2025年中考數(shù)學(xué)幾何模型綜合訓(xùn)練專題11三角形中的重要模型之等直內(nèi)接等直模型與等直+高分模型解讀與提分精練（學(xué)生版）

專題11三角形中的重要模型之等直內(nèi)接等直模型與等直+高分模型

等腰直角三角形，是初中數(shù)學(xué)中重要的特殊三角形，性質(zhì)非常豐富！常見常用的性質(zhì)大都以“等腰三角

形”、“直角三角形”、“對稱”、“旋轉(zhuǎn)拼接”、“勾股比1:1:2”、“45°輔助線”、“半個正方形”等角度拓展延伸，

常在選填題中以壓軸的形式出現(xiàn)。今天在解題探究學(xué)習(xí)中，碰到一道以等腰直角三角形為背景的幾何題，

有些難度，同時獲得一連串等腰直角三角形的“固定性質(zhì)”，并且具有“思維連貫性”+“思路延展性”，結(jié)合常

用條件，可以“伴生”解決好多等腰直角三角形的幾何問題！

.........................................................................................................................................................................................1

模型1.等直內(nèi)接等直模型..............................................................................................................................1

模型2.等直+高分線模型................................................................................................................................4

...................................................................................................................................................8

模型1.等直內(nèi)接等直模型

等直內(nèi)接等直模型是指在等腰直角三角形斜邊中點(diǎn)作出一個新的等腰直角三角形（該三角形的直角頂點(diǎn)為

原等腰直角三角形的斜邊中點(diǎn)，其他兩頂點(diǎn)落在其直角邊上）。該模型也常以正方形為背景命題。

條件：已知如圖，等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，P為底邊BC的中點(diǎn)，且∠EPF=90°。

結(jié)論：①PE=PF；②PEF為等腰直角三角形（由①②推得）；③AE=FB或CE=AF；④AEAF2AP；

1222

⑤SS；⑥CEBFEF。

AEPF2ABC

（注意題干中的條件：∠EPF=90°，可以和結(jié)論③調(diào)換，其他結(jié)果依然可以證明的哦?。?/p>

1

證明：∵等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)APBPPCBC,APBC

2

APEAPFCPEAPE90APFCPE同理可得：PAFC45，

APFCPE(ASA)AFCE,PEPF，∵AB=AC，∴AE=FB；

又EPF是直角，EPF是等腰直角三角形，同理：易證ABP是等腰直角三角形。

∴AE+AF=FB+AF=AB，∴AEAF2AP。

1

APFCPE(ASA)，∴SAEPF=SAEP+SAPF=SAEP+SCPE=SAPC，∴SS。

AEPF2ABC

∵AE=FB，CE=AF，∠BAC=90°；∴CE2BF2AF2AE2EF2

例1．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，在ABC中，A90，ABAC6，D為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E，

F分別在邊AB，AC上，AECF，則四邊形AEDF的面積為（）

A．18B．92C．9D．62

例2．（2024·天津·模擬預(yù)測）如圖，已知ABC中，ABAC6，BAC90，直角EPF的頂點(diǎn)P是BC

中點(diǎn)，兩邊PE、PF分別交AB、AC于點(diǎn)E、F，當(dāng)EPF在ABC內(nèi)繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時（點(diǎn)E不與A、B重

合），給出下列四個結(jié)論：①EPF是等腰三角形；②M為EF中點(diǎn)時，AMPMEF；③EFAB；④△BEP

和PCF的面積之和等于9，上述結(jié)論中始終正確的有（）個．

A．1B．2C．3D．4

例3．（23-24九年級上·四川內(nèi)江·期末）如圖，邊長為1的正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，∠

MPN為直角，使點(diǎn)P與點(diǎn)O重合，直角邊PM，PN分別與OA，OB重合，然后逆時針旋轉(zhuǎn)∠MPN，旋轉(zhuǎn)

角為θ（0°＜θ＜90°），PM，PN分別交AB，BC于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，連接EF交OB于點(diǎn)G，則下列結(jié)論：①EF

＝2OE；②S四邊形OEBF：S正方形ABCD＝1：4；③BE+BF＝2OA；④在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)BEF與COF的面積

