2025年新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)突破講義：函數(shù)與方程（含解析）

專題13函數(shù)與方程

【考點(diǎn)預(yù)測】

一、函數(shù)的零點(diǎn)

對于函數(shù)y=〃x）,我們把使〃x）=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)、=的零點(diǎn).

二、方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系

方程〃力=0有實(shí)數(shù)根o函數(shù)y=〃力的圖像與x軸有公共點(diǎn)o函數(shù)y=/（x）有零點(diǎn).

三、零點(diǎn)存在性定理

如果函數(shù)y=〃x）在區(qū)間［a,可上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有〃a）"S）＜0

,那么函數(shù)y=在區(qū)間（a㈤內(nèi)有零點(diǎn)，即存在ce（a力）,使得〃c）=O,c也就是方程〃尤）=0的

根.

四、二分法

對于區(qū)間［?；厣线B續(xù)不斷且＜0的函數(shù)/（%）,通過不斷地把函數(shù)〃x）的零點(diǎn)

所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)的近似值的方法叫做二分法.求

方程〃x）=0的近似解就是求函數(shù)人力零點(diǎn)的近似值.

五、用二分法求函數(shù)/（x）零點(diǎn)近似值的步驟

⑴確定區(qū)間［a,可，驗(yàn)證〃a）"（6）＜0,給定精度￡.

（2）求區(qū)間（a,b）的中點(diǎn)馬.

（3）計算"xj.若/（占）=0,則占就是函數(shù)〃無）的零點(diǎn)；若貝lj令6=玉（此時零點(diǎn)

Xge（a,%1））.若/（6）./&）＜0,則令”=尤［（此時零點(diǎn)升€（%,6））

（4）判斷是否達(dá)到精確度￡,即若卜-4＜￡,則函數(shù)零點(diǎn)的近似值為。（或6）；否則重復(fù)第（2）

—（4）步.

用二分法求方程近似解的計算量較大，因此往往借助計算完成.

【方法技巧與總結(jié)】

函數(shù)的零點(diǎn)相關(guān)技巧：

①若連續(xù)不斷的函數(shù)f（無）在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則/（x）至多有一個零點(diǎn).

②連續(xù)不斷的函數(shù)/Xx）,其相鄰的兩個零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值同號.

③連續(xù)不斷的函數(shù)/Xx）通過零點(diǎn)時，函數(shù)值不一定變號.

④連續(xù)不斷的函數(shù)/Xx）在閉區(qū)間［a,b］上有零點(diǎn)，不一定能推出＜0.

【典例例題】

例1.（2024?高三?全國?專題練習(xí)）函數(shù)/（x）=2尤+x—2的零點(diǎn)個數(shù)是（）

A.0B.1

C.2D.3

【答案】B

【解析】解析：f（x）=2xln2+l>0,所以/G）在R上單調(diào)遞增，/（0）=—1,/（I）=1,故函數(shù)的

零點(diǎn)個數(shù)為1.故選B.

例2.（2024.江蘇.一模）函數(shù)/OsinpY]在區(qū)間（0,2兀）內(nèi)的零點(diǎn)個數(shù)為（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析]令〃x)=sin[2x+1=0,得2x+1=丘，則尤=_^+g，旌Z；

兀5411

k—x—;k=2,x—兀，k—3,X—兀;k—4,x—TL,

3636

所以“X）在（0,2兀）共有4個零點(diǎn),

故選：C.

1,1〉0

例3.（2024.高三.北京海淀?階段練習(xí)）已知符號函數(shù)sgn（尤）=<0,x=0,則函數(shù)

一1,x<0

/(%)=sgn(21nx)—ln(2x—1)的零點(diǎn)個數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】c

【解析】令f(x)=。，則Sgn(21nx)=ln(2x-1)

l,x>1

y=sgn(2Inx)=<0,x=1,

-1,0<X<1

當(dāng)l>1時，若ln（2x—1）=1,得工=、一，符合；

當(dāng)x=l時，若ln（2%-1）=0,得九=1,符合；

當(dāng)0<尤<1時，若ln（2x-l）=-l,得x=]+],符合;

2e2

故函數(shù)f（元）=sgn（2Inx）-ln（2x-1）的零點(diǎn)個數(shù)為3.

故選：C.

