中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)易錯(cuò)點(diǎn)：三角形

易錯(cuò)點(diǎn)04三角形

1.三角形的有關(guān)概念

2.與三角形有關(guān)的角

3.全等三角形

4.等腰三角形

5.角平分線與線段垂直平分線

6.勾股定理

7.解直角三角形

8.相似三角形

易錯(cuò)題01三角形的有關(guān)概念

三角形有三條中線，有三條高線，有三條角平分線，它們都是線段.銳角三角形的三條高在三

角形內(nèi)部，相交于三角形內(nèi)一點(diǎn)，直角三角形有兩條高與直角邊重合，另一條高在三角形內(nèi)部,

它們的交點(diǎn)是直角頂點(diǎn)；鈍角三角形有兩條高在三角形外部，一條高在三角形內(nèi)部，三條高所

在直線相交于三角形外一點(diǎn).

三角形三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊.

當(dāng)三角形三邊的長(zhǎng)度確定后，三角形的形狀和大小就能唯一確定下來，故三角形具有穩(wěn)定性.

變式練習(xí)

1.（2022?十堰）如圖，工人砌墻時(shí)，先在兩個(gè)墻腳的位置分別插一根木樁，再拉一條直的參照線，就能使

砌的磚在一條直線上.這樣做應(yīng)用的數(shù)學(xué)知識(shí)是（）

A.兩點(diǎn)之間，線段最短

B.兩點(diǎn)確定一條直線

C.垂線段最短

D.三角形兩邊之和大于第三邊

2.（2022?河北）平面內(nèi)，將長(zhǎng)分別為1,5,1,1,d的線段，順次首尾相接組成凸五邊形（如圖），則d

A.1B.2C.7D.8

3.（2022?玉林）請(qǐng)你量一量如圖AABC中8c邊上的高的長(zhǎng)度，下列最接近的是（)

A

4.（2022秋?安順期末）已知〃為整數(shù)，若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別是4〃+31,n-13,6n,則所有滿足條

件的w值的和為.

5.（2022?蘇州模擬）已知：如圖所示，在△ABC中，點(diǎn)。，E,廠分別為BC,AD,CE的中點(diǎn)，且S^ABC

=4cW,則陰影部分的面積為cm2.

易錯(cuò)題02與三角形有關(guān)的角

1.三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角.每個(gè)三角形都有三個(gè)內(nèi)角，且每個(gè)內(nèi)

角均大于0°且小于180。.

2.三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180。.

3.三角形外角的定義：三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角，叫做三角形的外角.

三角形共有六個(gè)外角，其中有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)相等，因此共有三對(duì).

4.三角形的外角性質(zhì)：

①三角形的外角和為360°.

②三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.

③三角形的一個(gè)外角大于和它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角.

變式練習(xí)

1.（2022秋?濱城區(qū)校級(jí)期末）△ABC中，給出下列條件：

?ZA=ZB-ZC,

②/A：ZB：ZC=1：2：3,

③/A=2N8=3/C,

④點(diǎn)D是邊A8的中點(diǎn)，且CD=^AB.

2

其中能判定△ABC是直角三角形的有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

2.（2022秋?青島期末）如圖，AB//DE,ZABC=80°,ZCDE=140°,則/BC。的度數(shù)為（）

A.30°B.40°C.60°D.80°

3.（2022秋?碑林區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，ZA=ZABC,是/ABC的平分線，8。和C。是4

ABC兩個(gè)外角的平分線，。、C、H三點(diǎn)在一條直線上，下列結(jié)論中：①DBLBH；②/D=90。蔣NA；

?DH//AB；④/H卷NA；⑤NCBD=ND,其中正確的是（）

A.①②③B.①③⑤C.①②④⑤D.①②③④⑤

4.（2022秋?泰興市期末）已知，如圖，△ABC中，NABC=48°,/ACB=84°,點(diǎn)。、E分別在BA、

8c延長(zhǎng)線上，8P平分/ABC,CP平分NACE,連接AP,則/PAC的度數(shù)為（）

5.（2022秋?蓮池區(qū)校級(jí)期末）如圖，3P是△ABC中NA8C的平分線，CP是NAC8的外角的平分線，如

果/ABP=20°,ZACP=50°,則/尸=（）

6.（2021?河北）如圖是可調(diào)躺椅示意圖（數(shù)據(jù)如圖），AE與3。的交點(diǎn)為C,且/A,ZB,NE保持不

變.為了舒適，需調(diào)整的大小，使/EED=110°,則圖中應(yīng)（填“增力口”或“減少”）

易錯(cuò)題03全等三角形

1,全等三角形的判定：

（1）判定定理1：SSS—三條邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.

（2）判定定理2：SAS一兩邊及其夾角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.

（3）判定定理3：ASA一兩角及其夾邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.

（4）判定定理4：AAS一兩角及其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.

（5）判定定理5：HL一斜邊與直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等.

