2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：指對(duì)冪等函數(shù)值大小比較的深度剖析（講義）（原卷版）

專題03指對(duì)幕等函數(shù)值大小比較的深度剖析

目錄

01考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航............................................................2

U4年與nHt口\%號(hào)J|圖^M.甲雉=己J1I/白3/才L?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????1R

03知識(shí)梳理?方法技巧............................................................4

04真題研析?精準(zhǔn)預(yù)測(cè)............................................................5

05核心精講?題型突破............................................................6

題型一：直接利用單調(diào)性6

題型二：引入媒介值6

題型三：含變量問題7

題型四：構(gòu)造函數(shù)8

題型五：數(shù)形結(jié)合9

題型六：特殊值法'估算法10

題型七：放縮法11

題型八：同構(gòu)法12

重難點(diǎn)突破：泰勒展開、帕德逼近估算法13

差情;奏汨?日標(biāo)旦祐

指'對(duì)'薄形數(shù)的大小比較問題是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容之一，也是高考的熱點(diǎn)問題，命題形式主要以

選擇題為主.每年高考題都會(huì)出現(xiàn)，難度逐年上升.

考點(diǎn)要求目標(biāo)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析

預(yù)測(cè)2025年高考趨

2024年北京卷第9題，5分

勢(shì)，指對(duì)幕比較大小或以

2024年天津卷第5題，5分

掌握指對(duì)塞大小2022年新高考I卷第7題，5分小題壓軸，預(yù)計(jì)：

指對(duì)幕比較大小比較的方法與技2022年天津卷第5題，5分(1)以選擇、填空題型呈

巧2022年甲卷第12題，5分現(xiàn)，側(cè)重綜合推理。

2021年H卷第7題，5分

(2)構(gòu)造靈活函數(shù)比較大

2021年天津卷第5題，5分

小將成為考查熱點(diǎn)。

〃?知識(shí)導(dǎo)圖?思維引航

//40w

(1)利用函數(shù)與方程的思想，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性或極值，從而確定mb,C的大小.

(2)指、對(duì)、幕大小比較的常用方法：

①底數(shù)相同，指數(shù)不同時(shí)，如和。犯，利用指數(shù)函數(shù)y=〃的單調(diào)性；

②指數(shù)相同，底數(shù)不同，如球和城利用幕函數(shù)y=-單調(diào)性比較大小；

③底數(shù)相同，真數(shù)不同，如log。/和10ga久2利用指數(shù)函數(shù)10ga%單調(diào)性比較大小；

④底數(shù)、指數(shù)、真數(shù)都不同，尋找中間變量0,1或者其它能判斷大小關(guān)系的中間量，借助中間量進(jìn)行大小

關(guān)系的判定.

(3)轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)

(4)特殊值法

(5)估算法

(6)放縮法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法

(7)常見函數(shù)的麥克勞林展開式：

@ex=1+%+—H---1---+-——-xn+1

72!n!(n+1)!

/y3y.5丫2九+1

②sin%=x---1-------F(—l)n-------Fo(x2n+2>)

J3!5!kJ(271+1)!')

_246丫2n

③cos%=1*v+-v％v…+(-l)n++。(姆)

@ln(l+%)=%—J+?—…+(—1)九2+。(％九+i)

⑤=1+%+%2+-I-%71+o(xn)

(2)(1+x)n=1+nx++0(%2)

0

/八真題研標(biāo)?摘毓II.\\

1.（2024年新課標(biāo)全國I卷數(shù)學(xué)真題）已知函數(shù)/（%）的定義域?yàn)镽,/（x）>/（x-1）+/（%-2）,且當(dāng)久<3

時(shí)/（%）=x,則下列結(jié)論中一定正確的是（）

A./（10）>100B./（20）>1000

C./（10）<1000D./（20）<10000

02

2.（2024年天津高考數(shù)學(xué)真題）設(shè)a=4.2"2,fe=4.2-,c=log420.2,則a,b,c的大小關(guān)系為（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.c<a<b

3.（2024年北京高考數(shù)學(xué)真題）已知（修,乃），（冷,為）是函數(shù)丫=2%的圖象上兩個(gè)不同的點(diǎn)，貝I（）

A.log?.<巖B.1。82爐>詈

C.Iog2也產(chǎn)</+%2D.10g2左盧>%1+刀2

4.（2023年天津高考數(shù)學(xué)真題）設(shè)a=1.01°,5,匕==0.6口5,則a,2c的大小關(guān)系為（）

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<b<aD.c<a<b

07

5.（2022年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題）設(shè)a=2。］,b=g）,c=log2p貝b,瓦c的大小關(guān)系為（）

