2024-2025學年河北省保定市高一年級上冊第一次月考數(shù)學學情檢測試題（含解析）

2024-2025學年河北省保定市高一上學期第一次月考數(shù)學學情

檢測試題

（考試范圍：三角函數(shù)、解三角形、平面向量、復數(shù)）

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.在AABC中，若6,AB=\,&C=5則邊上的高為（）

反

A1B.J2C.—D.2

-2

2.在復平面內(nèi)，復數(shù)4對應的點與Z2=——^對應的點關于虛軸對稱，則4等于（）

i

A.—2—3zB.—2+3zC.2—3zD.2+3z

3.已知復數(shù)z滿足|z—i|=l,則目的取值范圍是（）

A.[0,1]B.[0,1）C.[0,2）D,[0,2]

4.已知向量N=（l,2）,b=（x,3）,若+則實數(shù)X=（）

A.-4B.-11C.11D.4

5,互相垂直且有公共原點的兩條數(shù)軸構成平面直角坐標系，但如果平面坐標系中兩條坐標軸

不垂直，則這樣的坐標系稱為“斜坐標系”.如圖，設Ox,Qy是平面內(nèi)相交的兩條數(shù)軸，4,

口分別是與X軸，V軸正方向同向的單位向量，且軟，可=三，過點P作兩坐標軸的平行線,

其在x軸和歹軸上的截距a,b分別作為點尸的x坐標和y坐標，記P（a,b）,則該坐標系中

M（3,3）和N（2,1）兩點間的距離為（）

A3B.2C.V6D.布

sin/Isin/?

6.在V/BC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若^—=--=J上/為非零

k34

實數(shù))，則下列結論錯送的是()

A.當左=5時，V/5c是直角三角形B.當左=3時，V/2C是銳角三角形

C.當％=2時，V4BC是鈍角三角形D.當左=1時，V4BC是鈍角三角形

7.已知函數(shù)/(x)=costwx-A/Isin5(?！?)的部分圖象如圖所示，則下列選項不正確的是

A.函數(shù)/(x)的圖象關于點中心對稱

函數(shù)/(X)的單調(diào)增區(qū)間為E—=—f(左eZ)

B.

36

函數(shù)/(x)的圖象可由y=2sin0X的圖象向左平移—個單位長度得到

6

(713

D.函數(shù)g(x)=/?S)(/>0)在(0力上有2個零點，則實數(shù)t的取值范圍為五，萬

8.如圖，平行四邊形48CD中，AE=2EB,DF=FC,若聞=玩，CE=n^則萬=

()

1一3一

A.—m+—nB.-m--n--m+-nD.

222222

1一3一

—m——n

22

二、選擇題：本題共4小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知向量Z=（x,l），3=（4,2）,則下列結論正確的是（）

A.若Z//。則x=2

B.若則x=]

C.若x=3,則向量￡與向量B的夾角的余弦值為宣I

10

D.若x=-l,則向量B在向量￡上的投影向量為（J5,后）

10.已知角A,B,C是V/3C的三個內(nèi)角，下列結論一定成立的有（）

A.若sin2/=sin2B,則V4BC一定是等腰三角形

B.若sin/>sinB,則/〉8

C.若V48c是銳角三角形，貝iJsin/>cosB

D.若0<tan/?tan5<l,則V4BC一定是銳角三角形

11.設Z-Z2為復數(shù)，則下列說法中正確的有（）

A.若Z]=a+bi,z2-c+di,其中a,b,c,deR,且a>c,b>d,則ZAZ2

B.若加2-3〃?+2+"-l）i（rneR）為純虛數(shù)，則加=2

C.若關于x的方程f+px+quO,P,qeR的一個虛根為2i-l，則夕+q=—5

D.若馬=-l+2i,Z2=3+4i,則復數(shù)Z1-Z2在復平面內(nèi)對應的點位于第三象限

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.若H=W=La,刃，且（2。+3否）_1_（左0一1），則后=.

13.已知G=（1,2）,B=4）,若值與否的夾角是鈍角，則實數(shù)x的取值范圍是.