方法指引：全等三角形的5種判定方法中，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件，若已

知兩邊對(duì)應(yīng)相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對(duì)應(yīng)相等，則必須再找一組對(duì)邊對(duì)應(yīng)

相等，且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個(gè)角的另一組對(duì)應(yīng)鄰邊.

2.全等三角形的性質(zhì)

性質(zhì)1:全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等

性質(zhì)2：全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等

說明：①全等三角形的對(duì)應(yīng)邊上的高、中線以及對(duì)應(yīng)角的平分線相等

②全等三角形的周長(zhǎng)相等，面積相等

③平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等

變式練習(xí)

1.（2022?云南）如圖，平分/AOC,D、E、尸分別是射線OA、射線。8、射線OC上的點(diǎn)，。、E、F

與0點(diǎn)都不重合，連接ED、EF.若添加下列條件中的某一個(gè)，就能使△OOEgZkf'OE.你認(rèn)為要添加

的那個(gè)條件是（）

A.OD=OEB.OE=OFC.ZODE^ZOEDD./0DE=/OFE

2.（2022?成都）如圖，在△ABC和△。所中，點(diǎn)A,E,B,。在同一直線上，AC//DF,AC^DF,只添

加一個(gè)條件，能判定的是（）

A.BC=DEB.AE=DBC.ZA=ZDEFD.ZABC=ZD

3.（2022?湘西州）如圖，在Rt^ABC中，ZA=90°,M為BC的中點(diǎn)，H為AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)C作CG

//AB,交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,若AC=8,AB=6,則四邊形ACGH周長(zhǎng)的最小值是（）

A

A.24B.22C.20D.18

4.（2022?揚(yáng)州）如圖，小明家仿古家具的一塊三角形狀的玻璃壞了，需要重新配一塊.小明通過電話給玻

璃店老板提供相關(guān)數(shù)據(jù)，為了方便表述，將該三角形記為△ABC,提供下列各組元素的數(shù)據(jù)，配出來的

玻璃不一定符合要求的是（）

A.AB,BC,CAB.AB,BC,ZBC.AB,AC,NBD.ZA,ZB,BC

5.（2022?淮安）已知：如圖，點(diǎn)A、D、C、F在一條直線上，且AD=CF,AB=DE,ZBAC=Z

EDF.求證：NB=NE.

6.（2022?資陽）如圖，在△ABC中（A8CBC）,過點(diǎn)C作在。上截取CD=C8,CB上截取

CE^AB,連接?！辍B.

(1)求證：AABC^AECD；

(2)若NA=90°,AB=3,BD=2娓,求△BCD的面積.

7.（2022?牡丹江）如圖，△ABC和△￡>￡1￡點(diǎn)E,尸在直線3C上，AB=DF,ZA=ZD,NB=NF.如

圖①，易證：BC+8E=3?請(qǐng)解答下列問題：

（1）如圖②，如圖③，請(qǐng)猜想3C,BE,BE之間的數(shù)量關(guān)系，并直接寫出猜想結(jié)論；

（2）請(qǐng)選擇（1）中任意一種結(jié)論進(jìn)行證明;

(3)若AB=6,CE=2,ZF=60°,SAABC=12A/3-貝UBC=，BF=

易錯(cuò)題04等腰三角形

1.等腰三角形的性質(zhì)

①等腰三角形的兩腰相等

②等腰三角形的兩個(gè)底角相等.【簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角】

③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線'底邊上的高相互重合.【三線合一】

在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線.以上四個(gè)元素中，從中任意取出

兩個(gè)元素當(dāng)成條件，就可以得到另外兩個(gè)元素為結(jié)論.

2.等腰三角形的判定

判定定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等.【簡(jiǎn)稱：等角對(duì)等

邊】

3.等邊三角形的性質(zhì)

（1）等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰

三角形.

（2）等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，且都等于60°.

等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，它有三條對(duì)稱軸；它的任意一角的平分線都垂直平分對(duì)邊，三邊的

垂直平分線是對(duì)稱軸.

4.等邊三角形的判定

（1）由定義判定：三條邊都相等的三角形是等邊三角形.

（2）判定定理1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.

（3）判定定理2：有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形.

變式練習(xí)

1.（2022?淄博）某城市幾條道路的位置關(guān)系如圖所示，道路AB//CD,道路AB與AE的夾角

50°.城市規(guī)劃部門想新修一條道路CE,要求則/E的度數(shù)為（）

2.（2022?鞍山）如圖，在△ABC中，AB^AC,NA4c=24°,延長(zhǎng)8C到點(diǎn)。，使CD=AC,連接AD

則NO的度數(shù)為（）

A.39°B.40°C.49°D.51°

3.（2021?遼寧）如圖，在△A8C中，AB=BC,由圖中的尺規(guī)作圖痕跡得到的射線80與AC交于點(diǎn)E,點(diǎn)

廠為3C的中點(diǎn)，連接ER若BE=AC=2,則的周長(zhǎng)為（）

A.V3+1B.A/5+3C.V5+1D.4

4.(2022?鄂州)如圖，在邊長(zhǎng)為6的等邊△ABC中，。、E分別為邊BC、AC上的點(diǎn)，與BE相交于點(diǎn)

P,若BD=CE=2,則AAB尸的周長(zhǎng)為.

