的焦點(diǎn)，縱坐標(biāo)為5的點(diǎn)在C上，，則（

）A．2 B．3 C．5 D．6題型二：求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程【例2】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）根據(jù)下列條件寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)準(zhǔn)線方程是；(2)過點(diǎn)；(3)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為.【對點(diǎn)訓(xùn)練5】（2023·陜西西安·高二西北大學(xué)附中?？茧A段練習(xí)）根據(jù)下列條件寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并求焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程．(1)經(jīng)過點(diǎn)．(2)焦點(diǎn)為直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)．【對點(diǎn)訓(xùn)練6】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程如下，分別求其焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程：(1)；(2)．【對點(diǎn)訓(xùn)練7】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）求焦點(diǎn)在x軸正半軸上，并且經(jīng)過點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【對點(diǎn)訓(xùn)練8】（2023·高二單元測試）根據(jù)下列條件寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）經(jīng)過點(diǎn)；（2）焦點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，且焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是6.題型三：拋物線的綜合問題【例3】（2023·山西晉中·高二統(tǒng)考期末）拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為.(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過焦點(diǎn)的直線（斜率存在且不為0）交拋物線于兩點(diǎn)，線段的中垂線交拋物線的對稱軸于點(diǎn)，求.【對點(diǎn)訓(xùn)練9】（2023·河南洛陽·高二統(tǒng)考期末）已知圓S：，點(diǎn)P是圓S上的動點(diǎn)，T是拋物線的焦點(diǎn)，Q為PT的中點(diǎn)，過Q作交PS于G，設(shè)點(diǎn)G的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程；(2)過的直線l交曲線C于點(diǎn)M，N，若在曲線C上存在點(diǎn)A，使得四邊形OMAN為平行四邊形（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線l的方程．【對點(diǎn)訓(xùn)練10】（2023·貴州貴陽·高二統(tǒng)考期末）設(shè)直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，且.(1)求拋物線方程；(2)求面積的最小值.【對點(diǎn)訓(xùn)練11】（2023·廣西河池·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線C：過點(diǎn)．(1)求拋物線C的方程，并求其準(zhǔn)線方程；(2)過該拋物線的焦點(diǎn)，作傾斜角為60°的直線，交拋物線于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長度．【對點(diǎn)訓(xùn)練12】（2023·廣東梅州·高二統(tǒng)考期末）已知動點(diǎn)與點(diǎn)的距離與其到直線的距離相等.(1)求動點(diǎn)的軌跡方程；(2)求點(diǎn)與點(diǎn)的距離的最小值，并指出此時(shí)的坐標(biāo).題型四：軌跡方程【例4】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知平面直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)，且曲線上的任意一點(diǎn)P都滿足．則曲線的軌跡方程為_______________.【對點(diǎn)訓(xùn)練13】（2023·高三課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)F（1，0），直線，若動點(diǎn)P到點(diǎn)F和到直線l的距離相等，則點(diǎn)P的軌跡方程是______.【對點(diǎn)訓(xùn)練14】（2023·上海·高二專題練習(xí)）動點(diǎn)在曲線上移動，則點(diǎn)和定點(diǎn)連線的中點(diǎn)的軌跡方程是__________.【對點(diǎn)訓(xùn)練15】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在平面坐標(biāo)系中，動點(diǎn)P和點(diǎn)滿足，則動點(diǎn)的軌跡方程為_____________．【對點(diǎn)訓(xùn)練16】（2023·北京海淀·高二北京市十一學(xué)校?？