2025年高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：導(dǎo)數(shù)中構(gòu)造函數(shù)的應(yīng)用（思維導(dǎo)圖+3知識(shí)點(diǎn)+四大考點(diǎn)+過(guò)關(guān)檢測(cè)）（解析版）

第08講導(dǎo)數(shù)中構(gòu)造函數(shù)的應(yīng)用

T模塊導(dǎo)航—素養(yǎng)目標(biāo)

模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)1.了解需要構(gòu)造函數(shù)的一般形式.

模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理(吃透教材)2.掌握指對(duì)同構(gòu)在寫(xiě)題中的應(yīng)用.

模塊三核心考點(diǎn)舉一反三

【考點(diǎn)一：構(gòu)造函數(shù)比較大小】

【考點(diǎn)二：構(gòu)造函數(shù)解不等式】

【考點(diǎn)三：構(gòu)造函數(shù)求參數(shù)的最值(范圍)】

【考點(diǎn)四：構(gòu)造函數(shù)證明不等式】

模塊四小試牛刀過(guò)關(guān)測(cè)

模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)

四、構(gòu)造函數(shù)證明不等式

6模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理-----------------------------

一、同構(gòu)構(gòu)造函數(shù)或者利用作差或作商法構(gòu)造函數(shù)

1、同構(gòu)是構(gòu)造函數(shù)的一種常用方法.常利用工=ln?ex(x?R),x=eln?x(x>0)將要比較的三個(gè)數(shù)化為結(jié)構(gòu)相

同的式子，再將其看作同一個(gè)函數(shù)的三個(gè)值，用常值換元構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小.

2、對(duì)于同時(shí)含有指數(shù)、對(duì)數(shù)結(jié)構(gòu)的兩個(gè)變量的等式，或者含兩個(gè)變量，且結(jié)構(gòu)相似的等式，比較相關(guān)的兩個(gè)變

量間的大小問(wèn)題時(shí)，思考的邏輯路徑為先分離變量，再將等式通過(guò)合理變形，放縮成結(jié)構(gòu)相同的不等式，然后利

用同構(gòu)函數(shù)思想,轉(zhuǎn)化為比較某個(gè)函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)值f(g(x))與f(h(x))的大小，最后利用函數(shù)f(x)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化

為比較自變量g(x)與h(x)的大小，實(shí)現(xiàn)將超越函數(shù)普通化的目的,達(dá)到事半功倍的效果。

3、常見(jiàn)的構(gòu)造函數(shù)有

(1)與e，和Inx相關(guān)的常見(jiàn)同構(gòu)模型

①ae"4〃n6oe"lne"<b\nb,構(gòu)造函數(shù)/(x)=xlnx或g(x)=xe"；

構(gòu)造函數(shù)〃x)=熹或g(x)=J;

aIn/?Ine"Inb

③e"±q>6±ln6oe"±lne">b+lnb,構(gòu)造函數(shù)，(x)=x±lnx或g(x)=e'±x.

二、構(gòu)造函數(shù)解不等式解題思路

利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性求解抽象函數(shù)不等式，要設(shè)法將隱性劃歸為顯性的不等式來(lái)求解，方法是：

(1)把不等式轉(zhuǎn)化為/

(2)判斷函數(shù)/(x)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性把不等式的函數(shù)符號(hào)脫掉，得到具體的不等式(組),

但要注意函數(shù)奇偶性的區(qū)別.

三、構(gòu)造函數(shù)解不等式解題技巧

求解此類題目的關(guān)鍵是構(gòu)造新函數(shù)，研究新函數(shù)的單調(diào)性及其導(dǎo)函數(shù)的結(jié)構(gòu)形式，下面是常見(jiàn)函數(shù)的變形

模型1.對(duì)于/'(x)>g'(x),構(gòu)造h(x)=f(x)-g(x)

模型2.對(duì)于不等式f(x)>左(左HO),構(gòu)造函數(shù)g(x)=F(x)-左x+b.

模型3.對(duì)于不等式/'(x)+/(x)>0,構(gòu)造函數(shù)g(x)=e"(x)

拓展：對(duì)于不等式/'(x)+燈口)〉0,構(gòu)造函數(shù)g(x)=/"(x)

模型4.對(duì)于不等式/r(%)-/(%)>0,構(gòu)造函數(shù)g(x)=』學(xué)

e

模型5.對(duì)于不等式V'(x)+/(%)>0,構(gòu)造函數(shù)g(x)=對(duì)'(x)

拓展：對(duì)于不等式W'(X)+4(X)〉0,構(gòu)造函數(shù)g(x)=x"/(x)

模型6.對(duì)于不等式xf\x)-/-(%)>0,構(gòu)造函數(shù)g(x)=上出(%*0)

X

拓展：對(duì)于不等式"⑴-4(x)>0,構(gòu)造函數(shù)g(x)=1^

X

模型7.對(duì)于行一〉0,分類討論：(1)若/(x)>0,則構(gòu)造/z(x)=ln/(x);

f(x)

(2)若/(x)<。，則構(gòu)造丸(x)=ln[—/(x)]

模型8.對(duì)于f'(x)+Inqf(x)>0(<0),構(gòu)造k(x)=axf(x).

