2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：面積的存在性問(wèn)題

面積的存在性問(wèn)題

1.如圖1,已知等邊△ABC的邊長(zhǎng)為8，點(diǎn)P是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)A、B不重合)，直線1是經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的

一條直線，把AABC沿直線1折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)B.

⑴如圖2,當(dāng)PB=4時(shí)，若點(diǎn)B”恰好在AC邊上，則AB的長(zhǎng)度為:

⑵如圖3,當(dāng)PB=5時(shí),若直線"/AC廁BB的長(zhǎng)度為;

⑶如圖4,點(diǎn)P在AB邊上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，若直線1始終垂直于ACZACB，的面積是否變化？若變化，說(shuō)明理

由；若不變化，求出面積；

(4)當(dāng)PB=6時(shí)，在直線1變化的過(guò)程中，求AACB，面積的最大值.

2.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形ABCD的邊AB=4,BC=6.若不改變矩形ABCD的形狀和大小，當(dāng)矩形

頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上左右移動(dòng)時(shí)，矩形的另一個(gè)頂點(diǎn)D始終在y軸的正半軸上隨之上下移動(dòng).

(1)當(dāng)LOAD=30。時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)設(shè)AD的中點(diǎn)為M,連接OM、MC,當(dāng)四邊形OMCD的面積為爭(zhēng)寸，求OA的長(zhǎng)；

(3)當(dāng)點(diǎn)A移動(dòng)到某一位置時(shí)，點(diǎn)C到點(diǎn)。的距離有最大值，請(qǐng)直接寫(xiě)出最大值，并求此時(shí)cos/OAD的值.

3.面積的存在性問(wèn)題

在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=x+2與x軸點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y=ax2+bx+c(a<0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,B.

⑴求a,b滿足的關(guān)系式及c的值；

(2)當(dāng)x<0時(shí)，若.y=ax2+bx+c(a<0)的函數(shù)值隨x的增大而增大，求a的取值范圍；

⑶如圖，當(dāng)a=-l時(shí)，在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使APAB的面積為1,若存在，請(qǐng)求出符合條件的所有點(diǎn)P的

坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

4如圖1,已知銳角三角形ABC內(nèi)接于。OQD±BC于點(diǎn)D,連接OA.

A

⑴若NBAC=60。，

①求證：00=104

②當(dāng)OA=1時(shí)，求AABC面積的最大值.

圖1

(2)點(diǎn)E在線段OA上,OE=OD,連接DE,設(shè)/ABC=m/ODE./ACB=n/OED(m,n是正數(shù)).若NABC</ACB,求

證m-n+2=0.

5如圖1.等邊AABC中,AB=6點(diǎn)D在BC上,BD=4點(diǎn)E為邊AC上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合）,ACDE關(guān)于DE的

軸對(duì)稱圖形為AFDE.

⑴當(dāng)點(diǎn)F在AC上時(shí),求證:DF〃AB;

⑵設(shè)AACD的面積為Si,AABF的面積為S2,記S=Si-S2,S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值；

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

⑶當(dāng)B、F、E三點(diǎn)共線時(shí)，求AE的長(zhǎng).

6.如圖1,已知平面直角坐標(biāo)系xOy，拋物線.y=aK2+版+2與x軸交于點(diǎn)A(-2,0)和點(diǎn)B(4,0).

(1)求這條拋物線的表達(dá)式和對(duì)稱軸；

⑵點(diǎn)C在線段OB上，過(guò)點(diǎn)C作CD±x軸，垂足為點(diǎn)C，交拋物線于點(diǎn)D,E是BD的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)CE并延長(zhǎng),

與y軸交于點(diǎn)F.

①當(dāng)D恰好是拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；

②聯(lián)結(jié)BF,當(dāng)ADBC的面積是ABCF面積的|時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo).

7直線y=2x+m與拋物線y=ax2+ax+b都過(guò)點(diǎn)M(l,0),且a<b.