例4.（2024.湖南岳陽.模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（x）=ln（x-2）,則下列結(jié)論錯誤的是（）

A./(3)=0B.的零點(diǎn)為3

C.“X）在（0,+8）上為增函數(shù)D.f⑶的定義域?yàn)椋?,+8）

【答案】C

【解析】，⑶=ln（3_2）=lnl=o,可知函數(shù)〃尤）的零點(diǎn)為3,可知A,B正確；

y（x）=ln（x-2）中，由％-2>0,解得：x>2,

故函數(shù)的定義域?yàn)椋?,+8）,且函數(shù)在（2,+8）為增函數(shù)，故C錯誤，D正確.

故選：C

例5.（2024?四川成都.二模）已知函數(shù)〃切='',若存在，"使得關(guān)于x的方程/（%）=根有兩不同的

X9X>t

根，貝”的取值范圍為（）

A.（-1,O）U（O,1）B.（-l,O）u（l,^）

C.（^?,-l）u（O,l）D.（^?,-l）u（l,+oo）

【答案】B

%3Y<；/

【解析】由函數(shù)=J'>（,可得函數(shù)y=f（x）在L+oo）上為增函數(shù)，

當(dāng)x</時,蠹x（x）—乙當(dāng)力時,源（x）=f,

若存在m使得關(guān)于x的方程/（力=m有兩不同的根，只需r>/,

解得-i<f<o或/>i,所以/的取值范圍為（T,O）5L+8）.

故選：B.

例6.（2024?高三?全國?競賽）方程1。8,（尤+2024）=2的實(shí)數(shù)解的個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】依題意，

原方程等價于無2=尤+2024（x>0,尤片1）

即尤2-X-2024=0,顯然只有一個正實(shí)根.

故選：B.

3尤2-12x+12,x>l,

例7.（2024?高三?陜西西安?期末）已知函數(shù)〃尤）=??若

—l|,x<1,

1

/（芯）=/（尤2）=/（鼻）=/（尤4）=乙且無1*尤22%*無4，貝的取值范圍是（）

A.（0,1）B.（0,2）C.（0,3）D.（1,3）

【答案】A

【解析】由題意，作出y=〃x）的大致圖象，如圖所示，

要使得/（%）=/（4）=/（玉）=/（%）=/，

即函數(shù)丁=，（0與'=/的圖象有4個不同交點(diǎn)，則0<t<l,

所以實(shí)數(shù)f的取值范圍是（0,1）.

故選：A.

例8.（2024?高三,全國?專題練習(xí)）函數(shù)/（x）=lnx-J的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是（）

A.B.（1,2）C.（2,e）D.（2,3）

【答案】B

【解析】/（》）=1叱—的定義域?yàn)椋?,+8）,

又y=lnx與y=-g在（0,+力）上單調(diào)遞增，

所以/（x）=lnx-：在（0,+s）上單調(diào)遞增，

又/（1）=-1<0,〃2）=山2-g>0,

所以〃1）"⑵<0,

根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理可得函數(shù)〃x）=lnx-L的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間為（1,2）,

X

故選：B.

2,x>m

例9.（2024?高三?全國?專題練習(xí)）已知函數(shù)/（%）=的圖象與直線y=x恰有三個公共點(diǎn)，則

x2+4x+2,x<m

實(shí)數(shù)m的取值范圍是

【答案】［T,2）

【解析】令N+4X+2=X,解得x=—1或％=—2,所以三個解必須為一1,—2和2,所以有一lSn<2.

l,x<0

例10.（2024?高三?全國?專題練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=1八則使得方程％+/（%）=根有解的實(shí)數(shù)機(jī)的取

—,x>0

、x

值范圍是.

【答案】（-?,1卜［2,+?>）

【解析】當(dāng)尤WO時，x+f(^x)-m,即x+l=%有解，則加W1；

當(dāng)x>0時，x+f(x)=加，即％+,=加有解，則7〃32,

即實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是(F,1]32，+S).

故答案為：(-oo,l]u[2,+oo)

例11.(2024.遼寧?二模)已知函數(shù)/(無)的定義域?yàn)镽,滿足〃x+l)—2〃x)=0,且當(dāng)xe(0,l]時,

f(x)=1x-1x2,則的值為________.