A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.c<b<a

6.（2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）已知97n=10,a=107n-11/=87n-9,則（）

A.a>0>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>0>a

7.（2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知a=衛(wèi)"=cos'c=4sin±貝!J（）

3244

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

8.（2022年新高考全國I卷數(shù)學(xué)真題）設(shè)a=0.1ea1,6=巳，c=-ln0.9,貝l］（）

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

9.（2021年天津高考數(shù)學(xué)試題）設(shè)a=log20.3,6=log20.4,c=0.4a3,則a,b,c的大小關(guān)系為（）

2

A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.a<c<b

10.（2021年全國新高考n卷數(shù)學(xué)試題）已知a=log52,=log83,c=|,則下列判斷正確的是（）

A.c<b<aB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c

11.（2021年全國高考乙卷數(shù)學(xué)（理）試題）設(shè)a=21nl.01,b=lnl.02,c=VL04-1.則（）

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

㈤5

孩心精說，題型突破

題型一：直接利用單調(diào)性

【典例1?1】設(shè)。=2i?,b=lg3,c=In],則a、b、c的大小順序?yàn)椋ǎ?/p>

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>a>b

【典例1-2】（2024?高三?黑龍江雞西?期中）已知函數(shù)/（%）=2%+%,5（%）=log2x+x,九（%）=婷+%的零

點(diǎn)分別為a,b,c,則a,b,c的大小順序?yàn)椋ǎ?/p>

A.a>b>cB.b>c>a

C.c>a>bD.b>a>c

巧

利用指對(duì)騫函數(shù)的單調(diào)性判斷

【變式1-1]已知a=log56,b=logos2,。=e-2,比較〃，b,。的大小為（）

A.b>a>cB.b>c>aC.a>c>bD.a>b>c

【變式1-2］已知a=0.33",b=Q，（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）c=tanl,比較a,b,c的大?。ǎ?/p>

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.c>b>a

命題預(yù)測(cè)J

1.（2024.江西新余.一模）故a=《p,6=（乎c=log3y,則a,b,c的大小順序是（）

A.b<a<cB.c<a<bC.b<c<aD.c<b<a

2.已知實(shí)數(shù)〃，b滿足短+a=2,b=logi63,則（）

A.a>bB.a<bC.a=bD.a,b的大小無法判斷

題型二：引入媒介值

【典例2-1】（2024.高三.江西.期中）已知a=ln2,b=cos2,c=G],則〃，b）。的大小順序?yàn)椋ǎ?/p>

A.c>a>bB.a>c>bC.b>c>aD.b>a>c

【典例2-2】三個(gè)數(shù)a=sinI，b=2"c=ln3一ln2的大小順序是()

A.a<b<cB.c<a<b

C.a<c<bD.b<c<a

尋找中間變量0,1或者其它能判斷大小關(guān)系的中間量，借助中間量進(jìn)行大小關(guān)系的判定.

2

【變式2.1］已知a=log??,人=（I）=c=cos（-|兀）—sin（—］）,比較a,b,c的大小為（）

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>b>aD.c>a>b

2

【變式2-2］已知a=ln4,b=lg4,c=,則(

A.c<b<aB.b<a<cC.b<c<aD.a<c<b

\命題預(yù)測(cè)

1.已知a=logo.48,b=log060.5,c=log23,貝!j()

A.b>a>cB.b>c>aC.c>a>bD.c>b>a

2.已知5=當(dāng)，。=之，貝!］()

ln4ln22

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

3.已知a=logiJ—b=1.407,c=0.714,則a,b,c的大小關(guān)系是()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a

題型三：含變量問題

b2a2a

【典例3-11［新考法］若0<2a<bV1,/=a,x2=(2a)%x3=b,x4=(2b),貝!J()

A.x4<x3<<x2B.<x2<<%4

x

C.冷<<%4V3D.X3<X4<<X2

mn

【典例3-2］（2024?高三?河北邢臺(tái)?期中）已知1<根<九<2,a=n,b=m,c=10gziTH,則a,b,c的大小

關(guān)系是（）

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.c>b>a

對(duì)變量取特殊值代入或者構(gòu)造函數(shù)

