浙江省杭州市西湖區(qū)綠城育華學(xué)校2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題2

數(shù)學(xué)學(xué)科試題卷出卷人：馮葉審核人：何杭杰85分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.知集合，，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求出集合，即可求交集.【詳解】由可得，，所以，所以，又，所以，故選：C.2.已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（）A.1B.C.D.【答案】D【解析】【分析】求點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，結(jié)合三角函數(shù)定義求結(jié)論.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)的坐標(biāo)為，所以點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，所以.故選：D.3.命題：，的否定是（）A.，B.，第1頁(yè)/共14頁(yè)C.，D.，【答案】D【解析】【分析】利用全稱(chēng)量詞命題的否定是存在量詞命題直接判斷即可.【詳解】命題“，”全稱(chēng)量詞命題，其否定是存在量詞命題，所以命題“，”的否定是“，”.故選：D.4.，，，則下列正確的是（）AB.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的定義可得，根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可得，，即可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，，即，所?故選：B.5.（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用兩角和正弦和余弦公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式可化簡(jiǎn)三角函數(shù)式.【詳解】原式．故選：C.6.函數(shù)的大致圖象是（）第2頁(yè)/共14頁(yè)A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性及函數(shù)值的符號(hào)排除即可判斷；【詳解】因?yàn)?，即，所以，所以函?shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，又，所以函數(shù)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故排除；當(dāng)時(shí)，，即，因此，故排除A.故選：D.7.“”是“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件【答案】A【解析】在區(qū)間合充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，第3頁(yè)/共14頁(yè)根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得，即，若，則，但是，不一定成立，故“”是“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增”的充分不必要條件．故選：A8.對(duì)于函數(shù)與點(diǎn)是函數(shù)的一對(duì)“隱對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”.若函數(shù)的圖象存在“隱對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】轉(zhuǎn)化為方程的零點(diǎn)問(wèn)題，再結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】由隱對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的定義可知函數(shù)的圖象上存在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，設(shè)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，令，則，所以，所以，因?yàn)椋?，所以函?shù)的圖象存在“隱對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”等價(jià)于與在上有交點(diǎn)，即方程有零點(diǎn)，則，第4頁(yè)/共14頁(yè)又，當(dāng)且僅當(dāng)，即等號(hào)成立，所以.故選：.“隱對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”與在上有交點(diǎn)的問(wèn)題，從而求解.36分在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.9.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在區(qū)間上是減函數(shù)的是（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)給定的條件，逐一分析各選項(xiàng)中函數(shù)的奇偶性及在上的單調(diào)性作答.【詳解】對(duì)于A，函數(shù)的定義域?yàn)椋窃龊瘮?shù)，A不是；對(duì)于B，函數(shù)的定義域?yàn)?，是奇函?shù)，并且在上單調(diào)遞減，B是；對(duì)于C，函數(shù)的定義域?yàn)?，是奇函?shù)，并且在上單調(diào)遞減，C是；對(duì)于D，函數(shù)的定義域?yàn)?，是偶函?shù)，D不是.故選：BC10.下列說(shuō)法正確的是（）A.“”是“”的充分不必要條件B.若不等式的解集為，則C.當(dāng)時(shí)，的最小值是5第5頁(yè)/共14頁(yè)D.函數(shù)（，且）過(guò)定點(diǎn)【答案】BD【解析】ABCD的指數(shù)等于0即可判斷．A；所以“”是“”的既不充分也不必要條件，故A不正確；對(duì)于B，由題意可知，，2是的兩根，且，則，解得，，則，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，顯然等號(hào)不成立，故C不正確；對(duì)于D，令，則，所以，所以函數(shù)過(guò)定點(diǎn)，故D正確．故選：BD.已知函數(shù)，是（）A.B.C.D.