2018-2019學(xué)年高中一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)講義第四章三角函數(shù)解三角形

第四章eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,,,,,,))三角函數(shù)、解三角形第一節(jié)任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)1．角的概念的推廣(1)定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形．(2)分類eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負(fù)角、零角.,按終邊位置不同分為象限角和軸線角.))(3)終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．2．弧度制的定義和公式(1)定義：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，弧度記作rad.(2)公式：角α的弧度數(shù)公式|α|＝eq\f(l,r)(l表示弧長)角度與弧度的換算①1°＝eq\f(π,180)rad；②1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°弧長公式l＝|α|r扇形面積公式S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r23.任意角的三角函數(shù)三角函數(shù)正弦余弦正切定義設(shè)α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，那么y叫做α的正弦，記作sinαx叫做α的余弦，記作cosαeq\f(y,x)叫做α的正切，記作tanα各象限符號一＋＋＋二＋－－三－－＋四－＋－三角函數(shù)線有向線段MP為正弦線有向線段OM為余弦線有向線段AT為正切線[小題體驗(yàn)]1．若θ滿足sinθ<0，cosθ>0，則θ的終邊在第________象限．答案：四2．已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)(－4，－3)，則cosα＝________.答案：－eq\f(4,5)3．α為第一象限角，則sinα＋cosα________1.(填“>”“<”“＝”)答案：>1．注意易混概念的區(qū)別：象限角、銳角、小于90°的角是概念不同的三類角．第一類是象限角，第二、第三類是區(qū)間角．2．角度制與弧度制可利用180°＝πrad進(jìn)行互化，在同一個式子中，采用的度量制度必須一致，不可混用．3．已知三角函數(shù)值的符號確定角的終邊位置不要遺漏終邊在坐標(biāo)軸上的情況．4．三角函數(shù)的定義中，當(dāng)P(x，y)是單位圓上的點(diǎn)時(shí)有sinα＝y(tǒng)，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x)，但若不是單位圓時(shí)，如圓的半徑為r，則sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x).[小題糾偏]1．－1000°是第________象限角，α＝3是第________象限角，72°＝________rad.答案：一二eq\f(2π,5)2．如圖所示，在直角坐標(biāo)系xOy中，射線OP交單位圓O于點(diǎn)P，若∠AOP＝θ，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是____________．答案：(cosθ，sinθ)

eq\a\vs4\al(考點(diǎn)一角的集合表示及象限角的判定)eq\a\vs4\al(基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)——自主練透)[題組練透]1.下列命題中，真命題是()A．第一象限角是銳角B．直角不是任何象限角C．第二象限角比第一象限角大D．三角形的內(nèi)角一定是第一或第二象限角解析：選B390°是第一象限角，但不是銳角，A錯；135°是第二象限角，390°>135°，C錯；直角不是任何象限角，D錯，B對．2．若α是第二象限的角，則下列結(jié)論一定成立的是()A．sineq\f(α,2)>0 B．coseq\f(α,2)>0C．taneq\f(α,2)>0 D．sineq\f(α,2)coseq\f(α,2)<0解析：選C∵eq\f(π,2)＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，∴eq\f(π,4)＋kπ<eq\f(α,2)<eq\f(π,2)＋kπ.當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，eq\f(α,2)是第一象限角；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，eq\f(α,2)是第三象限角，即taneq\f(α,2)>0一定成立，故選C.3．設(shè)集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,2)))·180°＋45°，k∈Z))，N＝xeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,4)))·180°＋45°，k∈Z，那么M________N．(填“＝”“?”“?”)解析：法一：由于M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,2)))·180°＋45°，k∈Z))＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N＝xeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,4)))·180°＋45°，k∈Z＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，顯然有M?N.法二：由于M中，x＝eq\f(k,2)·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1是奇數(shù)；而N中，x＝eq\f(k,4)·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整數(shù)，因此必有M?N.答案：?4．終邊在直線y＝eq\r(3)x上的角的集合為__________________．解析：在坐標(biāo)系中畫出直線y＝eq\r(3)x，可以發(fā)現(xiàn)它與x軸正半軸的夾角是eq\f(π,3)，終邊在直線y＝eq\r(3)x上的角的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝kπ＋\f(π,3)))，k∈Z)).答案：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝kπ＋\f(π,3)))，k∈Z))5．若角α是第二象限角，則eq\f(α,2)是第________象限角．解析：∵α是第二象限角，∴eq\f(π,2)＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，∴eq\f(π,4)＋kπ<eq\f(α,2)<eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z.當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，eq\f(α,2)是第一象限角；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，eq\f(α,2)是第三象限角．答案：一或三[謹(jǐn)記通法]1．終邊在某直線上角的求法4步驟(1)數(shù)形結(jié)合，在平面直角坐標(biāo)系中畫出該直線；(2)按逆時(shí)針方向?qū)懗鯷0,2π)內(nèi)的角；(3)再由終邊相同角的表示方法寫出滿足條件角的集合；(4)求并集化簡集合．2．確定kα，eq\f(α,k)(k∈N*)的終邊位置3步驟(1)用終邊相同角的形式表示出角α的范圍；(2)再寫出kα或eq\f(α,k)的范圍；(3)然后根據(jù)k的可能取值討論確定kα或eq\f(α,k)的終邊所在位置．eq\a\vs4\al(考點(diǎn)二扇形的弧長及面積公式)eq\a\vs4\al(基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)——自主練透)[題組練透]1．若一扇形的圓心角為72°，半徑為20cm，則扇形的面積為()A．40πcm2 B．