5.(2022?蘇州)定義：一個(gè)三角形的一邊長(zhǎng)是另一邊長(zhǎng)的2倍，這樣的三角形叫做“倍長(zhǎng)三角形”.若等

腰△ABC是“倍長(zhǎng)三角形"，底邊的長(zhǎng)為3,則腰的長(zhǎng)為.

6.(2022?溫州)如圖，8。是△A8C的角平分線，DE//BC,交4B于點(diǎn)E.

(1)求證：ZEBD=Z.EDB.

(2)當(dāng)時(shí)，請(qǐng)判斷CD與即的大小關(guān)系，并說明理由.

7.(2021?紹興)如圖，在△A8C中，ZA=40°,點(diǎn)。，E分別在邊AB,AC上，BD=BC=CE,連結(jié)CD,

BE.

(1)若/A2C=80°,求/BDC,NABE的度數(shù)；

(2)寫出/BEC與/BOC之間的關(guān)系，并說明理由.

8.(2022秋?德州期末)在邊長(zhǎng)為9的等邊三角形A8C中，點(diǎn)。是8C上一點(diǎn)，點(diǎn)P是A8上一動(dòng)點(diǎn)，以

每秒1個(gè)單位的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)B移動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/秒.

(1)如圖1,若BQ=6,PQ//AC,求f的值；

(2)如圖2,若點(diǎn)P從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q以每秒2個(gè)單位的速度從點(diǎn)B經(jīng)點(diǎn)C向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，

當(dāng)f為何值時(shí)，為等邊三角形？

AA

p,

P

圖1圖2

易錯(cuò)題05角平分線與線段垂直平分線

1.角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.

注意：①這里的距離是指點(diǎn)到角的兩邊垂線段的長(zhǎng)；②該性質(zhì)可以獨(dú)立作為證明兩條線段相等

的依據(jù)，有時(shí)不必證明全等；③使用該結(jié)論的前提條件是圖中有角平分線，有垂直角

2,線段垂直平分線的性質(zhì)

（1）定義：經(jīng)過某一條線段的中點(diǎn)，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分

線（中垂線）垂直平分線，簡(jiǎn)稱“中垂線”.

（2）性質(zhì)：①垂直平分線垂直且平分其所在線段.②垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩

端點(diǎn)的距離相等.③三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，該點(diǎn)叫外心，并且這一點(diǎn)到

三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.

變式練習(xí)

1.（2021?青海）如圖，在四邊形ABCD中，ZA=90°,AD=3,BC=5,對(duì)角線BD平分NABC,則4

BCD的面積為（）

2.（2022秋?新華區(qū)校級(jí)期末）如圖，AI.BI、CI分別平分4BAC、/ABC、ZACB,IDLBC,AABC的

周長(zhǎng)為18,ID=4,則△ABC的面積為（）

3.（2022秋?扶溝縣校級(jí)期末）如圖，在四邊形ABCD中，ZB=90°,BC=3,連接AC,ACLCD,垂足

為C,并且點(diǎn)E是邊上一動(dòng)點(diǎn)，則CE的最小值是（）

B

C

A.1.5B.3C.3.5D.4

4.（2022秋?東昌府區(qū)校級(jí)期末）如圖，在RtaABC中，ZACB=90°,NBA。的平分線交于點(diǎn)。，

過。點(diǎn)作CGLA3于點(diǎn)G,交AD于點(diǎn)區(qū)過。點(diǎn)作。尸，A3于點(diǎn)?下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（）

①/CED=NCDE；?S^AEC：S^AEG=AC：AG；③NADF=2/FDB；@CE=DF.

5.（2022秋?拱墅區(qū)期中）如圖，在RtZkABC中，ZACB=90°,ZA>ZB,CD是斜邊上的高線，CE是

△ABC的角平分線，尸G是邊A8的垂直平分線，bG分別交8C邊，A3邊于點(diǎn)R點(diǎn)G.若NDCE=NB,

則此為（）

FC

A.旦B.叫C.V2D.2

22

6.（2022秋?福州月考）如圖，在RtZXABC中，NA4c=90°,N2=55°,AD±BC,垂足為。，AADB

與關(guān)于直線AD對(duì)稱，點(diǎn)2的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)則/C4B'的度數(shù)為（）

7.（2021秋?東平縣期末）如圖，AB=AC,點(diǎn)B關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)E恰好落在CD上，NBAC=124°,

AF為△ACE中CE邊上的中線，則的度數(shù)為（）

A.24°B.28°C.30°D.38°

8.（2022春?高州市期中）如圖，從△ABC內(nèi)一點(diǎn)。出發(fā)，把△ABC剪成三個(gè)三角形（如圖1）,邊A3,

BC,AC放在同一直線上，點(diǎn)O都落在直線MN上（如圖2）,直線MN//AC,則點(diǎn)O是AABC的

)

c

圖1圖2

A.三條角平分線的交點(diǎn)B.三條高的交點(diǎn)

