初中數(shù)學(xué)自主招生難度講義-8年級(jí)專(zhuān)題26 相對(duì)相稱-對(duì)稱分析法

專(zhuān)題26相對(duì)相稱—對(duì)稱分析法

閱讀與思考

當(dāng)代美國(guó)數(shù)學(xué)家赫爾曼·韋爾指出：對(duì)稱盡管你可以規(guī)定其含義或?qū)捇蛘?，然而從古到今都是人?/p>

用來(lái)理解和創(chuàng)造秩序、美妙以及盡善盡美的一種思想.許多數(shù)學(xué)問(wèn)題所涉及的對(duì)象具有對(duì)稱性（不僅包

括幾何圖形中的對(duì)稱，而且泛指某些對(duì)象在某些方面如圖形、關(guān)系、地位等彼此相對(duì)又相稱）.

對(duì)稱分析法就是在解題時(shí)，充分利用自身?xiàng)l件的某些對(duì)稱性輔助解題的一種分析方法，初中階段主

要研究下面兩種類(lèi)型的對(duì)稱：

1.代數(shù)中的對(duì)稱式

如果把一個(gè)多項(xiàng)式的任意兩個(gè)字母互換后，所得的多項(xiàng)式不變就稱這個(gè)多項(xiàng)式為對(duì)稱式，對(duì)稱式的

本質(zhì)反應(yīng)的是多元多項(xiàng)式中字母地位相同，任何一個(gè)復(fù)雜的二元對(duì)稱式，都可以用最簡(jiǎn)單對(duì)稱多項(xiàng)式

ab，ab表示，一些對(duì)稱式的代數(shù)問(wèn)題，常用最簡(jiǎn)對(duì)稱式表示將問(wèn)題解決.

2.幾何圖形的對(duì)稱

幾何圖形的對(duì)稱指的是軸對(duì)稱和中心對(duì)稱，一些幾何問(wèn)題，如果我們作出圖形的對(duì)稱軸，或者作出

已知點(diǎn)關(guān)于某線（某點(diǎn)）的對(duì)稱點(diǎn)，構(gòu)造出軸對(duì)稱圖形、中心對(duì)稱圖形，那么就能將分散的條件集中起

來(lái)，容易找到解題途徑.

例題與求解

【例l】如圖，菱形ABCD的兩條對(duì)角線分別長(zhǎng)6和8，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M、N

分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，則PM+PN的最小值是.(荊門(mén)市中考試題)

解題思路：作M關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)M，連MN交AC于點(diǎn)P，則PM+PN的值最小.

【例2】已知a，b均為正數(shù)，且ab2，求W=a24b21的最小值.

（北京市競(jìng)賽試題）

解題思路：用代數(shù)的方法求W的最小值較繁，a2b2的幾何意義是以a，b為邊的直角三角形

的斜邊長(zhǎng)，構(gòu)造圖形，運(yùn)用對(duì)稱分析法求出W的最小值.

【例3】已知a1b2b1a21，求證：a2b21（四川省競(jìng)賽試題）

解題思路：解決根式問(wèn)題的基本思路是有理化，有理化的主要途徑是：乘方、配方、換元和引入有

理化因式，引入與已知等式地位相對(duì)相稱的有理化因式，本例可獲得簡(jiǎn)證．

【例4】如圖，凸四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于O，且AC⊥BD，已知OA＞OC，OB＞OD，

求證：BC＋AD＞AB＋CD.

（“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題）

解題思路：解題的關(guān)鍵是將有關(guān)線段集中到同一三角形中去，以便運(yùn)用三角形三邊關(guān)系定理，以

AC為對(duì)稱軸，將部分圖形翻折．

【例5】如圖，矩形ABCD中，AB＝20厘米，BC＝10厘米，若在AC、AB上各取一點(diǎn)M，N，使BM

＋MN的值最小，求這個(gè)最小值.（北京市競(jìng)賽試題）

解題思路：要使BM＋MN的值最小，應(yīng)該設(shè)法將折線BM＋MN拉直，不妨從作出B點(diǎn)關(guān)于AC的

對(duì)稱點(diǎn)入手.

能力訓(xùn)練

1.如圖，六邊形ABCDEF是軸對(duì)稱圖形，CF所在的直線是它的對(duì)稱軸.若∠AFC＋∠BCF＝1500，則

∠AFE＋∠BCD的大小是.(武漢市中考試題)

(第1題圖)（第2題圖）（第3題圖）

2.如圖，矩形紙片ABCD中，AB＝2，點(diǎn)E在BC上，且AE＝EC，若將紙片沿AE折疊，點(diǎn)B恰好落在

AC上，則AC的長(zhǎng)是.