80πcm2C．40cm2 D．80cm2解析：選B∵72°＝eq\f(2π,5)，∴S扇形＝eq\f(1,2)|α|r2＝eq\f(1,2)×eq\f(2π,5)×202＝80π(cm2)．2．若扇形的圓心角是α＝120°，弦長AB＝12cm，則弧長l等于()A.eq\f(4\r(3),3)πcm B.eq\f(8\r(3),3)πcmC.4eq\r(3)cm D．8eq\r(3)cm解析：選B設(shè)扇形的半徑為rcm，如圖．由sin60°＝eq\f(6,r)，得r＝4eq\r(3)cm，∴l(xiāng)＝|α|·r＝eq\f(2π,3)×4eq\r(3)＝eq\f(8\r(3),3)πcm.3．已知扇形周長為40，則當(dāng)扇形面積最大時(shí)，圓心角等于________．解析：設(shè)圓心角是θ，半徑是r，則2r＋rθ＝40.又S＝eq\f(1,2)θr2＝eq\f(1,2)r(40－2r)＝r(20－r)＝－(r－10)2＋100≤100.當(dāng)且僅當(dāng)r＝10時(shí)，Smax＝100，此時(shí)2×10＋10θ＝40，θ＝2.所以當(dāng)r＝10，θ＝2時(shí)，扇形的面積最大．答案：24．若扇形的圓心角α＝60°，半徑R＝10cm，求扇形的弧長l及扇形的弧所在的弧形的面積．解：∵α＝60°＝eq\f(π,3)，R＝10cm，∴l(xiāng)＝Rα＝10×eq\f(π,3)＝eq\f(10π,3)cm.設(shè)弧形的面積為S，則S＝eq\f(1,2)R2α－eq\f(1,2)R2sineq\f(π,3)＝eq\f(1,2)×102×eq\f(π,3)－eq\f(1,2)×102×eq\f(\r(3),2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(50π,3)－25\r(3)))cm2.[謹(jǐn)記通法]弧度制下有關(guān)弧長、扇形面積問題的解題策略(1)明確弧度制下弧長公式l＝|α|r，扇形的面積公式是S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r2(其中l(wèi)是扇形的弧長，α是扇形的圓心角)．(2)求扇形面積的關(guān)鍵是求得扇形的圓心角、半徑、弧長三個量中的任意兩個量，如“題組練透”第3題．eq\a\vs4\al(考點(diǎn)三三角函數(shù)的定義)eq\a\vs4\al(題點(diǎn)多變型考點(diǎn)——多角探明)[鎖定考向]任意角的三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義屬于理解內(nèi)容．在高考中多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)．常見的命題角度有：(1)三角函數(shù)定義的應(yīng)用；(2)三角函數(shù)值的符號判定．[題點(diǎn)全練]角度一：三角函數(shù)定義的應(yīng)用1．已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(－x，－6)，且cosα＝－eq\f(5,13)，則eq\f(1,sinα)＋eq\f(1,tanα)＝________.解析：∵角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(－x，－6)，且cosα＝－eq\f(5,13)，∴cosα＝eq\f(－x,\r(x2＋36))＝－eq\f(5,13)，即x＝eq\f(5,2)或x＝－eq\f(5,2)(舍去)，∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，－6))，∴sinα＝－eq\f(12,13)，∴tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(12,5)，則eq\f(1,sinα)＋eq\f(1,tanα)＝－eq\f(13,12)＋eq\f(5,12)＝－eq\f(2,3).答案：－eq\f(2,3)2．已知角θ的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊在直線y＝2x上，則cos2θ＝________.解析：設(shè)P(t,2t)(t≠0)為角θ終邊上任意一點(diǎn)，則cosθ＝eq\f(t,\r(5)|t|).當(dāng)t>0時(shí)，cosθ＝eq\f(\r(5),5)；當(dāng)t<0時(shí)，cosθ＝－eq\f(\r(5),5).因此cos2θ＝2cos2θ－1＝eq\f(2,5)－1＝－eq\f(3,5).答案：－eq\f(3,5)角度二：三角函數(shù)值的符號判定3．若sinαtanα<0，且eq\f(cosα,tanα)<0，則角α是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角解析：選C由sinαtanα<0可知sinα，tanα異號，則α為第二或第三象限角．由eq\f(cosα,tanα)<0可知cosα，tanα異號，則α為第三或第四象限角．綜上可知，α為第三象限角．4．已知點(diǎn)P(sinθcosθ，2cosθ)位于第三象限，則角θ是第________象限角．解析：因?yàn)辄c(diǎn)P(sinθcosθ，2cosθ)位于第三象限，所以sinθ·cosθ＜0,2cosθ＜0，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinθ＞0，,cosθ＜0，))所以θ為第二象限角．答案：二[通法在握]定義法求三角函數(shù)的3種情況(1)已知角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)，可求角α的三角函數(shù)值．先求P到原點(diǎn)的距離，再用三角函數(shù)的定義求解．(2)已知角α的某三角函數(shù)值，可求角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)中的參數(shù)值，可根據(jù)定義中的兩個量列方程求參數(shù)值．(3)已知角α的終邊所在的直線方程或角α的大小，根據(jù)三角函數(shù)的定義可求角α終邊上某特定點(diǎn)的坐標(biāo)．[演練沖關(guān)]1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)A，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為eq\f(4,5)，則cosα的值為()A.eq\f(4,5) B．－eq\f(4,5)C.eq\f(3,5) D．－eq\f(3,5)解析：選D因?yàn)辄c(diǎn)A的縱坐標(biāo)yA＝eq\f(4,5)，且點(diǎn)A在第二象限，又因?yàn)閳AO為單位圓，所以A點(diǎn)橫坐標(biāo)xA＝－eq\f(3,5)，由三角函數(shù)的定義可得cosα＝－eq\f(3,5).2．已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(\r(3),3)))，角β的終邊經(jīng)過點(diǎn)B，且點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于y軸對稱，則cos∠AOB＝()A.eq\f(1,2) B.－eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2) D．－eq\f(\r(3),2)解析：選A角β的終邊與角α的終邊關(guān)于y軸對稱，而由Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(\r(3),3)))可得點(diǎn)Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(\r(3),3)))，所以cosβ＝－eq\f(1,2)，sinβ＝eq\f(\r(3),2)，cosα＝eq\f(1,2)，sinα＝eq\f(\r(3),2)，所以cos∠AOB＝cos(β－α)＝cosβcosα＋sinβsinα＝eq\f(1,2).一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快1．已知點(diǎn)P(tanα，sinα)在第三象限，則角α的終邊在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：選D因?yàn)辄c(diǎn)P在第三象限，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(tanα<0，,sinα<0，))所以α的終邊在第四象限，故選D.2．設(shè)角α終邊上一點(diǎn)P(－4a,3a)(a<0)，則sinα的值為()A.eq\f(3,5) B.