14.在V4BC中，角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且a=l,Z?=3,cosC=-,貝!JV48C

3

外接圓的面積是.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.在VABC中，內(nèi)角A,B,C所對邊分別為a,b,c,已知sin2/=sinB-cosC+cosB-sinC.

（1）求角A的大??；

(2)若6=2c,V/8C的面積為2百，求V4BC的周長.

16.已知N,B的夾角為60°,且除1=1,|可=2,設應=31-3，n=ta+2b-

(1)若應，限求實數(shù)/的取值；

(2)/=2時，求比與萬的夾角；

(3)是否存在實數(shù)"使得應〃萬，若存在，求出實數(shù)九

17.己知扇B是非零向量，aL(a-by且同=3收,歸卜6.

(1)求2在行方向上的投影向量；

(2)求忸-3..

巧1

18.已知向量成=(sin2x,cos2x),拓=(2^,5),函數(shù)/(%)=應?%

(1)求函數(shù)/(x)的解析式和單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)若a,b,c分別為V48C三個內(nèi)角A,B,。的對邊，/(Z)=l,6=2,ae[1,|],

試判斷這個三角形解的個數(shù)，并說明理由；

(3)若皿可,爭時，關于x的方程/1x+；|+(2+l)sinx=2(2eR)恰有三個不同的

實根為，％，七，求實數(shù)2的取值范圍及西+%+》3的值.

19.材料一；我們可以發(fā)現(xiàn)這樣一個現(xiàn)象：隨機生成的一元多項式，在復數(shù)集中最終都可以分

解成一次因式的乘積，且一次因式的個數(shù)(包括重復因式)就是被分解的多項式的次數(shù).事實

上，數(shù)學中有如下定理：

代數(shù)基本定理：任何一元”(〃eN*)次復系數(shù)多項式方程/(x)=0至少有一個復數(shù)根.

材料二：由代數(shù)基本定理可以得到：任何一元”(〃eN*)次復系數(shù)多項式/(x)在復數(shù)集中可

以分解為〃個一次因式的乘積.進而，一元〃次多項式方程有〃個復數(shù)根(重根按重數(shù)計).下

面我們從代數(shù)基本定理出發(fā)，看看一元多項式方程的根與系數(shù)之間的關系.

設實系數(shù)一元二次方程%一+%工+%=0(%W0)在復數(shù)集C內(nèi)的根為不、馬,容易得到

a}

X]+'2=------

出.設實系數(shù)一元三次方程為/+。2、2+。/+旬=0(%。°)①

旬

XxX2=-

和

在復數(shù)集。內(nèi)的根為再、々'》3，可以得到，方程①可變形為%(工一再)口一了2)(%一》3)=0展

32

開得：(23X一%+X2+X3)X+(23(X[X2+XjX3+%2%3)%一《再了2%3=0(2)

%

X]+%+%3------

a3

a.

比較①②可以得到根與系數(shù)之間的關系：《

XxX2+XxX3+x2x3=—

a3

xrx2x3=--

a3

閱讀以上材料，利用材料中的方法及學過的知識解決下列問題:

(1)對于方程3/+2/—x+5=0在復數(shù)集c內(nèi)的根為4%、七，求x；+x；+x；的值;

(2)如果實系數(shù)一元四次方程%/+。3/+%/+吁+%=0(%/0)在復數(shù)集C內(nèi)的根

為西、/、七、5，根據(jù)材料二，試找到該四次方程根與系數(shù)之間的關系并說明原因;

(3)已知函數(shù)g(x)=/+&X+2,對于方程g(x)=左在復數(shù)集。內(nèi)的根為西、》2、七，當

ke[0,l]時，求x；+W+W的最大值.

2024-2025學年河北省保定市高一上學期第一次月考數(shù)學學情檢測試題

時間120分鐘，滿分150分

（考試范圍：三角函數(shù)、解三角形、平面向量、復數(shù)）

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.在aABC中，若6,48=1,AC=5則邊上的高為（）

A.1B.J2C.—D.2

2

【答案】C

【解析】

【分析】先利用余弦定理求得8c的長，再利用三角形等面積法即可求得3C邊上的高.

【詳解】由余弦定理，得8C=2xixGxcos：=l,

設邊上的高為力，則S“BC=j48?/。6①巴=L、1/,解得人=1.

