8.6.3 課時(shí)2 面面垂直的性質(zhì)定理課件-高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊(cè)

8.6.3課時(shí)2面面垂直的性質(zhì)定理第八章立體幾何初步1.理解平面與平面垂直的性質(zhì)定理,并能用文字、符號(hào)和圖形語(yǔ)言描述定理.2.能應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)定理證明相關(guān)問題.3.理解“垂直”之間的相互轉(zhuǎn)化.1.二面角及其相關(guān)概念從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角．在二面角α-l-β的棱l上任取一點(diǎn)O，以點(diǎn)O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫做二面角的平面角．βαlOAB平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角θ的取值范圍是0°≤θ≤180°．2.兩個(gè)平面互相垂直的定義

一般地，兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直．平面α與β垂直，記作α⊥β．定理

如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直.圖形語(yǔ)言表示符號(hào)語(yǔ)言表示

a?α，a⊥β?α⊥β.這個(gè)定理說明，可以由直線與平面垂直證明平面與平面垂直.線面垂直線線垂直面面垂直3.兩個(gè)平面互相垂直的判定定理如果兩個(gè)平面互相垂直，根據(jù)已有的研究經(jīng)驗(yàn)，我們可以先研究一下其中一個(gè)平面中的一條直線與另一個(gè)平面具有什么位置關(guān)系？探究：如圖，設(shè)α⊥β,α∩β=a,則β內(nèi)任意一條直線b與a有什么位置關(guān)系？相應(yīng)地，b與α有什么位置關(guān)系？為什么？

αβbab與a平行或相交.當(dāng)b//a時(shí)，b//α;當(dāng)b與a相交時(shí)，b與α也相交.特別地，當(dāng)b⊥a

時(shí)，如圖，設(shè)b與a的交點(diǎn)為A，過點(diǎn)A在α內(nèi)作直線c⊥a,αβbacA則b，c所成的角就是二面角α-a-β的平面角.∵α⊥β，∴b⊥c.又∵b⊥a，a和c是α內(nèi)的兩條相交直線，∴b⊥α.平面與平面垂直的性質(zhì)定理定理

兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個(gè)平面的交線，那么這條直線與另一個(gè)平面垂直.圖形語(yǔ)言表示αβal符號(hào)語(yǔ)言表示

α⊥β，α∩β=l，a?β，a⊥l?a⊥α.這個(gè)定理說明，由平面與平面垂直可以得到直線與平面垂直.面面垂直線面垂直

這個(gè)性質(zhì)定理可以用于解決現(xiàn)實(shí)生活中的問題.例如，裝修房子時(shí)，要在墻壁上畫出與地面垂直的直線，只需在墻壁上畫出地面與墻壁的交線的垂線即可.⑴定理成立的條件有三個(gè)：①兩個(gè)平面互相垂直；②直線在其中一個(gè)平面內(nèi)；③直線與兩平面的交線垂直．⑵定理的實(shí)質(zhì)是由面面垂直得線面垂直，故可用來證明線面垂直；⑶已知面面垂直時(shí)，可以利用此定理轉(zhuǎn)化為線面垂直，再轉(zhuǎn)化為線線垂直．三個(gè)條件缺一不可直線與平面垂直平面與平面垂直判定性質(zhì)注

意定理:兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個(gè)平面的交線，那么這條直線與另一個(gè)平面垂直.

設(shè)平面α⊥平面β，點(diǎn)P在平面α內(nèi)，過點(diǎn)P作平面β的垂線a，則直線a與平面α具有什么位置關(guān)系？

我們知道，過一點(diǎn)只能作一條直線與已知平面垂直.因此，如果過一點(diǎn)有兩條直線與平面垂直，那么這兩天直線重合.

