遼寧省遼陽市2025屆高三下學(xué)期一?？荚嚁?shù)學(xué)試題 含解析

高三考試數(shù)學(xué)試卷注意事項：答題前，考生務(wù)必將自已的姓名?考生號?考場號?座位號填寫在答題卡上.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上寫在本試卷上無效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)集合，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)并集定義計算.【詳解】因為，所以故選：D.2.已知向量，，.若、、三點共線，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求出向量，由題意可得，利用平面向量共線的坐標(biāo)表示可得出關(guān)于的等式，解之即可.【詳解】因為向量，，，所以，，因為、、三點共線，則，所以，，解得.第1頁/共19頁故選：C.3.在、、所對的邊分別為、、，，的面積為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由余弦定理求出的值，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出的值，然后利用三角形的面積公式可求得的面積.【詳解】在中，因為，，，由余弦定理可得，所以，，因此，的面積為.故選：A.4.已知，其中為實數(shù)，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)相等求參數(shù)的值.【詳解】因為，所以，所以，解得，故選:B.第2頁/共19頁5.如圖，三棱柱的所有棱長都為，且，、、分別為、、的中點，則異面直線和所成角的余弦值為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】、和所成角等于余弦定理求出、的長，推導(dǎo)出，可求出的余弦值，即為所求.【詳解】連接、，如下圖所示：因為、分別為、中點，所以，且，因為且，所以，四邊形為平行四邊形，所以，且，因為為的中點，所以，且，所以，四邊形為平行四邊形，則，故異面直線和所成角等于或其補角，在菱形中，，，，由余弦定理可得，在中，，，，第3頁/共19頁由余弦定理可得，在中，，，，所以，，故，所以，.因此，異面直線和所成角的余弦值為.故選：D.6若，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)的運算，化簡題干中的對數(shù)式，結(jié)合參數(shù)大小與對數(shù)函數(shù)圖象的關(guān)系，可得答案.，，，且，則.故選：A.7.設(shè)拋物線的焦點為的直線與交于、到直線的距離為，且.若點的橫坐標(biāo)為，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由拋物線的定義可得，設(shè)點、，設(shè)直線的方程為，將該直線方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，求出，根據(jù)拋物線的焦點弦長公式可得出關(guān)于的等式，結(jié)合可求得的值.第4頁/共19頁【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為，由拋物線的定義可得，設(shè)點、，若直線與軸重合，則該直線與拋物線只有一個交點，不合乎題意，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，可得，則，由韋達(dá)定理可得，所以，，故，所以，，整理可得，即，因為，解得.故選：C.8.已知球的半徑為，則在球的內(nèi)接圓錐中，體積最大的圓錐的底面半徑為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)球的內(nèi)接圓錐的底面半徑為，取圓錐的軸截面，取線段的中點，連接，設(shè)，的解析式，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)取最大值時對應(yīng)的值，即可求得對應(yīng)的值，即為所求.【詳解】如下圖所示，設(shè)球的內(nèi)接圓錐的底面半徑為，第5頁/共19頁顯然當(dāng)球心在圓錐的內(nèi)部時，圓錐的體積才會最大，取圓錐的軸截面，取線段的中點，連接，則，且在線段上，設(shè)，則，且，，設(shè)圓錐的體積為，則，由可得，由可得，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，函數(shù)時取最大值，此時，.故選：A.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共分在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.“綻放青春，藝路有你”才藝大賽.