2622

故選：C.

2.在復平面內(nèi)，復數(shù)馬對應的點與Z2=——■對應的點關于虛軸對稱，則4等于（）

i

A.-2-3zB.-2+3zC.2-3zD.2+3z

【答案】A

【解析】

【分析】由復數(shù)的運算可得z2=-2+3i,再求解即可.

【詳解】解：由？2=----=（3+2z》=—2+3%,

i

又復數(shù)4對應的點與為=——^對應的點關于虛軸對稱，

i

則Z]=—2—3z,

故選：A.

【點睛】本題考查了復數(shù)的運算，重點考查了復數(shù)在復平面對應的點，屬基礎題.

3.已知復數(shù)z滿足|z—i|=l,則目的取值范圍是()

A.[0,1]B.[0,1)C.[0,2)D.[0,2]

【答案】D

【解析】

【分析】利用|z-i|=l表示以(0,1)為圓心，1為半徑的圓，目表示圓上的點到原點的距離可得答案.

【詳解】因為在復平面內(nèi)，

|z-i|=l表示到點(0,1)距離為1的所有復數(shù)對應的點，

即|z—i|=l表示以(0,1)為圓心，1為半徑的圓，

目表示圓上的點到原點的距離，所以最短距離為0,

最長距離為1+1=2,

則目的取值范圍是[0,2].

故選：D.

4.已知向量5=(1,2),B=(X,3),若+則實數(shù)X=()

A.-4B.-11C.11D.4

【答案】B

【解析】

【分析】由已知條件結合向量垂直的坐標表示計算即可求解.

【詳解】由題N+B=(1+X,5),

因為+所以限(N+B)=lx(i+x)+2x5=0nx=-ll.

故選：B.

5.互相垂直且有公共原點的兩條數(shù)軸構成平面直角坐標系，但如果平面坐標系中兩條坐標軸不垂直，則這

樣的坐標系稱為“斜坐標系”.如圖，設Ox,2y是平面內(nèi)相交的兩條數(shù)軸，1分別是與x軸，N軸

正方向同向的單位向量，且([，￡)=；，過點P作兩坐標軸的平行線，其在x軸和歹軸上的截距a,b分

別作為點尸的X坐標和N坐標，記尸(。,6),則該坐標系中M(3,3)和N(2,l)兩點間的距離為()

C.V6D.V7

【答案】D

【解析】

【分析】結合所給定義計算出擊后，結合數(shù)量積公式計算即可得.

【詳解】由題意可得麗:=31+31，而=2,+小則而7=0而—而=，+21，

+4-6--"?％A=4+1+4xcos'—j(=5+2=7,

123

所以pw|=S.

故選：D.

sni/4Citiz?ciiii

6.在V48C中，角A,B,C的對邊分別為。，b,c,若——=——=——（左為非零實數(shù)），則下列

上34

結論錯誤的是（）

A.當左=5時，V48C是直角三角形B.當左=3時，V45C是銳角三角形

C.當左=2時，V48C是鈍角三角形D.當左=1時，V48C是鈍角三角形

【答案】D

【解析】

【分析】由正弦定理化簡已知可得a：6：c=h3:4,利用余弦定理，勾股定理，三角形兩邊之和大于第三

邊等知識逐一分析各個選項即可得解.

qitl/4citiZ?qiri

【詳解】對于選項A,當左=5時，——=——=——，根據(jù)正弦定理不妨設a=5機，6=3機，c=4m,

534

顯然V48c是直角三角形，故命題正確；

sin//qin/?qini

對于選項B,當左=3時，——=——=——，根據(jù)正弦定理不妨設a=3加，b=3m,c=4m,

334

22222

顯然V4SC是等腰三角形，a+b-c=9m+9m-16療=2療〉0,

說明NC為銳角，故V48C是銳角三角形，故命題正確；

qinZqinT?ai-n

對于選項C,當左=2時，——=——=——，根據(jù)正弦定理不妨設a=2冽，b=3m,c=4m,

234

可得/+/_，=4m2+9m2_16/=—3/<0,說明/C為鈍角，故V4BC是鈍角三角形，故命題正

確；

sin%sin/?ci-n

對于選項D,當左=1時，——=——=——，根據(jù)正弦定理不妨設a=1加，b=3m,c=4m,

134

此時a+b=c,不等構成三角形，故命題錯誤.