模型9.對(duì)于/'(x)Inx+以旦■>()(<0),構(gòu)造〃(x)=/(x)lnx.

X

模型10.(1)對(duì)于/'(x)>/(x)tanx(則'(x)v/(x)tanx),即/'(%)85%—/(%)5111]>0(<0),

構(gòu)造h(x)=/(x)cosx.

(3)對(duì)于f(x)cosx+f(x)sinx>0(<0),構(gòu)造h(x)="".

cosx

模型11.(1)f'(x)sinX+f(x)cosx=[/(x)sinx\(2)于⑴sinx二/(A)COSX=1/^丫

sirrxsinx

3模塊三核心考點(diǎn)舉一反三

【考點(diǎn)一：構(gòu)造函數(shù)比較大小】

一、單選題

)

1.(23-24高二下?江西新余?階段練習(xí))已知。二三—lr5/=三—ln3,。=—亍ln2，則()

A.b<c<aB.c<b<aC.a<c<bD.a<b<c

【答案】A

【分析】根據(jù)三個(gè)對(duì)數(shù)值的特點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)/(》)=媽，求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)在6+刈上的

X

單調(diào)性和對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，化簡(jiǎn)計(jì)算即可比較大小.

【詳解】設(shè)〃X)=小，函數(shù)定義域?yàn)椤?◎,則廣(口=上墳，

當(dāng)0<x<e時(shí)，f'(.x)>0,當(dāng)x>e時(shí)，(尤)<0,

即/(x)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+8)上單調(diào)遞減.

ln2In41一，_立”八51n3In4In5

因m丁=<，且e<3<4<5,^/(3)>/(4)>/(5),BP1—>—>—,

24345

口口In3In2In5.In3

即——>——>——,貝nU------<一g<-蛇

325325

故選：A.

311

2.(23-24局二下?江蘇蘇州?期末)設(shè)〃=：,b=log2,c=—+sin—,則()

4344

A.a>b>cB.c>b>aC.a>c>bD.b>a>c

【答案】A

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可比較。，b,構(gòu)造函數(shù)/(x)=x-sinx,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的

單調(diào)性，即可比較［sin］的大小，進(jìn)而可比較瓦c的大小，即可得解.

44

3］_LLL

4422

【詳解】因?yàn)椤?1。8334=log327>log325=log35>log34=log32,

所以a>>，

令/(%)=%—sin%,貝！］/r(x)=l-cosx>0,

所以在R上為增函數(shù)，

所以d]>〃0)=0,即:一sinJ>0,所以J>sinJ,

4444

貝!)人=log32>log3百=；=；+；>；+sin；,BP/7>c,

綜上所述，a>b>c.

故選：A.

XTT

3.(23-24高二下?四川眉山?期末)已知函數(shù))=下的最大值為〃，令人=lgsin三，”也攻，則〃，b,。的

e7

大小關(guān)系是()

A.a>c>bB.a>b>cC.c>b>aD.c>a>b

【答案】A

【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出“，由正弦函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)可得6<0,再構(gòu)造函數(shù)比較的大小.

【詳解】由/=一，當(dāng)時(shí)，y>o,當(dāng)%>i時(shí)，y<o,

e

Y1

即函數(shù)y=5在(一84)上單調(diào)遞增，在(1,+s)上單調(diào)遞減，則當(dāng)尤=1時(shí)，a=ymax=-,

ee

令函數(shù)/(x)=lnx」(l<x<e),求導(dǎo)得r(x)=L」>o,函數(shù)/(?在(l,e)上單調(diào)遞增，

exe

貝(l/(x)</(e)=O,于是/(2)<0,gpln2--<0,因此。=」>』ln2=In&=c>0,

ee2

由0<sin/<1,得b=1gsin/<0,

所以a,b,c的大小關(guān)系是

故選:A

4.(24-25高二上?重慶?階段練習(xí))已知〃=sinLb=@,c=ln3,則()

332

A.c<a<bB.a<c<b

C.a<b<cD.b<a<c

【答案】B

【分析】構(gòu)建g(x)=x-sinx,xe[O,l),利用導(dǎo)數(shù)判斷g(x)的單調(diào)性，進(jìn)而可得”;<6,再結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)

單調(diào)性可得g<c<6.

【詳解】記8(尤)=%-$血,工€[0,1),貝1|g<x)=l-co&xN。，

可知g(可在[0,1)上單調(diào)遞增，則|ggbg⑼，gpl_sinl>0,

可得a=sin1<』<=b;

333

又因?yàn)?3[,則21n』<l<31n。，即：1<歷3<!<也；

⑶⑶223223

所以a<c〈人.

故選：B.

5.(23-24高二下?四川攀枝花?期末)已知“=e°99一0.99力=l,c=1.01-1.011nL01,則()

A.a>b>cB.c>b>a

C.a>c>bD.c>a>b

【答案】A

【分析】設(shè)/(x)=x-lnx分析函數(shù)的單調(diào)性，可得。涉的大小關(guān)系；設(shè)函數(shù)g(x)=x-xlnx,分析函數(shù)單調(diào)

性，可得b,c的大小.

