2025年中考數(shù)學一輪復習學案：3.1 函數(shù)初步 （學生版）

2025年中考數(shù)學一輪復習學案（全國版）

第三章函數(shù)

3.1函數(shù)初步

考點分布考查頻率命題趨勢

考點1平面直角坐標系內(nèi)點的坐數(shù)學中考中，有關函數(shù)初步的部分，每年考查

☆☆

標特征1道題或者滲透在其他問題里，,分值為6分

左右，通常以選擇題、填空題出現(xiàn)。對于這

考點2函數(shù)及自變量的取值范圍☆☆

部分知識的復習需要學生熟練掌握函數(shù)的自

考點3函數(shù)圖象及其應用☆☆

變量取值范圍，函數(shù)圖像的應用。能根據(jù)給出

考點4函數(shù)圖象的分析與判斷☆☆的函數(shù)表達式，畫出函數(shù)的圖像。

☆☆☆代表必考點，☆☆代表?？键c，☆星表示選考點。

夯實基礎

考點1.平面直角坐標系內(nèi)點的坐標特征

1.各象限點的坐標特點

①第一象限的點：橫坐標___0，縱坐標___0；

②第二象限的點：橫坐標__0，縱坐標___0；

③第三象限的點：橫坐標___0，縱坐標___0；

④第四象限的點：橫坐標___0，縱坐標___0。

2.坐標軸上點的坐標特點

①x軸正半軸上的點：橫坐標____0，縱坐標___0；

②x軸負半軸上的點：橫坐標___0，縱坐標___0；

③y軸正半軸上的點：橫坐標____0，縱坐標___0；

④y軸負半軸上的點：橫坐標___0，縱坐標____0；

⑤坐標原點：橫坐標____0，縱坐標____0。

3．對稱點的坐標特點

①關于x軸對稱的兩個點，橫坐標____，縱坐標_____；

②關于y軸對稱的兩個點，縱坐標_____，橫坐標______；

③關于原點對稱的兩個點，橫坐標、縱坐標分別_______。

4.平移前后，點的坐標的變化規(guī)律

（1）點(x，y)左移a個單位長度后點的坐標為：________；

（2）點(x，y)右移a個單位長度后點的坐標為：_________；

（3）點(x，y)上移a個單位長度后點的坐標為：_________；

（4）點(x，y)下移a個單位長度后點的坐標為：________．

【口訣記憶】正向右負向左，正向上負向下．

考點2.函數(shù)及自變量的取值范圍

1.函數(shù)的定義

（1）一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y，并且對于x的每一個確定的____，y都有

唯一確定的值與其對應，那么我們就說x是________，y是x的函數(shù)．

（2）對函數(shù)定義的理解，主要抓住以下4點：

①有____個變量．

②函數(shù)_____數(shù)，函數(shù)的本質(zhì)是對應，函數(shù)關系就是_____之間的對應關系，且是一種特殊的對應關系，

一個變量的數(shù)值隨著另一個變量數(shù)值的變化而變化．

③函數(shù)的定義中包括了對應值的_____性和_____性兩重意思，即對自變量的每一個確定的值，函數(shù)有

且只有一個值與之對應，對自變量x的不同取值，y的值可以______。

④在某個變化過程中處于主導地位的變量即為自變量，隨之變化且對應值有唯一確定性的另一個變量

即為該自變量的函數(shù).

