2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-專題二二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系含答案

2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-專題二二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系1.二次函數(shù)y=ax2+bx+ca≠0的圖象與系數(shù)的關(guān)系(如圖1-2-1)2.含α，b，c的代數(shù)式的符號判斷說明：當(dāng)x=m時(shí),y=am2+bm+c,故am2+bm+c的符號由點(diǎn)mam2+bm+c同理am2?bm+c的符號由點(diǎn)?mam2?bm+c(3)ma±b的符號：由對稱軸的位置和a的符號決定由對稱軸x=?b(4)含a,c(或b,c)的代數(shù)式符號判斷判斷代數(shù)式的符號需要尋找不等關(guān)系，一般根據(jù)代數(shù)式中的常數(shù)，合理選擇函數(shù)圖象上的一點(diǎn)(x?，y?)，由該點(diǎn)在函數(shù)圖象上的位置確定y?的符號，得出一個(gè)不等式.y?>0(或y?<0);y?是關(guān)于a，b，c的代數(shù)式，由對稱軸x=?b3.含字母系數(shù)的二次函數(shù)的定點(diǎn)問題應(yīng)用舉例1.二次項(xiàng)系數(shù)a的符號與大小例1如圖1-2-2,在“探索函數(shù)y=ax2+bx+c的系數(shù)a，b，c與圖象的關(guān)系”活動中，老師給出了直角坐標(biāo)系中的四個(gè)點(diǎn)：A(0，2),B(1,0),C(3,1),D(2,3).同學(xué)們探索了經(jīng)過這四個(gè)點(diǎn)中的三個(gè)點(diǎn)的二次函數(shù)圖象，發(fā)現(xiàn)這些圖象對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式各不相同，其中a的值最大為()A.52B.32C.56變式：條件不變，求a的最小值.2.二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系例2二次函數(shù)y=ax2+bx+ca≠0A.ac<0B.4a+b=0C.9a+c<3bD.8a+7b+2c<0【問題分析】四點(diǎn)中的任意三點(diǎn)可確定一個(gè)函數(shù)解析式→要求a的最大值，只需比較開口向上的二次函數(shù)→根據(jù)|a|越大，開口越小，判斷出a最大的拋物線對應(yīng)的三個(gè)點(diǎn)→根據(jù)三點(diǎn)坐標(biāo)求a的值.【問題分析】類比例1求解，注意開口大小由|a|的大小決定，不是a的大小.【問題分析】分析圖象：圖象開口向下，得a<0；對稱軸為直線x=2，得?b2a=2;與y軸交于正半軸,得c>0;9a+c<3b,即9a-3b+c<0,聯(lián)想到當(dāng)x=-3時(shí)的y值；對于8a+7b+2c,無法直接判斷,考慮利用 例3已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的對稱軸為直線x=1，其圖象如圖1-2-4J所示，現(xiàn)有下列結(jié)論：①abc>0;②b-2a<0;③a-b+c>0;④a+b>n(an+b)(n≠1);⑤2c<3b.正確的是()A.①③B.②⑤C.③④D.④⑤變式已知拋物線y=ax2+bx+ca≠0【問題分析】本題的難點(diǎn)在④⑤.由n(an+b)=an2+bn聯(lián)想到y(tǒng)=an2+bn+c;當(dāng)x=1時(shí),y=a+b+c,此時(shí)，二次函數(shù)取得最大值，故一定有an2+bn+c≤a+b+c,注意結(jié)合條件判斷等號是否可以取到；對于2c<3b，根據(jù)函數(shù)圖象，取x=3，可得不等式9a+3b+c<0,由對稱軸x=?b【問題分析】求取值范圍實(shí)質(zhì)上就是求最值(或臨界值).一般思路是將M視為一個(gè)變量的函數(shù).此題中c可求，考慮消去a，b中的一個(gè)，另一個(gè)作為函數(shù)的自變量，再求函數(shù)的最大(小)值，或利用函數(shù)的增減性比較大小.3.二次函數(shù)定點(diǎn)問題例4設(shè)函數(shù)y=m?1求證：無論m取何值，這個(gè)函數(shù)圖象必經(jīng)過兩個(gè)定點(diǎn).變式設(shè)二次函數(shù)y=ax2?a2+1(1)求證：無論a取何值，該函數(shù)圖象必過定點(diǎn)；(2)若該函數(shù)圖象上的一點(diǎn)(2，m)位于第一象限，求證：a>0.