1_1

【詳解】設(shè)“x)=x-lnx,(尤>0),因?yàn)槭?耳=1一;=土r/,

由尸⑺>0=>x>l；由/⑺<0=>0<x<l.

所以函數(shù)在(0,1)上遞減，在。,內(nèi))上遞增.

所以〃x)2/(l)=Inl=l,

99

又0=6°_0.99=6°99_111科99=/卜°99),^=1=/(1),所以a>b.

再設(shè)g(x)=x-xlnx,(x>0),因?yàn)間'(x)=l-(lnx+l)=-lnx,

由g'(x)>0=0<x<l；由g'(x)<0=x>l.

所以函數(shù)g(x)在。,收)上遞減，在(0,1)上遞增.

所以g(x)Vg(l)=l.

Xc=1.01-1.011nl.01=g(1.01)<g(l)=Z7,即c<6.

故a>6>c.

故選：A

【考點(diǎn)二：構(gòu)造函數(shù)解不等式】

一、單選題

1.(23-24高二下?山東聊城?期末)已知定義在R上的函數(shù)/(元)的導(dǎo)函數(shù)為了⑺，若"1)=3,且VxeR,

/(一力>1,則/'(一”<2—%的解集為()

A.B.(-1,1)

C.(1,+8)D.(-1,+<?)

【答案】D

【分析】構(gòu)造函數(shù)g(x)=〃-x)+x,利用導(dǎo)數(shù)得出其單調(diào)性，進(jìn)而由單調(diào)性解不等式即可.

【詳解】構(gòu)造函數(shù)g(x)=/(—x)+x,g(T)=3-1=2,

g'(x)=--(一幻+1<0,即函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞減，

/(—x)<2-x等價(jià)于g(x)<g(—l),解得x>—l.

即"r)<2-x的解集為(-1,+e).

故選：D

2.(23-24高二下?山東棗莊?階段練習(xí))已知定義在R上的函數(shù)/(x)的導(dǎo)數(shù)為/'(x),f(l)=e,且對(duì)任意

的x滿足廣(x)-/(x)<e'，則不等式/(x)>xe'的解集是()

A.(-oo,l)B.(-8,0)

C.(0,1)D.(1,飲)

【答案】A

【分析】構(gòu)造尸(x)=綽-x,求導(dǎo)得到其單調(diào)性，并結(jié)合/1)=/a-1=0,得到x<l時(shí)，F(xiàn)(x)>0,

ee

從而求出解集.

【詳解】設(shè)下(同=竽-%，

因?yàn)榱?(X)-〃x)<e",

所以產(chǎn)(x)='(--——_——1='(~-——----<0?

exe'

故廠(月=第7在R上單調(diào)遞減，

X/(l)=e,故/⑴=9一1=0,

故當(dāng)尤>1時(shí)，F(xiàn)(%)<0,當(dāng)x<l時(shí)，F(xiàn)(%)>0,

/(x)>xex=>"：)一x>0nF(x)>0,

故了(同>屁工的解集為(-8,1).

故選：A

3.(23-24高二下.內(nèi)蒙古.期末)已知廣⑴是定義域?yàn)椋邸?￡|的函數(shù)〃x)的導(dǎo)函數(shù)，且

/'(x)sinx+〃x)cosx>0,則不等式/［x+?cosx>的解集為()

A.修+“B.卜汨［CH。］D.(一則

【答案】D

【分析】首先構(gòu)造函數(shù)g(x)=/(x)sinx,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再求解不等式.

【詳解】設(shè)g(x)=〃x)sinx,(x)=f'[x)sinx+f(x)cosx>0,

所以函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，

小+。岡>=小+與卜心+：>/.卜哈

7171

XH---->一

即g(x+Tj>g7126,所以一W<無(wú)<。，

得

八兀兀3

0<x+—<—

22

所以不等式的解集為卜

故選：D

4.(23-24高二下?黑龍江哈爾濱?期中)已知定義在R上的奇函數(shù)〃龍)，其導(dǎo)函數(shù)為/'(x),/(-3)=0,

當(dāng)x>0時(shí)，3〃力+才(力<0,則使得〃力<。成立的x的取值范圍是().

A.(-?,-3)u(O,3)B.(-3,0)53,")

C.(f一3)。(3,+巧D.(十,—3"(—3,0)

【答案】B

【分析】設(shè)g(x)=x3/(x),根據(jù)題意可得函數(shù)g(x)為偶函數(shù)以及其單調(diào)性，再分x>0以及尤<0討論即可得

出答案.