（2）函數(shù)取值范圍的確定

使函數(shù)有意義的自變量的取值的______叫做自變量的取值范圍，函數(shù)自變量的取值范圍的確定必須考

慮兩個方面：①不同類型的函數(shù)關系式中自變量取值范圍的求解方法；②當用函數(shù)關系式表示實際問

題時，自變量的取值不但要使_______有意義，而且還必須使_______有意義．

【溫馨提醒】求函數(shù)自變量的取值范圍注意的幾點

①整式型：自變量取全體實數(shù)；

②分式型：自變量取值要使分母不為0；

③二次根式型：自變量取值要使被開方數(shù)大于等于0.對于具有實際意義的函數(shù)，自變量取值范圍還

應使實際問題有意義

2.函數(shù)解析式及函數(shù)值

（1）函數(shù)解析式：用關于自變量的數(shù)學式子表示______與_____之間的關系，是描述函數(shù)的常用方法，

這種式子叫做函數(shù)的解析式．

注意：①函數(shù)解析式是等式．②函數(shù)解析式中指明了哪個是自變量，哪個是函數(shù)，通常等式右邊的代

數(shù)式中的變量是自變量，等式左邊的變量表示函數(shù)．③書寫函數(shù)的解析式是有順序的．④用數(shù)學式子

表示函數(shù)的方法叫做解析式法．

（2）函數(shù)值：對于自變量x在_____內(nèi)的某個確定的值a，函數(shù)y所對應的值為b，即當x=a，y=b時，

b叫做自變量x的值為a時的函數(shù)值．

3.函數(shù)的表示方法

函數(shù)的表示方法一般有三種：______法、______法和_____法。

表示函數(shù)關系時，要根據(jù)具體情況選擇適當?shù)姆椒?，有時為了全面地認識問題，需要幾種方法同時使

用。

考點3.函數(shù)圖象及其應用

1.函數(shù)的圖象及其畫法

一般地，對于一個函數(shù)，如果把自變量與函數(shù)的每對對應值分別作為點的橫、縱坐標，那么坐標平面

內(nèi)由這些點組成的圖形，就是這個函數(shù)的圖象．

畫函數(shù)的圖象，可以運用描點法，其一般步驟如下：

①______：表中列舉一些自變量的值及其對應的函數(shù)值，自變量的取值不應使函數(shù)值太大或太小，以

便于描點，點數(shù)一般以5到7個為宜．

②_______：在直角坐標系中，以自變量的值為橫坐標，相應的函數(shù)值為縱坐標，描出表格中數(shù)值對

應的各點．描點時，要注意橫、縱坐標的符號與點所在的象限（或坐標軸）之間的關系，描出的點大

小要適中，位置要準確．

③______：按照橫坐標由小到大的順序，把所描出的各點用平滑曲線連接起來．

2.函數(shù)的圖象的功能

1．函數(shù)圖象上的任意點（x，y）中的x，y滿足函數(shù)______。

2．滿足函數(shù)解析式的任意一對（x，y）的值，所對應的點一定在函數(shù)的____上。

3．利用函數(shù)圖象可以求______的解、______的解集、______的解，還可以預測____的變化趨勢。

考點4.函數(shù)圖象的分析與判斷

類型1.根據(jù)函數(shù)性質(zhì)判斷函數(shù)圖象

(1)若題目中明確給出一個函數(shù)的圖象，則根據(jù)函數(shù)圖象及函數(shù)圖象上的點得出函數(shù)解析式中未知系

數(shù)的值或取值范圍，進而可判斷出所求函數(shù)的大致圖象；

（2）若題目中未給出任何一個函數(shù)的圖象，則要根據(jù)題目中給出的交點條件，判斷函數(shù)圖象大致所

在象限，再將交點坐標分別代入題干中的函數(shù)解析式中，即可得出函數(shù)解析式中未知系數(shù)的值或取值

范圍，進而可判斷出所求函數(shù)的大致圖象；

類型2.分析實際問題判斷函數(shù)圖象

1.找起點（明確自變量和因變量）

2.找特殊點（交點或者轉折點）

3.判斷圖象的趨勢

4.看是否與坐標軸相交

類型3.分析幾何圖形動態(tài)問題判斷函數(shù)圖象

此類函數(shù)是由分段函數(shù)組成，解題的關鍵是認真分析題意，弄清每一段上的函數(shù)值是如何隨自變

量變化而變化的，在解決此類問題時，有時需要先求出函數(shù)的關系式再進行判斷。具體方法：

方法一：趨勢判斷法.根據(jù)幾何圖形的構造特點，對動點運動進行分段，并判斷每段對應函數(shù)圖象的

增減變化趨勢；