－eq\f(3,5)C.eq\f(4,5) D．－eq\f(4,5)解析：選B設(shè)點(diǎn)P與原點(diǎn)間的距離為r，∵P(－4a,3a)，a<0，∴r＝eq\r(－4a2＋3a2)＝|5a|＝－5a.∴sinα＝eq\f(3a,r)＝－eq\f(3,5).3．若一圓弧長等于其所在圓的內(nèi)接正三角形的邊長，則其圓心角α(0<α<π)的弧度數(shù)為()A.eq\f(π,3) B.eq\f(π,2)C.eq\r(3) D．2解析：選C設(shè)圓半徑為r，則其內(nèi)接正三角形的邊長為eq\r(3)r，所以eq\r(3)r＝αr，所以α＝eq\r(3).4．在直角坐標(biāo)系中，O是原點(diǎn)，A(eq\r(3)，1)，將點(diǎn)A繞O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到B點(diǎn)，則B點(diǎn)坐標(biāo)為__________．解析：依題意知OA＝OB＝2，∠AOx＝30°，∠BOx＝120°，設(shè)點(diǎn)B坐標(biāo)為(x，y)，所以x＝2cos120°＝－1，y＝2sin120°＝eq\r(3)，即B(－1，eq\r(3))．答案：(－1，eq\r(3))5．角α的終邊與直線y＝3x重合，且sinα<0，又P(m，n)是角α終邊上一點(diǎn)，且|OP|＝eq\r(10)，則m－n＝________.解析：∵角α的終邊與直線y＝3x重合，且sinα<0，∴角α的終邊在第三象限．又P(m，n)是角α終邊上一點(diǎn)，故m<0，n<0.又|OP|＝eq\r(10)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n＝3m，,\r(m2＋n2)＝\r(10)，))解得m＝－1，n＝－3，故m－n＝2.答案：2二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo)1．將表的分針撥快10分鐘，則分針旋轉(zhuǎn)過程中形成的角的弧度數(shù)是()A.eq\f(π,3) B.eq\f(π,6)C．－eq\f(π,3) D．－eq\f(π,6)解析：選C將表的分針撥快應(yīng)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，為負(fù)角．故A、B不正確，又因?yàn)閾芸?0分鐘，故應(yīng)轉(zhuǎn)過的角為圓周的eq\f(1,6)，即為－eq\f(1,6)×2π＝－eq\f(π,3).2．(2018·福州一模)設(shè)α是第二象限角，P(x,4)為其終邊上的一點(diǎn)，且cosα＝eq\f(1,5)x，則tanα＝()A.eq\f(4,3) B.eq\f(3,4)C．－eq\f(3,4) D．－eq\f(4,3)解析：選D因?yàn)棣潦堑诙笙藿牵詂osα＝eq\f(1,5)x＜0，即x＜0.又cosα＝eq\f(1,5)x＝eq\f(x,\r(x2＋16)).解得x＝－3，所以tanα＝eq\f(4,x)＝－eq\f(4,3).3．已知角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)是(2sin2，－2cos2)，則sinα等于()A．sin2 B.－sin2C．cos2 D．－cos2解析：選D因?yàn)閞＝eq\r(2sin22＋－2cos22)＝2，由任意三角函數(shù)的定義，得sinα＝eq\f(y,r)＝－cos2.4．設(shè)θ是第三象限角，且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(θ,2)))＝－coseq\f(θ,2)，則eq\f(θ,2)是()A．第一象限角 B.第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角解析：選B由θ是第三象限角，知eq\f(θ,2)為第二或第四象限角，∵eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(θ,2)))＝－coseq\f(θ,2)，∴coseq\f(θ,2)<0，綜上知eq\f(θ,2)為第二象限角．5．點(diǎn)A(sin2018°，cos2018°)在直角坐標(biāo)平面上位于()A．第一象限 B.第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：選C由2018°＝360°×5＋(180°＋38°)可知，2018°角的終邊在第三象限，所以sin2018°＜0，cos2018°＜0，即點(diǎn)A位于第三象限．6．已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)(3a－9，a＋2)，且cosα≤0，sinα＞0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．解析：∵cosα≤0，sinα＞0，∴角α的終邊落在第二象限或y軸的正半軸上．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a－9≤0，,a＋2＞0，))∴－2＜a≤3.答案：(－2,3]7．已知α是第二象限的角，則180°－α是第________象限的角．解析：由α是第二象限的角可得90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°(k∈Z)，則180°－(180°＋k·360°)＜180°－α＜180°－(90°＋k·360°)(k∈Z)，即－k·360°＜180°－α＜90°－k·360°(k∈Z)，所以180°－α是第一象限的角．答案：一8．(2017·北京高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α與角β均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對稱．若sinα＝eq\f(1,3)，則sinβ＝________.解析：當(dāng)角α的終邊在第一象限時(shí)，取角α終邊上一點(diǎn)P1(2eq\r(2)，1)，其關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)(－2eq\r(2)，1)在角β的終邊上，此時(shí)sinβ＝eq\f(1,3)；當(dāng)角α的終邊在第二象限時(shí)，取角α終邊上一點(diǎn)P2(－2eq\r(2)，1)，其關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)(2eq\r(2)，1)在角β的終邊上，此時(shí)sinβ＝eq\f(1,3).綜上可得sinβ＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)9．已知角θ的終邊上有一點(diǎn)(a，a)，a∈R且a≠0，則sinθ的值是________．解析：由已知得r＝eq\r(a2＋a2)＝eq\r(2)|a|，sinθ＝eq\f(a,r)＝eq\f(a,\r(2)|a|)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，a＞0，,－\f(\r(2),2)，a＜0.))所以sinθ的值是eq\f(\r(2),2)或－eq\f(\r(2),2).答案：eq\f(\r(2),2)或－eq\f(\r(2),2)10．已知扇形AOB的周長為8.(1)若這個扇形的面積為3，求圓心角的大??；(2)求這個扇形的面積取得最大值時(shí)圓心角的大小和弦長AB.解：設(shè)扇形AOB的半徑為r，弧長為l，圓心角為α，(1)由題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2r＋l＝8，,\f(1,2)lr＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝3，,l＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝1，,l＝6，))∴α＝eq\f(l,r)＝eq\f(2,3)或α＝eq\f(l,r)＝6.(2)法一：∵2r＋l＝8，∴S扇＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,4)l·2r≤eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l＋2r,2)))2＝eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,2)))2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)2r＝l，即α＝eq\f(l,r)＝2時(shí)，扇形面積取得最大值4.