42&=iI//

【答案】宇255

4

【解析】:函數(shù)〃x)的定義域?yàn)镽,滿足f(x+l)-2〃x)=0,

31

且當(dāng)xe(0,l]時，/(%)=-%—%2,

-42

3111

/(-)=/(-+1)=2/(-)=-,

533

/(-)=/(-+1)=2/(-)=1,

755

/(-)=/(-+!)=2/(-)=2,

977

/(-)=/(-+!)=2/(-)=4,

/(y)=/(|+D=2/(1)=8

/(y)=/(y+D=2/(y)=16

151313

/(y)=/(y+D=2/(y)=32

/2k-1、11..__255

>/(-----)=一+—+1+2+4+o8+16+32=——.

白2424

故答案為：字255.

4

例12.(2024.高三.重慶.階段練習(xí))已知函數(shù)〃k=(/+皿+》，，若函數(shù)“可有兩個不同零點(diǎn)，則

/(無)極值點(diǎn)的個數(shù)為.

【答案】2

【解析】令〃x)=0,則/+如+〃=0,由題意知4>。，即解-4〃>0；

（x）=（x23+2x+mx+m+zz）eY,令/'（x）=0,IDx2+2x+?ix+m+n=0.

即A?=〃/-4〃+4>0,貝lj/'（x）=（/+2x+mx+?i+"）e”有兩個變號零點(diǎn)，

所以函數(shù)/（無）有2個極值點(diǎn).

故答案為：2.

【過關(guān)測試】

一、單選題

1.（2024.山西.模擬預(yù)測）方程41cos"-〃=0的實(shí)數(shù)根的個數(shù)為（）

A.9B.10C.11D.12

【答案】C

【解析】設(shè)%=4|cosf|,y2=y[t.在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出X=4|cost|與%=〃的大致圖象，

當(dāng)/'=5兀時，*=4>\[5n=y2；當(dāng)r=6兀時，m=4<A/6TT=y2.

根據(jù)圖象可得兩個函數(shù)共有11個交點(diǎn).

故選：C.

（J兀2兀3兀4兀5兀6TI

2.（2024.高三.浙江紹興.期末）已知命題P：函數(shù)=在（1,2]內(nèi)有零點(diǎn)，則命題。成立的一個

必要不充分條件是（）

A.3<avl8B.3<?<18C.々<18D.a>3

【答案】D

【解析】函數(shù)/（刈=2/+》一。在R上單調(diào)遞增，由函數(shù)/（刈=2/+》”在0,2]內(nèi)有零點(diǎn)，

f/（l）=3-a<0

得，二八，解得3<。418,即命題。成立的充要條件是3<aW18,

/(2)=18-a>0

顯然3<a?18成立，不等式3Kavl8、3vavl8、〃<18都不一定成立，

而3<a?18成立，不等式恒成立，反之，當(dāng)時，3v，K18不一定成立,

所以命題。成立的一個必要不充分條件是，23.

故選：D

3.（2024?高三?重慶?開學(xué)考試）函數(shù)“力=3+/一2的零點(diǎn)有（

A.4個B.2個C.1個D.0個

【答案】B

【解析】令〃x）=e*+f-2=0,即ex=2—-

可知函數(shù)〃x）的零點(diǎn)個數(shù)即為產(chǎn)^與y=2-f的交點(diǎn)個數(shù)，

結(jié)合函數(shù)的圖像，可知y=e，與y=2-x2的函數(shù)圖像有兩個交點(diǎn),

所以函數(shù)有兩個零點(diǎn)，即函數(shù)〃司=d+/-2的零點(diǎn)有2個.

故選：C.

4.（2024高三.浙江寧波?期末）函數(shù)/（%）=2*+三—9的零點(diǎn)所在區(qū)間為（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

【答案】B

【解析】由已知，可知析刈為增函數(shù),

且/（1）=2+1-9=-6<0,

〃2）=4+8-9=3>0,

根據(jù)零點(diǎn)存在定理，函數(shù)在（L2）有零點(diǎn)，且零點(diǎn)是唯一的.