方法二：解析式計算法.根據(jù)題意求出每段的函數(shù)解析式，結合解析式對應的函數(shù)圖象進行判斷；

方法三：定點求值法.結合幾何圖形特點，在點運動的拐點、垂直點、特殊點處求出函數(shù)值，對選項

進行排除；

方法四：范圍排除法.根據(jù)動點的運動過程，求出兩個變量的變化范圍，對選項進行排除．

【易錯點提示】動點問題函數(shù)的圖像

1．動點問題多數(shù)情況下會與分類討論的數(shù)學思想及方程、函數(shù)思想結合起來進行．

2．把動點產(chǎn)生的線段長用時間變量t表示出來以后，動點問題就“靜態(tài)化”處理了．

考點1.平面直角坐標系內(nèi)點的坐標特征

【例題1】（2024廣西）如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，點P的坐標為2,1，則點

Q的坐標為（）

A.3,0B.0,2C.3,2D.1,2

【變式練1】（2024杭州一模）在平面直角坐標系的第二象限內(nèi)有一點P，點P到x軸的距離為4，到

y軸的距離為5，則點P的坐標是（）

A．，B．C．，D．

【變(4式練?25】)（2024濟南一(5模,?）4在)平面直角坐標系(中?4，若5點)A（a，﹣b）(在?第5,三4)象限，則點B（﹣ab，

b）所在的象限

是（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【變式練3】（2024沈陽一模）點P(m，2)在第二象限內(nèi)，則m的值可以是(寫出一個即可)______．

考點2.函數(shù)及自變量的取值范圍

【例題2】（2024甘肅威武）如圖1，“燕幾”即宴幾，是世界上最早的一套組合桌，由北宋進士

黃伯思設計．全套“燕幾”一共有七張桌子，包括兩張長桌、兩張中桌和三張小桌，每張桌面的寬都

相等．七張桌面分開可組合成不同的圖形．如圖2給出了《燕幾圖》中名稱為“回文”的桌面拼合方

式，若設每張桌面的寬為x尺，長桌的長為y尺，則y與x的關系可以表示為（）

A.y3xB.y4xC.y=3x+1D.y4x1

【變式練1】（2024安徽一模）關于變量說法正確的是（）

A.在一個變化過程中可以取不同數(shù)值的量叫變量；

B.在一個變化過程中只能取同一數(shù)值的量叫變量；

C.在一個變化過程中可以取同一數(shù)值的量叫變量；

D.在一個變化過程中只能取同一數(shù)值的量叫變量。

【變式練2】（2024湖南一模）已知函數(shù)y＝，若y＝2，則x＝．

【變式練3】（2024福建一模）在函數(shù)y＝中，自變量x的取值范圍是．

【變式練4】（2024海南一模）在函數(shù)中，自變量x的取值范圍是．

11

考點3.函數(shù)圖象及其應用?=??1+??2

【例題3】（2024甘肅臨夏）如圖1，矩形ABCD中，BD為其對角線，一動點P從D出發(fā)，沿著

DBC的路徑行進，過點P作PQCD，垂足為Q．設點P的運動路程為x，PQDQ為y，

y與x的函數(shù)圖象如圖2，則AD的長為（）

811

A.42B.C.73D.

3344

【變式練1】（2024自貢一模）如圖1，小亮家、報亭、羽毛球館在一條直線上．小亮從家跑步到羽

毛球館打羽毛球，再去報亭看報，最后散步回家．小亮離家距離y與時間x之間的關系如圖2所示．下

列結論錯誤的是（）

A．小亮從家到羽毛球館用了7分鐘

B．小亮從羽毛球館到報亭平均每分鐘走75米

C．報亭到小亮家的距離是400米

D．小亮打羽毛球的時間是37分鐘

【變式練2】（2024北京一模）如圖①所示，矩形ABCD中，動點P從點B出發(fā)，沿BC、CD、DA運動

至點A停止，設點P運動的路程為x，△ABP的面積為y，y關于x的函數(shù)圖象如圖②所示．

(1)求矩形ABCD的面積；

(2)求點M、點N的坐標；

1

(3)如果△ABP的面積為矩形ABCD面積的，求滿足條件的x的值．

5

考點4.函數(shù)圖象的分析與判斷

【例題4】（2024黑龍江齊齊哈爾）如圖，在等腰Rt△ABC中，BAC90，AB12，動點E，

F同時從點A出發(fā)，分別沿射線AB和射線AC的方向勻速運動，且速度大小相同，當點E停止運動

時，點F也隨之停止運動，連接EF，以EF為邊向下做正方形EFGH，設點E運動的路程為

x0x12，正方形EFGH和等腰Rt△ABC重合部分的面積為下列圖像能反映y與x之間函數(shù)

關系的是（）

A.B.C.D.

