2025中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第11講 分式方程（含解析+考點(diǎn)卡片）

2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第11講分式方程

一．選擇題（共10小題）

1．關(guān)于x的方程的解是正數(shù)，則a的取值范圍是（）

1??2

+=1

A．a(chǎn)＞5??22B?．?a＜5C．a(chǎn)＞5且a≠7D．a(chǎn)＜5且a≠3

2．方程的解是（）

23

=

A．x＝??﹣33?B．x＝﹣9C．x＝3D．x＝9

3．若關(guān)于x的分式方程無(wú)解，則n＝（）

???1

+1=

A．﹣1?+B．20?+2C．1D．

3

4．某農(nóng)業(yè)合作社在春耕期間采購(gòu)了A，B兩種型號(hào)無(wú)人駕駛農(nóng)耕機(jī)器．已知2每臺(tái)A型機(jī)器的進(jìn)價(jià)比每臺(tái)B

型機(jī)器進(jìn)價(jià)的2倍少0.7萬(wàn)元；采購(gòu)相同數(shù)量的A，B兩種型號(hào)機(jī)器，分別花費(fèi)了21萬(wàn)元和12.6萬(wàn)元．若

設(shè)每臺(tái)B型機(jī)器的進(jìn)價(jià)為x萬(wàn)元，根據(jù)題意可列出關(guān)于x的方程為（）

A．12.6x＝21（2x﹣0.7）B．

2112.6

=

C．D．?2??0.7

2112.62112.6

==2×?0.7

5．對(duì)于2?非?零0.7的兩個(gè)?實(shí)數(shù)a，b，規(guī)定ab，若?2（2x﹣?1）＝1，則x的值為（）

11

⊕=?⊕

A．B．??C．D．

5531

?

6．若代6數(shù)式和的值互為4相反數(shù)，則x等于（2）6

13

A．1??2?B．C．2D．

32

7．某體育中心準(zhǔn)備改擴(kuò)建一塊2運(yùn)動(dòng)場(chǎng)地，現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)參與施工3，相關(guān)信息如下：

工程隊(duì)每天施工面積（單位：施工總面積（單位：施工時(shí)間（單位：天）

m2）m2）

甲x+3001800兩個(gè)工程隊(duì)同時(shí)完成

乙x1200工作任務(wù)

根據(jù)以上信息求x的值，則下列方程正確的是（）

A．B．

1800120012001800

==

?+300??+300?

C．D．1200x＝1800（x+300）

3000600

=

8．已知?+關(guān)3于00x的分?式方程有整數(shù)解，則滿足條件的所有整數(shù)a的和為（）

1+??1

?=3

A．﹣18B．2?﹣?17??2C．﹣6D．﹣2

9．解方程“x”時(shí)，小明繪制了如圖所示的函數(shù)圖象，通過(guò)觀察圖象，該方程的解為（）

1

=

?

A．x＝1B．x1＝1，x2＝2

C．x1＝﹣1，x2＝1D．x＝﹣1

10．已知關(guān)于x的分式方程的解是非負(fù)數(shù)，則k的取值范圍是（）

??

+2=

A．k≥2B．??k≤121??C．k≤2且k≠﹣1D．k＜2且k≠1

二．填空題（共5小題）

11．若關(guān)于x的一元一次不等式組有解且至多有3個(gè)整數(shù)解，且關(guān)于y的分式方程

?+1??1?+4

2≥6+1+

有整數(shù)解，則所有滿3足?條?件?的≤整?+數(shù)1a的值之和為．??1

?+2?

=?3

12．1若??關(guān)于x的方程的解是x＝6，則a的值為．

32

=

13．關(guān)于x的方程??1??的解為非負(fù)數(shù)，則k的取值范圍是．

??

?=

14．若關(guān)于x的分式2?方?4程??2有增根，則m的值是．

??

