新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題06 導(dǎo)數(shù) 解答題 鞏固練習(xí)二（教師版）

專題06導(dǎo)數(shù)解答題鞏固練習(xí)二1．（2023秋·山東青島·高三山東省青島第五十八中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)討論的單調(diào)性.【答案】(1)；(2)答案見解析【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，所以由于，，所以切線為，即.（2）因?yàn)?，所?當(dāng)時(shí)，.所以，在區(qū)間上，；在區(qū)間上，.故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.當(dāng)時(shí)，由，得，所以，在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，.故的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為.當(dāng)時(shí)，，故的單調(diào)遞增區(qū)間為.當(dāng)時(shí)，由，得，.所以在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，.故的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為.綜上所述：當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是.2．（2023·浙江杭州·校考模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)，.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，求滿足條件的最小正整數(shù)的值.【答案】(1)答案詳見解析；(2)【解析】（1）的定義域是，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減；在區(qū)間上單調(diào)遞增.（2），，依題意，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減；在區(qū)間上，單調(diào)遞增.所以在時(shí)取得極小值也即是最小值.要使函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，則首先要滿足，時(shí)，，不符合.時(shí)，，不符合.時(shí)，，，所以，此時(shí)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，，滿足函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，所以最小正整數(shù)的值為.3．（2023·海南?？凇まr(nóng)墾中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性；(2)設(shè)，證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)．【解析】（1）根據(jù)題意得，，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，得；令，得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）當(dāng)時(shí)，，則，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故的最小值為，又，；，，故．，設(shè)，，則，，則，由，得．因此，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．由于，故，又，由零點(diǎn)存在定理，存在，使得，所以有兩個(gè)零點(diǎn)和，即方程有兩個(gè)根和．的圖象如下，

當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，故方程有一個(gè)根；當(dāng)時(shí)，其中，因?yàn)?，故由圖角可知，有兩個(gè)不同的根，，且．綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)．4．（2023·河北保定·河北省唐縣第一中學(xué)?？级＃┮阎瘮?shù)，其中常數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù)．(1)若，求的最小值；(2)若函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的值．【答案】(1)(2)【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，則，，記，則，①當(dāng)時(shí)，，，可得，可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，，，可知函數(shù)單調(diào)遞增，又由，可知當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，由①②知函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，故有；（2）因?yàn)楹瘮?shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)，且，0是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，又，不妨設(shè)，函數(shù)定義域?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，，又，，所以在恒成立，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，當(dāng)時(shí)，可得，且時(shí)，，則存在，使得，此時(shí)在上，有，在上，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，，而時(shí)，，故在上存在一個(gè)零點(diǎn)，則此時(shí)函數(shù)至少存在兩個(gè)零點(diǎn)，又因?yàn)?是函數(shù)的唯一零點(diǎn)，故不符合題意；當(dāng)時(shí)，可得，又，所以在區(qū)間上存在一點(diǎn)，使得，故當(dāng)在上，有，在上，有，故在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，，而當(dāng)時(shí)，，故此時(shí)函數(shù)在上至少存在一個(gè)零點(diǎn)，又因?yàn)?是函數(shù)的唯一零點(diǎn)，故不符合題意；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，由（1）知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，最小值，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，符合題意.綜上，滿足條件的值為.5．（2023·四川成都·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，.(1)若函數(shù)在處的切線的斜率為，求實(shí)數(shù)a的值（e是自然對數(shù)的底數(shù)）；(2)若函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】（1）因?yàn)?，所以，又，所以，所以，即，令，則，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，所以，所以，即.（2）因?yàn)楹瘮?shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，所以有且僅有兩個(gè)大于0的實(shí)數(shù)根，又，則，即，令，則，由得，由得，由得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，，所以，則，即，令，則，由