【變式3-1]（多選題）已知正數(shù)a,b滿足ea（l—Inb）=1,則（）

A.e<b<e2B.ea+^>2

C.ea>bD.ea—Inb>1

【變式3-2]（2024?陜西西安?統(tǒng)考一模）設(shè)Q>b>0,a+b=1且％=-（￡）ty=log工a,z=logg+工產(chǎn)上則

居y,z的大小關(guān)系是（）

A.x<z<yB.z<y<x

C.y<z<xD.x<y<z

［命題預(yù)測(cè)

1.（多選題）若0Va<bVc,且Iga+Igb+Ige=0,則下列各式一定成立的是（）

A.2a+2”>4B.ab<1C.a+c2>2D.a2+c>2

2.（多選題）若0<aVbV1,貝I」（）

A.ab<baB.ab+1<a+b

rbra

C.a-<b-D.Ioga（l+6）>log/?（l+a）

題型四：構(gòu)造函數(shù)

【典例4-1】（2024?陜西咸陽?模擬預(yù)測(cè)）已知a=呼,b=9c=3則a,b,c的大小為（）

262e

A.b>c>aB.a>b>cC.b>a>cD.c>b>a

【典例4-2】（2024?全國?模擬預(yù)測(cè)）若。=審，b=jc="，則a,b,c的大小順序?yàn)椋ǎ?/p>

ez2e4

A.a<c<bB.c<a<bC.a<b<cD.b<a<c

巧

構(gòu)造函數(shù)比大小是高考數(shù)學(xué)的重點(diǎn)題型，它可以從“形”與“數(shù)”兩個(gè)角度入手解題。

“形”的構(gòu)造：不等式兩邊的結(jié)構(gòu)相似時(shí)，我們可以構(gòu)建一個(gè)函數(shù)，通過分析這個(gè)函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而根據(jù)“若

函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，則%Og(%)Ng(x2)；若函數(shù)/(%)單調(diào)遞減，%Og(%)Wg(%)”

判斷.

“數(shù)”的構(gòu)造：觀察到待比較式子間數(shù)與數(shù)的關(guān)系后，我們可據(jù)此構(gòu)造函數(shù).

【變式4-1］［新考法］設(shè)函數(shù)/(x)=久+Inx,g(x)=xlnx-1,h(x)=1-1+j+■在(0,+8)上的零點(diǎn)分

別為a,b,c,則a,b,c的大小順序?yàn)?)

A.c<b<aB.b>c>a

C.c>a>bD.b>a>c

【變式4-2]已知a=b=ln(V5+1),。=三|,試比較a,b,c的大小()

4

A.a>c>bB.a>b>cC.b>a>cD.c>b>a

命題預(yù)測(cè)

1.已知a=ln(sinl.O2),b=—:—,c=lnl.02,貝!J()

A.a<b<cB.c<a<bC.a<c<bD.b<a<c

2.若a=；,b=cos(^—c=-,則a、b、c滿足的大小關(guān)系式是().

3327t

A.a>b>cB.a<b<cC.a>c>bD.b>c>a

3.設(shè)a=V^—l,b=2,c=l—ln|,則()

A.c>a>bB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

題型五：數(shù)形結(jié)合

【典例5?1】函數(shù)/(%)=2"+%,g(x)=log2x+%,h(%)=F+%的零點(diǎn)分別為a,b,c,則a,b,c,的

大小順序?yàn)?)

A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.c>a>b

【典例5-2】實(shí)數(shù)a,b,ceR滿足a—4=ln2<0,b-3=In-<0,c-2=ln-<0,貝!]a,b,c的大小為

432

()

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>c>aD.c>b>a

轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)

【變式5-11［新考法］已知函數(shù)/(x)=總.設(shè)a+b+c=O,abc<0,貝!J()

A./(a)+f(b)+/(c)<|B./(a)+f(b)+/(c)<j

C.f(a)+f(b)+/(c)>|D./(a)+汽b)+f(c)>|

【變式5-2］已知a=O.80-5+O.80-7+0.809,b=0.608+0.708+0.808,°=eT+e盛+e-t貝卜)

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD,b>c>a

命題預(yù)測(cè)I

1.若實(shí)數(shù)〃，。，c滿足。2匕=。3。=6,則下列不等關(guān)系中不可能成立的是（）

A.c<a<bB.b<c<aC.a<c<bD.a<b<c

2.已知（%2f2）是函數(shù)y=log2%圖象上兩個(gè)不同的點(diǎn)，則下列4個(gè)式子中正確的是（

①詈＜2號(hào)；②巖＞2沖③1嗚777丫1+。2@Iog277T%+丫2

工1十%22巧十X22,

A.①③B.②③C.①④D.②④

題型六：特殊值法、估算法

【典例6-1］(2024?高三?四川?期中)已知(%2，及2)是函數(shù)y=1og2式圖象上不同的兩點(diǎn)，則()

A.5Vlog2-B.$〉10g2?