?3=

15．隨著“中國(guó)詩(shī)詞大會(huì)?”?節(jié)2目的熱?播?，2《唐詩(shī)宋詞精選》和《唐詩(shī)鑒賞辭典》也隨之熱銷．某書商看準(zhǔn)

商機(jī)，欲購(gòu)進(jìn)這兩種圖書，已知每本《唐詩(shī)鑒賞辭典》的進(jìn)價(jià)比《唐詩(shī)宋詞精選》多9元，花費(fèi)2400

元購(gòu)進(jìn)《唐詩(shī)鑒賞辭典》的數(shù)量與花費(fèi)1500元購(gòu)進(jìn)《唐詩(shī)宋詞精選》的數(shù)量一樣多．若設(shè)每本《唐詩(shī)

鑒賞辭典》的進(jìn)價(jià)為x元，則可列方程．

三．解答題（共5小題）

16．以下是小明解方程的過(guò)程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀，并完成相應(yīng)任務(wù)．

?+11

=?2

解：去分母：x+1＝﹣??12﹣2（2?x﹣?2）…………．第一步．

去括號(hào)：x+1＝﹣1﹣2x﹣4…………，第二步

移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得：3x＝﹣6…………．第三步

系數(shù)化為1，得：x＝﹣2…………．第四步

檢驗(yàn)：當(dāng)x＝﹣2時(shí)，x﹣2＝﹣4≠0，

所以：x＝﹣2是原分式方程的解．

（1）填空：

①以上解題過(guò)程中，第一步去分母的依據(jù)；

②第步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，這一步錯(cuò)誤的原因是；

（2）請(qǐng)你寫出此方程的正確求解過(guò)程．

17．列方程解應(yīng)用題：

無(wú)人配送以其高效、安全、低成本等優(yōu)勢(shì)，正在成為物流運(yùn)輸行業(yè)的新趨勢(shì)．某物流園區(qū)使用1輛無(wú)人

配送車平均每天配送的包裹數(shù)量是1名快遞員平均每天配送包裹數(shù)量的5倍．要配送6000件包裹，使

用1輛無(wú)人配送車所需時(shí)間比4名快遞員同時(shí)配送所需時(shí)間少2天，求1名快遞員平均每天可配送包裹

多少件？

18．3月12日植樹節(jié)，某中學(xué)需要采購(gòu)一批樹苗開展種植活動(dòng)．據(jù)了解，市場(chǎng)上每捆A種樹苗的價(jià)格是樹

苗基地的倍，用300元在市場(chǎng)上購(gòu)買的A種樹苗比在樹苗基地購(gòu)買的少2捆．

5

（1）求樹4苗基地每捆A種樹苗的價(jià)格．

（2）樹苗基地每捆B種樹苗的價(jià)格是40元．學(xué)校決定在樹苗基地購(gòu)買A，B兩種樹苗共100捆，且A

種樹苗的捆數(shù)不超過(guò)B種樹苗的捆數(shù)．樹苗基地為支持該?；顒?dòng)，對(duì)A、B兩種樹苗均提供八折優(yōu)惠．求

本次購(gòu)買最少花費(fèi)多少錢．

19．在我國(guó)傳統(tǒng)節(jié)日清明節(jié)期間，學(xué)校將組織200名師生去革命烈士陵園掃墓．請(qǐng)你認(rèn)真閱讀如圖對(duì)話，

解決實(shí)際問(wèn)題．

根據(jù)對(duì)話內(nèi)容，求每輛甲、乙種客車各有多少個(gè)座位．

20．北京時(shí)間2023年12月18日23時(shí)59分，位于甘肅東南部的積石山發(fā)生6.2級(jí)地震，造成重大人員傷

亡和財(cái)產(chǎn)損失，“一方有難，八方支援”，我縣某中學(xué)決定捐款采購(gòu)一批棉衣和棉被等物資支援災(zāi)區(qū)，已

知棉衣的單價(jià)比棉被的單價(jià)貴50元，且用1000元購(gòu)買棉衣的數(shù)量與用800元購(gòu)買棉被的數(shù)量相同．

（1）求棉衣的單價(jià)；

（2）該中學(xué)準(zhǔn)備購(gòu)買棉衣、棉被共100件，且購(gòu)買總費(fèi)用不超過(guò)22000元，求最多可以購(gòu)買多少件棉