3△△

之和最大時，AE＝；⑤OG?BD＝AE2+CF2．其中結(jié)論正確的個數(shù)是（）

4

A．2個B．3個C．4個D．5個

例4．（23-24八年級上·山西呂梁·期末）綜合與探究

問題提出：某興趣小組在綜合與實(shí)踐活動中提出這樣一個問題：在等腰直角三角板ABC中，BAC90，

ABAC，D為BC的中點(diǎn)，用兩根小木棒構(gòu)建角，將頂點(diǎn)放置于點(diǎn)D上，得到MDN，將MDN繞點(diǎn)D

旋轉(zhuǎn)，射線DM，DN分別與邊AB，AC交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，如圖1所示．

(1)操作發(fā)現(xiàn)：如圖2，當(dāng)E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)時，試猜想線段DE與DF的數(shù)量關(guān)系是________，

位置關(guān)系是________．

(2)類比探究：如圖3，當(dāng)E，F(xiàn)不是AB，AC的中點(diǎn)，但滿足BEAF時，判斷DEF形狀，并說明理由．

(3)拓展應(yīng)用：①如圖4，將MDN繞點(diǎn)D繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，射線DM，DN分別與AB，CA的延長線交于E，F(xiàn)

兩點(diǎn)，滿足BEAF，DEF是否仍然具有（2）中的情況？請說明理由；

②若在MDN繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)的過程中，射線DM，DN分別與直線AB，CA交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，滿足BEAF，

若AB=a，BEb，則AE________（用含a，b的式子表示）．

模型2.等直+高分線模型

等直+高分線模型模型是指在等腰直角三角形過其中一個角所在頂點(diǎn)作另一個底角平分線的垂線。

條件：如圖，ABC中，ABC=45，CDAB于D，BE平分ABC，且BEAC于E，與CD相交于點(diǎn)

F，H是BC邊的中點(diǎn)，連接DH與BE相交于點(diǎn)G．

1DF2

結(jié)論：①BFAC；②CEBF；③DGF是等腰三角形；④BDDFBC；⑤．

2FC2

證明：CDAB，BEAC，BDCADCAEB90，

AABE90，ABEDFB90，ADFB，

ABC45，BDC=90，DCB904545DBC，BDDC，

BDFCDA

在BDF和CDA中ADFB，ΔBDF≌ΔCDA(AAS)，BFAC．

BDCD

BE平分ABC，ABC=45，ABEEBC22.5

11

∵BEAC，ABCA67.5，BABC，BEAC，AEECACBF，

22

BDC=90，BHHC，BHG90，BDFBHG90，

ABECBE22.5，BGHBFD67.5，DGFDFG67.5，

DGDF，DGF是等腰三角形．ΔBDF≌ΔCDA，DFAD，BCABBDADBDDF，

SBDFBD

BE平分ABC，點(diǎn)F到AB的距離等于點(diǎn)F到BC的距離，，

SBCFBC

SDFBD2DFDFBDDFBD12

∵BDF，∴，∵三角形BDC是等腰直角三角形，∴。

SBCFFCBD2FCFCBCFCBC22

例1．（23-24九年級下·浙江金華·階段練習(xí)）如圖，在VABC中，ABC45，CDAB于D，BE平分ABC，

且BEAC于E，與CD相交于點(diǎn)F，H是BC邊的中點(diǎn)，連接DH與BE相交于點(diǎn)G，以下結(jié)論中：

①VABC是等腰三角形；②BFAC；③BH:BD:BC1:2:2；④GE2CE2BG2．

正確的結(jié)論有（）

A．4個B．3個C．2個D．1個

例2．（23-24八年級上·山東臨沂·期中）如圖，等腰Rt△ABC中，ABAC,BAC90,ADBC于點(diǎn)D，

ABC的平分線分別交AC、AD于E、F兩點(diǎn)，M為EF的中點(diǎn)，AM的延長線交BC于點(diǎn)N，連接DM，

下列結(jié)論：①DFDN；②△AFE為等腰三角形；③NAC22.5；④AENC，其中正確結(jié)論有（）

A．1個B．2個C．3個D．4個

例3．（23-24八年級·浙江杭州·階段練習(xí)）已知：如圖，ABC中，ABC=45，CDAB于D，BE平分ABC，

且BEAC于E，與CD相交于點(diǎn)F，H是BC邊的中點(diǎn)，連結(jié)DH與BE相交于點(diǎn)G．（1）說明：BFAC；

1

（2）說明：CEBF；（3）試探索CE，GE,BG之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

2

例4．（23-24八年級上·廣東東莞·期末）如圖，等腰直角VABC中，CAB90，ACAB，點(diǎn)E為BC上

一點(diǎn)，BDAE于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)D，AHCB于點(diǎn)H，交BD于點(diǎn)G，連接DE，MH．

