中考數(shù)學(xué)難點突破與訓(xùn)練：全等三角形中的半角模型（含答案及解析）

專題02全等三角形中的半角模型

【模型展示】

特點

過正方形ABCD頂角頂點（設(shè)頂角為A）,引兩條射線且它們的夾角為手；這兩條射線與

過底角頂點的相關(guān)直線交于兩點E、F,則BE,EF,FC之間必存在固定關(guān)系。這種關(guān)系僅與兩條

相關(guān)直線及頂角A相關(guān).

【模型證明】

以點A為中心，把AADF（順時針或逆時針）旋轉(zhuǎn)角A度，至AABF;

解決方法

1、AAMN全等于AAMN,MN=MN';

2、△AEF全等于△AEF',EF=EF'7BE+EF=EF;

結(jié)論3、MN-^BM2+DN2-,

4、△CEF的周長等于正方形ABCD的一半；

5、點A到EF的距離等于正方形的邊長（AB）。

應(yīng)用環(huán)境1：頂角為特殊角的等腰三角形，如頂角為30。、45。、60。、75?；蛩鼈兊难a角、90°;

2:正方形、菱形等也能產(chǎn)生等腰三角形；

3:過底角頂點的兩條相關(guān)直線：底邊、底角兩條平分線、腰上的兩高、底角的鄰補角的兩條角

平分線，底角的鄰余角另外兩邊等；正方形或棱形的另外兩邊；

4:此等腰三角形的相關(guān)弦.

【模型拓展】

2

證明：如圖4中，將AN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。，N點落在N'處，連接AN'、BN'、MN\

ZN,AM=90o-ZEAF=90°-45o=45°=ZMAN,

且AM=AM,AN=AN',

AMAN5AMAN(SAS),

.,.MN=MN',

又/ADN=45°=NABN',ZABD=45°,

.?./MBN'=NABD+NABN'=45°+45°=90°,

在RtAMBN'中，MN，2=BM2+BN，2,

即MN2=BM2+BN，2=

結(jié)論③：圖1、2中EA平分NBEF,FA平分NDFE。

證明過程見證明①中時4FAE^AF5AE即可。

結(jié)論④：圖1、2中S^EF=S—BE+O

證明：如圖5中，過A點作AH_LEF于H點，由結(jié)論③可知：ZAEH=ZAEB,

且NAHE=NABE=90。，AE=AE,△AEB△AEH(AAS),

；.AH=AB=AD,進(jìn)而可以證明△AHF^AADF(AAS),

,?S—EF=SMHE+S^AHF=SAABE+SMDF?

【題型演練】

3

一、單選題

1.如圖，四邊形A3C￡>內(nèi)接于。O,AB=AD,ZBCD=120°,E、/分另1J為2C、C￡>上一點，/EAF=30°,

EF=3,DF=1.則BE的長為（）

C.3D.4

2.如圖，點M、N分別是正方形ABC。的邊BC、CD上的兩個動點，在運動過程中保持NAMN=45。，連

接EN、相交于點。，以下結(jié)論：①MN=BM+DN；②8爐+。產(chǎn)=石產(chǎn)；③BC2=BF,DE；?OM=72OF

)

A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④

二、填空題

3.如圖，在RSA8C和RtABCD中，ZBAC=ZBDC=90°,BC=4,AB=AC,ZCBD=30°,M,N分別

在BD,CD±,/MAN=45°,則AOMN的周長為.

4.如圖，在邊長為6的正方形ABCD內(nèi)作NE4F=45。，AE交BC于點E,AF交。于點尸，連接￡F,將

△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。得到AABG,若BE=2,則所的長為.

4

D

5.如圖，正方形ABC。的邊長為6,點E,尸分別在邊AB,8c上，若歹是BC的中點，且/即尸=45。,

則DE的長為

三、解答題

6.正方形A8CD的邊長為3,E、P分別是AB、8c邊上的點,且/即尸=45。.將4ZME繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)90°,

得到△DCM.

(1)求證：EF=FM

(2)當(dāng)AE=1時，求EP的長.

7.已知，如圖所示，正方形A3CD中，E,F分別在邊2C,8上，且NE4F=45。，AE,”分別交

于H,G,連EF,求證:

①DF+BE=EF?DG2+BH2=HG2.