C.三條中線的交點(diǎn)D.三邊中垂線的交點(diǎn)

易錯(cuò)題06勾股定理

直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；

表示方法：如果直角三角形的兩直角邊分別為。，b,斜邊為*那么

變式：

1）a2=c2-b2

2）b2=c2-a2

適用范圍：勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關(guān)系，它只適用于直角三角形,

因而在應(yīng)用勾股定理時(shí)，必須明了所考察的對(duì)象是直角三角形

變式練習(xí)

1.（2022秋?豐城市校級(jí)期末）如圖,在△ABC中，ZACB=90°,CDLAB,垂足為。.若AC=3,BC=

4,則CD的長(zhǎng)為（

A.2.4B.2.5C.4.8D.5

2.（2022秋?天山區(qū)校級(jí)期末）如圖,在直角△ABC中，NC=90°,AP平分NA4C,8。平分/ABC,AP,

瓦）交于點(diǎn)O,過點(diǎn)。作。MLAC,若△ABC的周長(zhǎng)為30,0M=4.則△ABC的面積為（）

15C.60D.120

3.（2022秋?長(zhǎng)安區(qū)校級(jí)期末）如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時(shí)，梯子底端到左

墻角的距離8C為0.7加，梯子頂端到地面的距離AC為2.4加.如果保持梯子底端位置不動(dòng)，將梯子斜靠

在右墻時(shí)，梯子頂端到地面的距離為1.5加，則小巷的寬為（）

0.7m

A.2mB.2.5mC.2.6mD.2.1m

4.（2022秋?平頂山期末）如圖，中，ZA=90°,AO=2,AB=\.以8c=1,為直角邊，構(gòu)

造RtZiOBC；再以CO=1,OC為直角邊，構(gòu)造RtzXOCZ）；…，按照這個(gè)規(guī)律，在RtZkOH/中，點(diǎn)”到

。/的距離是（）

5.（2022秋?輝縣市校級(jí)期末）如圖，在RtAABC中，ZC=90°,以△ABC的三邊為邊向外做正方形

ACDE,正方形C8GF,正方形AHZB,連結(jié)EC,CG,作CP_LCG交H/于點(diǎn)P,記正方形ACZJE和正方

形的面積分別為Si,S2,若Si=4,S2=7,則S.ACP：等于（）

6.（2022秋?寧德期末）意大利著名畫家達(dá)?芬奇用下圖所示的方法證明了勾股定理.若設(shè)左圖中空白部分

的面積為S1,右圖中空白部分的面積為S2,則下列表示Si,S2的等式成立的是（）

7.（2022春?舒城縣校級(jí)月考）如圖，小明有一個(gè)圓柱形飲水杯.底面半徑是6cm,高是16cm,上底面貼

著杯壁有一個(gè)小圓孔，則一條長(zhǎng)24cHi的直吸管露在杯外部分a的長(zhǎng)度（杯壁的厚度和小圓孔的大小忽略

不計(jì)）范圍是（）

a

B.44W8C.D.44W10

8.（2022秋?蕭縣期中）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲，如

圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，設(shè)直角三角形

較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為a,較短直角邊長(zhǎng)為b,若（a+6）2=21.大正方形的面積為13.則小正方形的面積為

B.4C.5

易錯(cuò)題07解直角三角形

銳角三角函數(shù)

定X表達(dá)式.取值范圍，關(guān)系，

1E,4的對(duì)邊0<sinJ<1"

sm4=——r—；---/smN=-/sin/=cos3.

弦.斜邊c(ZA為銳角卜

cos/=sin5.

余,4的鄰邊,b0<cosJ<1"

-斜邊，COSH=isin2,4+cos=h

弦.c(ZA為銳角卜

正?/的對(duì)邊atanJ>OP

tan，=—q

切.NA的鄰邊b(ZA為銳角).，

特殊角的三角函數(shù)值

三角函數(shù).30?！?5。.60?！?/p>

sinad3叵0

222

cosa272〃L

222

tan2d癢

3

變式練習(xí)

1.（2022秋?沈丘縣期末）如圖是簡(jiǎn)化后的冬奧會(huì)跳臺(tái)滑雪的雪道示意圖，AB段為助滑道，BC段為著陸

坡，著陸坡的坡角為a,A點(diǎn)與8點(diǎn)的高度差為120米，A點(diǎn)與C點(diǎn)的高度差為/?米，則著陸坡BC的長(zhǎng)

度為（）

B.(120-/?)cosa米

D.九-120米

sinCL

（2022秋?海淀區(qū)校級(jí)期末）已知在△ABC中,ZA=6Q°，A3=l+我，AC=2,則NC=()