【詳解】設(shè)g(x)=V/(x),則g，(x)=3//(x)+Pr(x)=x2[3/(x)+才(切,

由于當(dāng)x>0時(shí)，3/(x)+4'(x)<0,

貝(I當(dāng)x>0時(shí)，g'O)<。，g(x)在(0,包)單調(diào)遞減，

又fM為奇函數(shù)，/(X)=-/(一力,則g(-x)=(-x)3/(-x)=x3/(x)=g(尤)，則函數(shù)g(x)為偶函數(shù)，

可得函數(shù)g(x)在(-8,0)上單調(diào)遞增，

又/(一3)=0,則g(—3)=g(3)=o,

當(dāng)x>0時(shí)，由7(x)<。，可得g(x)<o,即g(x)<g⑶，解得x>3；

當(dāng)x<0時(shí)，由/(x)<0,可得g(x)>o,即g(x)>g(3),解得-3<x<0；

綜上，不等式/(九)〈。的解集為(-3,0)。(3,+8).

故選:B.

5.(23-24高二下.天津.期末)定義在R上的函數(shù)導(dǎo)函數(shù)為尸(x),若對(duì)任意實(shí)數(shù)x,有〃力>/(耳,

且〃力+2024為奇函數(shù)，則不等式〃耳+20243<0的解集為()

A.(-oo,0)B.(。,+8)C.D.

【答案】B

【分析】構(gòu)造g(W=與，根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究g(x)單調(diào)性，結(jié)合已知將問(wèn)題化為g(x)<g(0),再根據(jù)g(x)的單

e

調(diào)性即可求出結(jié)果.

【詳解】設(shè)以無(wú))=與，則g(x)J'(+」(x),

ee

對(duì)任意實(shí)數(shù)X,有〃%)>/(力，

所以g，(x)<0,則g(x)在R上單調(diào)遞減.

因?yàn)?(x)+2024為奇函數(shù)，且f(x)的定義域?yàn)镽,

所以40)+2024=0,所以/(0)=-2024,所以g(0)=-2024.

因?yàn)閑，>0,所以求不等式/(%)+2024e'<0的解集，

即求卒<-2024的解集，即求g(x)<g(0)的解集，

e

因?yàn)間(x)在R上單調(diào)遞減，所以g。)<g(。)的解集為x>0,

所以不等式/(%)+2024e*<0的解集為(0,+功.

故選：B

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：構(gòu)造函數(shù)g(x)=華，根據(jù)題意，可得其單調(diào)性，從而求解不等式.

ex

6.(23-24高二下.江蘇常州.期末)已知函數(shù)/(X)及其導(dǎo)數(shù)/'(無(wú))的定義域均為R,對(duì)任意實(shí)數(shù)x,

/(》)=/(一x)—2x,且當(dāng)xNO時(shí)，r(x)+x+l>0.不等式/(2%—2)—/(尤)<一<+3尤的解集為()

2-004

A.(-00,2)B.C.—,+ooD.(2,+oo

3

【答案】B

【分析】構(gòu)造函數(shù)g(尤)=〃尤)+；/+工，從而結(jié)合導(dǎo)數(shù)與所給條件得到函數(shù)g(x)的單調(diào)性與對(duì)稱性，在

將所給不等式中/(X)化為g(X)即可得解.

【詳解】令g(x)=〃x)+：x2+x,貝!|g'(x)=/'(x)+x+l,

由題意可得，當(dāng)尤20時(shí)，r(x)+x+l>。，即g(x)在(0，+8)上單調(diào)遞增,

由/(x)=/(_x)_2x,貝?。輌(x)_gx2_，x=g(_x)_gx2+x_2x,

即g(x)=g(-x),故g(x)為偶函數(shù)，故g(x)在(-8,0)上單調(diào)遞減，

1?13Y

貝!I不等式/(2工_2)-/(力<———+3x可化為：g(2x—2)-—(2x—2)-(2x-2)-^(x)+—x2+x<———+3x,

即g(2x-2)<g(x),則有|2x—2卜國(guó),即(2x-2)2〈尤2,

gp(2x-2+x)(2x-2-x)<0,BP(3x-2)(x-2)<0,

解得xe[g,21

故選：B.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)在于構(gòu)造函數(shù)g(x)=〃尤)+g?+x,從而結(jié)合導(dǎo)數(shù)與所給條件得到函數(shù)

g(尤)的單調(diào)性與對(duì)稱性.

【考點(diǎn)三：構(gòu)造函數(shù)求參數(shù)的最值(范圍)】

一、單選題

1.(24-25高二上?云南?階段練習(xí))若e，+%-Iny-ey=l,則母的最小值為()

112

A.—B.—歹C.—TD.0

eee

【答案】B

【分析】利用同構(gòu)可得ei=y,再結(jié)合導(dǎo)數(shù)討論新函數(shù)的單調(diào)性后可得沖的最小值.

【詳解】因?yàn)闋t+x-lny-ey=l,故ln(e*)+e*=ln(ey)+(ey),

而y=x+lnx為(0,+8)上的增函數(shù)，故e*=ey即e*T=y,故孫=xe*T,

設(shè)s(x)=xe*T,xeR,貝Us〈x)=(x+l)e*T,

當(dāng)xc-l時(shí),s<x)<0,故s(x)在上為減函數(shù),

當(dāng)X>—1時(shí)，s'(x)>0,故S(x)在(-1,+8)上為增函數(shù)，

故$(/皿=5(—1)=^-2,

故選：B.