计谥校┰O(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，點(diǎn)A是直線上一個動點(diǎn)，連接AF并作AF的垂直平分線l，過點(diǎn)A作y軸的垂線交l于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡方程為______．【對點(diǎn)訓(xùn)練17】（2023·四川·高二雙流中學(xué)校考開學(xué)考試）已知動圓M與直線相切，且與定圓C：外切，那么動圓圓心M的軌跡方程為_______.【對點(diǎn)訓(xùn)練18】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）點(diǎn)，點(diǎn)B是x軸上的動點(diǎn)，線段PB的中點(diǎn)E在y軸上，且AE垂直PB，則點(diǎn)P的軌跡方程為______．【對點(diǎn)訓(xùn)練19】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）與點(diǎn)和直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡方程是______．題型五：拋物線的幾何性質(zhì)【例5】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）拋物線上一點(diǎn)到準(zhǔn)線和拋物線的對稱軸距離分別為10和6，則該點(diǎn)的橫坐標(biāo)是__________．【對點(diǎn)訓(xùn)練20】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）一個正三角形的三個頂點(diǎn)都在拋物線上，其中一個頂點(diǎn)在原點(diǎn)，則這個三角形的面積為__________．【對點(diǎn)訓(xùn)練21】（2023·福建·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過且傾斜角為的直線交于兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則__________.【對點(diǎn)訓(xùn)練22】（2023·貴州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）拋物線在第一象限上一點(diǎn)，滿足，為該拋物線的焦點(diǎn)，則直線的斜率為______.【對點(diǎn)訓(xùn)練23】（2023·山東德州·高二統(tǒng)考期末）如圖是一座拋物線型拱橋，拱橋是拋物線的一部分且以拋物線的軸為對稱軸，當(dāng)水面在l時(shí)，拱頂離水面2米，水面寬4米．當(dāng)水位下降，水面寬為6米時(shí)，拱頂?shù)剿娴木嚯x為______米．【對點(diǎn)訓(xùn)練24】（2023·四川涼山·高二統(tǒng)考期末）過點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸上方，若，則直線的斜率___________.【對點(diǎn)訓(xùn)練25】（2023·陜西漢中·高二?？计谥校┮阎獟佄锞€：經(jīng)過點(diǎn)，若點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離為4，則______題型六：拋物線中的范圍與最值問題【例6】（2023·河南南陽·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M（3，6），點(diǎn)Q在拋物線上，則的最小值為______．【對點(diǎn)訓(xùn)練26】（2023·福建莆田·高二莆田一中?？茧A段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為上任意一點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為______.【對點(diǎn)訓(xùn)練27】（2023·江蘇常州·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到直線與到點(diǎn)的距離相等，點(diǎn)在圓上，則的最小值為__________.【對點(diǎn)訓(xùn)練28】（2023·湖南衡陽·高二?？计谀┮阎獟佄锞€的焦點(diǎn)為為拋物線內(nèi)側(cè)一點(diǎn)，為上的一動點(diǎn)，的最小值為，則______.【對點(diǎn)訓(xùn)練29】（2023·河北邢臺·高二邢臺一中?？计谀┮阎c(diǎn)分別是拋物線和圓上的動點(diǎn)，到的準(zhǔn)線的距離為，則的最小值為__________.【對點(diǎn)訓(xùn)練30】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知拋物線：的準(zhǔn)線為，若M為上的一個動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為，則的最小值為___________.【對點(diǎn)訓(xùn)練31】（2023·浙江寧波·高二效實(shí)中學(xué)?？计谥校佄锞€的焦點(diǎn)為，點(diǎn)，為拋物線上一點(diǎn)且不在直線上，則△周長的最小值為______．題型七：焦半徑問題【例7】（2023·廣西·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，是拋物線C上一點(diǎn)，若，則________．【對點(diǎn)訓(xùn)練32】（2023·北京·高二北京師大附中?？计谥校┤魭佄锞€的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在此拋物線上且橫坐標(biāo)為，則________.【對點(diǎn)訓(xùn)練33】（多選題）（2023·山西大同·高二統(tǒng)考期末）經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，設(shè)，，則下列說法中正確的是（