故選：D.

7.已知函數(shù)/(x)=cos0x—百sinox?〉。)的部分圖象如圖所示，則下列選項不正確的是()

A.函數(shù)/(x)的圖象關于點［得刀］中心對稱

27r7T

B.函數(shù)/(x)的單調(diào)增區(qū)間為hr--,for--(左eZ)

5兀

C.函數(shù)/(x)的圖象可由y=2sin0X的圖象向左平移一個單位長度得到

6

(713~

D.函數(shù)g(x)=/?°x)(/>0)在(0,兀)上有2個零點，則實數(shù)t的取值范圍為五，五

【答案】C

【解析】

【分析】利用輔助角公式及函數(shù)圖象先化簡計算得出函數(shù)式，結合三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)逐一分析選項即

可.

【詳解】/(x)=cosa>x-yj3sincox=-2sin(6yx--),

,E一，3E兀5兀、3兀一E2兀

由圖可知，—T=---(z----)=一，可得7=兀=—，/.口=2,

43124co

f(x)=-2sin(2x--),二］=-2sin(2x二一/)=0,故A正確；

6<127126

3KC7171

------F2hi<2x----<-----F2左兀,

262

,,2兀兀,

解得-----l-H<x<-----Fkji(k€Z),

36

r\

所以函數(shù)/(x)=—2sin(2x—￡)在kn-y,k7i-^(左eZ)單調(diào)遞增，故B正確;

Sjr57r57r

函數(shù)＞=2sin2x的圖象向左平移」個單位長度得y=2sin2(x+—)=2sin(2x+—),

663

SirJrJr

2sin(2x+y)=2sin(27i+2x-y)=2sin(2x-y),故C錯誤；

g(x)=/(2tx)=_2sin(4/x-$，xe(0㈤，

當，＞0時，4Zx--e(--,4r7r--),此時g(x)有兩個零點，

666

(713

即4/n-qe(私2兀］,可得'c，故D正確.

8.如圖，平行四邊形48CD中，AE=2EB,DF=FC,若赤=應，近=萬，則萬=(

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)條件，結合圖形，利用向量的線性運算，即可求出結果.

【詳解】因為四邊形48CD為平行四邊形，且AE=2EB,DF=FC,

所以彳斤=而+礪=赤+g皮，即2/=2力+皮①，

XCE=CB+BE=CB+^BA,即3屈=3而+而②，

___________.1_3

由①+②得到24F+3CE=C8,又C5=應，CE=H，所以左=5機一萬限

故選：D.

二、選擇題：本題共4小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知向量￡=(x,l),否=(4,2),則下列結論正確的是()

A.若a//3，則x=2

B.若a_LB,則x=萬

C.若x=3,則向量￡與向量B的夾角的余弦值為迪

10

D.若x=-1,則向量B在向量Z上的投影向量為(、笈,、歷)

【答案】AC

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用共線向量的坐標表示判斷A；利用向量垂直的坐標表示判斷B；求出向量夾角

的余弦判斷C；求出投影向量判斷D.

【詳解】對于A,由Z//B，得2%一4=0,解得x=2,A正確；

對于B,由]_|_B，得4X+2=0,解得、=-；,B錯誤；

1]2+27

對于C,若x=3,則a=(3,1),又石=(4,2),則cos〈a,B〉=f一=—/=---廣=，C正確；

|||6|V10X2V510

對于D,若x=—1,則3=(—1,1),又3=(4,2),于是用B=—Ix4+lx2=—2，

/7?ha—2(—1])

則向量6在向量a上的投影向量為=:---==—7=7==(1,-1)，D錯誤.

|a||a|A/2xV2

故選：AC

10.已知角A,B,C是V48c的三個內(nèi)角，下列結論一定成立的有()

A.若sin2Z=sin28,則V48C一定是等腰三角形

B.若sinZ>sin8,則/>3

C.若V45c是銳角三角形，貝UsinN>cos8

D.若0<tan4,tan8<l,則V4SC一定是銳角三角形

【答案】BC

【解析】

【分析】求出角48的關系判斷A；利用正弦定理推理判斷B；利用正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷C；確定角C的

范圍判斷D.

