2024-2025學(xué)年上海市徐匯區(qū)高二下冊第一次月考數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量檢測試題（附解析）

2024-2025學(xué)年上海市徐匯區(qū)高二下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量檢測試題說明：（1）本場考試時間為120分鐘，總分150分；（2）請認真答卷，并用規(guī)范文字書寫.一、填空題（本大題共12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）1.已知集合，，則_____.【正確答案】【分析】解一元二次不等式求出集合，再根據(jù)交集的定義計算可得.【詳解】由，即，解得，所以，又，所以.故2.曲線在點（1，1）處的切線的斜率為______.【正確答案】2【分析】求曲線在點處的切線的斜率，就是求曲線在該點處的導(dǎo)數(shù)值．【詳解】y′＝2x，當x＝1時，y′＝2，故2．【點評】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義．導(dǎo)數(shù)的幾何意義是指函數(shù)y＝f（x）在點x0處的導(dǎo)數(shù)是曲線y＝f（x）在點P（x0，y0）處的切線的斜率．3.在中，角A，B，C所對邊分別a，b，c，若，則_____.【正確答案】【分析】利用余弦定理計算可得.詳解】令，，，由余弦定理可得.故4.已知圓錐的底面半徑為1，母線長為4，則該圓錐的側(cè)面積為_____.【正確答案】【分析】根據(jù)圓錐側(cè)面積的求法求已知圓錐的側(cè)面積.【詳解】由題設(shè)，圓錐的側(cè)面積為.故5.函數(shù)的駐點為______．【正確答案】【分析】求得，根據(jù)駐點定義，直接計算即可.【詳解】，則，令，解得，即的駐點為.故答案為.6.函數(shù)為奇函數(shù)，則_____.【正確答案】【分析】利用正余弦函數(shù)奇偶性求解即可.【詳解】函數(shù)為奇函數(shù)，則.故答案：7.在三棱錐中，平面ABC，，，則點到平面的距離等于_____.【正確答案】【分析】根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得，再根據(jù)線面垂直的判定可推出面，則，再利用等體積法轉(zhuǎn)換即可.【詳解】面，面；.且，面；.；.；；設(shè)點到平面的距離等于.；；即.即點到平面的距離等于.8.如圖，已知正三角形和正方形的邊長均為4，且二面角的大小為，則_____.【正確答案】【分析】設(shè)分別為的中點，連接，分析可得為二面角的平面角，進而結(jié)合空間向量的線性運算及數(shù)量積求解即可.【詳解】設(shè)分別為的中點，連接，在正三角形中，，，在正方形中，，，，所以為二面角的平面角，即，所以.故答案為.9.如圖，已知正方體，空間中一點滿足，且，當取最小值時，點位置記為點，則數(shù)量積的不同取值的個數(shù)為_____.【正確答案】3【分析】根據(jù)向量共面的推論易知在面內(nèi)，且面，結(jié)合正方體的對稱性及空間數(shù)量積運算確定不同取值的個數(shù).【詳解】由，且，即在面內(nèi)，要使取最小值時，點位置記為點，即面，結(jié)合正方體的對稱性，知：，，三種情況，所以數(shù)量積的不同取值的個數(shù)為3.故310.已知函數(shù)有四個零點，則實數(shù)的取值范圍是_____.【正確答案】【分析】首先求出在上的零點，再由，可得在上存在一個零點，令，，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值，即可得到不等式組，進而得解.【詳解】因為，當時，令，即，解得，，所以在上存在兩個零點，則在上存在兩個零點，當，令，則，所以或；當，解得，所以也是的一個零點，則在上存在一個零點，令，，則，令，，則，所以當時，即在上單調(diào)遞減，當時，即在上單調(diào)遞增，所以，所以（），即，所以在上單調(diào)遞增，所以，，要使在上存在一個零點，所以，解得，即實數(shù)的取值范圍是.故11.在平面直角坐標系中，將函數(shù)的圖像繞坐標原點逆時針旋轉(zhuǎn)后，所得曲線仍然是某個函數(shù)的圖像，則稱函數(shù)為“函數(shù)”.若函數(shù)為“函數(shù)”.則實數(shù)的取值范圍是_____.【正確答案】【分析】依題意可得與函數(shù)至多只有一個交點，則最多只有一根，令，則在上單調(diào)，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分、兩種情況討論，當時，即可得解.