湖北省十一校2024-2025學(xué)年高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

第1頁(yè)/共1頁(yè)鄂南高中黃岡中學(xué)黃石二中荊州中學(xué)龍泉中學(xué)武漢二中孝感高中襄陽(yáng)四中襄陽(yáng)五中宜昌一中夷陵中學(xué)2025屆高三湖北省十一校第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）命題學(xué)校：襄陽(yáng)四中命題人：高江濤?曾曉燕審題學(xué)校：龍泉中學(xué)注意事項(xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)?考場(chǎng)號(hào)?座位號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫在試卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，將集合化簡(jiǎn)，再由交集的運(yùn)算，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)是上的減函數(shù)，所以由，得，則；因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)是上的增函數(shù)，所以由，得，則，由此，.故選：B.2.設(shè)復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），的共軛復(fù)數(shù)是，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用共軛復(fù)數(shù)的意義及復(fù)數(shù)除法求解.【詳解】由，得，所以.故選：C3.函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則的值為（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義，，代入求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則，故.故選：A.4.已知等差數(shù)列的公差，且成等比數(shù)列，則數(shù)列的前2025項(xiàng)和為（）A. B. C.505 D.1013【答案】D【解析】【分析】根據(jù)成等比數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，進(jìn)而得到，，進(jìn)而求和即可.【詳解】設(shè)首項(xiàng)為，因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，則，解得或，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)與成等比數(shù)列矛盾，故排除，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)令，而其前2025項(xiàng)和為，.故選：D5.已知向量滿足：，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先根據(jù)條件求，再代入投影向量公式，即可求解.【詳解】由題意可知：，因?yàn)?，即，可得，所以在上的投影向量?故選：B.6.已知函數(shù)的最小正周期為，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.將函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的函數(shù)圖象恰好關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱D.在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】D【解析】【分析】首先根據(jù)輔助角公式，化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，根據(jù)周期求，利用代入法判斷選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，且，所以，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，所以是函?shù)的一條對(duì)稱軸，不是函數(shù)的對(duì)稱中心.故B錯(cuò)誤；將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的函數(shù)，不是奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谶f增，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法則知在區(qū)間上單調(diào)遞增，故D正確.故選：D7.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體內(nèi)部，有8個(gè)以正方體頂點(diǎn)為球心且半徑相等的部分球體，有1個(gè)以正方體體心為球心的球體與均相切，則該9部分的體積和的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)幾何體的特征，再應(yīng)用二次函數(shù)值域結(jié)合球的體積公式計(jì)算求解.【詳解】設(shè)球體的半徑為半徑為，所以，即得，又，所以開口向下，對(duì)稱軸為，所以，該9部分的體積和為.故選：C.8.函數(shù)，若恒成立，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先化簡(jiǎn)結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性得出，再構(gòu)造，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得出函數(shù)單調(diào)性即可求解.【詳解】由題設(shè)在上恒成立，知，此時(shí)在上都單調(diào)遞增，所以只需在上零點(diǎn)相同，即，所以，令，則，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，所以，即的取值范圍是.故選：D二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分.9.下列命題正確的是（）A.