∴圓心角α＝2，弦長AB＝2sin1×2＝4sin1.法二：∵2r＋l＝8，∴S扇＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)r(8－2r)＝r(4－r)＝－(r－2)2＋4≤4，當(dāng)且僅當(dāng)r＝2，即α＝eq\f(l,r)＝2時(shí)，扇形面積取得最大值4.∴弦長AB＝2sin1×2＝4sin1.11．角α終邊上的點(diǎn)P與A(a,2a)關(guān)于x軸對稱(a＞0)，角β終邊上的點(diǎn)Q與A關(guān)于直線y＝x對稱，求sinαcosα＋sinβcosβ＋tanαtanβ的值．解：由題意得，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a，－2a)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2a，a)．所以sinα＝eq\f(－2a,\r(a2＋－2a2))＝－eq\f(2,\r(5))，cosα＝eq\f(a,\r(a2＋－2a2))＝eq\f(1,\r(5))，tanα＝eq\f(－2a,a)＝－2，sinβ＝eq\f(a,\r(2a2＋a2))＝eq\f(1,\r(5))，cosβ＝eq\f(2a,\r(2a2＋a2))＝eq\f(2,\r(5))，tanβ＝eq\f(a,2a)＝eq\f(1,2)，故sinαcosα＋sinβcosβ＋tanαtanβ＝－eq\f(2,\r(5))×eq\f(1,\r(5))＋eq\f(1,\r(5))×eq\f(2,\r(5))＋(－2)×eq\f(1,2)＝－1.三上臺階，自主選做志在沖刺名校1．若α是第三象限角，則y＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2))),sin\f(α,2))＋eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2))),cos\f(α,2))的值為()A．0 B.2C．－2 D．2或－2解析：選A由于α是第三象限角，所以eq\f(α,2)是第二或第四象限角，當(dāng)eq\f(α,2)是第二象限角時(shí)，y＝eq\f(sin\f(α,2),sin\f(α,2))＋eq\f(－cos\f(α,2),cos\f(α,2))＝1－1＝0；當(dāng)eq\f(α,2)是第四象限角時(shí)，y＝eq\f(－sin\f(α,2),sin\f(α,2))＋eq\f(cos\f(α,2),cos\f(α,2))＝－1＋1＝0.2．已知sinα＜0，tanα＞0.(1)求角α的集合；(2)求eq\f(α,2)終邊所在的象限；(3)試判斷taneq\f(α,2)sineq\f(α,2)coseq\f(α,2)的符號．解：(1)由sinα＜0，知α在第三、四象限或y軸的負(fù)半軸上；由tanα＞0,知α在第一、三象限，故角α在第三象限，其集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ＋π＜α＜2kπ＋\f(3π,2)，k∈Z)))).(2)由2kπ＋π＜α＜2kπ＋eq\f(3π,2)，k∈Z，得kπ＋eq\f(π,2)＜eq\f(α,2)＜kπ＋eq\f(3π,4)，k∈Z，故eq\f(α,2)終邊在第二、四象限．(3)當(dāng)eq\f(α,2)在第二象限時(shí)，taneq\f(α,2)＜0，sineq\f(α,2)＞0,coseq\f(α,2)＜0，所以taneq\f(α,2)sineq\f(α,2)coseq\f(α,2)取正號；當(dāng)eq\f(α,2)在第四象限時(shí)，taneq\f(α,2)＜0，sineq\f(α,2)＜0,coseq\f(α,2)＞0，所以taneq\f(α,2)sineq\f(α,2)coseq\f(α,2)也取正號．因此，taneq\f(α,2)sineq\f(α,2)coseq\f(α,2)取正號．第二節(jié)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式_1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式(1)平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1；(2)商數(shù)關(guān)系：tanα＝eq\f(sinα,cosα).2．誘導(dǎo)公式組序一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcos_α余弦cosα－cosαcosα－cos_αsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tan_α口訣函數(shù)名不變符號看象限函數(shù)名改變符號看象限記憶規(guī)律奇變偶不變，符號看象限[小題體驗(yàn)]1．已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝eq\f(3,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，則sin(π＋α)＝______.答案：－eq\f(4,5)2．若sinθcosθ＝eq\f(1,2)，則tanθ＋eq\f(cosθ,sinθ)的值為________．答案：23．化簡sin(－1071°)sin99°＋sin(－171°)sin(－261°)的結(jié)果為________．解析：原式＝(－sin1071°)sin99°＋sin171°sin261°＝－sin(3×360°－9°)sin(90°＋9°)＋sin(180°－9°)·sin(270°－9°)＝sin9°cos9°－sin9°cos9°＝0.答案：01．利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡求值時(shí)，先利用公式化任意角的三角函數(shù)為銳角三角函數(shù)，其步驟：去負(fù)—脫周—化銳．特別注意函數(shù)名稱和符號的確定．2．在利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系時(shí)，若開方，要特別注意判斷符號．3．注意求值與化簡后的結(jié)果一般要盡可能有理化、整式化．[小題糾偏]1．已知α是第二象限角，sinα＝eq\f(5,13)，則cosα＝________.答案：－eq\f(12,13)2．(1)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31π,4)))＝________，(2)taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(26π,3)))＝________.答案：(1)eq\f(\r(2),2)(2)eq\r(3)eq\a\vs4\al(考點(diǎn)一三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式)eq\a\vs4\al(基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)——自主練透)[題組練透]1．(2018·寧波模擬)sin210°cos120°的值為()A.eq\f(1,4) B．－eq\f(\r(3),4)C．－eq\f(3,2) D.eq\f(\r(3),4)解析：選Asin210°cos120°＝－sin30°(－cos60°)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4).2．已知A＝eq\f(sinkπ＋α,sinα)＋eq\f(coskπ＋α,cosα)(k∈Z)，則A的值構(gòu)成的集合是()A．{1，－1,2，－2} B.{－1,1}C．{2，－2} D．{1，－1,0,2，－2}解析：選C當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，A＝eq\f(sinα,sinα)＋eq\f(cosα,cosα)＝2；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，A＝eq\f(－sinα,sinα)－eq\f(cosα,cosα)＝－2.3．已知taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝eq\f(\r(3),3)，則taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋α))＝________.解析：taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋α))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,6)＋α))＝taneq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))))＝－taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝－eq\f(\r(3),3).