(1)求拋物線頂點(diǎn)Q的坐標(biāo)(用含a的式子表示)；

(2)試說(shuō)明拋物線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)；

(3)設(shè)拋物線與直線的另一個(gè)交點(diǎn)為N.

①若一1WaW-胡寸，求MN的取值范圍；

②求AQMN的面積最小值.

8已知RtAEFP和矩形ABCD如圖1擺放(點(diǎn)P與點(diǎn)B重合)，點(diǎn)F、B(P)、C在同一直線

上,AB=EF=6cm,BC=FP=8cm,NEFP=90。.如圖2,AEFP從圖1位置出發(fā)，沿BC方向勻速運(yùn)動(dòng),速度為lcm/s,EP與

AB交于點(diǎn)G；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿CD方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為lcm/s.過(guò)點(diǎn)Q作QMLBD,垂足為H,交AD

于點(diǎn)M,連結(jié)AF、PQ.當(dāng)點(diǎn)Q停止運(yùn)動(dòng)時(shí),AEFP也停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)(0<t<6).解答下列問(wèn)題：

(1)當(dāng)t為何值時(shí),PQ〃BD?

(2)設(shè)五邊形AFPQM的面積為y(cm2),求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

(3)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻t,使=9:8?若存在，求出t的值；若不存在,

五邊形AFPQM矩形ABCD

請(qǐng)說(shuō)明理由；

(4)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻t，使點(diǎn)M在線段PG的垂直平分線上？若存在，求出t的值；若不存

在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖2

9.如圖1,二次函數(shù)y^x2+bx+c的圖像與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,OB=OC點(diǎn)D在函數(shù)圖

象上，CD〃x軸，且CD=2,直線1是拋物線的對(duì)稱軸，E是拋物線的頂點(diǎn).

⑴求b、c的值；

(2)如圖1,連結(jié)BE,線段0C上點(diǎn)F關(guān)于直線1的對(duì)稱點(diǎn)F恰好在線段BE上，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；

(3攻口圖2,動(dòng)點(diǎn)P在線段OB上，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線分別與BC交于點(diǎn)M,與拋物線交于點(diǎn)N.試問(wèn)：拋

物線上是否存在點(diǎn)Q,使得APQN與AAPM的面積相等，目線段NQ的長(zhǎng)度最小？如果存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

如果不存在，說(shuō)明理由.

10如圖，在RtAABC中，乙4cB=90°,AB=位,AC=2,,過(guò)點(diǎn)B作直線m〃AC,將AABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋

轉(zhuǎn)得到AAEC(點(diǎn)A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A；8｝射線?可、CB，分別交直線m于點(diǎn)P、Q.

(1)如圖1,當(dāng)P與A重合時(shí)，求NACA，的度數(shù)；

(2攻口圖2,設(shè)AB與BC的交點(diǎn)為M,當(dāng)M為AB的中點(diǎn)時(shí),求線段PQ的長(zhǎng)；

(3)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)P、Q分別在CA；CB，的延長(zhǎng)線上時(shí)，試探究四邊形PA'B'Q的面積是否存在最小值.若

存在，求出四邊形PA'B'Q的最小面積；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

mA'(P)BQmPBQmB

ACAC4C

圖1圖2備用圖

11.面積的存在性問(wèn)題

如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=x-l與拋物線.y=r*+b%+c交于A、B兩點(diǎn),其中A(m,0)、B(4,n).

該拋物線與y軸交于點(diǎn)C,與x軸交于另一點(diǎn)D.

(1)求m、n的值及該拋物線的解析式；

⑵如圖2,若點(diǎn)P為線段AD上的一動(dòng)點(diǎn)(不與A、D重合)，分別以AP、DP為斜邊,在直線AD的同側(cè)作

等腰直角三角形APM和等腰直角三角形DPN,連接MN,試確定AMPN面積最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)如圖3,連接BD、CD,在線段CD上是否存在點(diǎn)Q,使得以A、D、Q為頂點(diǎn)的三角形與AABD相似，若

存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

12.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線.y=-1x2+bx+c經(jīng)過(guò)A(-1,O)和點(diǎn)B(0,|),1頂點(diǎn)為C.點(diǎn)D在

其對(duì)稱軸上且位于點(diǎn)C下方，將線段DC繞點(diǎn)D按順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)90。，點(diǎn)C落在拋物線上的點(diǎn)P處.