【詳解】依題意可得與函數(shù)至多只有一個交點，由，即關(guān)于的方程最多只有一根，即與最多只有一個交點，令，則在上單調(diào)，又，當時，則當時，當時，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，不符合題意；當時，因為，又在上單調(diào)，所以恒成立，所以，解得；綜上可得實數(shù)的取值范圍是.故12.若E，F(xiàn)為平面上兩個定點，則滿足為常數(shù)的動點的軌跡是直線，滿足的動點的軌跡是圓.將此性質(zhì)類比到空間中，解決下列問題：已知點O，A，B，C為空間中四個定點，，且，，兩兩的夾角都是，若動點滿足，動點滿足，則的最小值是_____.【正確答案】【分析】證明在平面內(nèi)射影為角平分線，據(jù)此如圖建立空間直角坐標系.然后由動點滿足，動點滿足，類比平面情況可得點P，點Q軌跡，然后由空間向量知識可得答案.【詳解】先證明在平面內(nèi)射影為角平分線.如圖，過點B做平面垂線，垂足設(shè)為F，則為在平面內(nèi)射影.過F點做OA，OC垂線，垂足為H，G.因平面，又平面，則.又平面，，則平面，又平面，則，同理可得，又，，則，從而.又，則，則，又，則，從而為角平分線，則.如圖，以O(shè)F所在直線為y軸，在平面內(nèi)與OF垂直直線為x軸，過O點與平面垂直直線為z軸，建立空間直角坐標系.因，則，又，則.注意到，，.則，.又，則.因，又，則在方向上的投影向量模長為8，如圖，取，則點P在過點D，與垂直的平面上，注意到.因，則，故在以AB為直徑的球體表面上.取中點為M，則.得，故最小值為點到平面的距離，減去球M半徑.注意到的一個法向量為，則到平面的距離為.注意到，，則.又，則球體半徑為.故所求最小值為.故答案為.關(guān)鍵點睛：若過空間中過一定點不共面三直線夾角兩兩相等，則其中一條直線，在另兩條直線確定平面上的射影為這兩條直線確定其中一個夾角的角平分線上.對于立體幾何問題，?？捎善矫鎺缀螁栴}類比思考.二、選擇題（本大題共4題，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分，滿分18分）13.已知向量，，是空間不共面的三個向量，則下列選項中能構(gòu)成空間向量一組基底是（）A.，， B.，，C.，， D.，，【正確答案】D【分析】根據(jù)空間向量的基本定理結(jié)合共面向量的定義逐項分析判斷.【詳解】因為向量，，是不共面的三個向量，對于A：因為，所以，，共面，所以，，不能構(gòu)成空間的一組基底，故A錯誤；對于B：因為，所以，，共面，所以，，不能構(gòu)成空間的一組基底，故B錯誤；對于C：因為，所以，，共面，所以，，不能構(gòu)成空間的一組基底，故C錯誤；對于D：假定向量，，共面，則存在不全為的實數(shù)，，使得，整理得，而向量，，不共面，則有，顯然不成立，所以向量，，不共面，即向量，，能構(gòu)成空間的一個基底，故D正確；故選：D14.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，那么函數(shù)的圖象最有可能的是（）A. B.C. D.【正確答案】A【詳解】試題分析：∵當（x）＞0時（x）單調(diào)遞增，當（x）＜0時（x）單調(diào)遞減∴當x時（x）單調(diào)遞增，當x時（x）單調(diào)遞增，當x時（x）單調(diào)遞增.考點：導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用.15.已知，不共線，當時，稱有序?qū)崝?shù)對為點的廣義坐標，若點A、B的廣義坐標分別為、，對于下列命題：①線段的中點的廣義坐標為；②向量平行于向量的充要條件為；③向量垂直于向量的充要條件為；其中假命題的個數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.3【正確答案】B【分析】對于①：設(shè)為中點，利用向量的中線公式直接求解；對于②：利用向量平行直接求解；對于③：利用向量垂直計算后判斷.【詳解】由題意：，.對于①：設(shè)為中點，所以，所以線段的中點的廣義坐標為，故①正確；對于②：向量平行于向量，其中，故②正確；對于③：向量垂直于向量，而，故③不一定成立.故選：B.16.已知函數(shù)，若對任意兩個不相等的實數(shù)，都有，則實數(shù)的最大值為（）A.0 B. C.1 D.2【正確答案】D【分析】令，由題意可得函數(shù)在R上單調(diào)遞增，由在R上恒成立，可得在R上恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，即可得答案.