【變式練1】（2024大連一模）李強同學去登山，先勻速登上山頂，原地休息一段時間后，又勻速下

山，上山的速度小于下山的速度．在登山過程中，他行走的路程S隨時間t的變化規(guī)律的大致圖象

是（）

A．B．

C．D．

【變式練2】（2024天津一模）為了節(jié)能減排，鼓勵居民節(jié)約用電，某市將出臺新的居民用電收費標

準：(1)若每戶居民每月用電量不超過100度，則按0.50元/度計算；(2)若每戶居民每月用電量超過

100度，則超過部分按0.80元/度計算(未超過部分仍按每度電0.50元計算)．現(xiàn)假設某戶居民某月

用電量是x(單位：度)，電費為y(單位：元)，則y與x的函數(shù)關系用圖象表示正確的是()

考點1平面直角坐標系內(nèi)點的坐標特征（含坐標與圖形）

1.在平面直角坐標系中，點P1,2關于原點的對稱點P'的坐標是()

A.1,2B.(-1,2)C.(1,-2)D.1,2

2.（2024四川成都市）在平面直角坐標系xOy中，點P1,4關于原點對稱的點的坐標是（）

A.1,4B.1,4C.1,4D.1,4

3.（2024四川涼山）點Pa,3關于原點對稱的點是P2,b，則ab的值是（）

A.1B.1C.5D.5

4.（2024湖南長沙）在平面直角坐標系中，將點P3,5向上平移2個單位長度后得到點P的坐標

為（）

A.1,5B.5,5C.3,3D.3,7

5.（2024江西?。┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵?，將點A1,1向右平移2個單位長度，再向上平移3個單位

長度得到點B，則點B的坐標為______．

6.（2024湖南?。┰谄矫嬷苯亲鴺讼祒Oy中，對于點Px,y，若x，y均為整數(shù)，則稱點P為“整

y

點”．特別地，當（其中xy0）的值為整數(shù)時，稱“整點”P為“超整點”，已知點P2a4,a3

x

在第二象限，下列說法正確的是（）

A.a3B.若點P為“整點”，則點P的個數(shù)為3個

C.若點P為“超整點”，則點P的個數(shù)為1個D.若點P為“超整點”，則點P到兩坐標軸的

距離之和大于10

7.（2024河北?。┢矫嬷苯亲鴺讼抵?，我們把橫、縱坐標都是整數(shù)，且橫、縱坐標之和大于0的點

稱為“和點”．將某“和點”平移，每次平移的方向取決于該點橫、縱坐標之和除以3所得的余數(shù)（當

余數(shù)為0時，向右平移；當余數(shù)為1時，向上平移；當余數(shù)為2時，向左平移），每次平移1個單位

長度．

例：“和點”P2,1按上述規(guī)則連續(xù)平移3次后，到達點P32,2，其平移過程如下：

若“和點”Q按上述規(guī)則連續(xù)平移16次后，到達點Q161,9，則點Q的坐標為（）

A.6,1或7,1B.15,7或8,0C.6,0或8,0D.5,1或7,1

8.（2024貴州?。榕囵B(yǎng)青少年的科學態(tài)度和科學思維，某校創(chuàng)建了“科技創(chuàng)新”社團．小紅將“科”

“技”“創(chuàng)”“新”寫在如圖所示的方格紙中，若建立平面直角坐標系，使“創(chuàng)”“新”的坐標分別

為2,0，0,0，則“技”所在的象限為（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

9.（2024河北?。┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵?，我們把一個點的縱坐標與橫坐標的比值稱為該點的“特征