(1)求這條物線的表達(dá)式；

⑵求線段CD的長(zhǎng);

(3)將拋物線平移，使其頂點(diǎn)C移到原點(diǎn)O的位置這時(shí)點(diǎn)P落在點(diǎn)E的位置，如果點(diǎn)M在y軸上，且以O(shè)、

D、E、M為頂點(diǎn)的四邊形面積為8,求M的坐標(biāo).

13.如圖1,將二次函數(shù)y=x2+2x+1的圖像沿x軸翻折，然后向右平移1個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位，

得到二次函數(shù).y=ax2+bx+c的圖像.函數(shù)y=x2+2x+1的圖像的頂點(diǎn)為A,函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像的

頂點(diǎn)為B,和x軸的交點(diǎn)為C、D(點(diǎn)D位于點(diǎn)C的左側(cè)).

(1)求二次函數(shù)y=ax2+bx+。的解析式；

(2)從點(diǎn)A、C、D三個(gè)點(diǎn)中任取兩個(gè)點(diǎn)和點(diǎn)B構(gòu)造三角形，求構(gòu)造的三角形是等腰三角形的概率；

⑶若點(diǎn)M是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是AABC三邊上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在以AM為斜邊的R3AMN,使AAMN

1.滿分解答

⑴4;

(2)573;

⑶AACB的面積保持不變理由如下：

如圖5,聯(lián)結(jié)BB：作BEXAC于E那么BE=4A/3.

由點(diǎn)B和點(diǎn)B，關(guān)于直線1對(duì)稱，可知BB」L

圖5

又因?yàn)锳C_LL得BB/AC.

所以AACB與AACB是同底等高的兩個(gè)三角形.所以SAACB'=SACB=16A/3.

(4)如圖6,作B'GXAC于G.

由PB=PB'=6,得點(diǎn)B，的運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)P為圓心，半徑為6的圓.

在直線1運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，AC保持不變,所以當(dāng)B'G最大時(shí)，SAACB，)最大.

如圖7,作PHLAC于H.連接BH

在RtAAPH中,AP=2,NA=60。,所以.PH=在.如圖8,在RtAB'GH和AB'PH中,.B'G<B'H<B'P+PH=

6+舊.當(dāng)G、H兩點(diǎn)重合時(shí)，B'G取得最大值6+舊(如圖9所示).所以SAACB，的最大值=(4。?"G=[x8x

(6+V3)=24+4V3.

考點(diǎn)伸展

第⑴題的思路是這樣的：如圖9,因?yàn)镻B,=PB=PA=4,,所以AAPB是等腰三角形.又因?yàn)?A=60。,所以

△APB，;是等邊三角形.所以AB'=XP=4.

第⑵題的思路是這樣的:如圖10,因?yàn)橹本€1〃AC,所以ABPDszXBAC.所以ABPD也是等邊三角形，四邊形

PBCE是菱形.所以BB與PD互相垂直平分在RtAPBO中,PB=5,/BPD=60。,所以BO=竽所以.BB'=2BO=

5V3.

2.滿分解答

⑴如圖2,因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以NCDA=90。.所以Nl+N2=90。.

因?yàn)镹DOA=90。,所以/2+/3=90。根據(jù)同角的余角相等，得Nl=/3=30。.

在RtAAOD中,CD=AB=4,N1=3O。,所以CH=2,DH=2V3

在RtACHD中,AD=BC=6,N3=30。,所以O(shè)D=3.

所以O(shè)H=。。+DH=+3.所以C(2,2V3+3).

(2)如圖3,在AAOD中,AD=6,設(shè)OA=m,所以0D=VXD2-OA2=V36-m2.