【詳解】解：因為對任意兩個不相等的實數(shù)，都有，即，令，不妨設(shè)，則有，所以，所以在R上單調(diào)遞增，所以在R上恒成立，即在R上恒成立，令，則，令，得，所以當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增；所以，所以.即的最大值為.故選：D.方法點睛：在解答已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍這類題目時，常轉(zhuǎn)化為其導(dǎo)函數(shù)的恒正(負)，再參變分離求解即可.三、解答題（本題共有5大題，滿分78分）17.如圖，在長方體中，四邊形的周長為12.，長方體的體積為.（1）求函數(shù)的表達式，并寫出的取值范圍.（2）求函數(shù)在上的平均變化率，及在處的瞬時變化率.【正確答案】（1）（2）22；【分析】（1）由已知有，由長方體的體積公式即可求解；（2）根據(jù)即可計算平均變化率；先求，即可求在處的瞬時變化率為.【小問1詳解】有題意有：，有，所以長方體的體積為，所以；【小問2詳解】根據(jù)題意有在上的平均變化率為,由，所以在處的瞬時變化率為.18.在平行六面體中，，，.記向量，向量，向量.（1）取的中點，用向量，，來表示向量；（2）求.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)空間向量的線性運算計算即可；（2）根據(jù)空間向量的數(shù)量積和模長公式計算即可.【小問1詳解】；【小問2詳解】因為，，，所以，，所以，所以.19.如圖，某市準備在道路的一側(cè)修建一條運動比賽道，賽道的前一部分為曲線段，該曲線段是函數(shù)，時的圖象，且圖象的最高點為，賽道的中部分為長千米的直線跑道，且，賽道的后一部分是以為圓心的一段圓?。?）求的值和的大小；（2）若要在圓弧賽道所對應(yīng)的扇形區(qū)域內(nèi)建一個“矩形草坪”，矩形的一邊在道路上，一個頂點在半徑上，另外一個頂點在圓弧上，且，求當“矩形草坪”的面積取最大值時的值．【正確答案】（1），；（2）.【詳解】試題分析：（1）由題意可得，故，從而可得曲線段的解析式為，令x=0可得，根據(jù)，得,因此（2）結(jié)合題意可得當“矩形草坪”的面積最大時，點在弧上，由條件可得“矩形草坪”的面積為，然后根據(jù)的范圍可得當時，取得最大值．試題解析：(1)由條件得.∴.∴曲線段的解析式為.當時，.又，∴,∴.(2)由(1)，可知.又易知當“矩形草坪”的面積最大時，點在弧上，故.設(shè),,“矩形草坪”的面積為.∵，∴,故當，即時，取得最大值．20.在平面直角坐標系中有兩個定點、，已知動點在平面中且到、兩點的斜率乘積為，點為定點.（1）求動點的軌跡方程.（2）如圖，在空間中有一點在平面上方，滿足平面，且.（i）探究直線與的夾角是否為定值？若是定值，求出夾角的大??；若不是定值，說明理由.（ii）在平面上過點做直線.當點到直線距離最大時，求直線與平面夾角的正切值.【正確答案】（1）（2）【分析】設(shè)動點坐標，根據(jù)題意列出斜率關(guān)系，化簡求得動點軌跡方程；建立空間直角坐標系，求出直線和的方向向量，利用公式判斷是否為定值；先找出點到直線距離最大時的位置，再求面的法向量，根據(jù)線面角的向量公式即可求出正切值.【小問1詳解】設(shè)動點的坐標為，已知，，由題可得：；即，整理得：；故動點的軌跡方程為.【小問2詳解】如圖，過點做與向量方向做軸，與向量方向做軸，過垂直于軸的直線為軸，建立空間直角坐標系.因為面，設(shè)，；因為，所以，解得.設(shè)，則，；設(shè)向量與夾角為，則；由，得，代入得.即直線與的夾角為定值，.當時，點到直線的距離最大；已知，，則；設(shè)直線的方向向量為，因為，所以，所以設(shè)；設(shè)平面的法向量為；設(shè)直線與平面夾角為，則；，所以.即直線與平面夾角的正切值為.21.已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)的極值；（2）求函數(shù)（其中）的單調(diào)區(qū)間；（3）定義：若一條直線同時是兩條（或兩條以上）曲線的切線，則這條直線叫做這兩條（或兩條以上）曲線的公切線.判斷與是否存在公切線、如果不存在，請說明理由；如果存在，請指出公切線的條數(shù).【正確答案】（1）的極小值為，無極大值（2）答案見解析（3）存在兩條公切線【分析】（1）由已知有，利用導(dǎo)數(shù)求極值即可；（2）求，根據(jù)的情況分類討論即可；（3）假設(shè)存在公切線，設(shè)、切點的為，分別求出切線方程，則有，消去得等價于在有解，即