答案：－eq\f(\r(3),3)4．(易錯題)設(shè)f(α)＝eq\f(2sinπ＋αcosπ－α－cosπ＋α,1＋sin2α＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinα≠－\f(1,2)))，求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,6)))的值．解：∵f(α)＝eq\f(－2sinα－cosα＋cosα,1＋sin2α＋sinα－cos2α)＝eq\f(2sinαcosα＋cosα,2sin2α＋sinα)＝eq\f(cosα1＋2sinα,sinα1＋2sinα)＝eq\f(1,tanα)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,6)))＝eq\f(1,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,6))))＝eq\f(1,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4π＋\f(π,6))))＝eq\f(1,tan\f(π,6))＝eq\r(3).5．已知π＜α＜2π，cos(α－7π)＝－eq\f(3,5)，求sin(3π＋α)·taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(7π,2)))的值．解：∵cos(α－7π)＝cos(7π－α)＝cos(π－α)＝－cosα＝－eq\f(3,5)，∴cosα＝eq\f(3,5).∴sin(3π＋α)·taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(7π,2)))＝sin(π＋α)·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,2)－α))))＝sinα·taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝sinα·eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α)))＝sinα·eq\f(cosα,sinα)＝cosα＝eq\f(3,5).[謹(jǐn)記通法]1．利用誘導(dǎo)公式把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)的步驟也就是：“負(fù)化正，大化小，化到銳角就好了．”2．利用誘導(dǎo)公式化簡三角函數(shù)的要求(1)化簡過程是恒等變形；(2)結(jié)果要求項(xiàng)數(shù)盡可能少，次數(shù)盡可能低，結(jié)構(gòu)盡可能簡單，能求值的要求出值，如“題組練透”第4題．eq\a\vs4\al(考點(diǎn)二同角三角函數(shù)的基本關(guān)系)eq\a\vs4\al(重點(diǎn)保分型考點(diǎn)——師生共研)[典例引領(lǐng)]1．已知eq\f(sinα＋3cosα,3cosα－sinα)＝5，則sin2α－sinαcosα的值為()A．－eq\f(1,5) B．－eq\f(2,5)C.eq\f(1,5) D.eq\f(2,5)解析：選D依題意得：eq\f(tanα＋3,3－tanα)＝5，∴tanα＝2.∴sin2α－sinαcosα＝eq\f(sin2α－sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(tan2α－tanα,tan2α＋1)＝eq\f(22－2,22＋1)＝eq\f(2,5).2．已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，tanα＝2，則cosα＝________.解析：依題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(tanα＝\f(sinα,cosα)＝2，,sin2α＋cos2α＝1，))由此解得cos2α＝eq\f(1,5)，又α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，因此cosα＝－eq\f(\r(5),5).答案：－eq\f(\r(5),5)3．已知sinθ＋cosθ＝eq\f(4,3)，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，則sinθ－cosθ的值為________．解析：因?yàn)?sinθ＋cosθ)2＝sin2θ＋cos2θ＋2sinθ·cosθ＝1＋2sinθcosθ＝eq\f(16,9)，所以2sinθcosθ＝eq\f(7,9)，則(sinθ－cosθ)2＝sin2θ＋cos2θ－2sinθcosθ＝1－2sinθcosθ＝eq\f(2,9).又因?yàn)棣取蔱q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，所以sinθ<cosθ，即sinθ－cosθ<0，所以sinθ－cosθ＝－eq\f(\r(2),3).答案：－eq\f(\r(2),3)[由題悟法]同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用技巧技巧解讀適合題型切弦互化主要利用公式tanθ＝eq\f(sinθ,cosθ)化成正弦、余弦，或者利用公式eq\f(sinθ,cosθ)＝tanθ化成正切表達(dá)式中含有sinθ，cosθ與tanθ“1”的變換1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝taneq\f(π,4)＝(sinθ±cosθ)2?2sinθcosθ表達(dá)式中需要利用“1”轉(zhuǎn)化和積轉(zhuǎn)換利用(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ的關(guān)系進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化表達(dá)式中含有sinθ±cosθ或sinθcosθ[即時(shí)應(yīng)用]1．若sinα＝－eq\f(5,13)，且α為第四象限角，則tanα的值等于()A.eq\f(12,5) B．－eq\f(12,5)C.eq\f(5,12) D．－eq\f(5,12)解析：選D法一：因?yàn)棣翞榈谒南笙薜慕?，故cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,13)))2)＝eq\f(12,13)，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(－\f(5,13),\f(12,13))＝－eq\f(5,12).法二：因?yàn)棣潦堑谒南笙藿?，且sinα＝－eq\f(5,13)，所以可在α的終邊上取一點(diǎn)P(12，－5)，則tanα＝eq\f(y,x)＝－eq\f(5,12).故選D.2．已知α是三角形的內(nèi)角，且sinα＋cosα＝eq\f(1,5).求tanα的值是()A．－eq\f(3,5) B.－eq\f(4,5)C．－eq\f(3,4) D．－eq\f(4,3)解析：選D聯(lián)立方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＋cosα＝\f(1,5)，①,sin2α＋cos2α＝1，②))由①得cosα＝eq\f(1,5)－sinα，將其代入②，整理得25sin2α－5sinα－12＝0.∵α是三角形的內(nèi)角，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＝\f(4,5)，,cosα＝－\f(3,5)，))∴tanα＝－eq\f(4,3).3．已知sinαcosα＝eq\f(1,8)，且eq\f(5π,4)＜α＜eq\f(3π,2)，則cosα－sinα的值為()A．－eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(3),2)C．－eq\f(3,4)D.eq\f(3,4)解析：選B∵eq\f(5π,4)＜α＜eq\f(3π,2)，∴cosα＜0，sinα＜0且|cosα|＜|sinα|，∴cosα－sinα＞0，又(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝1－2×eq\f(1,8)＝eq\f(3,4)，∴cosα－sinα＝eq\f(\r(3),2).4．