2.(24-25高二上?安徽六安?階段練習(xí))對(duì)于x?O,+w),不等式e'-ln(〃式)+(1-間尤20恒成立，則實(shí)數(shù)加

的取值范圍為()

A.0<m<lB.0<m<lC.0<m<eD.0<m<e

【答案】C

【分析】由e"-In(儂:)+(l-間%N。得，ex+x>eln^^+In(mx),同構(gòu)函數(shù)/(X)=e"+x,由/(ln(mx))

得：^>ln(mx),再參變分離,轉(zhuǎn)化為借助導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值即可.

【詳解】已知了￡(。,+°°),由e"-ln(mx)+(l-加)x2。得，ex+x>+In(me),

構(gòu)造函數(shù)"x)=e"+H則〃同是R上的增函數(shù)，則由/(x"/(ln(M))得：x>ln(mx),

即用令g(%)=上，X￡(0,+。)，，

XXX

當(dāng)x?0,1),g<x)<0,則g(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)xe(l,4w),g<x)>0,則g(x)單調(diào)遞增，

二g(xL=g(1)=e,則相<e,又/九>0,則0<7〃Ve.

故選：C.

3.(24-25高二上?全國(guó)?課后作業(yè))已知函數(shù)/(x)=eAi,g(x)=lnx+l,若存在實(shí)數(shù)滿足/'(a)=g僅),

則e"后的最大值為()

A.—eB.—1C.-D.1

e

【答案】c

【分析】根據(jù)〃G=g0)可得b>L構(gòu)造函數(shù)和=求導(dǎo)即可根據(jù)函

數(shù)的單調(diào)性求解最值.

【詳解】因?yàn)?(a)=g?,所以ei=ln6+l,所以小門(mén)=嗎已>0,所以5」，

ee

設(shè)函數(shù)人(司=電?上>:｝則"⑴戶一1皿一1,

設(shè)°(x)=：-lru-l,由于y=：,y=-ln尤均為上的減函數(shù)，易知(p(x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減,

且0⑴=0,

故當(dāng)xwgl)時(shí)，°(x)>0,//(x)>0；當(dāng)xe(L+s)時(shí)，°(x)<0,〃(x)<0.

所以h(x)在區(qū)間,1］上單調(diào)遞增，在區(qū)間(1,+8)上單調(diào)遞減.

所以〃⑴2?⑴=：,故『一%=：.

故選：C

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)比較大小的基本步驟

(1)作差或變形；

(2)構(gòu)造新的函數(shù)h(x)；

(3)利用導(dǎo)數(shù)研究h(x)的單調(diào)性或最值；

(4)根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式.

4.(23-24高二下.河南安陽(yáng)?期中)若對(duì)任意無(wú)€(0,1),二<薩丁恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.[—,—]B.[0,4-00)C.1,+8)D.[—,+GO)

222

【答案】D

【分析】根據(jù)給定的不等式，利用同構(gòu)的思想，并按，20,av。分類討論，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)性

轉(zhuǎn)化為恒成立的不等式求解.

,,曲x+2a/口Inxx+2a小八7Inx八八4x+2a八

【詳解】由二<二寸，得即<二言不，當(dāng)Uzx￡(0」)時(shí)，即<0,當(dāng)〃>0時(shí)，二H>°，

xeeeee

不等式塔〈主善恒成立，當(dāng)。<0時(shí)，令函數(shù)"x)=E，求導(dǎo)得尸(無(wú))=二，

eeee

當(dāng)x<l時(shí)，r(尤)>0,函數(shù)/(X)在(-8,1)上單調(diào)遞增，而當(dāng)xe(0,l)時(shí)，lnx<0,x+2"l,

不等式塔即/(lnx)</(x+2a),于是lnx<x+2ao2a>lnx—x,

ee

因此尤e(0,l),2a>lnx-x恒成立，令g(x)=lnx-x,0<x<l,求導(dǎo)得gG)=L-l>0,

x

則函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，g(x)<g⑴=-1,于是2°2-1,貝！|-；Va<0,

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是“N-g.

故選：D

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：某些數(shù)或式大小關(guān)系問(wèn)題，看似與函數(shù)的單調(diào)性無(wú)關(guān)，細(xì)心挖掘問(wèn)題的內(nèi)在聯(lián)系，抓

住其本質(zhì)，構(gòu)造函數(shù)，分析并運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題，它能起到化難為易、化繁為簡(jiǎn)的作用.

5.(23-24高二下?福建漳州.階段練習(xí))已知實(shí)數(shù)x,九滿足ylny=e2工-yln2x,則V的最小值為()

e2f—

A.eB.—C.—D.>/e

2e

【答案】A

2x

【分析】化簡(jiǎn)變形后可設(shè)=知其在(1,+◎上單調(diào)遞增，若/(ln2孫)=/(2力，貝！)2^=e2)對(duì)y=J

2x

求導(dǎo)可得到極值點(diǎn)也是最值點(diǎn)，故可得結(jié)果.