7T

【詳解】對于A,由sin2Z=sin28,得2Z=28或2Z+25=兀，則4=3或/+8=—,

2

因此V48C是等腰三角形或者是直角三角形，A錯誤；

對于B,在V48C中，由正弦定理及sinZ>sin8,得a〉bo4〉B,B正確;

TT717T

對于C,由V4SC是銳角三角形，得N+5>—,則0<——B<A<-,

222

兀

因此siMg-8)<sinZ,即sinN>cos8,C正確;

,丁，入,口八sin/sin8,

對于D,由0<tanAtanB<1,得0<---------<1在V4BC中,sinVsin8>0,

cosZcos8

則sinZsin8<cosZcos8,即cosZcosB-sinZsinB〉0,于是cos(/+3)>0,

即C0S（7t—C）〉0,cosC<0,因此C是鈍角，D錯誤.

故選：BC

【點睛】關鍵點點睛：三角形中的幾何計算，熟悉應用相關公式是解題的關鍵.

H.設z-Z2為復數(shù)，則下列說法中正確的有（）

A.若Z]=a+bi,z2=c+di,其中a,b,c,deR,且a>c,b>d,則ZAZ2

B.若加2-3加+2+（加2—l）i（切eR）為純虛數(shù)，則冽=2

C.若關于x的方程/+8+1=0,P,qeR的一個虛根為2i-l,則夕+[=-5

D.若為=-1+方，z2=3+4i,則復數(shù)z1-Z2在復平面內(nèi)對應的點位于第三象限

【答案】BD

【解析】

【分析】對于A：根據(jù)復數(shù)不能比較大小即可判斷；對于B：根據(jù)純虛數(shù)的概念列式求解；對于C：可知另

一個虛根為-2i-1,利用韋達定理運算求解；對于D：可得由-Z2=-4-2i,結合復數(shù)的幾何意義分析判

斷.

【詳解】對于選項A：因為b〉d,可知z「Z2不可能均為實數(shù)，故不能比較大小，故A錯誤;

對于選項B：若機之―3機+2+（機2一i）ieR）為純虛數(shù),

m2-3m+2=0

則解得m=2故B正確;

機2—1w0

對于選項C：若關于%的方程/+px+q=0,p,鄉(xiāng)￡R的一個虛根為2i-l,

則另一個虛根為-2i-1,

_Bp=(2i-l)+(-2i-l)=-2

可侍jq=(2i—1)(—2i—l)=5,所以2+q=7,故C錯誤;

對于選項D：若々=—l+2i,Z2=3+4i,則z1—z2=—4—2i,

復數(shù)Z1-Z2在復平面內(nèi)對應的點為(-4,-2),位于第三象限，故D正確；

故選：BD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.若.=W=l,a_L%,且(2a+33)_L,則左=.

3

【答案】一

2

【解析】

【分析】根據(jù)數(shù)量積運算求解即可.

【詳解】因為(2、+3石)1(石-1),所以(22+34恒一司=0,

W2ka2-2a-b+3ka-b-3b2=0,

3

因為萬石=0，所以2左一3=0,左=—.

2

3

故答案為：一

2

13.己知G=(l,2),B=(x,—4),若/與B的夾角是鈍角，則實數(shù)x的取值范圍是

【答案】(-8,-2)3-2,8)

【解析】

【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的坐標表示及平行坐標公式判斷鈍角即可求出參數(shù)范圍.

【詳解】因為@與B夾角為鈍角，

可以得出萬石=lxx+2x(-4)=x—8<0,解得：x<8,

且萬萬不平行,則1x(-4)H2X,XH-2,

即x<8且xw—2,即xe(-*2)u(-2,8).

故答案為：(-8,-2)“-2,8)

14.在V45c中，角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且a=l,6=3,cosC=-,則V45c外接圓

3

的面積是.

9

【答案】一兀

4

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用同角公式及余弦定理、正弦定理求出外接圓半徑即可.

