2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1章 三角函數(shù) 1.2.2 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（教師用書）教學(xué)實(shí)錄 新人教A版必修4

2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1章三角函數(shù)1.2.2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（教師用書）教學(xué)實(shí)錄新人教A版必修4課題：科目：班級(jí)：課時(shí)：計(jì)劃1課時(shí)教師：?jiǎn)挝唬阂?、教學(xué)內(nèi)容教材：新人教A版必修4

章節(jié)：第1章三角函數(shù)

內(nèi)容：1.2.2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，包括正弦、余弦、正切、余切、正割、余割六種基本三角函數(shù)的定義、性質(zhì)和相互關(guān)系，以及特殊角的三角函數(shù)值。二、核心素養(yǎng)目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，使學(xué)生能夠理解三角函數(shù)的基本關(guān)系，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力，提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，同時(shí)增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和直觀想象能力。三、學(xué)情分析本節(jié)課面向的是高中一年級(jí)的學(xué)生，他們已經(jīng)具備了初等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，對(duì)于函數(shù)的概念和圖像有一定的了解。在知識(shí)層面，學(xué)生能夠熟練運(yùn)用一次函數(shù)、二次函數(shù)等基本函數(shù)的性質(zhì)和圖像。然而，對(duì)于三角函數(shù)這一新概念，學(xué)生可能存在以下特點(diǎn)：

1.學(xué)生對(duì)三角函數(shù)的概念理解較為模糊，缺乏直觀的感受。部分學(xué)生可能對(duì)正弦、余弦等三角函數(shù)圖像的特征和變化規(guī)律認(rèn)識(shí)不足，難以建立良好的數(shù)學(xué)模型。

2.在能力層面，學(xué)生具備一定的數(shù)學(xué)運(yùn)算和推理能力，但面對(duì)復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，可能存在邏輯混亂、推理過(guò)程不清晰的問(wèn)題。

3.素質(zhì)方面，學(xué)生在課堂上的參與度較高，但部分學(xué)生可能存在依賴性強(qiáng)、自主學(xué)習(xí)能力不足的情況。此外，學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作能力、創(chuàng)新思維等方面還有待提高。

4.行為習(xí)慣方面，學(xué)生在課堂學(xué)習(xí)中普遍能遵守紀(jì)律，但個(gè)別學(xué)生可能存在注意力不集中、隨意發(fā)問(wèn)等問(wèn)題，這對(duì)課程學(xué)習(xí)產(chǎn)生了一定的影響。

針對(duì)以上學(xué)情，本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)將注重以下幾點(diǎn)：

1.結(jié)合學(xué)生實(shí)際，通過(guò)直觀的圖形和實(shí)例，幫助學(xué)生理解三角函數(shù)的基本關(guān)系。

2.通過(guò)小組合作、探究式學(xué)習(xí)等教學(xué)方法，培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和團(tuán)隊(duì)合作精神。

3.引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，提高學(xué)生的邏輯推理能力和創(chuàng)新思維。

4.加強(qiáng)課堂紀(jì)律管理，關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)，確保教學(xué)活動(dòng)的順利進(jìn)行。四、教學(xué)方法與手段教學(xué)方法：

1.講授法：結(jié)合PPT演示，系統(tǒng)講解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，確保學(xué)生掌握基本概念和性質(zhì)。

2.討論法：組織學(xué)生分組討論特殊角的三角函數(shù)值，通過(guò)交流促進(jìn)理解和記憶。

3.實(shí)驗(yàn)法：引導(dǎo)學(xué)生利用幾何畫板等軟件，動(dòng)手操作，探究三角函數(shù)圖像的變化規(guī)律。

教學(xué)手段：

1.多媒體輔助教學(xué)：利用PPT展示三角函數(shù)圖像和性質(zhì)，提高教學(xué)的直觀性和趣味性。

2.互動(dòng)式教學(xué)軟件：借助教學(xué)軟件進(jìn)行互動(dòng)練習(xí)，及時(shí)反饋學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，增強(qiáng)學(xué)習(xí)效果。