因?yàn)辄c(diǎn)M為AD的中點(diǎn)，所以以岫=為皿。=+X6X4=6,SAO0M=#△??=/X

-~x.OA-OD=-mV36—m2.

24

所以-mV36—m2+6=2.整理，得(——18)2=0.

42

解得Hi】=3vxm2=-3&(舍去負(fù)值).

(3)如圖5,當(dāng)0、M、C三點(diǎn)共線時(shí),OC最大值=8.

由(1)狷ACHDs^DOA.所以震=*=[=|.

因?yàn)镸為RtAAOD斜邊上的中線，所以MD=M0.

所以/2=/4.所以△CHOS^AOD.所以詈=*W

所以HD-.HC=|:|=1:2.所以tan/3=tan/l=2.

所以C0SZ3=y.

考點(diǎn)伸展

第⑶題的求OC的最大值可以這樣考慮：

如圖4,在AOCM中，根據(jù)兩邊之和大于第三邊，可得OC<OM+MC.

所以當(dāng)0、M、C三點(diǎn)共線時(shí)QC最大值=OM+MC.

如圖5,因?yàn)镸為RtAAOD斜邊上的中線，所以0M=^AD=3.

在RtACDM中，CD=4,DM=^AD=3,所以MC=5.

所以O(shè)C最大值=3+5=8.

3.滿分解答

⑴由y=x+2得A(-2,0),B(0,2).

將A(-2,0)、B(0,2)兩點(diǎn)分別代入y=ax2+bx+c,得產(chǎn)~2b+c=0,

解得c=2,b=2a+l.

(2)拋物線的開(kāi)口向下，在y軸左側(cè)，y隨x的增大而增大,所以拋物線的對(duì)稱軸在y軸或y軸右側(cè).所以%=

b2a+l、八

—2a=--2--a---->0.

因?yàn)?2a>0,所以2a+G0.所以a>

所以a的取值范圍是-|wa<0.a=-超寸如圖2所示，a=-號(hào)時(shí)如圖3所示.

(3)當(dāng)a=-l時(shí),y=—x2—x+2.設(shè)P(xf—x2—%+2).

如圖4,在y軸上取M(0,l)、N(0,3)兩點(diǎn)那么MB=NB=10B.

因?yàn)镾0AB=\OAxOB=|x2x2=NAB與AOAB可以看作是同高三角形，所以SAMAB=SANAB

=1.

過(guò)點(diǎn)M、N分別作AB的平行線，與拋物線的交點(diǎn)，就是點(diǎn)P.

(y-—x2-x+2,彳曰(x--1+V2,X=-1-42,

①解方程組y=X+l,行

IIy=&,.y=-V2,1

所以P(-i+9企),或(-1-魚(yú)，-魚(yú)).這條直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn).

②解方程組[二:：二：2得

所以P(-l,2).這條直線與拋物線相切于點(diǎn)P.

考點(diǎn)伸展

第⑶題也可以這樣思考：

如圖5,因?yàn)?AB與AOAB是同底三角形,SAPAB=1,SAOAB=2,可得點(diǎn)P至UAB的距離PH等于點(diǎn)0到AB

的距離0G的一半.

過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交AB于點(diǎn)D,那么PD==1.

設(shè)P(x,-x2-x+2),D(x,x+2).

當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)P的上方時(shí)，(X+2)—(―必—?+2)=1.

當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)P的下方時(shí)，(―Y—x+2)—(%+2)=1.

4.滿分解答

(1)①如圖2,連接OB、0C,那么NBOC=2NBAC=120。.

在R3B0D中,NBOD=60。,所以/OBD=30。.

所以0D=[OB.等量代換，得OD=|0A

②如圖3,設(shè)BC邊上的高為AH.

因?yàn)锳HSADWOA+OD,所以當(dāng)A、0、D三點(diǎn)共線時(shí),AH取得最大值.