2222

c.yi+y2<log2^^D.yi+y2>log2^^

【典例6-2】已知x,yeR,且久+y>0,貝1］()

11rr

A.-+->0B.x3+y3>0

xy

C.lg(x+y)>0D.sin(x+y)>0

巧

估算要比較數(shù)值的大致范圍，從而判斷其大小關(guān)系。

【變式6-1］設(shè)。=3e-0,2,b=2e0,2,c=2.4,則（）

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a

【變式6-2］（多選題）已知正數(shù)滿足x—y+l=:—/則（）

A.lg（y—%+1）>0B.cosy>cosxC.2025y-x>1D.|y—2|>|x—2|

命題預(yù)測(cè)7

1.已知a=sinl.01,5=+，c=lnl.04,則a,b,c的大小關(guān)系是（）

A.b>a>cB.a>b>cC.a>c>bD.b>c>a

2.已知a=log2（）.05,b=O.51002,c=2005,則下列判斷正確的是（）

A.a<b<cB.b<c<aC.c<b<aD.b<a<c

3.已知a=|,b=V3,c=3+i；g§2,貝（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>b>a

題型七：放縮法

12

【典例7?1】（2024?高三?四川德陽?開學(xué)考試）已知a=log?2,b=log43,c=0.5,比較b,c的大小

為（）

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>c>aD.b>a>c

【典例7-2］（2024.河南.模擬預(yù)測(cè)）已知a=如*==1+ln||,貝！Ja,b,c的大小關(guān)系是（）

lo35

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.c<a<b

放縮法比較指對(duì)幕大小，關(guān)鍵在于合理估計(jì)與調(diào)整?？赏ㄟ^適當(dāng)放大或縮小數(shù)值，轉(zhuǎn)化為更易比較的

形式，如利用指數(shù)、對(duì)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行放縮，或結(jié)合均值不等式等。需注意保持放縮方向的一致性，以確保

比較結(jié)果的準(zhǔn)確性。

【變式7-1](2024.浙江杭州?一模)對(duì)Vxe[l,+8),不等式((lnax)2-1)。-b)20恒成立,則()

A.若aC（O，E）,則bWeB.若ae（0,J,貝帕,e

C.若ae[F，e）,則a"=eeD.若Qe[：,e）,則b。=ee

【變式7-2】已知。=粕一1,b=sin1,c=ln|,則（）

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a

\命題預(yù)測(cè)J

七.................

1.已知a=log??flogg*3。+4a=5%則（）

A.a>b>2B.b>a>2C.a>2>bD.b>2>a

2.已知a=logs7,b=log68,c=log810,則mb,c的大小關(guān)系是（）

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.c>b>a

3.設(shè)。=12110.21,b=lnl.21,c=則下列大小關(guān)系正確的是（）

A.b<c<aB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a

題型八：同構(gòu)法

【典例8-1］［新考法］已知a，Se（0,；）,且ea—2cos2a=e6—sin2￡—l=0,則（）

A.a>pB.a=p

C.a<pD.無法確定a,￡的大小

【典例8-2】（2024?高三?浙江紹興?期末）已知0<a<b,loga%+logdy<log”+log/，則下列說法正確的

是（）

A.當(dāng)log.>0時(shí)，x>yB.當(dāng)log5>0時(shí)，x<y

C.當(dāng)log/<。時(shí)，為<yD.當(dāng)log*<0時(shí)，與y大小不確定

同構(gòu)法比較指對(duì)嘉大小，核心在于構(gòu)造相同結(jié)構(gòu)的函數(shù)。通過變形使待比較式具有相同函數(shù)形式，利

用函數(shù)單調(diào)性或圖像直觀比較大小。關(guān)鍵在于準(zhǔn)確識(shí)別并構(gòu)造同構(gòu)函數(shù)，簡(jiǎn)化比較過程。

【變式8-1】（2024?高三?江西?期中）已知a>0,b>0,￡=ab（l+lnb）,則（）

A.Inb>a