值”．如圖，矩形ABCD位于第一象限，其四條邊分別與坐標軸平行，則該矩形四個頂點中“特征

值”最小的是（）

A.點AB.點BC.點CD.點D

10.（2024河南?。┤鐖D，在平面直角坐標系中，正方形ABCD的邊AB在x軸上，點A的坐標

為2，0，點E在邊CD上．將BCE沿BE折疊，點C落在點F處．若點F的坐標為0，6，則點

E的坐標為___________．

11.（2024甘肅臨夏）如圖，在ABC中，點A的坐標為0,1，點B的坐標為4,1，點C的坐

標為3,4，點D在第一象限（不與點C重合），且△ABD與ABC全等，點D的坐標是______．

12.（2024甘肅威武）敦煌文書是華夏民族引以為傲的藝術瑰寶，其中敦煌《算經(jīng)》中出現(xiàn)的《田

積表》部分如圖1所示，它以表格形式將矩形土地的面積直觀展示，可迅速準確地查出邊長10步到

60步的矩形田地面積，極大地提高了農(nóng)田面積的測量效率．如圖2是復原的部分《田積表》，表中

對田地的長和寬都用步來表示，A區(qū)域表示的是長15步，寬16步的田地面積為一畝，用有序數(shù)對記

為15,16，那么有序數(shù)對記為12,17對應的田地面積為（）

A.一畝八十步B.一畝二十步C.半畝七十八步D.半畝八十四步

考點2函數(shù)及自變量的取值范圍

2x

1.（2024上海市）函數(shù)f(x)的定義域是（）

x3

A.x2B.x2C.x3D.x3

4

2.（2024江蘇揚州）在平面直角坐標系中，函數(shù)y的圖像與坐標軸的交點個數(shù)是（）

x2

A.0B.1C.2D.4

3.（2024廣西）激光測距儀L發(fā)出的激光束以3105kms的速度射向目標M，ts后測距儀L收到

M反射回的激光束．則L到M的距離dkm與時間ts的關系式為（）

3105

A.dtB.d3105tC.d23105tD.d3106t

2

11

4.（2024黑龍江齊齊哈爾）在函數(shù)y中，自變量x的取值范圍是______．

3xx2

考點3函數(shù)圖象及其應用

1.（2024河南省）把多個用電器連接在同一個插線板上，同時使用一段時間后，插線板的電源線

會明顯發(fā)熱，存在安全隱患．數(shù)學興趣小組對這種現(xiàn)象進行研究，得到時長一定時，插線板電源線中

的電流I與使用電器的總功率P的函數(shù)圖象（如圖1），插線板電源線產(chǎn)生的熱量Q與I的函數(shù)圖象

（如圖2）．下列結論中錯誤的是（）

A.當P440W時，I2AB.Q隨I的增大而增大

C.I每增加1A，Q的增加量相同D.P越大，插線板電源線產(chǎn)生的熱量Q越多

2.（2024廣州）一個人的腳印信息往往對應著這個人某些方面的基本特征．某數(shù)學興趣小組收集了

大量不同人群的身高和腳長數(shù)據(jù)，通過對數(shù)據(jù)的整理和分析，發(fā)現(xiàn)身高y和腳長x之間近似存在一個

函數(shù)關系，部分數(shù)據(jù)如下表：

腳長

…232425262728…

x(cm)

身高

…156163170177184191…

y(cm)

（1）在圖1中描出表中數(shù)據(jù)對應的點(x,y)；

k

（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，從yaxb(a0)和y(k0)中選擇一個函數(shù)模型，使它能近似地反映

x

身高和腳長的函數(shù)關系，并求出這個函數(shù)的解析式（不要求寫出x的取值范圍）；

（3）如圖2，某場所發(fā)現(xiàn)了一個人的腳印，腳長約為25.8cm，請根據(jù)（2）中求出的函數(shù)解析式，

估計這個人的身高．

考點4函數(shù)圖象的分析與判斷

1.（2024四川資陽）小王前往距家2000米的公司參會，先以v0（米/分）的速度步行一段時間后，

再改騎共享單車直達會議地點，到達時距會議開始還有14分鐘，小王距家的路程S（單位：米）與

距家的時間t（單位：分鐘）之間的函數(shù)圖象如圖所示．若小王全程以v0（米/分）的速度步行，則

他到達時距會議開始還有________分鐘．

2.（2024江西省）將常溫中的溫度計插入一杯60℃的熱水（恒溫）中，溫度計的讀數(shù)y℃與時

間xmin的關系用圖象可近似表示為（）

A.B.C.D.