此時(shí)D、H重合,A"BC,AABC是等邊三角形，高力。=會(huì)如圖4所示).

所以BD=^AD=孚所以AABC的最大面積為號(hào)

324

AAA

圖2圖4

(2攻口圖5,由OA=OB=OC,設(shè)N0AB=N0BA=a,/0AC=N0CA=[3,/0BC=/0CB.

由OD=OE,設(shè)NODE=/OED=r

設(shè)點(diǎn)M在AO的延長(zhǎng)線上.

由ZBOD=ZBOM+ZDOM=2a+2y,ZBAC=a+p,ZBOD=ZBAC,

得2a+2y=a+|3.所以2y=P-a.

又因?yàn)镹ABC=m/ODE=a+/OBC,NACB=n/OED=p+NOCB,所以(m-n)尸af

所以(m-n)y=-2y.所以m-n=-2.所以m-n+2=0.

考點(diǎn)伸展

本題情景中的△力BC,就是網(wǎng)友們常說(shuō)的定弦對(duì)定角問(wèn)題.這個(gè)問(wèn)題中，當(dāng)A/IBC是等邊三角形時(shí)，面積最大，

周長(zhǎng)也最大.

如圖6,延長(zhǎng)BA至1]F,使AF=4a那么ZF=AACF=30°.

于是AFBC也是定弦對(duì)定角.△F8C的外接圓的圓心G在哪里呢？

如圖7,△GBC是等邊三角形.根據(jù)直徑是圓中最長(zhǎng)的弦，可知BF是直徑時(shí)最大.

止匕時(shí)AB=AF=AC,AABC是等邊三角形.

F

圖6圖7

5.滿分解答

（1）如圖2,因?yàn)锳CDE與AFDE關(guān)于DE對(duì)稱，所以DF=DC.

又因?yàn)镹C=60。,所以ACDF是等邊三角形.

所以NDCF=NA=60。,所以DF〃AB.

⑵第一步，求AACD的面積Sr

如圖3,因?yàn)锳B=6,BD=4,所以DC=2.所以SACD=~SABC=

因?yàn)镾i=3次是定值，所以當(dāng)S2取得最小值時(shí)，S取得最大值.

第二步，求AABF面積S2的最小值.

如圖4,作FG_LAB于G,DH_LAB于H,FM±DH于NL得矩形FGHM.

在RtADBH中,BD=4,NHBD=60。,所以DH=2百.

在RtADFM中,DM<DF.當(dāng)點(diǎn)F落在DH上時(shí),DM最大=DF=2,此時(shí)GF最小=DH-DF=2百一2.

所以S2最小值=\AB-GF=|x6x（2V3-2）=6V3-6.

第三步，求S最大值.

S最大值：=Si-52最小值=3V3-（6V3-6）=6-3V3.

⑶如圖5,因?yàn)镹CED=/FED,所以點(diǎn)D到CE和BE的距離相等.所以沔=第

又因?yàn)?=籌=2,所以差=2所以BE=2CE.

SECDCDCE

如圖6,作EN_LBC于N.

在RtAENC中,NC=60。,設(shè)NC=m，所以EC=2m,EN=V3m.

在RtAEBN中,BE=2CE=4m,BN=6-m,由勾股定理彳導(dǎo)BE2=BN2+EN2.

所以（4m）2=（6—m）2+（百6）2.整理，得m2+m—3—0.

解得m1=若亙,m1=二#舍去負(fù)值）.

所以EC=2zn=-1+辰.所以，4E=AC-EC=6-（-1+V13）=7-V13.

考點(diǎn)伸展

第⑶題證明.BE=2CE的過(guò)程，其實(shí)就是證明角平分線性質(zhì)定理.如果ED是AEBC的角平分線，那么=

CE

BD

CD,

6滿分解答

(1)設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a(%+2)(%-4)=ax2-2ax-8a.已知y=ax2+bx+2,根據(jù)常數(shù)項(xiàng)相等，得

-8a=2.解得(a=.所以拋物線的表達(dá)式為y=-；%2+|x+2=-；(%-+：.所以頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,%對(duì)稱軸

44Z444

為直線X=l.