5

8.如圖，在正方形ABCD中，E、F是對角線BD上兩點，將尸繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。后，得到AABM,

連接EM,AE,且使得NMAE=45。.

(1)求證：ME=EF；(2)求證：EF2=BE2+DF2.

9.已知：邊長為4的正方形ABC。，/瓦IF的兩邊分別與射線CB、。。相交于點￡、F,且NEAP=45。,

連接￡咒求證：EF^BE+DF.

圖1圖2圖3

思路分析：

⑴如圖1,?.?正方形ABC。中，AB=AD,ZBAD=ZB=ZADC=9Q°,

.?.把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。至△ADE,則RD、E在一條直線上，

/EAF=度，……

根據(jù)定理，可證：

；.EF=BE+DF.

類比探究：

(2)如圖2,當(dāng)點E在線段C8的延長線上，探究EF、BE、。尸之間存在的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程；

拓展應(yīng)用：

(3)如圖3,在AA8C中，AB=AC,D、E在BC上，ZBAC=2ZDAE.若SAABC=14,SAADE=6,求線

段3。、DE、EC圍成的三角形的面積.

10.如圖1,在菱形ABCD中，AC=2,BD=2百，AC,8。相交于點。.

(1)求邊4B的長；

(2)求/BAC的度數(shù)；

6

(3)如圖2,將一個足夠大的直角三角板60。角的頂點放在菱形A8C￡＞的頂點A處，繞點A左右旋轉(zhuǎn)，其中三

角板60。角的兩邊分別與邊2C,相交于點E,F,連接E?判斷△A所是哪一種特殊三角形，并說明理

由.

11.(1)如圖1,在正方形ABC。中，￡是4B上一點，G是上一點，ZECG=45°,求證EG=BE+GD

圖1圖2

(2)請用(1)的經(jīng)驗和知識完成此題：如圖2,在四邊形48CD中，AG//BC(8SAG),ZB=90°,AB=BC=12,

E是43上一點，且NECG=45。，BE=4,求EG的長？

12.如圖，點E是正方形A8C。的邊BC上一點，連接OE,將。E繞著點E逆時針旋轉(zhuǎn)90。，得到EG,過

點G作GF_LCB,垂足為RGHA.AB,垂足為“，連接。G,交4B于/.

(1)求證：AGEF—EDC

(2)求證：四邊形是正方形；

(3)求證：ED平分/CEI

13.學(xué)完旋轉(zhuǎn)這一章，老師給同學(xué)們出了這樣一道題：

“如圖1,在正方形A8CZ)中，ZEAF=45°,求證：EF=BE+DF.,,

小明同學(xué)的思路：\?四邊形A8C。是正方形，：.AB^AD,ZB=ZADC^90°.

7

把4ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)到AADE的位置,然后證明，從而可得EF=￡T.

E'F=E'D+DF=BE+DF,從而使問題得證.

圖1圖2圖3圖4

(1)【探究】請你參考小明的解題思路解決下面問題:

如圖2,在四邊形ABC。中，AB=AD,/8=/。=90。,ZEAF=^ZBAD,直接寫出EF,BE,。尸之間的

數(shù)量關(guān)系.

(2)【應(yīng)用】如圖3,在四邊形ABC。中，AB=AD,ZB+ZD=180°,NEAF=；NBAD,求證：EF=BE+

DF.

(3)【知識遷移】如圖4,四邊形A8PC是。O的內(nèi)接四邊形，8c是直徑，AB=AC,請直接寫出EB+PC與

A尸的關(guān)系.

8

專題02全等三角形中的半角模型

【模型展示】

特點

過正方形ABCD頂角頂點（設(shè)頂角為A）,引兩條射線且它們的夾角為手；這兩條射線與

過底角頂點的相關(guān)直線交于兩點E、F,則BE,EF,FC之間必存在固定關(guān)系。這種關(guān)系僅與兩條

相關(guān)直線及頂角A相關(guān).