衣．

2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之分式方程

參考答案與試題解析

一．選擇題（共10小題）

1．關(guān)于x的方程的解是正數(shù)，則a的取值范圍是（）

1??2

+=1

A．a(chǎn)＞5??22B?．?a＜5C．a(chǎn)＞5且a≠7D．a(chǎn)＜5且a≠3

【考點(diǎn)】分式方程的解；解一元一次不等式．

【答案】D

【分析】將分式方程變?yōu)檎椒匠糖蟪鼋?，再根?jù)解為正數(shù)且不能為增根，得出答案．

【解答】解：，

1??2

+=1

去分母，得1﹣??a2+2＝2x?﹣?2，

解得x＝5﹣a，

∵關(guān)于x的方程的解是正數(shù)，

1??2

+=1

∴5﹣a＞0且5﹣??a≠22，2??

∴a＜5且a≠3．

故選：D．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程，掌握解方程和分母不能為0是關(guān)鍵．

2．方程的解是（）

23

=

A．x＝??﹣33?B．x＝﹣9C．x＝3D．x＝9

【考點(diǎn)】解分式方程．

【專題】分式方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力．

【答案】D

【分析】按照解分式方程的步驟，進(jìn)行計(jì)算即可解答．

【解答】解：，

23

=

2x＝3（x﹣3），??3?

解得：x＝9，

檢驗(yàn)：當(dāng)x＝9時(shí)，x（x﹣3）≠0，

∴x＝9是原方程的根，

故選：D．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必須檢驗(yàn)．

3．若關(guān)于x的分式方程無(wú)解，則n＝（）

???1

+1=

A．﹣1?+B．20?+2C．1D．

3

【考點(diǎn)】分式方程的解．2

【專題】分式方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力．

【答案】A

【分析】解分式方程，可得，根據(jù)題意可知分式方程的增根為x＝﹣2，即有，，求解

??3??3

?==?2

即可獲得答案．22

【解答】解：，

???1

+1=

去分母，得x+?+x+22＝n﹣1，?+2

合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1，得，

??3

由題意可知，分式方程的增根為?=x＝﹣22，

即有，解得n＝﹣1．

??3

=?2

故選：2A．

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了解分式方程以及分式方程的增根的知識(shí)，通過(guò)分析確定該分式方程的增根為x

＝2是解題關(guān)鍵．

4．某農(nóng)業(yè)合作社在春耕期間采購(gòu)了A，B兩種型號(hào)無(wú)人駕駛農(nóng)耕機(jī)器．已知每臺(tái)A型機(jī)器的進(jìn)價(jià)比每臺(tái)B

型機(jī)器進(jìn)價(jià)的2倍少0.7萬(wàn)元；采購(gòu)相同數(shù)量的A，B兩種型號(hào)機(jī)器，分別花費(fèi)了21萬(wàn)元和12.6萬(wàn)元．若

設(shè)每臺(tái)B型機(jī)器的進(jìn)價(jià)為x萬(wàn)元，根據(jù)題意可列出關(guān)于x的方程為（）

A．12.6x＝21（2x﹣0.7）B．

2112.6

=

C．D．?2??0.7

2112.62112.6

==2×?0.7

【考2點(diǎn)??】0.由7實(shí)際?問(wèn)題抽象出分式方程．??

【專題】分式方程及應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí)．

【答案】C

【分析】設(shè)每臺(tái)B型機(jī)器的進(jìn)價(jià)為x萬(wàn)元，則設(shè)每臺(tái)B型機(jī)器的進(jìn)價(jià)為（2x﹣0.7）萬(wàn)元，根據(jù)“采購(gòu)

相同數(shù)量的A，B兩種型號(hào)機(jī)器，分別花費(fèi)了21萬(wàn)元和12.6萬(wàn)元”即可列出分式方程．

【解答】解：設(shè)每臺(tái)B型機(jī)器的進(jìn)價(jià)為x萬(wàn)元，則設(shè)每臺(tái)B型機(jī)器的進(jìn)價(jià)為（2x﹣0.7）萬(wàn)元，

根據(jù)題意得．

2112.6

=

故選：C．2??0.7?