A.45°B.75°C.90°D.105°

3.（2022秋?臥龍區(qū)校級(jí)期末）如圖，在RtAABC中，ZC=90°,BCi/仁，點(diǎn)。是AC上一點(diǎn)，連接

BD.若tan/ABD］，則瓦）的長(zhǎng)為（）

4o

4.（2022秋?蒙城縣期末）如圖，在△ABC中，ZACB=90°,延長(zhǎng)AB到點(diǎn)D,使BD=AB,連接

CD.若

tan/BCD］，則若的值是（）

oAC,

233

5.（2022秋?臥龍區(qū)校級(jí)期末）王剛同學(xué)在學(xué)習(xí)了解直角三角形及其應(yīng)用的知識(shí)后，嘗試?yán)盟鶎W(xué)知識(shí)測(cè)

量河對(duì)岸大樹的高度，他在點(diǎn)C處測(cè)得大樹頂端A的仰角為45°,再從C點(diǎn)出發(fā)沿斜坡走4百5米

到達(dá)斜坡上D點(diǎn)，在點(diǎn)。處測(cè)得樹頂端A的仰角為30°,若斜坡CF的坡比為i=l：3（點(diǎn)E、C、B在

同一水平線上）.

（1）求王剛同學(xué)從點(diǎn)C到點(diǎn)D的過程中上升的高度;

（2）求大樹AB的高度（結(jié)果保留根號(hào)）.

A

6.（2022秋?徐匯區(qū)校級(jí)期末）某地一居民的窗戶朝南.窗戶的離地高度為0.8米，此地一年的冬至這一天

的正午時(shí)刻太陽光與地面的夾角最小為a,夏至這一天的正午時(shí)刻太陽光與地面的夾角最大為p.若你是

一名設(shè)計(jì)師，請(qǐng)你為教學(xué)樓的窗戶設(shè)計(jì)一個(gè)直角形遮陽蓬BCD,要求它既能最大限度地遮擋夏天炎熱的

陽光，又能最大限度地使冬天溫暖的陽光射入室內(nèi).根據(jù)測(cè)量測(cè)得Na=30°,Zp=60°,AB=1.5

米.若同時(shí)滿足下面兩個(gè)條件：

（1）當(dāng)太陽光與地面的夾角是a時(shí)，太陽光剛好射入室內(nèi).

（2）當(dāng)太陽光與地面的夾角是P時(shí)，太陽光剛好不射入室內(nèi).請(qǐng)你求出直角形遮陽蓬BCD中CD的長(zhǎng)、

C￡?離地面的高度.

7.（2022秋?小店區(qū)校級(jí)期末）鋼琴音色優(yōu)美，剛?cè)岵?jì)，在人疲倦時(shí)聽一些抒情的曲子能緩解疲勞、在

人心情郁悶時(shí)聽一些歡快的曲子可以調(diào)節(jié)自己的情緒，陶冶情操，修身養(yǎng)性.圖1標(biāo)識(shí)了某品牌三角鋼

琴的部分產(chǎn)品數(shù)據(jù)，圖2為該鋼琴正面簡(jiǎn)化示意圖，已知鋼琴大蓋板閉合時(shí)與重合，此時(shí)大蓋板

為打開狀態(tài)，支撐桿BC的長(zhǎng)度為76cm,支撐桿與水平方向的夾角NABC=60°,大蓋板AD的長(zhǎng)度為

148cm,鋼琴的高度為101a”.（參考數(shù)據(jù)：73^1-7,sin31°弋0.5,cos31°^0.9,tan31°弋0.6）

（1）求N8AC的度數(shù).

（2）求此時(shí)大蓋板上點(diǎn)。的高度（即點(diǎn)。到水平面所的距離）.

8.（2022秋?渝中區(qū)校級(jí)期末）如圖，一艘漁船以每小時(shí)30海里的速度自東向西航行，在8處測(cè)得補(bǔ)給站

C在北偏西30°方向，繼續(xù)航行2小時(shí)后到達(dá)A處，測(cè)得補(bǔ)給站C在北偏東60。方向.

（1）求此時(shí)漁船與補(bǔ)給站C的距離；（結(jié)果保留根號(hào)）

（2）此時(shí)漁船發(fā)現(xiàn)在A點(diǎn)北偏西15。方向的D點(diǎn)處有大量魚群，漁船聯(lián)系了補(bǔ)給站，決定調(diào)整方向以

原速前往作業(yè)，與此同時(shí)補(bǔ)給站C測(cè)得點(diǎn)D在北偏西75°方向，并立即派出補(bǔ)給船給漁船補(bǔ)給食物和淡

水，若兩船恰好在D處相遇，求補(bǔ)給船的速度.(精確到十分位，參考數(shù)據(jù)：72^1.41,V3^1.73,

巡心2.45).

易錯(cuò)題08相似三角形

1.相似三角形的判定

(1)平行線法：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相

似；

這是判定三角形相似的一種基本方法.相似的基本圖形可分別記為“A”型和“X”型，如圖所

示在應(yīng)用時(shí)要善于從復(fù)雜的圖形中抽象出這些基本圖形.