(1)若BEBA，求證：BD垂直平分AE；(2)若點(diǎn)E在線段CH上運(yùn)動．

①請判斷CE與AG的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②求證：MH平分EMB．

1．（23-24山東威海九年級上期中）已知VABC中，ACBC4，ACB90，D是AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E、

F分別在AC、BC邊上運(yùn)動，且保持AECF．連接DE、DF、EF得到下列結(jié)論：①DEF是等腰直角

三角形；②△CEF面積的最大值是2；③EF的最小值是2．其中正確的結(jié)論是（）

A．②③B．①②C．①③D．①②③

2．（2024·廣東汕頭·二模）如圖，四邊形ABCD為正方形，CAB的平分線交BC于點(diǎn)E，將ABE繞點(diǎn)B

順時針旋轉(zhuǎn)90°得到VCBF，延長AE交CF于點(diǎn)G，連接BG，DG與AC相交于點(diǎn)H．有下列結(jié)論：①BEBF；

AE

②ACFF；③BGDG；④2，其中正確的結(jié)論有（）個

DH

A．1B．2C．3D．4

3．（2024·山東泰安·模擬預(yù)測）如圖，等腰直角VABC中，BAC90，ADBC于點(diǎn)D，ABC的平分

線分別交AC，AD于點(diǎn)E，F(xiàn)，M為EF中點(diǎn)，AM延長線交BC于點(diǎn)N，連接DM，下列結(jié)論：①DFDN；

②FMAM2DM；③DM平分BMN；④SABMSDBM；⑤MNBFBDCN，其中正確結(jié)論的個數(shù)

是（）

A．2B．3C．4D．5

4．（2023·廣東深圳·模擬預(yù)測）如圖，ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于點(diǎn)D，BE平分∠ABC，且BE⊥

AC于點(diǎn)E，與CD交于F，H是BC邊△的中點(diǎn)，連接DH與BE交于點(diǎn)G，則下列結(jié)論：①BF＝AC；②∠A

＝∠DGE；③CE＜BG；④SADC＝S四邊形CEGH；⑤DG?AE＝DC?EF中，正確結(jié)論的個數(shù)是（）

△

A．2B．3C．4D．5

5．（2024·湖南長沙·一模）如圖，在ABC中，BAC90，ABAC．點(diǎn)E是AC邊上的中點(diǎn)，連接BE，

將ABE繞A點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)90，得到ACD，延長BE交DC于點(diǎn)G，連接AG，過點(diǎn)A作AFAG，交BG

于點(diǎn)F．現(xiàn)有如下四個結(jié)論：①AGD45；②EG:GC:FE1:2:3；③FEEGGC；④S△ADC2S△AEF

中正確的個數(shù)為（）

A．1個B．2個C．3個D．4個

6．（2024·江蘇淮安·三模）如圖，VABC中，ABC45，CDAB于D，BE平分ABC，且BEAC于

1S△BDFBD

E，與CD相交于點(diǎn)F．下列結(jié)論：①BFAC；②CEBF；③BDDFBC；④，其中

2S△BCFBC

正確的結(jié)論有（）

A．4個B．3個C．2個D．1個

7．（2024·遼寧朝陽·模擬預(yù)測）如圖，在正方形ABCD中，對角線AC,BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在BC邊上，