3.（2024山東煙臺）如圖，水平放置的矩形ABCD中，AB6cm，BC8cm，菱形EFGH的

頂點E，G在同一水平線上，點G與AB的中點重合，EF23cm，E60，現(xiàn)將菱形EFGH

以1cm/s的速度沿BC方向勻速運動，當點E運動到CD上時停止，在這個運動過程中，菱形EFGH

與矩形ABCD重疊部分的面積Scm2與運動時間ts之間的函數(shù)關系圖象大致是（）

A.B.

C.D.

4.（2024甘肅威武）如圖1，動點P從菱形ABCD的點A出發(fā)，沿邊ABBC勻速運動，運動到

點C時停止．設點P的運動路程為x，PO的長為y，y與x的函數(shù)圖象如圖2所示，當點P運動到BC

中點時，PO的長為（）

A.2B.3C.5D.22

5.（2024武漢市）如圖，一個圓柱體水槽底部疊放兩個底面半徑不等的實心圓柱體，向水槽勻速注

水．下列圖象能大致反映水槽中水的深度h與注水時間t的函數(shù)關系的是（）

A.B.C.D.

6.（2024山東威海）同一條公路連接A，B，C三地，B地在A，C兩地之間．甲、乙兩車分別

從A地、B地同時出發(fā)前往C地．甲車速度始終保持不變，乙車中途休息一段時間，繼續(xù)行駛．下

圖表示甲、乙兩車之間的距離y（km）與時間x（h）的函數(shù)關系．下列結論正確的是（）

8

A.甲車行駛h與乙車相遇B.A，C兩地相距220km

3

C.甲車的速度是70km/hD.乙車中途休息36分鐘

考點1平面直角坐標系內(nèi)點的坐標特征（含坐標與圖形）

1．在平面直角坐標系中，點A（a，2）與點B（6，b）關于原點對稱，則ab=________．

2．在平面直角坐標系中，點（3，2）關于x軸對稱的點的坐標為（）

A．（﹣3，2）B．（﹣2，3）C．（2，﹣3）D．（3，﹣2）

3.在平面直角坐標系的第二象限內(nèi)有一點P，點P到x軸的距離為4，到y(tǒng)軸的距離為5，則點P的

坐標是（）

A．，B．C．，D．

4．(點4A的?坐5)標是（2，﹣3(）5,，?將4)點A向上平移4(個?單4位5長)度得到點A'，(則?點5,4A)'的坐標為_____．

5．在如圖所示的方格紙上建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，若點A的坐標為（0，1），點B的坐標為（2，

2），則點C的坐標為．

6．如圖，△A1B1C1是△ABC向右平移4個單位長度后得到的，且三個頂點坐標分別為A1（1，1），B1

（4，2），C1（3，4）．（1）請畫出△ABC，并寫出點A、B、C的坐標；（2）求出△COA1的面積．

考點2函數(shù)及自變量的取值范圍

1.在函數(shù)中，自變量x的取值范圍是．

x

y=5x+3

2．函數(shù)y的自變量x的取值范圍是（）

A．x≠5B．x＞2且x≠5C．x≥2D．x≥2且x≠5

考點3函數(shù)圖象及其應用

1.某超市糯米的價格為5元/千克，端午節(jié)推出促銷活動：一次購買的數(shù)量不超過2千克時，按原價

售出，超過2千克時，超過的部分打8折．若某人付款14元，則他購買了千克糯米；設某人

的付款金額為元，購買量為千克，則購買量關于付款