故選：B

5.（2024?高三?山東煙臺?期末）已知〃尤）為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)xe（O,y）時,

/、flnx+l,0<x<l/、

〃X）=,則方程〃x）-l=0實(shí)數(shù)根的個數(shù)為（）

12—x,x>1

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】因?yàn)?（力為定義在R上的奇函數(shù)，所以/（。）=0,

當(dāng)一1K犬<0時，0<—f（x）=—f（—^）——ln（—%）—1,

當(dāng)x<_]時，_%>],/(x)=-/(-x)=-2-x,

2-x,x>1

lnx+l,0<x<l

綜上〃"0,x=0

-In(-x)-l,-l<x<0

—2—x,x—1

當(dāng)x＞l時，令〃尤）=1無解；當(dāng)0＜xWl時，令〃x）=l解得x=l；

當(dāng)x=0時，令/'（0=1無解；當(dāng)-LWx＜0時，令/（x）=l解得x=-e-2；

當(dāng)尤＜一1時，令=解得尤=一3,

綜上〃x）-1=0實(shí)數(shù)根的個數(shù)為3個，

故選：C

6.（2024?全國?模擬預(yù)測）設(shè)Ax）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)無＞0時，/（x）=ln.r-%2+2x,則/（x）的零

點(diǎn)個數(shù)為（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【解析】依題意，作出函數(shù)y=ln尤與y=f-2x的圖象，如圖，

可知兩個函數(shù)的圖象有兩個不同交點(diǎn)，即此時/（X）有兩個零點(diǎn)；

又函數(shù)/（尤）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，故當(dāng)無＜0時，"X）也有兩個零點(diǎn)，

函數(shù)/⑺是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，所以/（。）=0,即尤=0也是函數(shù)了3的1個零點(diǎn)，

綜上所述，/（x）共有5個零點(diǎn).

故選：D.

7.（2024.高三.浙江寧波?期末）將函數(shù)〃尤）=5《2計1的圖象向右平移巳個單位后得到函數(shù)g（x）的圖

象.若V=g（x）在（-機(jī)〃?）上恰有三個不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)加的取值范圍為（）

B?（—7n13/

（57111兀

D.五一

【答案】A

【解析】g（x）=sin[=sin^2x-^,

兀（7L7L?

由題意得相＞0,故當(dāng)xe（T”,〃z）時，2x--e-2m--,2m--,

顯然當(dāng)2X-F=°，即尤==為y=g（x）的一個零點(diǎn)，

o12

要想y=g（%）在（ft,m）上恰有三個不同的零點(diǎn)，

,無解,

2m--e(2兀,3兀］

,無解.

故選：A

8.（2024?高三.內(nèi)蒙古鄂爾多斯?期末）已知函數(shù)/（力=2$山18+。|（0>0）,若方程〃x）=l在區(qū)間（0,2兀）

上恰有3個實(shí)根，則。的取值范圍是（）

A.gB.同C.存2）D.與2一

【答案】D

'JIJI

【解析】因?yàn)?<%<2兀，所以一<s+—<2師+—,

666

由〃x）=l,即sin/x+W=；,在區(qū)間（0,2兀）上恰有3個實(shí)根，

則U17<兀207i+7^1V2三5兀，解得4？<oV2.

6663

故選：D

9.（2024.高二?河南焦作?期末）設(shè)西,々，了3分別是方程1%工+》=3,Iog3（x+2）=W^,e*=lnx+4的實(shí)

根，貝U（）

A.x1<x2<x3B.x2<x3<Xj

C.x2<xx<x3D.x3<x2<xx

【答案】B

【解析】4/W=log3x+x-3,可得在（0,+s）上單調(diào)遞增，

又由〃2）=log32—l<0,〃3）=log33=l>0,所以2<益<3；

再令g（無）=logs（尤+2）-Q,可得g（尤）在（-2,0）上單調(diào)遞增，

且g(-l)=-l<O,g(O)>O,所以一1〈無2<。；

對于eX=lnx+4,即e，-4=lnx，則方程的根為y=e*-4與y=lnx的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo),

在同一平面直角坐標(biāo)系中作出兩個函數(shù)圖象，如圖所示，

由圖可知，凡?0,1)或％；w(l,2),綜上，x2<x3<xt.

10.(2024?高三?全國?專題練習(xí))拉格朗日中值定理是微分學(xué)中的基本定理之一，其定理陳述如下：如果函

數(shù)/5)在閉區(qū)間加上連續(xù)，在開區(qū)間(。,6)內(nèi)可導(dǎo)，則在區(qū)間(6人)內(nèi)至少存在一個點(diǎn)無oe(a,6),使得

/■(/?)一/(4)=/(*0)(/?-4),了=不稱為函數(shù)丁=/(%)在閉區(qū)間出,加上的中值點(diǎn)，若關(guān)于函數(shù)/(x)=sinx在區(qū)

間［0,兀］上的“中值點(diǎn)”的個數(shù)為機(jī)，函數(shù)g(x)=e'在區(qū)間［0,1］上的“中值點(diǎn)”的個數(shù)為“則有力?+“=()

(參考數(shù)據(jù)：7i?3.14,e?2.72.)