【模型證明】

以點A為中心，把AADF（順時針或逆時針）旋轉(zhuǎn)角A度，至AABF;

解決方法

1、AAMN全等于AAMN,MN=MN';

2、△AEF全等于△AEF',EF=EF'7BE+EF=EF;

結(jié)論3、MN-^BM2+DN2-,

4、△CEF的周長等于正方形ABCD的一半；

5、點A到EF的距離等于正方形的邊長（AB）。

應(yīng)用環(huán)境1：頂角為特殊角的等腰三角形，如頂角為30。、45。、60。、75。或它們的補角、90°;

9

2:正方形、菱形等也能產(chǎn)生等腰三角形；

3:過底角頂點的兩條相關(guān)直線：底邊、底角兩條平分線、腰上的兩高、底角的鄰補角的兩條角

平分線，底角的鄰余角另外兩邊等；正方形或棱形的另外兩邊；

4:此等腰三角形的相關(guān)弦.

【模型拓展】

10

圖4

證明：如圖4中，將AN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。，N點落在N'處，連接AN'、BN'、MN\

ZN,AM=90o-ZEAF=90°-45o=45°=ZMAN,

且AM=AM,AN=AN',

AMAN5AMAN(SAS),

.,.MN=MN',

又/ADN=45°=NABN',ZABD=45°,

.?./MBN'=NABD+NABN'=45°+45°=90°,

在RtAMBN'中，MN，2=BM2+BN，2,

即MN2=BM2+BN，2=

結(jié)論③：圖1、2中EA平分NBEF,FA平分NDFE。

證明過程見證明①中時4FAE^AF5AE即可。

結(jié)論④：圖1、2中=S故BE+S@DF°

圖5

證明：如圖5中，過A點作AH_LEF于H點，由結(jié)論③可知：ZAEH=ZAEB,

且NAHE=NABE=90°,AE=AE,AAEBAAEH(AAS),

；.AH=AB=AD,進(jìn)而可以"i正明△AHF^AADF(AAS),

SAAEF=SMHE+^AAHF=^AABE+MDF?

【題型演練】

11

一、單選題

1.如圖，四邊形A3C￡>內(nèi)接于。O,AB=AD,ZBCD=120°,E、/分另1J為2C、C￡>上一點，/EAF=30°,

EF=3,DF=\.則BE的長為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】延長CB到X,使BH=DF=1,連接AH,則可證得△AB8絲從而ZBAH=ZDAF,

易證AAHE絲△ABE,可得HE=EF=3,則可求得BE的長.

【詳解】延長CB到H,使BH=DF=1,連接AH,如圖

四邊形ABCD內(nèi)接于<3。

AZABC+ZADC=180°

VZABH+ZABC=180°

ZABH=ZADF

在△ABH和△AOP中

AB=AD

<ZABH=ZADF

BH=DF

：.AABH沿AADF

：.AH=AF,ZBAH=ZDAF

VZJ3AD+ZBCD=18O°,ZBCD=U0°

：.ZBAD=1SO°-ZBCD=6Q°

12

VZEAF=30°

ZBAE+ZDAF=ABAD-ZEAF=3Q

：.ZEAH=ZBAE+ZBAH=30°

在^AHE和八AFE中

AH=AD

，ZEAH=ZEAF

AE=AE

：.AAHE^AAFE

:.HE=EF=3

：.BE=HE-BH=3-1=2

故選：B

【點睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，構(gòu)造輔助線得到全等三角形的問題

的關(guān)鍵與難點.

2.如圖，點〃、N分別是正方形ABC。的邊8C、CD上的兩個動點，在運動過程中保持/MAN=45。，連

接EN、相交于點。，以下結(jié)論：①A/N=BM+DN；②8爐+。尸2=￡/；③BC?=BF?DE；?0M=72OF

A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④

【答案】A

【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BM=DM',ZBAM=ZDAMt,ZMAAf=90°,ZABM=ZADM=90°,

由“SAS”可證△AMNg/XAMW,可得MN=NM，,可得MN=BM+DN,故①正確；由“SAS”可證△AEF^：/\AED',

可得EF=DE,由勾股定理可得^^+刀尸二石尸；故②正確；通過證明△屈，可得匹=42,可證

ABBF

BC2=DE?BF,故③正確;通過證明點A,點B,點M,點尸四點共圓，NABM=NAFM=90。，ZAMF^ZABF=45°,

NBAM=/BFM,可證MO=&EO,由/8AMW/D4N,可得0E力OF,故④錯誤，即可求解.