3.實(shí)物教具：準(zhǔn)備三角板等教具，幫助學(xué)生直觀感受三角函數(shù)的變化。五、教學(xué)過(guò)程一、導(dǎo)入新課

（教師）同學(xué)們，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的基本概念，了解了正弦、余弦、正切等基本函數(shù)。今天，我們將繼續(xù)深入探討同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，這是理解三角函數(shù)性質(zhì)和運(yùn)用的重要基礎(chǔ)。請(qǐng)大家準(zhǔn)備好，我們一起來(lái)揭開這個(gè)數(shù)學(xué)世界的神秘面紗。

（學(xué)生）好的，老師。

二、新課講解

1.同角三角函數(shù)的定義

（教師）首先，我們來(lái)明確一下同角三角函數(shù)的定義。假設(shè)有一個(gè)直角三角形，其中角A是直角，角B和角C分別是銳角。如果我們?cè)诮荁和角C的位置各取一個(gè)單位圓，那么在角B和角C的位置的切線與單位圓相交的點(diǎn)，分別對(duì)應(yīng)了正弦和余弦函數(shù)的值。接下來(lái)，我將通過(guò)PPT展示，讓大家更直觀地看到這一過(guò)程。

（學(xué)生）老師，我們能不能先討論一下，為什么我們要研究同角三角函數(shù)的關(guān)系呢？

（教師）這是一個(gè)很好的問(wèn)題。同角三角函數(shù)的關(guān)系可以幫助我們更好地理解三角函數(shù)的性質(zhì)，解決實(shí)際問(wèn)題。接下來(lái)，我會(huì)逐步講解。

2.同角三角函數(shù)的性質(zhì)

（教師）現(xiàn)在，我們知道了同角三角函數(shù)的定義，接下來(lái)，我們來(lái)探討它們的性質(zhì)。首先，正弦和余弦函數(shù)的值在0到π/2之間是遞增的，在π/2到π之間是遞減的。正切函數(shù)在0到π/2之間是遞增的，在π/2到π之間是遞減的。這些性質(zhì)對(duì)于我們理解和運(yùn)用三角函數(shù)非常重要。

（學(xué)生）老師，這些性質(zhì)怎么證明呢？

（教師）這是一個(gè)很好的問(wèn)題。我們可以通過(guò)幾何證明來(lái)證明這些性質(zhì)。接下來(lái)，我會(huì)通過(guò)PPT展示證明過(guò)程。

3.同角三角函數(shù)的關(guān)系式

（教師）通過(guò)前面的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)知道了同角三角函數(shù)的性質(zhì)?，F(xiàn)在，我們來(lái)探討它們之間的關(guān)系式。例如，正弦和余弦之間的關(guān)系式是sin2θ+cos2θ=1。這些關(guān)系式可以幫助我們?cè)趯?shí)際問(wèn)題中快速求解三角函數(shù)的值。

（學(xué)生）老師，這些關(guān)系式有什么實(shí)際應(yīng)用嗎？

（教師）當(dāng)然有。在工程、物理等領(lǐng)域，這些關(guān)系式可以幫助我們解決很多實(shí)際問(wèn)題。接下來(lái)，我會(huì)通過(guò)幾個(gè)例子來(lái)展示這些關(guān)系式的應(yīng)用。

三、課堂練習(xí)

1.單項(xiàng)選擇題

（教師）現(xiàn)在，我們來(lái)做一些單項(xiàng)選擇題，檢驗(yàn)一下大家的學(xué)習(xí)效果。

（學(xué)生）好的，老師。

2.應(yīng)用題

（教師）接下來(lái)，我們來(lái)解決一些應(yīng)用題，這些題目將考察大家運(yùn)用同角三角函數(shù)關(guān)系式解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

（學(xué)生）好的，老師。

四、課堂小結(jié)

（教師）同學(xué)們，今天我們學(xué)習(xí)了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系。通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們掌握了同角三角函數(shù)的定義、性質(zhì)和關(guān)系式。希望大家能夠熟練運(yùn)用這些知識(shí)，解決實(shí)際問(wèn)題。

（學(xué)生）謝謝老師，我們一定會(huì)努力學(xué)習(xí)的。

五、布置作業(yè)