）A．當(dāng)與軸垂直時(shí)，最小 B．C．以弦為直徑的圓與直線相離 D．【對點(diǎn)訓(xùn)練34】（多選題）（2023·廣西河池·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，若為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（

）A．點(diǎn)的坐標(biāo)為 B．C． D．【對點(diǎn)訓(xùn)練35】（多選題）（2023·安徽·高二校聯(lián)考期末）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為4，過點(diǎn)作直線交于，兩點(diǎn)，則（

）A．的準(zhǔn)線為 B．的大小可能為C．的最小值為8 D．【對點(diǎn)訓(xùn)練36】（多選題）（2023·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為上一點(diǎn)，若，則直線的傾斜角可能是（）A． B． C． D．【對點(diǎn)訓(xùn)練37】（多選題）（2023·湖北·高二校聯(lián)考期中）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，為上一點(diǎn)，且，直線交于另一點(diǎn)，記坐標(biāo)原點(diǎn)為，則（

）A． B． C． D．【對點(diǎn)訓(xùn)練38】（多選題）（2023·湖北·高二宜昌市三峽高級中學(xué)校聯(lián)考期中）直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與交于，兩點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 B．的最小值為4C．對任意的直線， D．以為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切【對點(diǎn)訓(xùn)練39】（2023·江蘇·金陵中學(xué)校聯(lián)考三模）已知拋物線：，圓：，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，分別為、上的動點(diǎn)，且滿足，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是______.【對點(diǎn)訓(xùn)練40】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到軸的距離多，記點(diǎn)的軌跡為．直線與軌跡恰好有兩個公共點(diǎn)，則的取值范圍是__________．【對點(diǎn)訓(xùn)練41】（2023·山東濟(jì)南·高二濟(jì)南市歷城第二中學(xué)校考期中）拋物線與圓交于A、B兩點(diǎn)，圓心，點(diǎn)為劣弧上不同于A、的一個動點(diǎn)，平行于軸的直線交拋物線于點(diǎn)，則的周長的取值范圍是______．【對點(diǎn)訓(xùn)練42】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）若過拋物線的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn)，且直線l的傾斜角，點(diǎn)A在x軸上方，則的取值范圍是______．【過關(guān)測試】一、單選題1．（2023·廣東東莞·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）一種衛(wèi)星接收天線（如圖1），其曲面與軸截面的交線可視為拋物線的一部分（如圖2），已知該衛(wèi)星接收天線的口徑米，深度米，信號處理中心位于焦點(diǎn)處，以頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，則該拋物線的方程為（

）

A． B． C． D．2．（2023·河南南陽·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）拋物線C：過點(diǎn)，則C的準(zhǔn)線方程為（

）A． B． C． D．3．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知是拋物線上的三點(diǎn)，點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn)，且，則（

）A．B．C．D．與的大小關(guān)系不確定4．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）拋物線上有一點(diǎn)M，它的橫坐標(biāo)是3，它到焦點(diǎn)的距離是5，則拋物線的方程為（

）A． B．C． D．5．（2023·云南昆明·高二統(tǒng)考期中）圓心在拋物線上，并且與拋物線的準(zhǔn)線及軸都相切的圓的方程是（

）A． B．C． D．6．（2023·江蘇鹽城·高二統(tǒng)考期末）若拋物線上的一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為，則點(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)的距離為（

）A． B．1 C．2 D．37．（2023·河南周口·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線，過其焦點(diǎn)的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，交準(zhǔn)線于點(diǎn)，且是線段的中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．8．（2023·廣西河池·高二統(tǒng)考期末）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：過焦點(diǎn)的光線經(jīng)拋物線反射后得到的光線平行于拋物線的對稱軸；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點(diǎn).已知拋物線的焦點(diǎn)為，一條平行于軸的光線從點(diǎn)射出，經(jīng)過拋物線上的點(diǎn)反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點(diǎn)射出，則的面積為（

）A．4 B． C． D．二、多選題9．（2023·廣西河池·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，若為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（

）A．點(diǎn)的坐標(biāo)為 B．C． D．10．（2023·高二單元測試）拋物線的準(zhǔn)線方程是（

）A．其焦點(diǎn)坐標(biāo)是B．其焦點(diǎn)坐標(biāo)是C．其準(zhǔn)線方程是D．其準(zhǔn)線方程是11．（2023·湖北·高二宜昌市三峽高級中學(xué)校聯(lián)考期中）直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與交于，兩點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 B．的最小值為4C．對任意的直線， D．以為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切12．（2023·安徽阜陽·高二統(tǒng)考期末）若直線與拋物線只有一個交點(diǎn)，則的可能取值為（

）A．2 B． C． D．0三、填空題13．（2023·陜西西安·高二統(tǒng)考期末）若拋物線上一點(diǎn)到軸的距離為，則點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離為________．14．（2023·河南南陽·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M（3，6），點(diǎn)Q在拋物線上，則的最小值為______．15．（2023·河南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)是拋物線的焦點(diǎn)，是拋物線上的兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，若，則實(shí)數(shù)的值為_________．16．（2023·上海普陀·高二上海市晉元高級中學(xué)?？计谥校┰O(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，為該拋物線上三點(diǎn),若為的重心，則_________四、解答題17．（2023·高二課時(shí)練