如圖，設(shè)α∩β＝c，過點(diǎn)P在平面α內(nèi)作直線b⊥c．由平面與平面垂直的性質(zhì)定理可知，b⊥β．因?yàn)檫^一點(diǎn)有且僅有一條直線與平面β垂直，所以直線a與直線b重合，因此a

?α．

如果兩個(gè)平面垂直，那么經(jīng)過第一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)垂直于第二個(gè)平面的直線在第一個(gè)平面內(nèi)．

對(duì)于兩個(gè)平面互相垂直的性質(zhì)，我們一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面的特殊位置關(guān)系.如果直線不在兩個(gè)平面內(nèi)，或者把直線換成平面，你又能得到哪些結(jié)論？

下面的例子就是其中的一些結(jié)果.【例1】如圖，已知平面

⊥平面β,直線a滿足a⊥β,

a

,判斷a與

的位置關(guān)系．解：∴b⊥β，在

內(nèi)作垂直于

與β交線的直線b，∵

⊥β，又a⊥β，∴a//

．∴a//b.ba

β又a

?

,即直線a與平面

平行．

如果兩個(gè)平面垂直，那么其中一個(gè)平面的垂線平行于另一個(gè)平面或在另一個(gè)平面內(nèi)．【例2】如圖，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC，求證：BC⊥平面PAB．分析：要證明BC⊥平面PAB，需證明BC垂直于平面PAB內(nèi)的兩條相交直線.

由已知條件易得BC⊥PA．再利用平面PAB⊥平面PBC，過點(diǎn)A作PB的垂線AE，由兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)可得BC⊥AE．PABC【例2】如圖，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC，求證：BC⊥平面PAB．證明：PABC如圖，過點(diǎn)A作AE⊥PB，垂足為E，∵平面PAB⊥平面PBC，平面PAB∩平面PBC=PB，∴AE⊥平面PBC，∵BC?平面PBC，∴AE⊥BC.∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC,又PA∩AE=A，∴BC⊥平面PAB.【例3】如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，EF⊥A1D,EF⊥AC，求證：EF//BD1．證明：連接A1C1，由于AC//A1C1，EF⊥AC，∴EF⊥A1C1.又EF⊥A1D，A1C1∩A1D＝A1，∴EF⊥平面A1C1D，①∴BB1⊥A1C1，∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1?平面A1B1C1D1，又∵四邊形A1B1C1D1為正方形，∴A1C1⊥B1D1，CDC1D1B1A1BAEF∵BB1∩B1D1=B1，∴A1C1⊥平面BB1D1D，而BD1?平面BB1D1D，∴A1C1⊥BD1，同理可證DC1⊥BD1，而A1C1∩DC1=C1，∴BD1⊥平面A1C1D，②由①②可得

EF//BD1．拓展：如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，EF⊥A1D,EF⊥AC.求EF的長(zhǎng)．解：連接A1C1，由于AC//A1C1，EF⊥AC，∴EF⊥A1C1.又EF⊥A1D，A1C1∩A1D＝A1，∴EF⊥平面A1C1D，

∴EF的長(zhǎng)等于AC到平面A1C1D的距離，又AC//A1C1，A1C1?平面A1C1D，而AC到平面A1C1D的距離等于三棱錐C-A1C1D的高，設(shè)高為h,CDC1D1B1A1BAEF

直線、平面之間的位置關(guān)系可以相互轉(zhuǎn)化：知識(shí)歸納1.兩個(gè)平面互相垂直的性質(zhì)定理圖形語(yǔ)言表示符號(hào)語(yǔ)言表示

定理

兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個(gè)平面的交線，那么這條直線與另一個(gè)平面垂直.α⊥β，α∩β=l，a?β，a⊥l?a⊥α.αβal2.證明線面垂直的兩種方法線線垂直→線面垂直；面面垂直→線面垂直

證明：如圖,設(shè)AC∩BD=G,連接EG,FG.又CF?平面ACEF，則EF=CG=CE.∴BD⊥平面ACEF，∴四邊形CEFG為菱形，∴BD⊥AC.

∴CF⊥EG.∵四邊形ABCD為正方形，又EF∥AC，又平面ACEF⊥平面ABCD,且平面ACEF∩平面ABCD=AC，∴CF⊥平面BDE.∴BD⊥CF.又BD∩EG=G,解：⑴∵四邊形ABCD是矩形，∴CD⊥平面AED.

∴CD⊥AD，又∵平面AED⊥平面ABCD，平面AED∩平面ABCD=AD，DECAB又∵EA?平面AED，∴CD⊥EA.⑵如圖