【詳解】解：將4繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得到△ADM',將4AQ尸繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到△ABD',

：.AM=AM,BM=DM,ZBAM=ZDAM',ZMAM=90°,ZABM=ZADM'=90°,

13

???ZAZ)Af+ZA￡>C=180°,

???點AT在直線CD上，

,/ZMAN=45°f

：.ZDAN+ZMAB=45°=ZDAN+ZDAM'=ZM'ANf

：.ZMrAN=ZMAN=45°,

又?：AN=AN,AM=ANff

:?AAMN沿AAM'N(SAS),

:?MN=NM;

：.M，N=M，D+DN=BM+DN,

:,MN=BM+DN；故①正確；

???將△AO尸繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到△ABD\

：.AF=AD\DF=D'B,ZADF=ZABD'=45O,ZDAF=ZBAD\

：.ZD'BE=90°,

9：ZMAN=45°,

：.ZBAE+ZDAF=45°=ZBAD'+ZBAE=ZD'AE,

：.ZD,AE=ZEAF=45°,

又,；AE=AE,AF=AD\

???△AEF絲△AE?！?SAS),

；?EF=D，E,

VZ)'E2=BE2+Z)'B2,

：.BE2+DF2=EF2；故②正確；

ZBAF=ZBAE+ZEAF=ZBAE+45°,ZAEF=ZBAE+ZABE=45°+ZBAE,

：.ZBAF=ZAEF,

又ZABF=ZADE=45°,

JXDAEsXBFA,

.DEAD

??商一正’

又?：AB=AD=BC,

；?BC2=DE?BF,故③正確；

,?ZFBM=ZFAM=45°,

???點A,點'點M,點尸四點共圓，

14

ZABM=ZAFM=90°,ZAMF=ZABF=45°,ZBAM=ZBFM,

同理可求/AEN=90。，ZDAN=ZDEN,

：.ZEOM=45°=ZEMO,

：.EO=EM,

：.MO=42EO,

ZBAM^ZDAN,

：.NBFM手/DEN,

J.EO+FO,

：.0M豐0FO,故④錯誤，

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等

知識，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

3.如圖，在R3ABC和RtABC。中，ZBAC=ZBDC=90°,BC=4,AB=AC,ZCBD=30°,M,N分別

在BD,CD±,ZMAN=45°,則△OMN的周長為

【答案】26+2

【分析】將△ACN繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得至1必ABE,由旋轉(zhuǎn)得出NNAE=90。，AN=AE,ZABE=ZACD,

15

NEAB=NCAN,求出NEAM=NMAN,根據(jù)SAS推出△AEM2△ANM,根據(jù)全等得出MN=ME,求出

MN=CN+BM,解直角三角形求出DC,即可求出△DMN的周長=BD+DC,代入求出答案即可.

【詳解】將△ACN繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到△A3E,如圖：

由旋轉(zhuǎn)得：ZNAE=90°,AN=AE,ZABE=ZACD./EAB=/CAN,

???N8AC=NO=90。，

NABO+NACO=360。一90°-90°=180°,

???ZABD+ZABE=180°,

：.E,B,M三點共線,

???NMAN=45。，ZBAC=9Q°,

：.ZEAM^ZEAB^-ZBAM=ZCAN+ZBAM=ZBAC-ZMAN=90°-45°=45°,

:?/EAM=/MAN,

在△AEM和△視“中，

AE=AN

</EAM=/NAM,

AM=AM

：.(SAS),

:.MN=ME,

:,MN=CN+BM,

???在RSBCD中，ZBDC=90°,ZCBD=30°,3C=4,

：.CD=^BC=2,BD=JBC，-CD=4^^=25

ADMN的周長為DM+DN+MN=DM+DN+BM+CN=BD+DC=26+2,

故答案為：26+2.

【點睛】本題考查直角三角形、全等三角形的性質(zhì)和判定、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的應(yīng)用，能正確作出輔助線是解此

題的關(guān)鍵.

4.如圖，在邊長為6的正方形ABCD內(nèi)作NE4F=45。，AE交BC于點E,AF交。于點F,連接￡F,將

16

AADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。得到AABG,若BE=2,貝U的長為

【答案】5

【分析】由題意易得3G=￡)￡AG=AF,NG4F=90。，則有NG4E=NE4E=45。，然后可證AGAE/AE4E,

則有GE=EF,設(shè)GB=DF=x,則有CF=6-x,CE=4,/=x+2,進(jìn)而根據(jù)勾股定理可求解.