【問題分析】函數(shù)圖象過定點(diǎn)，即x的取值與m的值無關(guān)→將解析式整理：含m的項(xiàng)放一起(視x為常量)→令m的系數(shù)為0，求得定點(diǎn)的橫坐標(biāo).本題也可用圖象法和特殊值法求解，同學(xué)們不妨自己試一試.【問題分析】此題與例4相比，難點(diǎn)在于不僅有a，而且有a2，故需將函數(shù)解析式按a的次數(shù)整理，整理后的式子中a2和a的系數(shù)均為0的x值為定點(diǎn)的橫坐標(biāo).進(jìn)階訓(xùn)練1.如圖1-2-5,已知拋物線y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0)經(jīng)過點(diǎn)(2,0),且對稱軸為直線x=12,有下列結(jié)論:①abc>0;②a+b>0;③4a+2b+3c<0;④無論a,b,c取何值,拋物線一定經(jīng)過(2A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)2.如圖1-2-6,二次函數(shù)y=ax2+bx+ca≠0圖象的一部分與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)，對稱軸為直線x=--1，結(jié)合圖象給出下列結(jié)論：①a+b+c=0;②a-2b+c<0;(③關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的兩根分別為-3和1;A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)3.如圖1-2-7所示，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，OA=OC，對稱軸為直線x=1，則下列結(jié)論：①abc<0;②a+12b+14c>0;③ac+b+1=0;④2+c是關(guān)于x的一元二次方程A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)4.設(shè)函數(shù)y=kx2+2k+1(1)寫出其中的兩個(gè)特殊函數(shù)，使它們的圖象不全是拋物線，并在同一直角坐標(biāo)系中，用描點(diǎn)法畫出這兩個(gè)特殊函數(shù)的圖象；(2)根據(jù)所畫圖象，猜想出：對任意實(shí)數(shù)k，函數(shù)的圖象都具有的特征，并給予證明；(3)對任意正實(shí)數(shù)k，設(shè)該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為(m,n),求證:n≤-1.答案|應(yīng)用舉例|例1A[解析]由圖象知，經(jīng)過A，B，D三點(diǎn)的二次函數(shù)圖象開口向上，a>0；經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)的二次函數(shù)圖象開口向上，a>0；經(jīng)過B，C，D三點(diǎn)的二次函數(shù)圖象開口向下，a<0；經(jīng)過A，D，C三點(diǎn)的二次函數(shù)圖象開口向下，a<0.故只需比較經(jīng)過A，B，D三點(diǎn)的二次函數(shù)圖象和經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)的二次函數(shù)圖象.顯然過A，B，D三點(diǎn)的拋物線的開口小于過A，B，C三點(diǎn)的拋物線的開口.而|a|越大，開口越小，∴只需求過A，B，D三點(diǎn)的拋物線的解析式.設(shè)過點(diǎn)A，B，D的二次函數(shù)解析式為y=ax2+bx+c,把，A(0,2),B(1,0),D(2,3)代入,可得c=2,a+b+c=0,4a+2b+c=3,解得a=52變式解：a的最小值必在圖象開口向下的過點(diǎn)B，C，D或A，D，C的二次函數(shù)中取得.∵|a|越大，開口越小，而兩個(gè)負(fù)數(shù)絕對值大的反而小，∴只需求過點(diǎn)B，D，C的拋物線的解析式.設(shè)y=ax2+bx+c,,把B(1,0),C(3,1),D(2,3)代入,可得a+b+c=0,9a+3b+c=1,4a+2b+c=3,解得a=?5例2D[解析]∵圖象開口向下,∴a<0.∵拋物線與y軸交點(diǎn)在x軸上方,∴c>0.∴ac<0.故A不符合題意；∵拋物線對稱軸為直線x=?b∵當(dāng)x=-3時(shí),y<0,∴9a-3b+c<0,∴9a+c<3b.故C不符合題意；∵4a+b=0,∴8a+7b+2c=2(4a+b)+5b+2c=5b+2c.∵a<0,∴b=-4a>0.又∵c>0,∴5b+2c>0,即8a+7b+2c>0,故D符合題意,故選D.例3D[解析]①由圖象可知:a<0,b>0,c>0,∴abc<0,故①錯(cuò)誤.