A.1B.2C.0D.n=3

【答案】B

【解析】設(shè)函數(shù)/(x)=sin尤在區(qū)間［0,兀］上的“中值點(diǎn)”為%,由/(無)=sinx,得解(x)=cosx,

,

則由拉格朗日中值定理得，/(7t)-/(O)=/(xo)(7r-O),即71cos尤。=0,而無。e(0,兀)，

JT

則毛=5,即函數(shù)〃M=sinx在區(qū)間［0,兀］上的“中值點(diǎn)”的個數(shù)為1,因此加=1,

設(shè)函數(shù)g(x)=e*在區(qū)間［0,1］上的“中值點(diǎn)”為X］,由g(x)=",求導(dǎo)得g，(x)=e"

由拉格朗日中值定理得，g⑴-g(0)=g'a)(l-0),即e-1=9，

令函數(shù)/7(x)=e、-e+l,xe(0,l),函數(shù)〃(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，/z(0)=2-e<0,/i(l)=1>0,

則函數(shù)h(x)在(0,1)上有唯一零點(diǎn)，即方程e-l=e*在區(qū)間(0,1)上有1個解，

因此函數(shù)g(x)=e*在區(qū)間［0,1］上的“中值點(diǎn)”的個數(shù)為1,即〃=1,

所以;",+”=2.

故選:B

11.(2024?高三?河南?階段練習(xí))已知”尤)為偶函數(shù)，對任意xeR有〃x+2)=〃x)-/⑴，當(dāng)xe［(M)時，

/(x)=4x-2,則方程y(x)=log2k-l|的所有實(shí)根之和為()

A.3B.6C.7D.8

【答案】B

【解析】由〃x+2)=/(x)_y⑴得〃T+2)=〃-l)_〃l),

又為偶函數(shù)，所以=

故"1)=0，/(%+2)=/(x),因此為周期為2的周期函數(shù)且為偶函數(shù),

由xe[0,l)時，/(x)=4x-2,

作出y=〃x)和g(x)=log2|x-1的圖象，又〃X+2)=〃一尤)，

由于y=/(x)和g(x)=log』xT|均關(guān)于x=l對稱，

由圖象可知y=/(x)和g(x)=log?卜一1|的圖象有6個交點(diǎn)，

根據(jù)對稱可知：方程所有實(shí)根之和為6.

故選：B

12.(2024.高一.貴州?階段練習(xí))函數(shù)/(x)=2*+x-17的零點(diǎn)所在的區(qū)間為()

A.(5,6)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)

【答案】C

【解析】因?yàn)椤癤)在R上單調(diào)遞增，

5./(3)=23+3-17=-6<0,/(4)=24+4-17=3>0,

所以/⑺的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(3,4).

故選：C

13.(2024?高一?全國?課時練習(xí))下列關(guān)于二分法的敘述中，正確的是()

A.用二分法可求所有函數(shù)零點(diǎn)的近似值

B.用二分法可求函數(shù)零點(diǎn)的近似值，可精確到小數(shù)點(diǎn)后任一位

C.二分法無規(guī)律可循，無法在計算機(jī)上完成

D.只能用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)

【答案】B

【解析】A選項(xiàng)，由二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值需要函數(shù)圖象在零點(diǎn)附近連續(xù)且區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值異號，A錯

誤；

B選項(xiàng)，二分法，反復(fù)求區(qū)間中點(diǎn)，確定函數(shù)值符號，故可求函數(shù)零點(diǎn)的近似值，

可精確到小數(shù)點(diǎn)后任一位，B正確；

C選項(xiàng)，二分法是一種程序化的運(yùn)算過程，反復(fù)求區(qū)間中點(diǎn)，確定函數(shù)值符號，

因而可以通過編程，在計算機(jī)上完成，C錯誤；

D選項(xiàng)，求零點(diǎn)的方法有解方程法、作圖法等，D錯誤.