【詳解】解：???四邊形ABCD是正方形，且邊長為6,

CD=BC=6,ZC=ZABC=ZD=90°,

AAL>F繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。得到AABG,

：.BG=DF,AG=AF,ZGAF=ZABC=ND=90°,

...點G、B、E三點共線，

ZEAF=45°,

：.ZGAE=ZFAE=45°,

"：AE=AE,

：.^GAE^AFAE,

GE=EF,

設(shè)G3=Db=x,貝！|有CF=6—尤,CE=4,Eb=x+2,

在Rt&ECF中，由勾股定理可得EC2+CF2=EF2,

即16+(6-尤J=(x+2)’，

解得：x—3,

：.EF=5；

故答案為5.

【點睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及勾

股定理是解題的關(guān)鍵.

5.如圖，正方形的邊長為6,點E,尸分別在邊AB,上，若尸是8C的中點，且/即P=45。，

則DE的長為.

17

D

E

B

【答案】2M

【分析】延長8A到點G,使AG=CE,連接。G,EF,利用SAS證明△尸,得NCOb=/GZM,

DG=DF,再證明△(SAS),得GE=EF,設(shè)AE=x,則2￡=6-x,EF=x+3,再利用勾股定理解

決問題.

【詳解】解：延長BA到點G,使AG=CF,連接。G,EF,

"：AD=CD,ZDAG=ZDCF,

：.△AQG絲△CDF(SAS),

:./CDF=NGDA,DG=DF,

；/EDF=45°,

ZEDG=ZADE+ZADG=ZADE+ZCDF=A5°,

,:DE=DE,

.MGDE咨4FDE(SAS),

：.GE=EF,

：產(chǎn)是BC的中點,

：.AG=CF=BF=3,

設(shè)AE=尤，貝！iBEnG-x,EF=x+3,

由勾股定理得，(6-x)2+32=(x+3)2,

解得x=2,

18

：.AE=2,

DE=4AD2+AE2=V62+22=2A/10，

故答案為：2M.

【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，熟練掌握半角模型

的處理策略是解題的關(guān)鍵.

三、解答題

6.正方形ABCD的邊長為3,E、F分別是AB,8c邊上的點，且/即尸=45。.將4D4E繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°,

得到△DCM.

(1)求證：EF=FM

(2)當(dāng)AE=1時，求EF的長.

A_D

bFCM

【答案】⑴見解析；(2)

【分析】(1)由折疊可得為直角，可得出尸=90。，由NEL甲=45。，得到/A/DF

為45。，可得出再由。尸=。尸，利用SAS可得出三角形。與三角形用全等，由全等三

角形的對應(yīng)邊相等可得出EF=MF；

(2)由第一問的全等得到AE=CM=1,正方形的邊長為3,用A2-AE求出防的長，再由BC+CM求出

的長，iSEF=MF=x,可得出BF=BM-FM=BM-EF=4-x,在直角三角形BEP中，利用勾股定理列出關(guān)于x的

方程，求出方程的解得到x的值，即為跖的長.

【詳解】逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到△DCM,

：.DE=DM,ZEDM=9Q°,

：.ZEDF+ZFDM=90°,

Z￡￡)F=45°,

ZFDM=ZEDM=45°,

,/DF=DF,

：.ADEF迫ADMF,

：.EF=MF

19

(2)設(shè)EFr,

'：AE=CM=1,

JBF=BM-MF=BM-EF=4-x,

EB=2,

在R3EBF中,由勾股定理得￡5?+5產(chǎn)=阱2，

即22+(4-x)2=/，

解得，x=|.

7.已知，如圖所示，正方形A3CD中，E,歹分別在邊BC,8上，且NE4F=45。，AE,AF分別交SD

于H,G,連EF,求證：

①DF+BE=EF?DG2+BH2=HG2.