②當(dāng)x=-2時(shí),y=4a-2b+c<0,即b?2a>c2>0,③當(dāng)x=-1時(shí),y=a-b+c<0,故③錯(cuò)誤.④當(dāng)x=1時(shí),y的值最大.此時(shí),y=a+b+c,而當(dāng)x=n(n≠1)時(shí),y=an2+bn+c,所以a+b+c>an2+bn+c,故a+b>an2+bn,,即a+b>n(an+b),故④正確.⑤當(dāng)x=3時(shí)函數(shù)值小于0,y=9a+3b+c<0,:x=?b2a=1,∴a=?b2變式解：∵拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)(-1,0),(0,2),∴a-b+c=0,c=2.∴b=a+2.∴M=9a+3b+c=9a+3(a+2)+2=12a+8.∵頂點(diǎn)在第一象限∴?∴a<0,b>0.∴b=a+2>0.解得-2<a<0.∴-16<12a+8<8,即-16<M<8.例4證明：證法1(消參法)：.y=m?1x2?2x?m+3=令x2-1=0,∴x=±1.當(dāng)x=1時(shí),y=0;當(dāng)x=-1時(shí),y=4.∴此函數(shù)圖象必過定點(diǎn)(1,0)與(-1,4).證法2(圖象法):當(dāng)m=0時(shí),y=?x2?2x+3;當(dāng)m=1時(shí),y=-2x+2;當(dāng)m=2時(shí),y=x2?2x+1.在同一直角坐標(biāo)系中畫出這三個(gè)函數(shù)的圖象. 由圖象猜想函數(shù)圖象必過定點(diǎn)(1，0)與(-1，4).把x=1代入y=m?1把x=-1代入.y=m?1∴此函數(shù)圖象必過定點(diǎn)(1,0)與(-1,4).證法3(特殊值法):當(dāng)m=1時(shí),y=-2x+2;當(dāng)m=2時(shí),y=x2?2x+1.解y=?2x+2,y=x2?2x+1,得把x=1代入.y=m?1把x=-1代入y=m?1即函數(shù)圖象過點(diǎn)(-1，4).∴此函數(shù)圖象必過定點(diǎn)(1,0)與(-1,4).變式證明：(1y=ax2?a2+1∵定點(diǎn)與a值無關(guān),∴1-x=0且x2?1=0.∴x=1.此時(shí)y=0,∴函數(shù)圖象必過定點(diǎn)(1,0).(2)∵點(diǎn)(2,m)在該函數(shù)圖象上,∴m=4a?2∵點(diǎn)(2,m)在第一象限,∴m=?∴a>a?1|進(jìn)階訓(xùn)練|1.D[解析]①∵a>0,拋物線的對稱軸為直線x=12,∵拋物線與y軸交于負(fù)半軸上,∴c<0.∴abc>0.故①正確；②∵拋物線的對稱軸為直線x=?∴-b=a.∴a+b=0.故②不正確;③∵拋物線y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù)，a≠0)經(jīng)過點(diǎn)(2,0),∴4a+2b+c=0.∵c<0,∴4a+2b+3c<0.故③正確;④由對稱得拋物線與x軸另一交點(diǎn)坐標(biāo)為(-1，0)，∵∴當(dāng)a≠0時(shí)，無論b，c取何值，拋物線一定經(jīng)過c2a，0⑤∵b=?a,∴4am2+4bm?b=4am2?4am+a=a∵a>0,∴a2m?12≥0,即4am2+4bm?b≥0.故2.C[解析]由圖象知,當(dāng)x=1時(shí),y=a+b+c=0,故①正確；∵函數(shù)圖象的對稱軸為直線x=?b2a∴a-2b+c=a-b+c-b<0.②正確;根據(jù)拋物線的對稱性可知，拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(-3，0)，故關(guān)于x的一元二次方程(ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根分別為-3和1.故③正確;當(dāng)x=-1時(shí),y的值最小.此時(shí),y=a-b+c,而當(dāng)x=m時(shí),y=am2+bm+c,∴a?b+c≤am2+bm+c.即a-b≤m(am+b),故④錯(cuò)誤.故選C.3.C[解析]∵拋物線開口向下，∴a<0.又對稱軸為直線x=?b2a=1,∴b=?2a,b>0.由拋物線與y軸交點(diǎn)C在y軸正半軸上,知c>0,∴根據(jù)對稱軸為直線x=1，拋物線與x軸的交點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸上,則當(dāng)x=2時(shí),y>0,即4a+2b+c>0,∴a+12b+∵OA=OC=c,∴A(-c,0).∴ac2+b∴ac-b+1=0.∴ac+b+1=ac-b+1+2b=2b>0.故③錯(cuò)誤;∵A(-c,0),對稱軸為直線x=1,∴B(2+c,0).∴2+c是關(guān)于x的一元二次方程(ax2+bx+c=0