故選：B.

二、多選題

14.（2024?高三?云南?階段練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=x-g,則（）

A.“X）為奇函數(shù)B.“X）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增

C.有2個零點(diǎn)D.〃尤）的最小值為0

【答案】AC

【解析】對于A中，由函數(shù)/（》）=尤可得定義域?yàn)椋╢,。）（0,+s）關(guān)于原點(diǎn)對稱,

又由〃-尤）=-》+（=-（》-2）=-?。院瘮?shù)〃元）為奇函數(shù)，所以A正確；

對于B中，由尸（無）=1+壺＞0,所以〃力為單調(diào)遞增函數(shù)，

所以函數(shù)“X）在（-嗎0）,（0,+8）單調(diào)遞增，所以B錯誤；

對于C中，令〃x）=0,即解得x=±1,所以C正確；

72尤2

對于D中，例如：當(dāng)x時，/（；）=g—l=-;〈夜，所以D不正確.

故選：AC.

15.（2024?高一?云南玉溪?期末）已知函數(shù)/（'）=sin"-1g的所有零點(diǎn)從小到大依次記為

Xi，馬，…，當(dāng)，則（）

A.n=20B.〃=18

C.再+工2++%〃=10D.玉+々+…+兀〃=9

【答案】AC

1

【解析】令f(x)=sin7ix—1gX—;=0nsinm=lgx——

2

在同一直角坐標(biāo)系，畫出兩個函數(shù)圖象如下圖所示:

由圖可知共有20個父點(diǎn)，故”=20,則A正確，B錯誤；

又函數(shù)y=sinm,y=lgx-〈的圖象都關(guān)于x對稱，則%三9=&詈==百口=!，

222222

故%+%++xn=xl+x2++x20=10,則C正確，D錯誤，

故選：AC

12

_Y?2v-?2丫＜

16.（2024.高一.山西呂梁.階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)/（%）=5'",若關(guān)于x的方程〃％）二。有四個

|lnx|,x＞0

不同的解％1，工2，%3，X4，且玉＜兀2＜兀3＜工4，則（）

A.x{x2＞4B.0＜a＜2

2

C.X3+X4＞2D.^-＜x4＜e

e

【答案】BC

_1Y2?2Y?2Y＜

【解析】由函數(shù)〃尤）=5'-，作出函數(shù)y=的圖象，如圖所示，

|lnx|,尤＞0

因?yàn)殛P(guān)于x的方程〃x）=a有四個不同的解占，馬，鼻,匕，且再＜%＜退＜匕，

結(jié)合圖象，可得一4W玉＜一2＜%2?°＜兀3＜1＜%4，且玉+%=-4,

2

則x1x2=玉（-4—%）=—%；-4%=_&+2）+4,其中一4?司＜_2,

所以石馬＜4,所以A不正確.

根據(jù)圖象，要使得方程=a有四個不同的解，可得0＜。=2,所以B正確；

因?yàn)?＜鼻＜1（尤4,且|lnw|〈Inxj，可得Tnx3=lnx4，

所以In無3+ln.%=lngr4=0,可得陽%4=1，

又由毛+七22dx3X2=2,當(dāng)且僅當(dāng)￡=匕=1時，等號成立，

顯然退片匕，所以鼻+匕＞2,所以C正確；

令。=ln%=2,可得匕=62,結(jié)合圖象，可得所以D不正確.

故選：BC.

17.(2024?高一?江蘇.專題練習(xí))關(guān)于函數(shù)F(x)=siHX+|sinx|有下述四個結(jié)論，其中結(jié)論錯誤的是()

A./(x)是偶函數(shù)B./*)在區(qū)間■，兀)單調(diào)遞增

C./⑺在［-私兀I有4個零點(diǎn)D./*)的最大值為2

【答案】BC

【解析】因?yàn)?(x)=sin國+|sinx|的定義域?yàn)镽,

又/(T)=sin|-x|+kin(T)|=sinW+binx|=/(x),\尤)為偶函數(shù)，故A正確.

當(dāng)］。<兀時，/(^)=2sinx,它在區(qū)間單調(diào)遞減，故B錯誤.

當(dāng)OWxV兀時，/(x)=2sinx,它有兩個零點(diǎn)：0,兀；

當(dāng)一7iWx<0時，/(x)=sin(-x)-sinx=-2sinx,

它有一個零點(diǎn)：-兀，故〃x)在［-1,句有3個零點(diǎn)：-兀,0,兀，故C錯誤.