(濟(jì)南市中考試題)

3.如圖，∠AOB＝450，P是∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，PO＝10，Q，P分別是OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，則△PQR周

長(zhǎng)最小值是.

6

4.比(65)大的最小整數(shù)是.（西安交通大學(xué)少年班入學(xué)試題）

5.如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3，E在BC上，且BE＝2，P在BD上，則PE＋PC的最小值為（）.

A．23B．13C．14D．15

6.觀察下列平面圖形，其中是軸對(duì)稱圖形的有().

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

(南京市中考試題)

7.如圖，一個(gè)牧童在小河南4英里處牧馬，河水向正東方流去，而他正位于他的小屋西8英里北7英里

處，他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家，他能夠完成這件事情所走的最短距離是（）.

A．(4185)英里B．16英里C．17英里D．18英里

（美國(guó)中學(xué)生競(jìng)賽試題）

(第5題圖)（第7題圖）（第8題圖）

8.如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為2，M為AB中點(diǎn)，P為BC上的點(diǎn)，設(shè)PA＋PM的最大值和最小值分別為

S和L，則S2L2等于（）

A．42B．43C．32D．33

9.一束光線經(jīng)三塊平面鏡反射，反射的路線如圖所示，圖中字母表示相應(yīng)的度數(shù)，已知c=600，求de

與x的值.（江蘇省競(jìng)賽試題）

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10.求代數(shù)式x4(12x)9的最小值.

（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）

11.在一平直河岸l同側(cè)有A，B兩個(gè)村莊，A，B到l的距離分別是3km和2km，ABakm(a1)．現(xiàn)

計(jì)劃在河岸l上建一抽水站P，用輸水管向兩個(gè)村莊供水．

方案設(shè)計(jì)

某班數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計(jì)了兩種鋪設(shè)管道方案：圖是方案一的示意圖，設(shè)該方案中管道長(zhǎng)度為，

1d1

且（其中于點(diǎn)）；圖是方案二的示意圖，設(shè)該方案中管道長(zhǎng)度為，且

d1PBBA(km)BPlP2d2

（其中點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，與交于點(diǎn)）．

d2PAPB(km)AAlABlP

AA

ABB

BK

lll

PCPCP

圖1

AA

圖2圖3

觀察計(jì)算

（）在方案一中，（用含的式子表示）；

1d1kma

（）在方案二中，組長(zhǎng)小宇為了計(jì)算的長(zhǎng)，作了如圖所示的輔助線，請(qǐng)你按小宇同學(xué)的思路計(jì)

2d213-3

算，（用含的式子表示）．

d2kma

探索歸納

（）①當(dāng)時(shí)，比較大?。海ㄌ睢埃尽?、“＝”或“＜”）；

1a4d1_______d2

②當(dāng)時(shí)，比較大?。海ㄌ睢埃尽薄ⅰ埃健被颉埃肌保?；

a6d1_______d2

（2）對(duì)a（當(dāng)a1時(shí)）的所有取值情況進(jìn)行分析，要使鋪設(shè)的管道長(zhǎng)度較短，應(yīng)選擇方案一還是方案

二？

(河北省中考試題)

12．如圖，已知平面直角坐標(biāo)系中，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（2，－3），B（4，－1）

（1）若P（x，0）是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PAB的周長(zhǎng)最短時(shí)，求x的值；

（2）若C（a，0），D（a3，0）是x軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)四邊形ABDC的周長(zhǎng)最短時(shí)，求a的值；

（3）設(shè)M，N分別為x軸和y軸上的動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)：是否存在這樣的點(diǎn)M（m，0）、N（0，n），使四邊

形ABMN的周長(zhǎng)最短？若存在，求出m，n的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

13.在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，將△ABD沿AB所在的直線折疊，使點(diǎn)D落在點(diǎn)E處；

將△ACD沿AC所在的直線折疊，使點(diǎn)D落在點(diǎn)F處，分別延長(zhǎng)EB、FC使其交于點(diǎn)M．

（1）判斷四邊形AEMF的形狀，并給予證明；

（2）若BD＝1，CD＝2，試求四邊形AEMF的面積．

(寧夏中考試題)

14.閱讀下列材料：

小貝遇到一個(gè)有趣的問(wèn)題：在矩形ABCD中，AD＝8cm，AB＝6cm，現(xiàn)有一動(dòng)點(diǎn)P按下列方式在矩

形內(nèi)運(yùn)動(dòng)：它從A點(diǎn)出發(fā)，沿著AB邊夾角為45的方向作直線運(yùn)動(dòng)，每次碰到矩形的一邊，就會(huì)改變

運(yùn)動(dòng)方向，沿著與這條邊夾角為45的方向作直線運(yùn)動(dòng)，并且它一直按照這種方式不