【詳解】在V45C中，由cosC=；,得sinC=Jl—套。=孚,而。=1,6=3,

由余弦定理得c=J/+/—2abcosC=^12+32-2X1X3X1=272,

13

由正弦定理得V48C外接圓R=—---c=

2sine2

9

所以VZ8C外接圓的面積是8=兀&92=—兀.

4

9

故答案為：:兀

4

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.在V45C中，內(nèi)角A,B,C所對邊分別為a,b,c,已知sin2Z=sinacosC+cos5,sinC.

（1）求角A的大??；

（2）若b=2c,V48C的面積為26，求V/5C的周長.

7T

【答案】（1）-

3

（2）6+273

【解析】

【分析】（1）先根據(jù)兩角和的正弦公式化簡題干條件可得sin2N=sinN,進而得到22+2=兀，進而求解

（2）根據(jù)三角形的面積公式及余弦定理求解即可.

【小問1詳解】

因為sin22=sinB-cosC+cos5-sinC=sin（5+C）=sinN,

71

在V48c中，2N+N=7r,即/=—.

3

【小問2詳解】

71

由(1)知，A-—，

3

2

所以SAKC=—bcsmA=—x2cx^-=2G，

“Be222

即c=2,所以b=4,

又。2="+c?-2bccosA=16+4-2x4x2x—=12,即口=2x/3，

2

所以V4SC的周長為q+b+c=2G+4+2=6+2G.

16.已知N,B的夾角為60°,且陌|=1,行|=2,設比=3萬一5,n=ta+2b-

(1)若應，拓，求實數(shù)f的取值；

(2)/=2時，求應與五的夾角；

(3)是否存在實數(shù)/,使得應〃方，若存在，求出實數(shù)J

【答案】(1)1=1；

(2)arccos—；

7

(3)存在，t=-6

【解析】

【分析】(1)由/J.?=>)=0列式求得/值；

(2)分別求出歷|、|方|、成?萬的值，代入夾角公式求解即可；

(3)利用共線向量定理列式求解即可.

【小問1詳解】

解：B的夾角為60°,且團=1,⑸=2,

rrrr1

a-b=\a\\b\cos600=lx2x—=1.

由成_L萬,得JJ=(3?-b)-(ta+2b)=3t\a|+(6-t)a-b-2\b|2

=3Z+6—?-8=0,解得/=1；

【小問2詳解】

解：由(1)可知1Z=1且|町=1,|K|=2,

當/=2時，|加|二J(3Q—b)2=\l9a2-6a-b-\-b2=V9—6+4=V7，

|n|二J(22+2：)2=/心+烹工+川=J4+8+I6=2s，

m-n=(3a-b)-(2a+26)=6t72+4^-Z?-262=6+4-8=2.

.rr.m-n21

所以cos(m,n)=r?r.=匚、匚=-.

\m\\n\J7x2j77

所以應與力的夾角為arccos，；

7

【小問3詳解】

解：由而〃亢，得—+26=/IG。-6）（4w0），

t—32t=-6

即《C。，解得V

2——zt4=—2

所以存在實數(shù)，=-6,使得玩〃刀.

17.已知原B是非零向量，aL（a2--b3）,且同=3后,網(wǎng)=6.

（1）求）在B方向上的投影向量;

(2)求21—33.

【答案】（1）￥

(2)675

【解析】

【分析】（1）根據(jù)條件得到限3=18,再利用投影向量的定義，即可求出結果;

（2）利用（1）結果及數(shù)量積的運算律，即可求出結果.

【小問1詳解】

因為所以=a2-a-b=0,又同=3夜，得到晨3=18,

Ia-bb18r1r

又仰=6,所以2在行方向上的投影向量為下「?/=盤'=”

【小問2詳解】

由(1)展3=18，

所以125—342=4a2-125-^+%2=4x18-12x18+9x36=180,

得至!］忸-3可=6亞.

巧1

18.已知向量應=(sin2x,cos2x),亢=,函數(shù)/(%)=玩,五.