【詳解】由已知有ylny+yln2%=e2x,即yln2A^=e2",BPIn2xy-^n2xy=2xe2x,

因?yàn)?x>0,令于(t)=te[t>09/”)=(，+1)?！?gt;。易知/(力在(0,+8)上單調(diào)遞增，

2x

因/(ln2孫)=〃2x),所以ln2個(gè)=2x,故2^=6?，，即，=J.

lx

g、i,(2x-l)e2x人,(2x-l)e2x八1

^flUy=------g—,^y'=--------T—=0,可得x二:

2x2x2

又因y=號(hào)等;在上小于零，故y在(o，￡|單調(diào)遞減，

(2尤一1九2工

在上大于零，故y在單調(diào)遞增,

y=-2^~

故當(dāng)時(shí)x=；,y取極小值也是最小值為e.

故選：A

6.(2024?浙江.模擬預(yù)測(cè))已知x'iWlnx+9對(duì)\/x>0恒成立，則。的最大值為()

A.0B.-C.eD.1

e

【答案】D

【分析】由題意得e"nx-xlnxNa對(duì)以>0恒成立，令f(x)=xlnx,利用導(dǎo)數(shù)求得了(尤)2-4，即xlnxN」,

ee

再令，=xlnx,g(r)=e，-r，2-；|,利用導(dǎo)數(shù)求出g⑺的最小值，可求出〃的取值范圍，從而可求出”的最

大值.

【詳解】由￡一12lnx+@(x>0),得％"之xlnx+a,

x

所以e"1nx—xinx*對(duì)Vx>0恒成立，

令f(x)=x］nx9則/(%)=In%+1在(0,+8)上單調(diào)遞增,

由尸(x)=0,得％=工，

e

當(dāng)0<x/時(shí)，f'(x)<0,當(dāng)x>1時(shí)，尸(x)>0,

ee

所以/(X)在［o,j上遞減，在+8)上遞增，

所以/(尤即xlnx"：

令1=xlnx,g⑺=e',

則/⑺=e'-l在-5+sJ上單調(diào)遞增,

由g'（，）=。，得）=0,

所以當(dāng)-，4/<0時(shí)，g'⑺<。，當(dāng)/>0時(shí)，g'(.t)>0,

e

所以gO)在-J。］上遞減，在(。,+8)上遞增，

所以8?)3=8(0)=1，所以“VI，

所以。的最大值為1.

故選:D

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問(wèn)題，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，解題的關(guān)

鍵是通過(guò)對(duì)原不等式變形，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為^，一》1?彳24對(duì)以>0恒成立，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最

值即可，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于較難題.

【考點(diǎn)四：構(gòu)造函數(shù)證明不等式】

一、解答題

I7

1.(24-25高二下?全國(guó)?課堂例題)當(dāng)x>l時(shí)，求證：-x*2+lnx<-x3.

【答案】證明見(jiàn)解析

【分析】移項(xiàng)構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而得證不等式.

71

【詳解】令尤)=§x3-/x2-inx,

貝！I/'(彳)=2/_尤_工

X

x

Qx>l,.-.x-l>0,又因?yàn)閘-4x2=-7<0,貝！|2/+犬+1>0恒成立,

.,.當(dāng)x>l時(shí)，f?(x)>0,即在(1,+8)上單調(diào)遞增,

f(x)>=,

o

12

即—x~+In尤<§A".

2.(23-24高二上?北京?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=oeT-"n(l+x)+x在x=0處的切線方程為y=Tx+3.

(1)求。力的值;

(2)求證：/(力>0恒成立.(參考數(shù)據(jù)：e090?2.46,e1?2.72,e110?3.00)

a=3

【答案】⑴

b=2

(2)證明見(jiàn)解析

【分析】(D由導(dǎo)數(shù)幾何意義可以求解;

(2)利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在［1,+8)上的最小值，構(gòu)造函數(shù)結(jié)合單調(diào)性求解即可得證.

【詳解】(D已知函數(shù)/(幻=恁一￡-bln(l+x)+x在x=0處的切線方程為y=-4x+3.

/r(x)=-aeTx-------+1.

a=3

由.

J(O)=a=3b=2

2

(2)f(x)=3e-x—21n(1+x)+x,x>—1,(x)=—3e-x-----F1.

_2

令g(x)=If(x),貝!|/(力=3尸+再］>0恒成立,

所以g(x)=/'(x)在(T+?0上單調(diào)遞增.

又/,(2)=-4--+I=--4=￡-^<O>/,(3)=-4--+I=-4+->0>

V7e233e23e2V7e32e32

所以g（x）=/'（x）存在唯一的零點(diǎn)如天?2,3）,

2

且滿足-3e』—+1=0.0

1+%

當(dāng)x變化時(shí)，f（x）和r（x）的變化情況如下：

X(T,Xo)%(如+°°)

廣（尤）—0+

/W減極小值增

所以/(%)〃=3e』-21n(l+^))+x0,A0e(2,3).