（教師）今天的作業(yè)是：完成課本上的練習(xí)題，并嘗試自己解決一些實(shí)際問(wèn)題。

（學(xué)生）好的，老師。

六、課堂反思

（教師）今天的課程，我通過(guò)講解、討論、練習(xí)等多種教學(xué)方法，幫助同學(xué)們理解了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系。在今后的教學(xué)中，我將繼續(xù)關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，及時(shí)調(diào)整教學(xué)策略，提高教學(xué)效果。

（學(xué)生）老師，您今天的課講得很好，我們學(xué)到了很多知識(shí)。

七、課后輔導(dǎo)

（教師）如果同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)過(guò)程中遇到任何問(wèn)題，可以隨時(shí)來(lái)找我。我會(huì)盡力幫助大家解決。

（學(xué)生）好的，老師，我們一定不會(huì)辜負(fù)您的期望。六、拓展與延伸1.提供與本節(jié)課內(nèi)容相關(guān)的拓展閱讀材料：

-《三角函數(shù)在工程中的應(yīng)用》：介紹三角函數(shù)在建筑、機(jī)械設(shè)計(jì)、航空航天等領(lǐng)域的應(yīng)用實(shí)例，幫助學(xué)生理解三角函數(shù)的實(shí)用價(jià)值。

-《三角函數(shù)在物理中的角色》：探討三角函數(shù)在波動(dòng)、振動(dòng)、光學(xué)等物理現(xiàn)象中的應(yīng)用，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)三角函數(shù)在科學(xué)領(lǐng)域重要性的認(rèn)識(shí)。

-《三角函數(shù)與計(jì)算機(jī)圖形學(xué)》：介紹三角函數(shù)在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中的運(yùn)用，如三維建模、動(dòng)畫制作等，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)與科技結(jié)合的興趣。

2.鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行課后自主學(xué)習(xí)和探究：

-學(xué)生可以嘗試自己推導(dǎo)正弦、余弦、正切等三角函數(shù)的圖像變化規(guī)律，并分析其在不同象限內(nèi)的性質(zhì)。

-探究三角函數(shù)在解三角形問(wèn)題中的應(yīng)用，如求解三角形的邊長(zhǎng)和角度。

-通過(guò)編程實(shí)踐，利用三角函數(shù)實(shí)現(xiàn)圖形的旋轉(zhuǎn)、縮放等變換，加深對(duì)三角函數(shù)幾何意義的理解。

-研究三角函數(shù)在解決實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，如城市規(guī)劃、建筑設(shè)計(jì)、天文觀測(cè)等，提高學(xué)生的實(shí)際問(wèn)題解決能力。

-課外閱讀《數(shù)學(xué)之美》等科普書籍，了解數(shù)學(xué)在各個(gè)領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣和探索欲望。

3.拓展知識(shí)點(diǎn)：

-復(fù)合三角函數(shù)：學(xué)習(xí)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，如sin(2θ)、cos(3θ)等，掌握復(fù)合函數(shù)的圖像和性質(zhì)。

-三角函數(shù)的反函數(shù)：研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的反函數(shù)，如arcsin(x)、arccos(x)等，了解反函數(shù)的定義和性質(zhì)。

-三角函數(shù)的級(jí)數(shù)展開：探討三角函數(shù)的級(jí)數(shù)展開，如正弦函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)展開，加深對(duì)三角函數(shù)連續(xù)性和可導(dǎo)性的理解。

-三角函數(shù)的積分：學(xué)習(xí)三角函數(shù)的積分公式，如sin(x)和cos(x)的積分，掌握積分運(yùn)算的基本方法。

-三角函數(shù)在微積分中的應(yīng)用：研究三角函數(shù)在微分和積分中的應(yīng)用，如求解微分方程、計(jì)算定積分等。七、課堂1.課堂評(píng)價(jià)

課堂評(píng)價(jià)是教學(xué)過(guò)程中不可或缺的一環(huán)，它有助于教師了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，及時(shí)調(diào)整教學(xué)策略，確保教學(xué)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)。

（1）提問(wèn)評(píng)價(jià)

提問(wèn)是課堂評(píng)價(jià)的重要手段之一。在課堂上，我將通過(guò)提問(wèn)的方式，檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)三角函數(shù)基本關(guān)系的理解和掌握程度。具體措施如下：