的取值范圍為【答案】ACD【解析】【分析】作出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象可得的范圍，再由，即可求得的取值范圍?！驹斀狻扛鶕?jù)題干可畫(huà)出函數(shù)圖象，如下圖：第6頁(yè)/共14頁(yè)根據(jù)圖象可知，，根據(jù)得不出，所以選項(xiàng)A正確，B錯(cuò)誤；由于，所以，即，所以，又在單調(diào)遞增，因此，所以選項(xiàng)C正確；由于，所以，所以，又在上單調(diào)遞增，所以，所以選項(xiàng)D正確。故答案為：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分.12.已知實(shí)數(shù)，滿足，則的值為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】通過(guò)指對(duì)互化，結(jié)合對(duì)數(shù)換底公式完成計(jì)算.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，故答案為?13.函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)有意義求解即可.第7頁(yè)/共14頁(yè)【詳解】由，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：.14.若正實(shí)數(shù)滿足：則最小值是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)三元均值不等式求最值.【詳解】因?yàn)樗?，即時(shí)取等號(hào)）因此即即當(dāng)時(shí)，取最小值，，故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.計(jì)算：（1）.（2）若，求的值.【答案】（1）4（2）【解析】第8頁(yè)/共14頁(yè)1）根據(jù)對(duì)數(shù)恒等式及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可；（2）運(yùn)用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，在進(jìn)行齊次化即可求解.【小問(wèn)1詳解】【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以又因?yàn)樗?6.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值和最大值.【答案】（1）最小正周期為，單調(diào)遞增區(qū)間為（2）最小值為,最大值為【解析】1）根據(jù)三角函數(shù)周期公式求周期，根據(jù)余弦函數(shù)單調(diào)區(qū)間列不等式，可得結(jié)果；（2）先確定取值范圍，再根據(jù)余弦函數(shù)性質(zhì)求最值.【小問(wèn)1詳解】所以函數(shù)的最小正周期為，第9頁(yè)/共14頁(yè)由得即函數(shù)最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間為；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因?yàn)橐虼水?dāng)時(shí)，取最小值，為，當(dāng)時(shí)，取最大值，為.17.已知函數(shù)（其中ab為常量，且，，．（1）求函數(shù)的解析式．（2）若不等式在實(shí)數(shù)R上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】1）將兩個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式即可；（2）變換得到，設(shè)，計(jì)算函數(shù)的最大值即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)楹瘮?shù)過(guò)，，第10頁(yè)/共14頁(yè)則，，解得，，或，故；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，即，令，，則，所以，設(shè)，則，所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍.18.兩縣城和相距，現(xiàn)計(jì)劃在縣城外以為直徑的半圓?。ú缓?，兩點(diǎn)）上選擇一點(diǎn)建造垃圾處理站，其對(duì)城市的影響度與所選地點(diǎn)到城市的距離有關(guān)，垃圾處理廠對(duì)城的影響度與所選地點(diǎn)到城的距離的平方成反比，比例系數(shù)為；對(duì)城的影響度與所選地點(diǎn)到城的距離的平方成反比，比例系數(shù)為.對(duì)城和城的總影響度為城和城點(diǎn)到城市的距離為處的垃圾處理廠對(duì)城和城的總影響度為.統(tǒng)計(jì)調(diào)查表明：當(dāng)垃圾處理廠建在的中點(diǎn)時(shí)，對(duì)城和城的總影響度為.（1）將表示成的函數(shù)；（2）判斷弧上是否存在一點(diǎn)，使得建在此處的垃圾處理廠對(duì)城和城的總影響度最小？若存在，求出該點(diǎn)到城的距離；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】（1）（2）存在；出該點(diǎn)到城的距離為【解析】第11頁(yè)/共14頁(yè)1和城的總影響度為求出即可；（2）由（1）得，令，換元后由基本不等式求解即可；【小問(wèn)1詳解】由為直徑，得，所以，由已知可得，又當(dāng)垃圾處理廠建在的中點(diǎn)時(shí)，對(duì)城和城的總影響度為，即當(dāng)時(shí)，，代入上式可得，解得，所以.【小問(wèn)2詳解】存在，，令，則，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，所以，此時(shí).19.俄國(guó)數(shù)學(xué)家切比雪夫（1821—1894）是研究直線逼近函數(shù)的理論先驅(qū)．對(duì)定義在非空集合上的函數(shù)，以及函數(shù)，切比雪夫?qū)⒑瘮?shù)的最大值稱(chēng)為的“偏差”．（1）函數(shù)，求的“偏差”；第12頁(yè)/共14頁(yè)（2）函數(shù)，若的“偏差”為2，求的值；（3的“偏差”“偏差”的最小值．【答案】（1）3（2）（3）時(shí)，函數(shù)與的“偏差”取最小值.【解析】1）寫(xiě)出的解析式，結(jié)合，求出值域，可得偏差為3；（2）和分類(lèi)討論，由“偏差”值得到的值；（3與的“偏差”為出即可得.【小問(wèn)1詳解】（1），因?yàn)?，所以，則，所以函數(shù)與的“偏差”為.小問(wèn)2詳解】令，∵，∴是單調(diào)減函數(shù)，∴由題意，，，且.第13頁(yè)/共14頁(yè)當(dāng)，即時(shí)，，解得