甲、乙兩位同學(xué)才藝表演結(jié)束后，6位評委對甲、乙進(jìn)行打分（滿分10所示的折線統(tǒng)計圖，則（）第6頁/共19頁A.甲得分的平均數(shù)大于乙得分的平均數(shù)B.甲得分的眾數(shù)大于乙得分的眾數(shù)C.甲得分的中位數(shù)大于乙得分的中位數(shù)D.甲得分的方差大于乙得分的方差【答案】BCD【解析】【分析】運用平均數(shù)、中位數(shù)及眾數(shù)的公式計算，和方差的意義逐項判斷即可.【詳解】甲、乙的得分從小到大排列如下：甲：，乙：，甲得分的中位數(shù)為，乙得分的中位數(shù)為，甲得分的中位數(shù)大于乙得分的中位數(shù)，故C正確；甲得分的眾數(shù)，乙得分的眾數(shù)為，甲得分的眾數(shù)大于乙得分的眾數(shù)，故B正確；甲得分的平均數(shù)，所以甲得分的平均數(shù)等于乙得分的平均數(shù)，故A錯誤；由圖可以看出甲得分的波動比乙大，故甲得分的方差大于乙得分的方差，故D正確.故選：BCD10.已知函數(shù)的最大值與最小值的差為2，其圖象與軸的交點坐標(biāo)為，且圖象的兩條相鄰的對稱軸之間的距離為2，則（）A.B.C.D.的單調(diào)遞增區(qū)間為【答案】ACD【解析】得距離、交點坐標(biāo)求出、、的值，再計算單調(diào)區(qū)間即可.第7頁/共19頁【詳解】，因為的最大值與最小值的差為2，解得，A選項正確；因為函數(shù)圖象相鄰兩條對稱軸間的距離為B選項不正確；又的圖象與軸的交點坐標(biāo)為，C選項正確；所以函數(shù)的解析式為，，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，D選項正確.故選:ACD.已知函數(shù)的定義域為，對任意，均滿足，且，則（）A.函數(shù)為偶函數(shù)B.8是的一個周期C.的圖象關(guān)于點對稱D.【答案】CD【解析】為偶函數(shù)，即可判斷A；周期為4，即可判斷B；根據(jù)周期性，即可得出，即可判斷C；求得，結(jié)合周期性得出即可判斷D．第8頁/共19頁【詳解】對于A，令，得，所以，令，得，即，所以為偶函數(shù)，所以，則為奇函數(shù)，故A錯誤；對于B，令，，即，所以周期為4，故B錯誤；對于C，令，，所以，所以關(guān)于對稱，且，又周期為4，所以，故C正確；對于D，令，得，即，令，，得，所以，所以，所以，故D正確；故選：CD．三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共分.12.若雙曲線的一條漸近線上的點關(guān)于另一條漸近線的對稱點恰為右焦點，則雙曲線的漸近線方程為__________，實軸長為__________.【答案】①.②.【解析】【分析】由點在漸近線上可求得，再根據(jù)雙曲線的性質(zhì)計算實軸長即可.【詳解】由點在雙曲線的一條漸近線上，可得，則雙曲線的漸近線方程為；第9頁/共19頁記坐標(biāo)原點為，則，即．因為，所以，，故實軸長為．故答案為：；.13.某工人給排成一排的塊地磚上色，可用顏色為固定的第號至第號，共種顏色，其中，.號至第次，，上色方案.當(dāng)上色方案共有__________種.【答案】【解析】【分析】不妨將塊排成一排的地磚從左至右依次記為、、、，分析可知，一定有塊地磚同色，列舉出同色的情況，結(jié)合排列計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】不妨將塊排成一排地磚從左至右依次記為、、、，用種顏色給地磚上色，每種顏色至少使用一次，相鄰地磚不能同色，所以一定有塊地磚同色，同色的情況有、、，共種，所以，共有種不同的上色方案.故答案為：.14.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點滿足的軌跡為曲線線與交于兩點，當(dāng)取得最小值時，的值為__________.【答案】【解析】【分析】設(shè)，由有，由點到直線的距離公式有，即，分析的取值即可求解.【詳解】設(shè)，則由有，第10頁/共19頁即，則曲線是以圓心為，半徑為的圓，則圓心到直線的距離為，則，當(dāng)取最大值時，取得最小值，所以，要使取最大值則，，當(dāng)取最小值時，取最大值，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，等號成立，所以，，當(dāng)時，取得最小值，所以，故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知等比數(shù)列是遞減數(shù)列，的前項和為，且、、成等差數(shù)列，，數(shù)列滿足，，（1）求和的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.【答案】（1），（2）【解析】第11頁/共19頁1的公比為、為遞減數(shù)列可求得、的值，即可得出等比數(shù)列的通項公式；推導(dǎo)出，結(jié)合可求得數(shù)列的通項公式；（2求得.