(1)求函數(shù)/(X)的解析式和單調(diào)遞增區(qū)間;

(2)若。，b,。分別為V48C三個內(nèi)角A,B,C的對邊，/(2)=Lb=2,試判斷

這個三角形解的個數(shù)，并說明理由；

(3)若xe[-時，關于x的方程/(x+2]+(N+l)sinx=4(4eR)恰有三個不同的實根不，

63I6J

%2，％3，求實數(shù)幾的取值范圍及花+%2+%3的值.

jrJT7T

【答案】(1)/(x)=sin(2x+-),[--+H,-+^](^eZ)；

636

3兀

(2)答案見解析(3)X的取值范圍為G+l44<3，西+/+七的值為萬.

【解析】

【分析】(1)利用向量的數(shù)量積運算求得解析式，再利用正弦函數(shù)性質(zhì)求出單調(diào)區(qū)間.

(2)利用正弦定理分段討論判斷三角形解的數(shù)量.

(3)利用誘導公式及二倍角的余弦公式變形方程，再借助正弦函數(shù)的性質(zhì)求解即得.

【小問1詳解】

---y/31JI

/(x)=m?n=——sin2x+—cos2x=sin(2x+一)，

226

令一4+2左兀<2x+—<—+2kji,k€Z,解得一百+左兀<x<四+左兀,左GZ,

26236

JT7T

所以/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為[——+E,—+E](keZ)

36

【小問2詳解】

jr717rl

在AABC中，f(A)=sin(24H—)=1,由0</<兀，得一<24H—<----，

6666

則2幺+巴=巴，解得Z=巴，

626

°hAQIri/i

假設三角形存在，由正弦定理——=^,得sin5=-------,

SIIL4smSa

①當ae4,1)時，siiLB=->l,三角形無解；

2a

171

②當a=1時，sin5=-=1,B=-，三角形有唯一解；

a2

③當ae(l,2)時，sinff=—e(―,1),止匕時bsiih4<a<6,2有兩個不同的值，三角形有兩解.

a2

④當ae[2,g]時，a>b,A>B,三角形有唯一解，

所以當時，三角形無解；當。=1或ae[2：]時，三角形有唯一解；當ae(1,2)時，三角形有兩

解.

【小問3詳解】

兀

由(1)知/(%)=sin(2x+—),

6

TTTTTT

方程/(x+—)+(2+l)sinx=2化為sin[2(x+—)+—]+(!+l)sinx=2,

666

即cos2x+(X+l)sinx=2,整理得2sin2x-(2+l)sinx+2-1=0,

2-1

即[2sinx-(2-l)](sinx-1)=0,則sinx=1或sinx=----,

2

TT?7r

又X時，給定方程有三個不同的實根，

63

TT

且當sinx=1時，不妨記其解為的，則西=5，

2—1TT27r

因此sinx=〒在[-]了]上有兩個不同的實根為馬，工3，

由xe[-g，W],得siiue[G,l)，貝1<1，解得G+1W/1<3，

631222

由正弦函數(shù)圖象性質(zhì)知乙，關于X=；對稱，即/'=巴,則/+%3=兀，

222

71371

X]+%+%3=萬+兀=~2~，

3兀

所以幾的取值范圍為G+1V4<3，為+%2+%3的值為萬.

19.材料一：我們可以發(fā)現(xiàn)這樣一個現(xiàn)象：隨機生成的一元多項式，在復數(shù)集中最終都可以分解成一次因

式的乘積，且一次因式的個數(shù)(包括重復因式)就是被分解的多項式的次數(shù).事實上，數(shù)學中有如下定理：

代數(shù)基本定理：任何一元〃(〃eN*)次復系數(shù)多項式方程/(x)=0至少有一個復數(shù)根.

材料二：由代數(shù)基本定理可以得到：任何一元〃(〃eN*)次復系數(shù)多項式/(x)在復數(shù)集中可以分解為“

個一次因式的乘積.進而，一元〃次多項式方程有〃個復數(shù)根(重根按重數(shù)計).下面我們從代數(shù)基本定理

出發(fā)，看看一元多項式方程的根與系數(shù)之間的關系.

a.

X]+%2=---

a

設實系數(shù)一元二次方程。2/+附+4=0(的?！?在復數(shù)集C內(nèi)的根為再、了2,容易得至人2

xxx2=-

。2

設實系數(shù)一元三次方程生/+出彳2+a1x+a0=0(a3*0)(T)

在復數(shù)集C內(nèi)的根為不、