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝eq\f(\r(2),3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＜α＜π))，則sinα－cosα＝________.解析：由sin(π－α)－cos(π＋α)＝eq\f(\r(2),3)，得sinα＋cosα＝eq\f(\r(2),3)，①將①兩邊平方得1＋2sinαcosα＝eq\f(2,9)，故2sinαcosα＝－eq\f(7,9).∴(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,9)))＝eq\f(16,9).又∵eq\f(π,2)＜α＜π，∴sinα＞0，cosα＜0.∴sinα－cosα＝eq\f(4,3).答案：eq\f(4,3)一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快1．若α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，sinα＝－eq\f(3,5)，則cos(－α)＝()A．－eq\f(4,5) B.eq\f(4,5)C.eq\f(3,5) D．－eq\f(3,5)解析：選B因?yàn)棣痢蔱q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，sinα＝－eq\f(3,5)，所以cosα＝eq\f(4,5)，即cos(－α)＝eq\f(4,5).2．已知sin(π＋θ)＝－eq\r(3)cos(2π－θ)，|θ|＜eq\f(π,2)，則θ等于()A．－eq\f(π,6) B.－eq\f(π,3)C.eq\f(π,6) D.eq\f(π,3)解析：選D∵sin(π＋θ)＝－eq\r(3)cos(2π－θ)，∴－sinθ＝－eq\r(3)cosθ，∴tanθ＝eq\r(3).∵|θ|＜eq\f(π,2)，∴θ＝eq\f(π,3).3．已知tanα＝2，則sin2α＋1＝()A．0 B.eq\f(9,5)C.eq\f(4,3) D.eq\f(5,3)解析：選Bsin2α＋1＝eq\f(2sin2α＋cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(2tan2α＋1,tan2α＋1)＝eq\f(9,5).4.eq\r(1－2sinπ＋2cosπ＋2)＝()A．sin2－cos2 B.cos2－sin2C．±(sin2－cos2) D．sin2＋cos2解析：選Aeq\r(1－2sinπ＋2cosπ＋2)＝eq\r(1－2sin2·cos2)＝eq\r(sin22－2sin2·cos2＋cos22)＝|sin2－cos2|.又∵eq\f(π,2)＜2＜π，∴sin2＞0，cos2＜0.∴|sin2－cos2|＝sin2－cos2.5．如果sin(π＋A)＝eq\f(1,2)，那么coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－A))的值是________．解析：∵sin(π＋A)＝eq\f(1,2)，∴－sinA＝eq\f(1,2).∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－A))＝－sinA＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo)1．已知tan(α－π)＝eq\f(3,4)，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))＝()A.eq\f(4,5) B.－eq\f(4,5)C.eq\f(3,5) D．－eq\f(3,5)解析：選B因?yàn)閠an(α－π)＝eq\f(3,4)，所以tanα＝eq\f(3,4).又因?yàn)棣痢蔱q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，所以α為第三象限的角，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))＝cosα＝－eq\f(4,5).2．已知f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋4，若f(2018)＝5，則f(2019)的值是()A．2 B.3C．4 D．5解析：選B∵f(2018)＝5，∴asin(2018π＋α)＋bcos(2018π＋β)＋4＝5，即asinα＋bcosβ＝1.∴f(2019)＝asin(2019π＋α)＋bcos(2019π＋β)＋4＝－asinα－bcosβ＋4＝－1＋4＝3.3．(2018·寧波五校聯(lián)考)已知傾斜角為α的直線l與直線x＋2y－3＝0垂直，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1009π－2α))的值為()A．－eq\f(3,5) B.eq\f(3,5)C．2 D．－eq\f(1,2)解析：選B由題意可得tanα＝2，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1009π－2α))＝－cos2α＝－eq\f(cos2α－sin2α,sin2α＋cos2α)＝－eq\f(1－tan2α,tan2α＋1)＝eq\f(3,5).4．當(dāng)θ為第二象限角，且sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(θ,2)＋\f(π,2)))＝eq\f(1,3)時(shí)，eq\f(\r(1－sinθ),cos\f(θ,2)－sin\f(θ,2))的值是()A．1 B.－1C．±1 D．0解析：選B∵sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(θ,2)＋\f(π,2)))＝eq\f(1,3)，∴coseq\f(θ,2)＝eq\f(1,3)，∴eq\f(θ,2)在第一象限，且coseq\f(θ,2)<sineq\f(θ,2)，∴eq\f(\r(1－sinθ),cos\f(θ,2)－sin\f(θ,2))＝eq\f(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(θ,2)－sin\f(θ,2))),cos\f(θ,2)－sin\f(θ,2))＝－1.5．若sinα是5x2－7x－6＝0的根，則eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α－\f(3π,2)))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))tan22π－α,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))sinπ＋α)＝()A.eq\f(3,5) B.eq\f(5,3)C.eq\f(4,5) D.eq\f(5,4)解析：選B由5x2－7x－6＝0，得x＝－eq\f(3,5)或x＝2.則sinα＝－eq\f(3,5).故原式＝eq\f(cosα－cosα·tan2α,sinα·－sinα·－sinα)＝eq\f(1,－sinα)＝eq\f(5,3).6．若sinθ，cosθ是方程4x2＋2mx＋m＝0的兩根，則m的值為()A．1＋eq\r(5) B.1－eq\r(5)C．1±eq\r(5) D．－1－eq\r(5)解析：選B由題意知sinθ＋cosθ＝－eq\f(m,2)，sinθcosθ＝eq\f(m,4).∵(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ，∴eq\f(m2,4)＝1＋eq\f(m,2)，解得m＝1±eq\r(5)，又Δ＝4m2－16m≥0，∴m≤0或m≥4，∴m＝1－eq\r(5).7．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ))＝a(|a|≤1)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋θ))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－θ))的值是________．解析：由題意知，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋θ))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ))))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ))＝－a.sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－θ))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ))))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ))＝a，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋θ))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－θ))＝0.