【小問1詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題意可得，則，因為數(shù)列是等比數(shù)列，解得，所以，，因為，所以，，因為，則，所以，，故.【小問2詳解】當(dāng)為奇數(shù)時，，令，則，所以，，兩個等式作差可得，化簡得；當(dāng)為偶數(shù)時，，第12頁/共19頁令，則，故.16.如圖，在直三棱柱中，為的中點，.（1）證明：平面.（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】1）先連接，再根據(jù)中位線得出，最后應(yīng)用線面平行判定定理證明平面；（2）求出平面的法向量，利用空間向量夾角余弦公式能求出與平面所成角的正弦值．【小問1詳解】連接，∵E為中點，為的中點，∴，∵平面，平面，第13頁/共19頁∴平面；【小問2詳解】以點C為坐標(biāo)原點，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，則，設(shè)平面的法向量，則，取，則，設(shè)與平面所成角為，則與平面所成角的正弦值為：．17.已知函數(shù)，.（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若的最大值為，證明：，.【答案】（1）增區(qū)間為，減區(qū)間為（2）證明見解析【解析】1）利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可求出函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間；（2）由函數(shù)的最大值可求出的值，將所證不等式變形為，構(gòu)造函數(shù)第14頁/共19頁，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，可證得，即可證得結(jié)論成立.【小問1詳解】因為函數(shù)的定義域為，且，由可得，由可得，所以，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.【小問2詳解】由（1）知，，解得，要證，即證，即證，令，其中，則，由可得，由可得，所以，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，所以，，即，所以，，，即.18.亞冬會于年月日至月日舉行..設(shè)置一個抽題箱，箱中有若干裝有題目的小球，小球的大小、顏色、質(zhì)量都一樣，每次答題抽取一個小球.每個小球內(nèi)只有一道題目，每道題目只有一個分值，題目分值分別為分、分、分.已知分題目小球被抽到的概率為，分題目小球被抽到的概率為，分題目小球被抽到的概率為，且每次抽完會補充一個同分值小球到箱內(nèi).（1）已知甲回答分、分、分題目正確的概率分別為、、，求甲抽取次，抽到種不同分值的題目，且累積得分不低于分的概率；（2）若甲抽取次，記表示甲次抽取的題目分值之和，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）（2）分布列答案見解析，【解析】第15頁/共19頁1立事件和互斥事件的概率公式可得出所求事件的概率；（2）分析可知，隨機(jī)變量的所有可能取值為：、、、、、、，計算出隨機(jī)變量在不同取值下的概率，可得出隨機(jī)變量的分布列，進(jìn)而可求得的值.【小問1詳解】若甲次答題累積得分不低于分，則甲抽取的個題目的分值可以是、、，當(dāng)甲抽取的個題目的分值是時，概率為，要使得累積得分不低于分，則個題要全答對，所以，概率為；當(dāng)甲抽取的個題目的分值是時，概率為，要使得累積得分不低于分，則個分題要答對，概率為；當(dāng)甲抽取的個題目的分值是時，概率為，要使得累積得分不低于分，則個分題要答對，概率為.故甲次答題累積得分不低于分的概率為.【小問2詳解】的所有可能取值為：、、、、、、，，，，，，，，第16頁/共19頁所以，隨機(jī)變量的分布列如下表所示：所以，.19.對于給定的橢圓且，則稱與互為共軛橢圓.已知橢圓與橢圓互為共軛橢圓，是橢圓的右頂點.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）不過點的直線與橢圓交于、，且直線與直線的斜率之積為.①證明：直線過定點.②試問在軸上是否存在點，使得直線、的斜率之積為定值？若存在，求出該定值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）（2）①證明見解析；②答案見解析.【解析】1）根據(jù)題意可得出關(guān)于、、的方程組，解出、的值，即可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2、的方程與橢圓方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，根據(jù)求出的值，化簡直線的方程，可得出直線所過定點的坐標(biāo)；②設(shè)點，利用韋達(dá)定理結(jié)合斜率公式化簡，結(jié)合為定值求出值，即可結(jié)論.【小問1詳解】由題意可得，解得，，第17頁/共