當(dāng)兀,2左兀+兀］(左eN*)時，/(x)=2sinx；

當(dāng)尤旺［2kit+n,2kn+2兀］(左eN*)時，/(x)=sin%-sinx=O,

又/(x)為偶函數(shù)，'"X)的最大值為2,故D正確.

故選：BC.

x2-2x,0<x<2

18.(2024?高三?廣東揭陽?階段練習(xí))已知函數(shù)〃尤)=17r,則下列結(jié)論正確的有()

sin—x,2<x<4

A./(|)=-乎B.函數(shù)圖像關(guān)于直線x=2對稱

C.函數(shù)的值域?yàn)镈.若函數(shù)y=/(x)r"有四個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)小的取值范圍是

(TO)

【答案】ACD

【解析】A選項(xiàng)，/?=sin—=-sin-=-^,A正確；

\2)442

B選項(xiàng)，/(0.5)=0.52-1=-0.75,/(3.5)=siny=-sin^=,

由于/(0.5)力7(3.5),故函數(shù)圖像不關(guān)于直線x=2對稱，B錯誤;

C選項(xiàng)，畫出的圖象，如下：

數(shù)形結(jié)合可知函數(shù)的值域?yàn)椋?1,0］,C正確；

D選項(xiàng)，若函數(shù)y=/(x)-m有四個零點(diǎn)，則/。)與丁=機(jī)有4個交點(diǎn),

故實(shí)數(shù)加的取值范圍是(-1,0),D正確.

故選：ACD

三、填空題

19.(2024?高三?全國?專題練習(xí))函數(shù)〃x)=2sinx-sin2x在。2兀］所有零點(diǎn)之和為

【答案】31t

【解析】由/(%)=2sin%-sin2%=2sin%-2sinxcosx=2sinx(l-cosx),

令〃x)=0,即2sin尤(l-cosx)=0,解得sinx=0或cosx=l,

因?yàn)橛萫［0,2兀］,所以X=TI或尤=?；蜥?2兀，所以零點(diǎn)之和為3九

故答案為：3K.

20.(2024?高三?內(nèi)蒙古赤峰?期中)設(shè)函數(shù)〃x)=3數(shù)-2a+1,。為常數(shù).若存在與式0,1),使得〃/)=0,

則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

【答案】(-s,T)u［；,+s］

【解析】因?yàn)榇嬖陬}?0,1),使得/■(5)=(),

所以函數(shù)〃x)在(0,1)上有零點(diǎn).

當(dāng)4=0時，〃x)=l不存在零點(diǎn)，

當(dāng)awO時，/(》)=3以-2°+1為一次函數(shù)形式，具有單調(diào)性，

由函數(shù)零點(diǎn)存在性定理知/(0)"⑴<0,BP(l-2a)(?+l)<0,

解得av-1或a>；.

故答案為：(-8,-1)口［；,+°°1.

21.(2024高三.廣東中山?階段練習(xí))函數(shù)y=lgN|-sinx的零點(diǎn)個數(shù)為

【答案】6

【解析】lgN|-sinx=O,故lg|X=sinx,

畫出/(x)=lg區(qū)和g(x)=sinx,兩函數(shù)交點(diǎn)個數(shù)即為y=lgN-sinx的零點(diǎn)個數(shù),

由圖象可得，共6個交點(diǎn)，所以y=lg|x|-sinx的零點(diǎn)個數(shù)為6.

故答案為：6

22.(2024?高一?江蘇?專題練習(xí))設(shè)函數(shù)〃同=卜：-2：",；,關(guān)于尤的方程〃x)=。有三個不等實(shí)根

—lx+6,x>2

尤1,尤2,W，則占+尤2+W的取值范圍是.

【答案】［5,y)

【解析】畫出函數(shù)圖象，結(jié)合圖形可知，僅當(dāng)-l<aWO時，方程/(x)=。有三個不等實(shí)根，

分別對應(yīng)直線'與圖象三個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，其中兩個交點(diǎn)位于二次函數(shù)圖象上，

不妨設(shè)玉<工2<%，

顯然占關(guān)于x=l對稱，故占+%=2,

另一個交點(diǎn)位于一次函數(shù)圖象上，