(2)①如圖2,作EHLx軸于H,所以EH〃DC〃y軸.

當(dāng)點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，DC=l，OC=1,CB=3

因?yàn)镋是BD中點(diǎn)，所以EH=1DC=l，CH=1CB=1

ZoZZ

yy

由黑導(dǎo)。?=鵑"/所以F(°'V)

②如圖3,設(shè)D(2m,2n),那么C(2m,0),E(m+2,n).

所以EH=n,OC=2m,CH=OH-OC=m+2-2m=2-m.

由翳=需得為=密解得尸。=15

因?yàn)锳DBC和ABCF是同底三角形，所以泮=躇=|.所以2DC=3OF.

SBCFFO2

所以4n=誓.解得m=撕以C但，0).

2-m5\5/

考點(diǎn)伸展

從第(2)②題的解題過(guò)程可以看到，求點(diǎn)C的坐標(biāo)沒(méi)有依賴拋物線的解析式.

7.滿分解答

⑴將點(diǎn)M(l,0)代入y=ax2+a%+b,得2a+b=0.所以b=-2a.

所以y=ax2+ax-2a=a(x2+%-2)=+|)一支.頂點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(一|一詞?

⑵將點(diǎn)M(l,0)代入y=2x+m,得2+m=0.解得m=-2.

聯(lián)立y=2x-2和.y=ax2+ax—2a,消去y,整理，得ax2+(a-2)x-2(a-1)=0.

所以△=(a—2)2+8a(a—1)—9a?—12a+4=(3a—2)2.

已知a<b,b=-2a,所以a<0.所以△=(3a—2)2>0.

所以拋物線與直線有兩個(gè)交點(diǎn).

(3)①當(dāng)a=-l時(shí)，解方程組『二;二:之得：插二女

由M(l,0)xN(-4,-10)得.MN=5V5.

,J=―/12—yx4-1,

當(dāng)a=3時(shí)，解方程組b=2z-2,得或I；二匕

由M(l,0)、N(-6,-14)得MN=7V5.

所以MN的取值范圍是5V5<M?V<7A/5.

②方程ax2+(a-2)%-2(a-1)=。的兩根就是M、N兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，已知xm=l.

2(：D

由XM-xN=2彳導(dǎo)%N=(_2.

如圖1,設(shè)拋物線的對(duì)稱軸%=-｝與直線MN交于點(diǎn)E,那么E(-g-3)

所以S=SQMN=SQME+SQNE=-QF(XM-%N)

1一久+3)(3-：273---2-7-CL.

24a8

由于a<0,運(yùn)算起來(lái)不方便，代入b=-2a，于是S=?+：+

4D16

2

6.9V2.27

配方，得s=—+2+KH----------1------.

24

6馬解得殍.所以2V2

所以S的最小值是竽+*此時(shí)6=0.6=a=-

1633,

考點(diǎn)伸展

第⑶題②求S最小值的方法：

將S=2—三—弓a整理為關(guān)于a的一元二次方程，得27a2+(8S-54)a+24=0.

因?yàn)榉匠逃薪?所以因0.因此((8S-54)2-4X27X2420.

所以8S-54>36/.所以S>—+

24

S隨a變化的函數(shù)圖象如圖2所示.

8滿分解答

⑴如果PQ〃BD,那么*==*所以白=*解得t=爭(zhēng)

rt,DCO4o—L4/

⑵如圖3,在RtAMDQ中,DQ=6—t,tanZMQD=|所以DM=|(6-t).

所以SMDQ?OM=|(6-t)2.

2

而SpC(3=jPC-QC=|(8-t)t=-jt+4t,

S四邊形s/=+FG?”=*8+16-t)X6=72-3t,

所以y=S梯形AFCD—SAMDQ—SAPCQ

=(72-3t)-|(6-t)2-(-if2+4t)=it2-jt+^.