答案：08．sineq\f(4π,3)·coseq\f(5π,6)·taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4π,3)))的值是________．解析：原式＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,3)))·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,6)))·taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－π－\f(π,3)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－sin\f(π,3)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－cos\f(π,6)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－tan\f(π,3)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))×(－eq\r(3))＝－eq\f(3\r(3),4).答案：－eq\f(3\r(3),4)9．求值：sin(－1200°)·cos1290°＋cos(－1020°)·sin(－1050°)＋tan945°.解：原式＝－sin1200°·cos1290°＋cos1020°·(－sin1050°)＋tan945°＝－sin120°·cos210°＋cos300°·(－sin330°)＋tan225°＝(－sin60°)·(－cos30°)＋cos60°·sin30°＋tan45°＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＋1＝2.10．已知sin(3π＋θ)＝eq\f(1,3)，求eq\f(cosπ＋θ,cosθ[cosπ－θ－1])＋eq\f(cosθ－2π,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(3π,2)))cosθ－π－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋θ)))的值．解：∵sin(3π＋θ)＝－sinθ＝eq\f(1,3)，∴sinθ＝－eq\f(1,3).∴原式＝eq\f(－cosθ,cosθ－cosθ－1)＋eq\f(cosθ,cosθ·－cosθ＋cosθ)＝eq\f(1,1＋cosθ)＋eq\f(cosθ,－cos2θ＋cosθ)＝eq\f(1,1＋cosθ)＋eq\f(1,1－cosθ)＝eq\f(2,1－cos2θ)＝eq\f(2,sin2θ)＝eq\f(2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))2)＝18.三上臺階，自主選做志在沖刺名校1．sin21°＋sin22°＋…＋sin290°＝________.解析：sin21°＋sin22°＋…＋sin290°＝sin21°＋sin22°＋…＋sin244°＋sin245°＋cos244°＋cos243°＋…＋cos21°＋sin290°＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋…＋(sin244°＋cos244°)＋sin245°＋sin290°＝44＋eq\f(1,2)＋1＝eq\f(91,2).答案：eq\f(91,2)2．已知f(x)＝eq\f(cos2nπ＋x·sin2nπ－x,cos2[2n＋1π－x])(n∈Z)．(1)化簡f(x)的表達(dá)式；(2)求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2018)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(504π,1009)))的值．解：(1)當(dāng)n為偶數(shù)，即n＝2k(k∈Z)時(shí)，f(x)＝eq\f(cos22kπ＋x·sin22kπ－x,cos2[2×2k＋1π－x])＝eq\f(cos2x·sin2－x,cos2π－x)＝eq\f(cos2x·－sinx2,－cosx2)＝sin2x；當(dāng)n為奇數(shù)，即n＝2k＋1(k∈Z)時(shí)，f(x)＝eq\f(cos2[2k＋1π＋x]·sin2[2k＋1π－x],cos2{[2×2k＋1＋1]π－x})＝eq\f(cos2[2kπ＋π＋x]·sin2[2kπ＋π－x],cos2[2×2k＋1π＋π－x])＝eq\f(cos2π＋x·sin2π－x,cos2π－x)＝eq\f(－cosx2sin2x,－cosx2)＝sin2x，綜上得f(x)＝sin2x.(2)由(1)得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2018)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(504π,1009)))＝sin2eq\f(π,2018)＋sin2eq\f(1008π,2018)＝sin2eq\f(π,2018)＋sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(π,2018)))＝sin2eq\f(π,2018)＋cos2eq\f(π,2018)＝1.第三節(jié)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)1．用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖正弦函數(shù)y＝sinx，x∈[0,2π]的圖象上，五個關(guān)鍵點(diǎn)是：(0,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)．余弦函數(shù)y＝cosx，x∈[0,2π]的圖象上，五個關(guān)鍵點(diǎn)是：(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)(下表中k∈Z).函數(shù)y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖象定義域RRxx∈R，且xeq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))值域[－1,1][－1,1]R周期性2π2ππ奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性eq\b\lc\[\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋))eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))為增；eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ))eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))為減[2kπ－π，2kπ]為增；[2kπ，2kπ＋π]為減eq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ))eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋\f(π,2)))為增對稱中心(kπ，0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))對稱軸x＝kπ＋eq\f(π,2)x＝kπ[小題體驗(yàn)]1．①y＝cos2x;②y＝sin2x;③y＝tan2x;④y＝|sinx|四個函數(shù)中，最小正周期為π的奇函數(shù)是________．答案：②2．(教材習(xí)題改編)函數(shù)y＝－taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＋2的定義域?yàn)開_______________．答案：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,3)))，k∈Z))1．閉區(qū)間上最值或值域問題，首先要在定義域基礎(chǔ)上分析單調(diào)性，含參數(shù)的最值問題，要討論參數(shù)對最值的影響．2．