(2)三邊法：三組對(duì)應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形相似；

(3)兩邊及其夾角法：兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；

(4)兩角法：有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似.

2.相似三角形的性質(zhì)

(D相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等.

(2)相似三角形(多邊形)的周長(zhǎng)的比等于相似比；

相似三角形的對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、對(duì)應(yīng)邊上的高)的比也等于相似比.

(3)相似三角形的面積的比等于相似比的平方.

變式練習(xí)

1.(2022秋?橋西區(qū)校級(jí)期末)在如圖所示的小正方形網(wǎng)格中，以點(diǎn)0為位似中心，AABC的位似圖形是

C.尸D.LMRP

2.(2022秋?叢臺(tái)區(qū)校級(jí)期末)如圖，尸是線段CD上除端點(diǎn)外的一點(diǎn)，將繞正方形A8CD的頂點(diǎn)A

按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°,得到△ABE,連接跖交A8于點(diǎn)H,則下列結(jié)論正確的是()

A.ZEAF=120°B.EB：AD=EH：HF

C.AF2=EH-EFD.AE：EF=1：VS

3.（2022秋?成華區(qū)期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)O,E,尸分別在邊AB,AC,上，連接DE,EF,已

知四邊形2?！晔瞧叫兴倪呅?，理」.若△AOE的面積為1,則平行四邊形的面積為（）

BC3

A.3B.4C.5D.6

4.（2022秋?南宮市期末）有一塊銳角三角形余料△ABC,邊BC的長(zhǎng)為20c",BC邊上的高為/6。相，現(xiàn)要

把它分割成若干個(gè)鄰邊長(zhǎng)分別為5cm和4cm的小長(zhǎng)方形零件，分割方式如圖所示（分割線的耗料不計(jì)），

使最底層的小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為5cm的邊在BC上，則按如圖方式分割成的小長(zhǎng)方形零件最多有（）

A.5個(gè)B.6個(gè)C.7個(gè)D.8個(gè)

5.（2022秋?嘉定區(qū)校級(jí)期末）在矩形A3。中，AB=3,AZ）=4,點(diǎn)E是邊AD上一點(diǎn)，EM_LEC交A3

于點(diǎn)M,點(diǎn)N在射線M2上，旦/ANE=NDCE.

（1）如圖，求證：AE是AM和AN的比例中項(xiàng)；

（2）當(dāng)點(diǎn)N在線段A8的延長(zhǎng)線上時(shí)，聯(lián)結(jié)AC,且AC與NE互相垂直，求的長(zhǎng).

6.（2022秋?嘉定區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知點(diǎn)。在△A8C的外部，AD〃BC,點(diǎn)E在邊上，ZBAC=Z

AED.

（1）求證：AB'AD^BC-AE；

（2）在邊AC取一點(diǎn)R如果，坦曹?，求證：ZAFE=ZD.

BCAC

7.如圖，在矩形ABCD中，AB=3cm,BC=6cm,動(dòng)點(diǎn)M以law/s的速度從A點(diǎn)出發(fā)，沿A8向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),

同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N以2c/n/s的速度從點(diǎn)。出發(fā)，沿D4向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為/秒（0<f<3）.

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△AMN的面積等于矩形ABCD面積的工？

9

（2）是否存在某一時(shí)刻3使得以A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與△AC。相似？若存在，求出f的值；若不

8.（2022秋?鄒城市校級(jí)期末）若一個(gè)三角形一條邊的平方等于另兩條邊的乘積，我們把這個(gè)三角形叫做

“比例三角形”.

（1）如圖1,在四邊形A8CD中，AD^AB,對(duì)角線DB平分NAOC,ZDAC^ZABC.求證：△ACZ）

是“比例三角形”；

（2）如圖2,在（1）的條件下，當(dāng)NABC=90°時(shí)，求EC的值.

BD

圖1圖2

9.（2022秋?源匯區(qū)校級(jí)期末）如圖①，有一塊三角形余料△ABC,它的邊8C=10,高AQ=6.要把它加

工成正方形零件，使正方形的一邊在8c上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AS,AC上，AD交.PN于點(diǎn)、E,則加

工成的正方形零件的邊長(zhǎng)為多少？

小穎解得此題的答案為生，小穎善于反思，她又提出了如下的問題：

4

（1）如果原題中所要加工的零件是一個(gè)矩形，且此矩形由兩個(gè)并排放置的正方形組成.如圖②，此時(shí)，

這個(gè)矩形零件的相鄰兩邊長(zhǎng)又分別是多少？

（2）如果原題中所要加工的零件只是一個(gè)矩形，如圖③，這樣，此矩形零件的相鄰兩邊長(zhǎng)就不能確定，

但這個(gè)矩形的面積有最大值，求這個(gè)矩形面積的最大值以及這個(gè)矩形面積達(dá)到最大值時(shí)矩形零件的相鄰

圖①圖②圖③

10.（2022秋?夏邑縣期末）（1）如圖1,在△ABC中，D,E,尸分別為AB,AC,8c上的點(diǎn)，DE//BC,

BF=CF,AF交。E于點(diǎn)G,求證：DG=EG.