⑶如果S-/:Se=9:8,那么80/—1+更)=9*48.

五邊形AFPQM矩形ABCD\8227

整理，得產(chǎn)_20t+36=0.解得t=2,或t=18(舍去).

(4)如圖4,如果點(diǎn)M在線段PG的垂直平分線上，那么MP=MG.

作MN_LBC于N,那么PN=BC-BP-DM=8-t一|(6-t)=(―%.

所以在RtAMPN中，MP2=62+(|-if)2.

在RtAGBP中，BP=t,tanz￡P(guān)F=三，所以BG=-BP=-t.

444

在RtAMGA中，MG2=AG2+AM2=(6-|t)2+18-|(6-t)].

由MP2=MG2,^62+Q-it)2=(6-|t)2+[8-1(6-t)]=l2.

整理，得17t2-32t=0.解得t=或t=0(舍去).

圖3

考點(diǎn)伸展

第(4)題也可以這樣思考：如圖5,當(dāng)點(diǎn)M落在PG的垂直平分線上時(shí)，設(shè)PG的中點(diǎn)為K，那么在RtAEKM中,

cosAMEK=—4

51

在R3EFP中，EK=EP-KP=EP--GP=10--t.

28

而EM=ED_￡)M=16_q(6_t)=^_丸所以10_白=箕弓_汨.

解得t=p

9.滿分解答

(1)由y^x2+bx+c,得C(O,c).由OB=OC得B(-c,O).

由CD〃x軸，且CD=2得D(2,c).

將B(-c,O)、D(2,c)代入y=x2+bx+G得c=0,

解得b=-2,c=-3.

⑵如圖3,拋物線的對(duì)稱軸是直線x=l，點(diǎn)E的坐標(biāo)是(1,-4).

連結(jié)FD.因?yàn)镃、D關(guān)于直線1對(duì)稱，F(xiàn)、F關(guān)于直線1對(duì)稱，所以四邊形FCDF是矩形.所以FF=2.所以點(diǎn)F1

的橫坐標(biāo)為2.所以點(diǎn)F是BE的中點(diǎn).

所以點(diǎn)F的縱坐標(biāo)是-2.所以點(diǎn)F的坐標(biāo)是(0,-2).

(3)直線BC的解析式為y=x-3.拋物線的解析式為y=%2-2%-3=(%+1)(%-3)如圖4,設(shè)

P(m,0),M(m,m-3),N(m,m2-2m-3).

所以PPM=—(m—3),PN=—(m2—2m—3)=—(m+l)(m—3\PA=m+3)1.

如果SPQN=SAPM，，設(shè)PN邊上的高為QH,那么PMPA=PNQH.

所以-(m-3)(m+l)=-(m+l)(m-3>QH.所以QH=1.

在RtANQH中,直角邊QH=1為定值,NQ為斜邊.

當(dāng)斜邊NQ與直角邊QH重合時(shí)，NQ取得最小值.

止匕時(shí)NQ=1,NQ//x軸,N、Q關(guān)于對(duì)稱軸x=l對(duì)稱(如圖5所示).

所以點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為(或j.

所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為&一向)(如圖6),或(|，-154)(如圖5).

第⑵題一般可以這樣解：先求直線BE的解析式為y=2x-6.設(shè)F(O,n),那么F，(2，n).將點(diǎn)F(2,n)代入y=2x￡得

n=4-6=-2.

10.滿分解答

(1)如圖3,RtAABC中,AB=b,AC=2,所以.BC=V3,tanZTl=亨.

當(dāng)P與A，重合時(shí)在RtAPBC中,BC=V3,PC=2,所以PB=l,/PCB=30。.此時(shí)乙4cA=60°.

圖3圖4

(2)如圖4,當(dāng)M為AE的中點(diǎn)時(shí),CM是RtAA'B'C斜邊上的中線，所以1MA'=MC.所以/1=N2.