【點(diǎn)評(píng)】本題考查主要了由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程，根據(jù)題意找出題目中的相等關(guān)系列出分式方程是

解決問(wèn)題的關(guān)鍵．

5．對(duì)于非零的兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b，規(guī)定ab，若2（2x﹣1）＝1，則x的值為（）

11

⊕=?⊕

A．B．??C．D．

5531

?

【考6點(diǎn)】解分式方程；實(shí)數(shù)4的運(yùn)算．26

【專題】整式；運(yùn)算能力．

【答案】A

【分析】根據(jù)已知新定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后結(jié)合分式方程的求法可求．

【解答】解：∵ab，

11

∴2（2x﹣1）⊕=???

⊕

11

=?

2??12，

3?2?

∵=2(2?（?21x)﹣1）＝1，

∴⊕1，

3?2?

=

解得2(2：??x1)，

5

=

經(jīng)檢驗(yàn)，x6是1的解．

53?2?

==

故選：A．62(2??1)

【點(diǎn)評(píng)】本題側(cè)重考查了解分式方程，掌握定義的新運(yùn)算的意義是解題的關(guān)鍵．

6．若代數(shù)式和的值互為相反數(shù)，則x等于（）

13

A．1??2?B．C．2D．

32

【考點(diǎn)】解分式方程．23

【專題】分式方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力．

【答案】B

【分析】利用相反數(shù)的性質(zhì)列出方程，求出方程的解即可得到x的值．

【解答】解：根據(jù)題意得：0，

13

+=

去分母得：x+3（x﹣2）＝0，??2?

解得：x，

3

=

檢驗(yàn)：把x2代入得：x（x﹣2）≠0，

3

=

∴分式方程的2解為x．

3

故選：B．=2

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗(yàn)．

7．某體育中心準(zhǔn)備改擴(kuò)建一塊運(yùn)動(dòng)場(chǎng)地，現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)參與施工，相關(guān)信息如下：

工程隊(duì)每天施工面積（單位：施工總面積（單位：施工時(shí)間（單位：天）

m2）m2）

甲x+3001800兩個(gè)工程隊(duì)同時(shí)完成

乙x1200工作任務(wù)

根據(jù)以上信息求x的值，則下列方程正確的是（）

A．B．

1800120012001800

==

C．?+300?D．?1+20300x0＝1800?（x+300）

3000600

=

【考?點(diǎn)+3】00由實(shí)際?問(wèn)題抽象出分式方程．

【專題】分式方程及應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí)．

【答案】A

【分析】根據(jù)兩個(gè)工程隊(duì)用時(shí)相同，可列方程，然后作答即可．

18001200

=

【解答】解：依題意得，，?+300?

18001200

=

故選：A．?+300?

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了本題考查了分式方程的應(yīng)用，根據(jù)題意正確的列方程是解題的關(guān)鍵．

8．已知關(guān)于x的分式方程有整數(shù)解，則滿足條件的所有整數(shù)a的和為（）

1+??1

?=3

A．﹣18B．2?﹣?17??2C．﹣6D．﹣2

【考點(diǎn)】分式方程的解．

【專題】分式方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力．

【答案】B

【分析】先解此分式方程，再根據(jù)題意求得所有符合條件的a的值，最后相加求和．

【解答】解：兩邊同時(shí)乘以x﹣2，得

﹣（1+ax）﹣1＝3（x﹣1），

解得x，

4

=

∴是?整+數(shù)3，且2，

44

≠

當(dāng)?+34時(shí)，解得?+a3＝﹣2；

4

=

當(dāng)?+31時(shí)，解得a＝1；

4

=

當(dāng)?+31時(shí)，解得a＝﹣7；

4

=?

當(dāng)?+32時(shí)，解得a＝﹣5；

4

=?

當(dāng)?+34時(shí)，解得a＝﹣4，

4

=?

∴?﹣+23+1﹣7﹣5﹣4＝﹣17，

即滿足條件的所有整數(shù)a的和為﹣17，

故選：B．

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了含字母參數(shù)分式方程問(wèn)題的解決能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解并運(yùn)用分式方程解的概念

和解法知識(shí)．

9．解方程“x”時(shí)，小明繪制了如圖所示的函數(shù)圖象，通過(guò)觀察圖象，該方程的解為（）

1

=

?