-設(shè)計(jì)不同難度的提問(wèn)，包括基礎(chǔ)知識(shí)和應(yīng)用題，以覆蓋不同層次的學(xué)生。

-鼓勵(lì)學(xué)生積極參與回答，培養(yǎng)他們的表達(dá)能力和自信心。

-對(duì)學(xué)生的回答進(jìn)行及時(shí)點(diǎn)評(píng)，肯定正確答案，糾正錯(cuò)誤，幫助學(xué)生鞏固知識(shí)點(diǎn)。

（2）觀察評(píng)價(jià)

觀察是課堂評(píng)價(jià)的另一種有效方式。通過(guò)觀察學(xué)生的課堂表現(xiàn)，我可以了解他們的學(xué)習(xí)態(tài)度、參與度和學(xué)習(xí)效果。

-觀察學(xué)生在課堂上的注意力集中程度，確保他們能夠?qū)Ｗ⒂诮虒W(xué)內(nèi)容。

-觀察學(xué)生的課堂互動(dòng)情況，包括與同學(xué)和教師的交流，以及小組合作的效果。

-觀察學(xué)生在課堂練習(xí)中的表現(xiàn)，了解他們的解題思路和實(shí)際操作能力。

（3）測(cè)試評(píng)價(jià)

測(cè)試是課堂評(píng)價(jià)的重要手段，可以全面評(píng)估學(xué)生的學(xué)習(xí)成果。我將定期進(jìn)行小測(cè)驗(yàn)，以檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)三角函數(shù)基本關(guān)系的掌握情況。

-設(shè)計(jì)測(cè)試題，包括選擇題、填空題和解答題，以全面評(píng)估學(xué)生的知識(shí)水平。

-測(cè)試題難度適中，既考察基礎(chǔ)知識(shí)，也考察學(xué)生的應(yīng)用能力。

-對(duì)測(cè)試結(jié)果進(jìn)行分析，找出學(xué)生的薄弱環(huán)節(jié)，針對(duì)性地進(jìn)行輔導(dǎo)。

2.作業(yè)評(píng)價(jià)

作業(yè)是課堂教學(xué)的延伸，也是課堂評(píng)價(jià)的重要補(bǔ)充。通過(guò)作業(yè)評(píng)價(jià)，我可以了解學(xué)生在課后對(duì)知識(shí)的鞏固情況。

（1）認(rèn)真批改作業(yè)

對(duì)學(xué)生的作業(yè)進(jìn)行認(rèn)真批改，是作業(yè)評(píng)價(jià)的基礎(chǔ)。我將做到以下幾點(diǎn)：

-仔細(xì)審閱每一份作業(yè)，確保批改的準(zhǔn)確性和公正性。

-對(duì)學(xué)生的作業(yè)進(jìn)行詳細(xì)點(diǎn)評(píng)，指出優(yōu)點(diǎn)和不足，提出改進(jìn)建議。

-對(duì)作業(yè)中的典型錯(cuò)誤進(jìn)行總結(jié)，并在課堂上進(jìn)行講解，幫助學(xué)生避免類似錯(cuò)誤。

（2）及時(shí)反饋學(xué)習(xí)效果

作業(yè)批改后，我將及時(shí)向?qū)W生反饋學(xué)習(xí)效果，鼓勵(lì)他們繼續(xù)努力。

-通過(guò)課堂講解、個(gè)別輔導(dǎo)等方式，幫助學(xué)生解決作業(yè)中的問(wèn)題。

-鼓勵(lì)學(xué)生在課后主動(dòng)請(qǐng)教，提高他們的自主學(xué)習(xí)能力。

-定期召開家長(zhǎng)會(huì)，與家長(zhǎng)溝通學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，共同促進(jìn)學(xué)生的成長(zhǎng)。八、教學(xué)反思教學(xué)反思，對(duì)于我來(lái)說(shuō)，是一種自我提升的過(guò)程。今天，我想就我們剛剛結(jié)束的三角函數(shù)這一章節(jié)的教學(xué)進(jìn)行一些反思。

首先，我覺得在導(dǎo)入新課的時(shí)候，我可能做得還不夠好。雖然我盡量通過(guò)實(shí)例和問(wèn)題來(lái)激發(fā)學(xué)生的興趣，但是感覺有些學(xué)生還是顯得比較被動(dòng)。我想，或許我可以嘗試更多的互動(dòng)環(huán)節(jié)，比如讓學(xué)生自己提出問(wèn)題，或者通過(guò)小組討論的方式來(lái)引入新課，這樣可能更能調(diào)動(dòng)他們的積極性。