【答案】見解析

【分析】①把△ABE逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到△ADG,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BE=GD,AE=AG,再根據(jù)NEAF=45。

求出NFAG=45。,然后利用邊角邊定理證明△AEF與△AGF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得EF=GF,

即EF=GD+FD,即可證明EF=BE+DF；

②把△ADH繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。得到△ABN,連接GN,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到/NAE=NEAF,根據(jù)全等

三角形的性質(zhì)得到GH=GN,求得/NBG=NABN+NABG=45o+45o=90。，根據(jù)勾股定理得到BG2+HD2=GH2；

【詳解】①如圖，把△ABE逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到△ADM,

20

ABE=MD,AE=AM,

???ZEAF=45°,

???ZFAM=90°-45°=45°,

：?NEAF二NFAM,

在^AEF和△AMF中，

AE=AM

<ZEAF=ZFAM,

AF=AF

：.AAEF^AAMF(SAS),

AEF=MF,

即EF=MD+DF,

???BE+DF=EF；

②如圖，把△ADH繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。得到△ABN,連接GN,

???BN=DH,AN=AH,ZBAN=ZDAH,ZABN=ZADH,

NEAF=45。，

???ZNAE=ZBAN+ZBAE=ZDAH+ZBAE=ZBAD-ZEAF=90°-45o=45°,

???ZNAE=ZEAF,

在^ANG和^AGH中，

AN=AH

<ZNAG=ZEAF,

AG=AG

AAAGN^AAGH(SAS),

???GH二GN,

在正方形ABCD中，ZABE=ZADH=45°,

???ZNBG=ZABN+ZABG=45°+45o=90°,

/.BG2+BN2=NG2,

即BG2+HD2=GH2.

【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)；熟練掌握正方形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

8.如圖，在正方形ABCD中，E、F是對角線BD上兩點，將方繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。后，得到△的1,

連接EM,AE,且使得NM4E=45。.

21

AD

BC

（1）求證：ME=EF；（2）求證：EF2=BE2+DF2-

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【分析】（1）直接利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明△AME四△AFE（SAS）,即可得出答案；

（2）利用（1）中所證，再結(jié)合勾股定理即可得出答案.

【詳解】證明：（1）???將廠繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。后，得到△河1,

:.MB=DF,AM=AF,ZBAM=ZDAF,

,\MA±AFf

?.?ZMAE=45°,

:.ZEAF=45°,

.\ZMAE=ZFAE,

在^AME和AAFE中

AM^AF

</MAE=NFAE,

AE=AE

:.^AME=^AFE{SAS）,

:.ME=EF；

（2）由（1）得：ME=EF,

在RLJWBE中，MB2+BE2=ME1，

又：MB=DF,

EF2=BE2+DF2.

【點睛】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理等知識，正確得出

AAME^AAFE是解題關(guān)鍵.

9.已知：邊長為4的正方形ABC。，NEA尸的兩邊分別與射線CB、。。相交于點￡、F,且NEAP=45。,

連接ER求證：EF=BE+DF.

22

圖1圖2圖3

思路分析：

⑴如圖1,:正方形ABC。中，A8=A。，ZBAD^ZB^ZADC=90°,

.?.把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。至△AOE,則RD、E在一條直線上，

ZE'AF=度，……

根據(jù)定理，可證：AAEFQXAEF.

：.EF=BE+DF.

類比探究：

(2)如圖2,當(dāng)點E在線段CB的延長線上，探究ERBE、。尸之間存在的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程；

拓展應(yīng)用：

(3)如圖3,在△ABC中，AB=AC,D、￡在8C上，ZBAC=2ZDAE.若SAABC=14,SAADE=6,求線

段3D、DE、EC圍成的三角形的面積.

【答案】(1)45

Q)DF=BE+EF,證明見解析

(3)2

【分析】(1)把AA5E繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。至AADE,則尸、D、E'在一條直線上，MDE且ABE,再證

AAEF^AAE'F,得EF=￡T,進(jìn)而得出結(jié)論；

(2)將AABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到A4EE,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得A4DE2A4BE,再證A4￡F名△AEN,得

E'F=EF,進(jìn)而得出結(jié)論；

(3)將AABZ)繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到AACD',連接EZ7,則AACDNAABD,得CD=BD,因此

r

S44BC=S四邊舷WCD=14,同(2)得皿比學(xué)工ADE,貝I￡)石=。'石，SAADE=^^AD'E=6,得BD、DE、召C圍成的

三角形面積=S,mc，即可求解.