且CE2BE，連接AE交BD于點(diǎn)G，過點(diǎn)B作BFAE于點(diǎn)F，連接OF并延長，交BC于點(diǎn)M，過點(diǎn)O

9GE131035

作OPOF交DC于占N，S四邊形MONC，現(xiàn)給出下列結(jié)論：①；②sinBOF；③OF；

4AG3105

④OGBG；其中正確的結(jié)論有（）

A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④

8．（2024·黑龍江·二模）如圖，等腰直角三角形ABC中，BAC90，ADBC于D，ABC的平分線

分別交AC、AD于E、F兩點(diǎn)，M為EF的中點(diǎn)，延長AM交BC于點(diǎn)N，連接FN，NE．下列結(jié)論：①

AEAF；②AB2BMBE；③△AEF是等邊三角形；④BFAN；⑤四邊形AENF是菱形，正確結(jié)論的

序號是（）

A．②④⑤B．①②③④⑤C．①③④D．①②④⑤

9．（23-24九年級上·江蘇南通·階段練習(xí)）如圖，已知VABC中，ABAC8，BAC90，直角EPF的

頂點(diǎn)P是BC中點(diǎn)，兩邊PE、PF分別交AB、AC于點(diǎn)E、F，當(dāng)EPF在VABC內(nèi)繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時（點(diǎn)E

1

不與A、B重合），給出以下四個結(jié)論：①AECF；②EPF是等腰直角三角形；③S四邊形S△ABC；

AEPF2

④BECFEF；⑤△BEP與△PFC的面積和無法確定．上述結(jié)論中始終正確的有（）

A．①②③B．①②⑤C．①③⑤D．②③④

10.（23-24九年級上·廣東河源·期中）如圖，在正方形ABCD中，AB4，AC，BD相交于點(diǎn)O，E，F(xiàn)分

別為邊BC，CD上的動點(diǎn)（點(diǎn)E，F(xiàn)不與線段BC，CD的端點(diǎn)重合）且BECF，連接OE，OF，EF．在點(diǎn)E，

F運(yùn)動的過程中，有下列四個結(jié)論：①OEF始終是等腰直角三角形；②OEF面積的最小值是2；③至少

存在一個△ECF，使得△ECF的周長是423；④四邊形OECF的面積始終是4．其中結(jié)論正確的有（）

A．①②③B．②③④C．①②④D．①②③④

11．（2024·重慶·中考模擬預(yù)測）如圖，在等腰直角ACB90，O是斜邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D、E分別在直角

邊AC、BC上，且DOE90，DE交OC于點(diǎn)P．則下列結(jié)論：

（1）圖形中全等的三角形只有兩對；（2）VABC的面積等于四邊形CDOE的面積的2倍；（3）CDCE2OA；

（4）AD2BE22OPOC．其中正確的結(jié)論有（）

A．1個B．2個C．3個D．4個

12．（23-24九年級上·遼寧丹東·期中）如圖，在正方形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在BC邊

上，且CE2BE，連接AE交BD于點(diǎn)G，過點(diǎn)B作BFAE于點(diǎn)F，連接OF并延長，交BC于點(diǎn)M，過

9GE1

點(diǎn)O作ONOF交DC于點(diǎn)N，S四邊形，以下四個結(jié)論：①；②正方形ABCD的面積為9；

MONC4AG3

35

③OGBG；④OF，其中正確的結(jié)論有（）

5

A．1個B．2個C．3個D．4個

13．（2024·黑龍江·?？家荒＃┤鐖D，在面積為4的正方形ABCD中，O是對角線AC,BD的交點(diǎn)，過點(diǎn)O作

射線OM,ON分別交BC,CD于點(diǎn)E,F，且EOF90o,OC,EF交于點(diǎn)G．下列結(jié)論：①VFOCVEOB；

②VOGE:VFGC；③四邊形CEOF的面積為1;④DF2BE22OGOC．其中結(jié)論正確的序號有（）

A．①②③B．①②

C．③④D．①②③④

14．（23-24八年級上·廣東茂名·期中）如圖所示，在等腰直角?ABC中，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，DEDF，DE

交AB于E，DF交BC于F，若AE=23，EF=4，則FC的長是．

15．（2024廣東九年級模擬（二模））一副三角板按如圖1放置，圖2為簡圖，D為AB中點(diǎn)，E、F分別是

一個三角板與另一個三角板直角邊AC、BC的交點(diǎn)，已知AE=2，CE=5，連接DE，M為BC上一點(diǎn)，且滿

足∠CME=2∠ADE，EM=．

16．（23-24九年級上·陜西榆林·期末）如圖，在正方形ABCD中，AB2，對角線AC、BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、

F分別為邊BC、CD上的動點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），且BECF，連接OE、OF、EF，則線段EF的最小值

為．

17．（2024