將①帶入上式，得f(^)=---21n(1+x)+x+1,xe(2,3)

mn［十/000

令/=%+1,并構(gòu)造函數(shù)/z(r)=-21nr+r,re(3,4).

nni者*1//\22產(chǎn)—2,+2(才—1)+1

則有〃7一；+l=_—=e->0-

所以/加)在(3,4)上單調(diào)遞增.

27

所以/i(r)>/i(3)=---21n3+3?--2xl.l0>0.

即/(x)^>。,所以f(x)>0恒成立.

3.(2024.河北.模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)〃x)=alnx-x.

⑴討論〃x)的單調(diào)性；

(2)證明：當(dāng)a>0時(shí)，/(.x)<M-1.

【答案】（1）答案見(jiàn)解析

（2）證明見(jiàn)解析

【分析】（1）先明確函數(shù)定義域和求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)結(jié)構(gòu)特征對(duì)。進(jìn)行。W0和a>0的分類討論導(dǎo)數(shù)正負(fù)即

可得單調(diào)性.

(2)證小)V￡To/(X)-1,故問(wèn)題轉(zhuǎn)化成證

“\/max

alna-a<^-l（?>0）<=>ln^1j-信）+"0,接著構(gòu)造函數(shù)g（x）=lnx-x+l（x>0）研究其單調(diào)性和最

值即可得證.

【詳解】（D由題函數(shù)定義域?yàn)椋?,+。），尸（%）=/-1=亨，

故當(dāng)aVO時(shí)，r（x）<0恒成立，所以函數(shù)“X）在（0,+向上單調(diào)遞減；

當(dāng)a>0時(shí)，/'（%）在（。,+8）上單調(diào)遞減，令/'（x）=0=x=a,

則xe（0,a）時(shí)，/,（%）>0；xe（a,+<x>）時(shí)，/,（x）<0,

所以函數(shù)/（x）在（0,。）上單調(diào)遞增，在）上單調(diào)遞減，

綜上，當(dāng)aWO時(shí)，函數(shù)〃x）在（。,+e）上單調(diào)遞減；當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)〃元）在（0,。）上單調(diào)遞增，在（。,y）

上單調(diào)遞減.

（2）由（1）當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)“X）在（0,a）上單調(diào)遞增，在（。,y）上單調(diào)遞減，

故"X）Vf（a）=alna-a在（0,+8）上恒成立，

故證-l(a>0)=證-1(。)0)，

即=ln^|J<Ta>0)oln|^|J-^J+l<0,

11_r

令g(x)=lnx—x+l(x>0),則g，(尤)=一一1=-----(x>0),

故當(dāng)xe(O,l)時(shí)，g,(x)>0；xe(l,+oo)時(shí)，g,(x)<0,

所以g(x)在(。,1)上單調(diào)遞增，在(1,y)上單調(diào)遞減，

所以g（x）Wg（l）=0在（0,+8）上恒成立，故In+1<0,

所以當(dāng)a>0時(shí)，-1.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：證明含參函數(shù)不等式問(wèn)題通常轉(zhuǎn)化成研究函數(shù)最值問(wèn)題，第（2）問(wèn)證當(dāng)。>0時(shí),

可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成證/（%）_接著根據(jù)其結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行變形轉(zhuǎn)化和構(gòu)造函數(shù)，利用

導(dǎo)數(shù)確定所構(gòu)造的函數(shù)單調(diào)性和最值即可得證.

4.(23-24高二下?河南南陽(yáng)?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=e'+x,g(x)=--lnx.

x

⑴證明：/(%)>2%+1,

(2)證明：/(x)+g(x)>4.

1

⑶若/axg?)",求西+尤2的最大值?

e'

【答案】⑴證明見(jiàn)解析

(2)證明見(jiàn)解析

(3).

【分析】(1)設(shè)/z(x)=/(x)-(2x+l),求導(dǎo)，分析函數(shù)單調(diào)性，求函數(shù)h(x)的最小值，得到最小值大于或

等于0即可.

(2)利用(1)的結(jié)論進(jìn)行放縮，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最小值即可.

1X

(3)首先由條件同構(gòu)方程，得到玉=此￡,再利用變量轉(zhuǎn)化，變形占+元.，并構(gòu)造函數(shù)機(jī)⑺=與，

%ef-7e

利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值.

【詳解】(1)設(shè)Mx)=/(x)-(2x+l)=e--l,

則"(x)=e-l,

由??(x)>0,得x>0；由??(x)<0,得x<0.

所以函數(shù)h(x)在(-8,0)上遞減，在(0,+8)上遞增.

所以％(>)*=%(。)=。，所以網(wǎng)力對(duì)恒成立.

即/(x)22x+l恒成立.

(2)由(1)得/(x)N2x+l,(當(dāng)x=0時(shí)取“=”)

所以/(尤)+g(x)?2x+l+!-Inx.