要注意求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的單調(diào)區(qū)間時(shí)ω的符號，盡量化成ω>0時(shí)的情況．3．三角函數(shù)存在多個單調(diào)區(qū)間時(shí)易錯用“∪”聯(lián)結(jié)．[小題糾偏]1．函數(shù)y＝4sin(－x)，x∈[－π，π]的單調(diào)性是()A．在[－π，0]上是增函數(shù)，在[0，π]上是減函數(shù)B．在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上是增函數(shù)，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－π，－\f(π,2)))和eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上是減函數(shù)C．在[0，π]上是增函數(shù)，在[－π，0]上是減函數(shù)D．在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))和eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－π，－\f(π,2)))上是增函數(shù)，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上是減函數(shù)答案：D2．函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的最小值為________．解析：由已知x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，得2x－eq\f(π,4)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(3π,4)))，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，1))，故函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))上的最小值為－eq\f(\r(2),2).答案：－eq\f(\r(2),2)eq\a\vs4\al(考點(diǎn)一三角函數(shù)的定義域)eq\a\vs4\al(基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)——自主練透)[題組練透]1．函數(shù)y＝eq\r(2sinx－1)的定義域?yàn)開___________．解析：由2sinx－1≥0，得sinx≥eq\f(1,2)，所以2kπ＋eq\f(π,6)≤x≤2kπ＋eq\f(5π,6)(k∈Z)．答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,6)，2kπ＋\f(5π,6)))(k∈Z)2．函數(shù)y＝lg(sin2x)＋eq\r(9－x2)的定義域?yàn)開_____________．解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sin2x>0，,9－x2≥0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(kπ<x<kπ＋\f(π,2)，k∈Z，,－3≤x≤3.))∴－3≤x<－eq\f(π,2)或0<x<eq\f(π,2).∴函數(shù)y＝lg(sin2x)＋eq\r(9－x2)的定義域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，－\f(π,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).答案：eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，－\f(π,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))[謹(jǐn)記通法]三角函數(shù)定義域的求法求三角函數(shù)定義域?qū)嶋H上是構(gòu)造簡單的三角不等式(組)，常借助三角函數(shù)圖象來求解．eq\a\vs4\al(考點(diǎn)二三角函數(shù)的值域或最值)eq\a\vs4\al(重點(diǎn)保分型考點(diǎn)——師生共研)[典例引領(lǐng)]1．函數(shù)y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(πx,6)－\f(π,3)))(0≤x≤9)的最大值與最小值之和為()A．2－eq\r(3) B．0C．－1 D．－1－eq\r(3)解析：選A∵0≤x≤9，∴－eq\f(π,3)≤eq\f(π,6)x－eq\f(π,3)≤eq\f(7π,6)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x－\f(π,3)))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，1)).∴y∈[－eq\r(3)，2]，∴ymax＋ymin＝2－eq\r(3).2．(2017·全國卷Ⅲ)函數(shù)f(x)＝eq\f(1,5)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))的最大值為()A.eq\f(6,5) B.1C.eq\f(3,5) D.eq\f(1,5)解析：選A因?yàn)閏oseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))－\f(π,2)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))，所以f(x)＝eq\f(6,5)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))，于是f(x)的最大值為eq\f(6,5).3．函數(shù)y＝sinx－cosx＋sinxcosx，x∈[0，π]的值域?yàn)開_______________．解析：設(shè)t＝sinx－cosx，則t2＝sin2x＋cos2x－2sinxcosx，即sinxcosx＝eq\f(1－t2,2)，且－1≤t≤eq\r(2).∴y＝－eq\f(t2,2)＋t＋eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2)(t－1)2＋1.當(dāng)t＝1時(shí)，ymax＝1；當(dāng)t＝－1時(shí)，ymin＝－1.∴函數(shù)的值域?yàn)閇－1,1]．答案：[－1,1]4．(2017·全國卷Ⅱ)函數(shù)f(x)＝sin2x＋eq\r(3)cosx－eq\f(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))))的最大值是________．解析：依題意，f(x)＝sin2x＋eq\r(3)cosx－eq\f(3,4)＝－cos2x＋eq\r(3)cosx＋eq\f(1,4)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosx－\f(\r(3),2)))2＋1，因?yàn)閤∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以cosx∈[0,1]，因此當(dāng)cosx＝eq\f(\r(3),2)時(shí)，f(x)max＝1.答案：1[由題悟法]三角函數(shù)最值或值域的3種求法(1)直接法：直接利用sinx和cosx的值域求解．(2)化一法：把所給三角函數(shù)化為y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，由正弦函數(shù)單調(diào)性寫出函數(shù)的值域．(3)換元法：把sinx、cosx、sinxcosx或sinx±cosx換成t，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)．[即時(shí)應(yīng)用]求函數(shù)y＝cos2x＋sinxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|x|≤\f(π,4)))的最大值與最小值．解：令t＝sinx，∵|x|≤eq\f(π,4)，∴t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2))).∴y＝－t2＋t＋1＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,2)))2＋eq\f(5,4)，∴當(dāng)t＝eq\f(1,2)時(shí)，ymax＝eq\f(5,4)，當(dāng)t＝－eq\f(\