（2）如圖2,在（1）的條件下，連接CD,CG.若CG_LOE,CD=6,AE=3,求理的值.

BC

易錯(cuò)點(diǎn)04三角形（解析版）

1.三角形的有關(guān)概念

2.與三角形有關(guān)的角

3.全等三角形

4.等腰三角形

5.角平分線與線段垂直平分線

6.勾股定理

7.解直角三角形

8.相似三角形

易錯(cuò)題01三角形的有關(guān)概念

三角形有三條中線，有三條高線，有三條角平分線，它們都是線段.銳角三角形的三條高在三

角形內(nèi)部，相交于三角形內(nèi)一點(diǎn)，直角三角形有兩條高與直角邊重合，另一條高在三角形內(nèi)部,

它們的交點(diǎn)是直角頂點(diǎn)；鈍角三角形有兩條高在三角形外部，一條高在三角形內(nèi)部，三條高所

在直線相交于三角形外一點(diǎn).

三角形三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊.

當(dāng)三角形三邊的長(zhǎng)度確定后，三角形的形狀和大小就能唯一確定下來，故三角形具有穩(wěn)定性.

變式練習(xí)

1.（2022?十堰）如圖，工人砌墻時(shí)，先在兩個(gè)墻腳的位置分別插一根木樁，再拉一條直的參照線，就能使

砌的磚在一條直線上.這樣做應(yīng)用的數(shù)學(xué)知識(shí)是（）

A.兩點(diǎn)之間，線段最短

B.兩點(diǎn)確定一條直線

C.垂線段最短

D.三角形兩邊之和大于第三邊

【分析】根據(jù)兩點(diǎn)確定一條直線判斷即可.

【解答】解：這樣做應(yīng)用的數(shù)學(xué)知識(shí)是兩點(diǎn)確定一條直線,

故選：B.

2.（2022?河北）平面內(nèi)，將長(zhǎng)分別為1,5,1,1,1的線段，順次首尾相接組成凸五邊形（如圖），則d

可能是（）

A.1B.2C.7D.8

【分析】利用凸五邊形的特征，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短求得d的取值范圍，利用此范圍即可得出結(jié)論.

【解答】解：???平面內(nèi)，將長(zhǎng)分別為1,5,1,1,d的線段，順次首尾相接組成凸五邊形，

，l+d+l+l>5且l+5+l+l>J,

的取值范圍為：2Vd<8,

，貝!Jd可能是7.

故選：C.

3.（2022?玉林）請(qǐng)你量一量如圖△ABC中8C邊上的高的長(zhǎng)度，下列最接近的是（）

C.1.5cmD.2cm

【分析】過點(diǎn)A作AO_LBC于。，用刻度尺測(cè)量AQ即可.

【解答】解：過點(diǎn)A作A￡）J_BC于。,

用刻度尺測(cè)量AD的長(zhǎng)度，更接近2cm,

故選：D.

4.（2022秋?安順期末）己知"為整數(shù)，若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別是4n+31,”-13,6n,則所有滿足條

件的n值的和為48.

【分析】分兩種情況討論：①若〃-13<6后4〃+31,②若〃T3<4w+31W6〃，分別依據(jù)三角形三邊關(guān)系

進(jìn)行求解即可.

n-13+6n>4n+31

【解答】解：①若13<6wW4”+31,則

6n44n+31

、44

即絲<忘罵,

解得

―2132

n42

正整數(shù)〃有1個(gè)：15；

n-13+4n+31〉6n

②若〃T3V4〃+31W6”,則

4n+3l46n

fn<18

解得

2

正整數(shù)”有2個(gè)：16和17；

綜上所述，滿足條件的〃的值有3個(gè)，它們的和=15+16+17=48；

故答案為：48.

5.（2022?蘇州模擬）已知：如圖所示，在△A8C中，點(diǎn)。，E,尸分別為8C,AD,CE的中點(diǎn)，且SMBC

=4cm2,則陰影部分的面積為1cm2.

因,

BDC.

【分析】易得△AB。，△AC。為AABC面積的一半，同理可得ABEC的面積等于△ABC面積的一半，那

么陰影部分的面積等于aBEC的面積的一半.

【解答】解：???。為8C中點(diǎn)，根據(jù)同底等高的三角形面積相等，

11人

??S/^ABD=S/^ACD=—S^ABC=—X4=2(cm~)，

22

同理SABDE—SACDE=—S^BCE——X2=l(cm2)，

22

S^BCE—2Carr')，

:尸為EC中點(diǎn)，

SABEF=—SABCE=—X2=1(cm2).

22

故答案為1.

易錯(cuò)題02與三角形有關(guān)的角

1.三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角.每個(gè)三角形都有三個(gè)內(nèi)角，且每個(gè)內(nèi)

角均大于0°且小于18。.

2.三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180。.