X

設(shè)O(x)=2x+l+，-lnx,(x>0)

則以上2一-+

XXXX

由??(x)>onx>l；由??(x)<0=>0<x<l,

所以(p(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

所以9(x)之夕(1)=4(當(dāng)x=l時(shí)取“=”)

因?yàn)?(x)22x+l,姒”24中，“=”成立的條件不一致，

所以/(x)+g(x)>4.

x

(3)由題意可知，e'+xl=^--\nx1=t,

x2

11In—1

艮|3e*+再=--bln一=e%+In—=t,

x2x2x2

函數(shù)y=e'+x是增函數(shù)+增函數(shù)，所以單調(diào)遞增，

,111X

所以玉=ln—,即西x=一,所以再+—=玉+9=*

1

X]H-------

X2_t9

ef=7

設(shè)加Q）=J,fn（）=U,

當(dāng)時(shí)，加⑺＞0,函數(shù)加⑺單調(diào)遞增，

當(dāng)fe（l,+”）時(shí)，加⑺＜0,函數(shù)加⑺單調(diào)遞減，

所以當(dāng)f=l時(shí)，取得最大值—

1

所以“「兀的最大值為L(zhǎng)

丁e

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)的關(guān)鍵是根據(jù)（1）的結(jié)果，對(duì)不等式進(jìn)行放縮，第3問(wèn)的關(guān)鍵是將方程

In—11

兩邊同構(gòu)成爐+%=eX2+In±=，，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到等式玉=皿一，這是解題的關(guān)鍵.

X

X22

5.（22-23高二下?遼寧?期末）已知函數(shù)/（司=”出.

ax

⑴討論“X）的單調(diào)性；

⑵若（5廣=（任廣（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），且為＞。，%2＞0,占w%，證明：考+%＞2.

【答案】（1）結(jié)論見(jiàn)解析；

（2）證明見(jiàn)解析.

【分析】（1）求出函數(shù)/（x）的導(dǎo)數(shù)尸（無(wú)），再按。＜0，。＞。分類探討（（無(wú)）的正負(fù)作答.

（2）等價(jià)變形給定等式，結(jié)合。=1時(shí)函數(shù)/⑺的單調(diào)性，由0＜占＜1＜%,/&）=/（龍2），再構(gòu)造函數(shù)

g（x）=/（x）-/（2-x）,xe（l,2）,利用導(dǎo)數(shù)、均值不等式推理作答.

【詳解】（D函數(shù)〃尤）=叱里的定義域?yàn)椋?,+?0,求導(dǎo)得貝！空，由/'。）=0得x=l,

axax

若。＜0,當(dāng)0＜x＜l時(shí)，f（x）＜o(jì),則/（元）單調(diào)遞減，當(dāng)x＞l時(shí)，廣（無(wú)）＞0,則/（X）單調(diào)遞增,

若。＞0,當(dāng)0＜x＜l時(shí)，-。）＞0,則/（元）單調(diào)遞增，當(dāng)尤＞1時(shí)，尸（無(wú)）＜0,則/（X）單調(diào)遞減;

所以當(dāng)。＜0時(shí)，函數(shù)/（元）在（0,1）上單調(diào)遞減，在（1,+8）上單調(diào)遞增；

當(dāng)4>0時(shí)，函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減.

(2)由?)*=(%)",兩邊取對(duì)數(shù)得9(ln%+l)=玉(山％+1),即生產(chǎn)="土1

由(1)知，當(dāng)。=1時(shí)，函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+⑹上單調(diào)遞減，

⑴=1，而/d)=O,X>1時(shí)，/(x)>0恒成立，

e

因此當(dāng)4=1時(shí)，存在網(wǎng),工2且0"<1<尤2,滿足/(%)=/(々)，

若為€[2,+8),則尤：+無(wú)；>無(wú)；24>2成立；

若蒞e(l,2),則2-%e(0,l),記g(x)=f(x)-f(2-尤)，xe(l,2),

則g\x)=/(尤)+廣(2一x)=一室一等福>一嗎一咤也=.皿-(曰±1]>o,

x(2-x)x-xx

即有函數(shù)g(x)在(L2)上單調(diào)遞增，g(x)>g(l)=O,即f(x)>/(2-x),

于是/(%)=/(%)>/(2-々)，

而馬e(l,2),2-^e(O,l),x,e(0,l),函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,因此玉>2-%，即3+々>2,

又d+1>=2占芯+1>=2々，貝！]有,+1+芍+1>2(%+%)>4,則x：+無(wú)；>2,

所以x：+*>2.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及函數(shù)的雙零點(diǎn)問(wèn)題，不管待證的是兩個(gè)變量的不等式，還是導(dǎo)函數(shù)的值的不等式,

都是把雙變量的等式或不等式轉(zhuǎn)化為一元變量問(wèn)題求解，途徑都是構(gòu)造一元函數(shù).

6.(2024二?全國(guó)?專題練習(xí))已知aeR,函數(shù)=In(尤+1)H------+ax".

(1)當(dāng)a20時(shí)，求證：/(%)>1；

⑵若/(%)+/(f)>2,求。的取值范圍.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

11

【分析】(1)當(dāng)a20時(shí)，得出依2NO,將問(wèn)題化為證ln(x+l)+n2l,構(gòu)造函數(shù)g(x)=ln(x+l)+、

并證明其單調(diào)性，得出g(x)2g(0)=