在經(jīng)驗(yàn)回歸方程中，當(dāng)解釋變量每增加1時(shí)，響應(yīng)變量平均增加2.3B若，則事件相互獨(dú)立與互斥不可能同時(shí)成立C.在對(duì)高三某班學(xué)生物理成績(jī)的比例分配的分層隨機(jī)抽樣調(diào)查中，抽取男生12人，其平均數(shù)為75，方差為；抽取女生8人，其平均數(shù)為70，方差為23，則這20名學(xué)生物理成績(jī)的方差為33D.對(duì)于獨(dú)立性檢驗(yàn)，隨機(jī)變量的觀測(cè)值越小，判定“兩變量有關(guān)系”犯錯(cuò)誤的概率越大【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)經(jīng)驗(yàn)回歸方程中參數(shù)的意義，即可判斷A，根據(jù)獨(dú)立事件與弧長(zhǎng)事件的概率公式，即可判斷B，根據(jù)分層抽樣整體方差公式，即可判斷C，根據(jù)的意義，即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以?dāng)解釋變量x每增加1時(shí)，響應(yīng)變量y平均減少0.85，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，若互斥，則.若A，相互獨(dú)立，則（因?yàn)?所以事件A，B相互獨(dú)立與A，B互斥不可能同時(shí)成立，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C：這20名同學(xué)物理成績(jī)的平均數(shù)為：，所以這20名同學(xué)物理成績(jī)的方差為：，故C正確；D項(xiàng)，對(duì)于獨(dú)立性檢驗(yàn)，隨機(jī)變量的觀測(cè)值越小，判定“兩變量有關(guān)系”犯錯(cuò)誤的概率越大，故D項(xiàng)正確.故選：BCD10.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，以為直徑的圓與軸正半軸交于點(diǎn)，過(guò)且垂直于軸的直線與的某條漸近線交于點(diǎn)，且與軸垂直，則下列式子中與的離心率相等的有（）A B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】由條件分別寫出線段，，.由射影定理得到，即可判斷A選項(xiàng)；由及線段長(zhǎng)即可求出斜率，即可判斷D選項(xiàng)；由勾股定理化簡(jiǎn)及線段長(zhǎng)化簡(jiǎn)后即可判斷B選項(xiàng)；代入線段長(zhǎng)化簡(jiǎn)即可判斷D選項(xiàng).【詳解】由題可知，，∵軸，且交曲線漸近線與點(diǎn)，∴，∵以為直徑的圓與y軸正半軸交于點(diǎn)，且軸，∴，又，由射影定理得，所以，A錯(cuò)誤；由得，故，即，解得，D正確.又，B正確，又，C正確.故選：BCD11.對(duì)于任意兩個(gè)正數(shù)，當(dāng)時(shí)，記曲線與直線，直線以及軸圍成的曲邊梯形的面積為，當(dāng)時(shí)，約定，并約定.德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨（Leibniz）最早發(fā)現(xiàn).關(guān)于，下列說(shuō)法正確的是（）A.B.C.D.對(duì)正數(shù)，有【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)已知條件及新定義分別計(jì)算判斷A，B，再結(jié)合圖形及面積判斷B，D.【詳解】由題意，所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，也成立；綜上所述：.對(duì)于選項(xiàng)A：，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：如圖，因?yàn)?，所以即，故B錯(cuò)誤.對(duì)于選項(xiàng)C，取，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)殛幱安糠值拿娣e小于上底長(zhǎng)為，下底長(zhǎng)為，高為的直角梯形的面積，所以，又陰影部分面積大于長(zhǎng)為，寬為的矩形的面積，所以，綜上故有對(duì)正數(shù)有，故D正確.故選：AD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分，其中第14題第一空2分，第二空3分.12.若，則__________.【答案】1【解析】【分析】根據(jù)二倍角公式，以及兩角和差的正余弦公式，化簡(jiǎn)為的式子，再求值.【詳解】由題意可得：..故答案為：113.若，則__________.【答案】【解析】【分析】由即可求解；【詳解】由題意，，由通項(xiàng)公式可知：.故答案為：14.已知點(diǎn)在拋物線上，為直線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的2條切線，切點(diǎn)分別為，直線分別交軸于點(diǎn)，則的最小值為__________，外接圓半徑的最小值為__________.【答案】①.②.【解析】【分析】首先求拋物線方程，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，并求點(diǎn)的坐標(biāo)，并聯(lián)立方程求點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn)，以及弦長(zhǎng)，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值；根據(jù)坐標(biāo)運(yùn)算得到，，確定四點(diǎn)共圓，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，即可求解.【詳解】由題意知，，所以，所以拋物線，設(shè)，因?yàn)?，則，故，直線，直線，令，有，由，可得，故，所以，即.，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為2；由題意可知C的焦點(diǎn)，故，，同理，故，所以四點(diǎn)共圓，則的外接圓的直徑為，即為到直線的距離，此距離為，即的外接圓的半徑的最小值為.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為的面積為.已知①；②，從這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，回答下列問(wèn)題.