3.三角形外角的定義：三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角，叫做三角形的外角.

三角形共有六個(gè)外角，其中有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)相等，因此共有三對(duì).

4.三角形的外角性質(zhì)：

①三角形的外角和為360°.

②三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.

③三角形的一個(gè)外角大于和它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角.

變式練習(xí)

1.(2022秋?濱城區(qū)校級(jí)期末)AABC中，給出下列條件：

?ZA=ZB-ZC,

②/A：ZB：ZC=1：2：3,

③/A=2NB=3NC,

④點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn)，且CD=—AB.

2

其中能判定AABC是直角三角形的有()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出最大的內(nèi)角，即可判斷①②③，然后根據(jù)點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn)，且

CD^AB.求出NA+/B=90°,即可判斷④，進(jìn)而可以解決問題.

【解答】解：?vZA=ZB-ZC,

ZA+ZC=ZB,

VZA+ZB+ZC=180°,

，2/B=180°,

：.ZB^90°,

.二△ABC是直角三角形；

②；NA：ZB：NC=1：2：3,ZA+ZB+ZC=180°,

，最大角/C=180°X—？—=90°,

1+2+3

...△ABC是直角三角形；

@VZA=2ZB=3ZC,ZA+ZB+ZC=180°,

.\ZA+—ZA+—ZA=180°,

23

所以AABC不是直角三角形；

④：點(diǎn)。是邊A8的中點(diǎn)，且Cr>=」AB,

2

A

C'-----------

：.AD=CD=BD,

：.ZA=ZDCA,ZB=ZDCB,

VZA+ZB+ZACB=180°,

.?.2/4+2/8=180°,

/.ZA+ZB=90°,

...△ABC是直角三角形，

綜上所述：能判斷△ABC是直角三角形的有3個(gè).

故選：C.

2.（2022秋?青島期末）如圖，AB//DE,ZABC=80°,ZCDE=140°,則/BCD的度數(shù)為（）

A.30°B.40°C.60°D.80°

【分析】根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等以及三角形外角和定理即可解答.

【解答】解：反向延長(zhǎng)。E交BC于如圖：

AB

DE

r

\9AB//DE,

：.ZBMD=ZABC=SO°,

：.ZCMD=1SO°-ZBMD=100°；

又ZCDE=ZCMD+ZC,

：.ZBCD=ZCDE-ZCM￡>=140°-100°=40°.

故選：B.

3.（2022秋?碑林區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，ZA=ZABCf5H是NA3C的平分線，和。。是4

ABC兩個(gè)外角的平分線，D、C、H三點(diǎn)在一條直線上，下列結(jié)論中：①DB工BH；②/D=90°-yZA；

?DH//AB；④/A；⑤/CBD=ND,其中正確的是（

A

D.①②③④⑤

【分析】①根據(jù)BH、BD是/A8C與/CBE的平分線，可得/A8C=2/C8”，ZCBE=2ZCBD,再由

鄰補(bǔ)角的性質(zhì)，可得①正確；②根據(jù)8D和CD是△ABC兩個(gè)外角的平分線，可得

ZD=1800蔣(180°-ZABC)-y(180°-ZACB)?可得②正確；③根據(jù)/A=/A8C,可得/BCF

ZA+ZABC=2ZABC,可得/ABC,可得③正確；④根據(jù)/D=90°-yZA,ZDBH=90°,

可得④正確；⑤根據(jù)/A8C+/C8E=180°,BD平分/CBE,可得/CBD=90°-yZABC-再由/A=

ZABC,可得NCBD=90°-yZA＞可得⑤正確，即可求解.

【解答】解：①；BH、2。是NABC與/CBE的平分線,

NABC=2ZCBH,ZCBE=2ZCBD,

VZABC+ZCBE=180°,

：.ZCBH+ZCBD=90°,即/。B〃=90°,

：.DB±BH,故①正確;

②和CO是△ABC兩個(gè)外角的平分線,

.?.ZZ)=180°-ZDBC-ZDCB

=180。-/NEBC-^NBCF

=180°-y(180°-/ABC)蔣(180°-ZACB)

=y(ZABC+ZACB)

(1800-ZA)

=90°故②正確；

③：ZA=ZABC,

：.ZBCF=ZA+ZABC=2ZABC,

：C￡)是/8CP的平分線，

?'-ZBCD=yZBCF=ZABC>

：.DH//AB,故③正確；

④???/D=90°蔣NA,NDBH=90°,

?1?ZH=90°-ND卷NA,故④正確；

@</ZABC+ZCBE^180°,BD平分/CBE,

?'?ZCBD=yZCBE=y(180°-/ABC)=90°-yZABC-

??ZA=ZABC,

?'-ZCBD=900蔣NA，

1?,ZD=90"4/A，

:.NCBD=ND,故⑤正確.

綜上所述，正確的有①②③④⑤.

故選：D.

4.(2022秋?泰興市期末)已知，如圖，△ABC中，NA8C=48°,/ACB=84°,點(diǎn)。