(1)

解：如圖1,「正方形ABCD中，AB^AD,ZBAD^ZB^ZADC=90°,

23

把4ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。至AADE，

圖1

則GD、E在一條直線上，MDEmLABE,

：.DE'=BE,ZDAE'=ABAE,AE'=AE,

：.ZE'AE=ZEAD+ZDAE'=ZEAD+ZBAE=ZBAD=9Q°,

則ZEAF=ZE'AE-ZEAF=45°,

:./EAF=NEAF,

：.^AEF^/\AE'F(SAS),

E'F=EF,

E'F=DE'+DF,

：.EF=BE+DF.

故答案為：45；

(2)

解：DF=BE+EF理由如下：

將八ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到△ADE3

圖2

:.XMJE恰&ABE,

：.AE=AE',BE=DE',/DAE'=/BAE,

：.ZE'AE=ZBAE+ZE'AB=ZE'AD+ZE'AB=ZBAD=90°,

則ZEAF=ZE'AE-/EAF=45°,

24

ZEAF=NE4尸=45。,

在△AE尸和△AE歹中，

AE=AEr

</EAF=ZEAF,

AF=AF

：.AAEF^AAErF(SAS),

:.E'F=EF,

*/DF=DE+EF,

；?DF=BE+EF；

(3)

解：將△ABO繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到^ACDf,連接瓦),

圖3

則4ACDf^AABD,

:?CD'=BD,

?,^MBC=S四邊形">，8=14,

同(2)得：AADE0△AD'E(SAS),

DE=D'E>SAADE=^^AD,E=6,

:.BD、DE、EC圍成的三角形面積為CD'、DE、EC圍成的三角形面積S皿0=S四邊彩"廣工磔^位/=2.

【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及四邊形

和三角形面積等知識，本題綜合性強，解此題的關(guān)鍵是根據(jù)旋轉(zhuǎn)的啟發(fā)正確作出輔助線得出全等三角形，

屬于中考常考題型.

10.如圖1,在菱形ABC。中，AC=2,BD=2C，AC,8。相交于點。.

⑴求邊48的長；

(2)求NA4c的度數(shù)；

(3)如圖2,將一個足夠大的直角三角板60。角的頂點放在菱形ABC。的頂點A處，繞點A左右旋轉(zhuǎn)，其中三

角板60。角的兩邊分別與邊BC,C。相交于點E,F,連接EF.判斷AAEE是哪一種特殊三角形，并說明理

由.

25

【答案】(1)2；(2)60°；(3)見詳解

【分析】(1)由菱形的性質(zhì)得出OA=1,0B=6,根據(jù)勾股定理可得出答案；

(2)得出△ABC是等邊三角形即可；

(3)由△ABC和△ACD是等邊三角形，利用ASA可證得△ABEgZ\ACF；可得AE=AF,根據(jù)有一個角

是60。的等腰三角形是等邊三角形推出即可.

【詳解】解：(1)?四邊形ABCD是菱形，

；.AC_LBD,

.?.△AOB為直角三角形，且OA=』AC=1,OB=-BD=y/3.

22

AB=y/OA'+OB2=JF+(同=2；

(2)?.?四邊形ABCD是菱形，

；.AB=BC,

由⑴得：AB=AC=BC=2,

AABC為等邊三角形，

ZBAC=60°；

(3)△AEF是等邊三角形，

???由(1)知，菱形ABCD的邊長是2,AC=2,

???AABC和^ACD是等邊三角形，

JNBAC=NBAE+NCAE=60。，

ZEAF=ZCAF+ZCAE=60°,

ZBAE=ZCAF,

在^ABE和^ACF中，

ZBAE=ZCAF

<AB=AC

ZEBA=ZFCA

：.AABE^AACF(ASA),

26

，AE=AF,

,/ZEAF=60°,

...△AEF是等邊三角形.

【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)以及圖形的旋轉(zhuǎn).解題的

關(guān)鍵是熟練掌握菱形的性質(zhì).

11.（1）如圖1,在正方形ABCZ）中，E是上一點，G是AD上一點，ZECG=45°,求證EG=BE+GO.

圖1圖2

（2）請用（1）的經(jīng)驗和知識完成此題：如圖2,在四邊形ABC。中，AG//BC（BC>AG）,NB=9Q°,AB=BC=12,

E是AB上一點，且NECG=45。，BE=4,求EG的長？

【答案】（1）證明見解析；（2）EG=10.