又因?yàn)镹1=NA,NQ=N2,所以tan/Q=tanz2=tanzX=

在RtAPBC中，PB=BC-tanz2=V3Xy=|.

在RSQBC中，QB=1百*=2,

所以PQ=PB+QB=殲2=(

(3)如圖5,因?yàn)锳ABC的大小是確定的，面積為所以當(dāng)APQC的面積最小時(shí)，四邊形PAEQ的面積也

最小.

如圖6,在APQC中,PQ邊上的高BC為定值.所以當(dāng)PQ最小時(shí),APQC的面積最小.

設(shè)CD為RtAPQC斜邊上的中線，那么PQ=2CD.因此當(dāng)CD最小時(shí),PQ也最小.如圖7,根據(jù)垂線段最短,當(dāng)CD

與CB重合時(shí)，CD最小.所以PQ的最小值為2遍.所以APQC的最小面積為3.所以四邊形PA'B'Q的最小面積為

3-V3.

考點(diǎn)伸展

第(3)題中，蘊(yùn)含了一個(gè)經(jīng)典結(jié)論：高為定值的直角三角形，當(dāng)其為等腰直角三角形時(shí)，面積最小.

而斜邊為定值的直角三角形，當(dāng)其為等腰直角三角形時(shí)，面積最大.

如圖8,點(diǎn)C在以AB為直徑的半圓0上，那么AABC為直角三角形.

設(shè)CD為斜邊AB上的高，那么CD總是小于等于CO的，當(dāng)CD=CO時(shí),CD取得最大值，此時(shí)CD1AB,AABC

是等腰直角三角形，面積最大(如圖9所示).

11.滿分解答

(1)將點(diǎn)A(m,0)代入y=x--l,得m=L

將點(diǎn)B(4,n)代入y=x--l,得n=3.

因?yàn)閽佄锞€y=-X2+b久+c與X軸交于A(l,0)、D兩點(diǎn)設(shè)y=-(x-l)(x-xD).

代入點(diǎn)B(4,3),得3=-3(4-xD).解得xD=5.

所以拋物線的解析式為yy=-(x-l)(x-5)=-%2+6%-5

⑵如圖4.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,0),那么AP=x-l,DP=5-x.

所以MP=^-AP=Y(x—1),NP-~DP=-y(5—x).

-NP=-1-Xy(x-l)Xy(5-x)=--y(x2-6x+5).

所以

當(dāng)x=3時(shí),AMPN的面積最大，最大值為1.此時(shí)P(3,0).

⑶Q(2,-3),或

考點(diǎn)伸展

第⑶題的解題過(guò)程是這樣的:由A(1,0)、B(43)，可知A、B兩點(diǎn)間的水平距離、豎直距離都是3,所以/BAD=45。,

AB=3V2

由C(0,-5)、D(5,0),可知/ADC=45。.所以/ADQ=NBAD.

作QH±x軸于H.分兩種情況討論ADAQ與AABD相似：

①如圖5,當(dāng)需=案時(shí)，DQ=AB=3V2.

止匕時(shí)DH=QH=3.所以O(shè)H=OD-DH=2.所以Q(2,-3).

②如圖6,當(dāng)震一時(shí)，牛=矗解得以=竽.

止匕時(shí)DH=QH=*所以。"=。。一=5*=(所以Q&一

12.滿分解答

(1)因?yàn)閽佄锞€與x軸交于點(diǎn)A(-1,0),設(shè).y=_/久+1)(%-%2).

代入點(diǎn)B(0,|),得g=—[(—久2).解得Xz=5.

所以拋物線的解析式為y--|(x+l)(x-5)=-|x2+2x+|.

(2)如圖2,由y=—1/+2x+1=—-2>+]導(dǎo)頂點(diǎn)C(2,9

設(shè)DC=m,那么D@三一,P(2+—m).

將點(diǎn)P(2+m-1-m)代入y=-|x2+2x+1得

—1(2+m)2+2(2+m)+1=|—m.

整理，得瓶2-2爪=0.解得m=2.或