（1）求角；（2）若，求周長(zhǎng)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）選①，由正弦定理及兩角和的正弦公式化解求解即可；選②，根據(jù)平面向量的數(shù)量積的定義及三角形面積公式求解即可；（2）由余弦定理及基本不等式求解即可【小問(wèn)1詳解】選①，，由正弦定理可得，，，又.選②，由可得：，故有，又.【小問(wèn)2詳解】由余弦定理得.，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)又有，.16.如圖，在四棱錐中，，底面是邊長(zhǎng)為的菱形，.（1）證明：平面平面；（2）若平面與平面所成角的正切值為2，點(diǎn)滿足，求直線與平面所成角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）連接交于點(diǎn)，連接，易得，進(jìn)而可得線面垂直，然后根據(jù)面面垂直判定定理即得；（2）建系，求得平面法向量及直線方向向量，代入夾角公式即可.【小問(wèn)1詳解】連接交于點(diǎn)，連接，因?yàn)槭橇庑?，所以，又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，，所以，又面，且，所以平面，又平面，所以平面平面；【小問(wèn)2詳解】過(guò)作交于點(diǎn)，面面，面面面，所以面，因?yàn)槊?，所以面，又面，所以，所以為的交點(diǎn)，為等邊三角形，所以H為的重心，設(shè)DH與AB交點(diǎn)為M，連接，則為二面角的平面角，因?yàn)?，在中，解得，因?yàn)?，所以，所以平面，以為原點(diǎn)，所在直線為軸建立如圖坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，可得：即，又，設(shè)平面和直線所成的角為，則，所以.17.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）若不等式恒成立，求整數(shù)的最大值.【答案】（1）；（2）增區(qū)間，減區(qū)間；（3）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)確定切線斜率即可求解；（2）求導(dǎo)，由，可求得單調(diào)區(qū)間；（3）構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，確定函數(shù)單調(diào)性，求得最值即可求解；【小問(wèn)1詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，則曲線在點(diǎn)處的切線為，即.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，時(shí)，由，得，令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上所述，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.【小問(wèn)3詳解】依題知，恒成立，即恒成立，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則恒成立，整理得.設(shè)，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，又，且故整數(shù)的最大值為.18.某學(xué)校數(shù)學(xué)小組建立了如下的數(shù)學(xué)模型：將一個(gè)小盒里放入6個(gè)小球，其中4個(gè)黑球，2個(gè)紅球.模型一為：若取出黑球，則放回小盒中，不作任何改變；若取出紅球，則放回小盒并再往小盒里加入2個(gè)紅球；模型二為：若取出黑球，則放回小盒中，不作任何改變；若取出紅球，則用黑球替換該紅球重新放回小盒中.（1）分別計(jì)算在兩種模型下，抽兩次球，第二次取到的球是紅球的概率；（2）在模型二的前提下：①求在第次抽球時(shí)，抽到的球恰好是第二個(gè)紅球的概率（結(jié)果用表示）.②現(xiàn)規(guī)定當(dāng)兩個(gè)紅球都被抽出來(lái)時(shí)停止抽球，且最多抽球10次，第10次抽球結(jié)束后無(wú)論盒中是否還有紅球均停止抽球，記抽球的次數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）；（2）①；②【解析】【分析】（1）分為取到“黑紅”和“紅紅”兩種情況，分別對(duì)兩種模型第二次取到的球是紅球的概率進(jìn)行計(jì)算即可；（2）①先算出第次是第一次取到紅球，第次是第二次取到紅球的概率為，則第次恰好抽到第二個(gè)紅球的概率為中從到取值累加求和；②利用數(shù)學(xué)期望的定義和①中的概率公式可得到的表達(dá)式，再利用錯(cuò)位相減法計(jì)算得出期望值.【詳解】（1）記在模型一下，第二次取到紅球的概率為，則分為取到“黑紅”和“紅紅”兩種情況，則；記在模型二下，取到紅球的概率為，同樣分為取到“黑紅”和“紅紅”兩種情況，則；（2）①設(shè)第次是第一次取到紅球，第次是第二次取到紅球的概率為，則，則第次恰好抽到第二個(gè)紅球的概率為中從到取值累加求和，即，利用等比數(shù)列求和公式即可得；②由題可知，的取值依次為，當(dāng)時(shí)，，由數(shù)學(xué)期望的定義和①中的概率公式可知，，設(shè)，由錯(cuò)位相減法可得，所以.19.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯在他的代表作《圓錐曲線》一書中指出：平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)的距離之比是一個(gè)常數(shù)，那么動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓，且圓心在直線上，我們把由此產(chǎn)生的圓叫做阿波羅尼斯圓.已知阿波羅尼斯圓的兩個(gè)定點(diǎn)分別為橢圓的右焦點(diǎn)與右頂點(diǎn)，且橢圓的離心率為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖，過(guò)右焦點(diǎn)斜率為的直線與橢圓相交于（點(diǎn)在軸上方），點(diǎn)是橢圓上異于的兩點(diǎn)，平分平分.①求的取值范圍；②若外接圓的周長(zhǎng)為，求直線的方程.【答案】（1）（2）①；②.【解析】【分析】（1）依據(jù)阿波羅尼斯圓的定義，取圓上的特殊點(diǎn)，計(jì)算得的值；（