接著，關(guān)于新課的講解，我發(fā)現(xiàn)自己在講解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系時(shí)，可能過(guò)于依賴公式和定理的推導(dǎo)，而沒(méi)有足夠的時(shí)間去幫助學(xué)生理解這些關(guān)系的直觀意義。我覺得，在今后的教學(xué)中，我應(yīng)該更多地結(jié)合圖形和實(shí)例，讓學(xué)生通過(guò)直觀的方式去感受和理解這些數(shù)學(xué)概念。

在課堂練習(xí)環(huán)節(jié)，我發(fā)現(xiàn)一些學(xué)生在解決應(yīng)用題時(shí)遇到了困難。這讓我意識(shí)到，我可能需要更多地關(guān)注學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解深度，而不僅僅是公式和計(jì)算。我計(jì)劃在接下來(lái)的教學(xué)中，設(shè)計(jì)更多貼近實(shí)際生活的練習(xí)題，讓學(xué)生在實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用所學(xué)知識(shí)。

此外，我在課堂上對(duì)學(xué)生回答問(wèn)題的反饋可能不夠及時(shí)。有時(shí)候，我會(huì)因?yàn)榧庇谥v解下一個(gè)知識(shí)點(diǎn)而忽略了學(xué)生的回答。今后，我會(huì)在學(xué)生回答問(wèn)題時(shí)給予更多的關(guān)注和反饋，幫助他們更好地理解問(wèn)題并找到解決問(wèn)題的方法。

在作業(yè)評(píng)價(jià)方面，我發(fā)現(xiàn)自己在批改作業(yè)時(shí)，對(duì)于一些學(xué)生的錯(cuò)誤理解沒(méi)有給予足夠的指導(dǎo)。這讓我意識(shí)到，作業(yè)不僅是檢驗(yàn)學(xué)生學(xué)習(xí)成果的工具，也是我了解學(xué)生學(xué)習(xí)狀態(tài)的重要途徑。因此，我會(huì)在批改作業(yè)時(shí)更加細(xì)致，對(duì)于學(xué)生的錯(cuò)誤給予具體的指導(dǎo)和糾正。

最后，我想說(shuō)的是，教學(xué)是一個(gè)不斷學(xué)習(xí)和調(diào)整的過(guò)程。今天的教學(xué)讓我意識(shí)到，我需要在以下幾個(gè)方面進(jìn)行改進(jìn)：

-提高課堂互動(dòng)性，讓學(xué)生更多地參與到課堂中來(lái)。

-加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解和直觀教學(xué)，幫助學(xué)生建立良好的數(shù)學(xué)思維。

-及時(shí)給予學(xué)生反饋，幫助他們克服學(xué)習(xí)中的困難。

-不斷反思和調(diào)整教學(xué)方法，以適應(yīng)不同學(xué)生的學(xué)習(xí)需求。板書設(shè)計(jì)①本文重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)：

-同角三角函數(shù)的定義

-正弦、余弦、正切、余切、正割、余割六種基本三角函數(shù)

-三角函數(shù)的周期性、奇偶性、單調(diào)性

-三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)

②重點(diǎn)詞句：

-定義：在直角三角形中，一個(gè)銳角的正弦、余弦、正切等三角函數(shù)值。

-周期性：三角函數(shù)的周期性是它們的重要性質(zhì)之一，如正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的周期為2π。

-奇偶性：三角函數(shù)的奇偶性是指函數(shù)值在x軸對(duì)稱時(shí)是否相等，如正弦函數(shù)是奇函數(shù)，余弦函數(shù)是偶函數(shù)。

-單調(diào)性：三角函數(shù)的單調(diào)性是指函數(shù)值隨自變量的增加或減少而增加或減少，如正切函數(shù)在(0,π/2)內(nèi)單調(diào)遞增。

③板書結(jié)構(gòu)：

①三角函數(shù)的定義

-直角三角形

-銳角

-正弦、余弦、正切等

②三角函數(shù)的性質(zhì)

-周