【分析】（1）延長AD至R使DF=BE,連接CF,根據(jù)正方形的性質(zhì)，可直接證明△從而

得出根據(jù)/GCE=45。，得NGCF=NGCE=45。,利用全等三角形的判定方法得出

△ECG^AFCG,即GE=GF,即可證出EG=BE+GD；

（2）過C作CO_LAG,交AG延長線于。，則四邊形A8CD是正方形，設(shè)EG=x,則AE=8,根據(jù)（1）可

得：AG=16-x,在直角AAGE中利用勾股定理即可求解.

【詳解】（1）證明：如圖3所示，延長AD至F,使。尸=2￡,連接CE

圖3

?..四邊形A8CO是正方形，

：.BC=DC,ZABC^ZADC=ZBCD=90°,

"：ZCDF=ISO°-ZADC,

：.ZCDF=90°,

：.ZABC=ZCDF,

27

?:BE=DF,

:AEBC^工FDC,

:?/BCE=/DCF,EC=FC,

'：ZECG=45°,

.?.ZBCE+ZGC￡>=90°-ZECG=90o-45o=45°,

JZGCD+ZDCF=ZFCG=45°,

:.ZECG=ZFCG.

?；GC=GC,EC=FC,

AAECG^AFCG,

：.EG=GF.

;GF=GD+DF=BE+GD,

：.EG=BE+GD.

(2)解：如圖4,過。作COLAG,交AG延長線于。,

在直角梯形A5CG中，

,:AGHBC,ZA=ZB=90°,

XZCDA=90°,AB=BC,

???四邊形A5c。為正方形.

：.AD=AB=BC=12.

已知NECG=45。，根據(jù)(1)可知，EG=BE+DG,

設(shè)EG=x,貝ljAG=AD-DG=AD-(EG-BE)=12-(x-4)=16-x,

：.AE=12-BE=12-4=S.

在RtXAEG中

9：EG2=AG2^AE\

即/=(16-x)2+82,

解得：x=10.

28

：.EG=10.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)，注意每個題目之間的關(guān)系，正確作出輔

助線是解題的關(guān)鍵.

12.如圖，點E是正方形ABC。的邊2C上一點，連接DE,將。E繞著點E逆時針旋轉(zhuǎn)90。，得到EG,過

點G作GFLCB,垂足為RGHLAB,垂足為X,連接。G,交A3于/.

⑴求證：4EF三&EDC

(2)求證：四邊形BPG//是正方形;

(3)求證：ED平分/CEI

【答案】(1)見解析

(2)見解析

(3)見解析

【分析】(1)先證明/FEG=NEOC,即可利用A4S證明全等；

(2)首先證明四邊形EBHG是矩形，再證明FB=fG即可解決問題；

(3)延長BC到J,使得CJ=A/.證明△">E也△〃)￡1(SAS)即可解決問題.

(1)

?..四邊形ABCD是正方形，

：.BC=CD,ZDCE=ZABC=ZABF=90°,

'JGFLCF,GHA,AB,

：.GHB=ZFBH=90°,

.??四邊形E3HG是矩形，

?:ED=EG,ZDEG=90°,

'：ZDEC+ZFEG=9O°,ZDEC+ZEDC=9Q°,

：.ZFEG=ZEDC,

在八￡)。石和4EFG中

29

ZF=ZDCE

</FEG=/EDC

GE=DE

:.LDCE?dEFG(AAS),

(2)

ADCE^AEFG

:?FG=EC,EF=CD,

?:CB=CD,

:?EF=BC,

:?BF=EC,

:?BF=GF,

???四邊形尸BUG是矩形

???四邊形尸5HG是正方形.

(3)

延長3C到J,使得C7=A/.

9

\DA=DC,ZA=ZDCJ=9009AI=CJ,

:?△DA/也△DC/(SAS),

：.DI=DJ,ZADI=ZCDJ,

：.ZIDJ=ZADC=90°,

「ZZ￡)E=45°,

I.ZEDI=ZEDJ=45°,

?：DE=DE,

：.AIDE^AJDE(SAS),

???ZDEI=ZDEJ,

；?DE平分N/EC.

【點睛】本題