A．x＝1B．x1＝1，x2＝2

C．x1＝﹣1，x2＝1D．x＝﹣1

【考點(diǎn)】解分式方程；函數(shù)的圖象．

【專題】分式方程及應(yīng)用；函數(shù)及其圖象；運(yùn)算能力．

【答案】C

【分析】根據(jù)圖象得出兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)是（1，1），（﹣1，﹣1），再根據(jù)交點(diǎn)坐標(biāo)求出方程的解

即可．

【解答】解：從圖象中可知：兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)是（1，1），（﹣1，﹣1），

所以方程x的解是x1＝﹣1，x2＝1．

1

=

故選：C．?

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解分式方程和函數(shù)的圖象，能根據(jù)函數(shù)圖象找出兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)是解此題的

關(guān)鍵．

10．已知關(guān)于x的分式方程的解是非負(fù)數(shù)，則k的取值范圍是（）

??

+2=

A．k≥2B．??k≤121??C．k≤2且k≠﹣1D．k＜2且k≠1

【考點(diǎn)】分式方程的解；解一元一次不等式．

【專題】分式方程及應(yīng)用；一元一次不等式（組）及應(yīng)用；運(yùn)算能力．

【答案】C

【分析】先解含有k的分式方程，再根據(jù)已知條件列出關(guān)于k的不等式，解不等式，從而求出答案即可．

【解答】解：，

??

+2=

k+2（x﹣1）＝?﹣?1x，1??

k+2x﹣2＝﹣x，

2x+x＝2﹣k，

3x＝2﹣k，

，

2??

?=

∵關(guān)于3x的分式方程的解是非負(fù)數(shù)，

??

+2=

∴，??11??

2??

≥0

2﹣k3≥0

﹣k≥﹣2，

k≤2，

∵x﹣1≠0，’

∴，

2??

≠1

解得3：k≠﹣1，

∴k的取值范圍是：k≤2且k≠﹣1，

故選：C．

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了解分式方程和一元一次不等式組，解題關(guān)鍵是熟練掌握解分式方程和一元一次

不等式組的一般步驟．

二．填空題（共5小題）

11．若關(guān)于x的一元一次不等式組有解且至多有3個(gè)整數(shù)解，且關(guān)于y的分式方程

?+1??1?+4

2≥6+1+

有整數(shù)解，則所有滿3足?條?件?的≤整?+數(shù)1a的值之和為6．??1

?+2?

=?3

【1?考?點(diǎn)】分式方程的解；解一元一次不等式組；一元一次不等式組的整數(shù)解．

【專題】分式方程及應(yīng)用；一元一次不等式（組）及應(yīng)用；運(yùn)算能力．

【答案】6．

【分析】根據(jù)關(guān)于x的一元一次不等式組的解的情況求出a的取值范圍，根據(jù)關(guān)于y的方程的解的情況

求出a的取值情況，然后求出滿足條件的a的值，即可得出答案．

【解答】解：解不等式組，得，

?≥1

?+1

∵不等式組有解且最多有3個(gè)整數(shù)解，

?≤2

∴1＜4，

?+1

解得≤：12≤a＜7，

∴整數(shù)a為：1，2，3，4，5，6，

解分式方程，得y，

?+4?+2???1

+=?3=

∵分式方程有??整1數(shù)解1?，?2

∴是整數(shù)，且1，

??1??1

≠

∴整2數(shù)a為：1，5，2

∴所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是1+5＝6．

故答案為：6．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元一次不等式組和分式方程，掌握一元一次不等式組和分式方程的解法是解決問(wèn)題

的關(guān)鍵，本題需注意分式方程的分母不等于0的限制條件．

12．若關(guān)于x的方程的解是x＝6，則a的值為2．

32

=

【考點(diǎn)】分式方程?的解?．??

【專題】分式方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力．

【答案】2．

【分析】把x＝6代入關(guān)于x的方程得關(guān)于a的分式方程，解分式方程即可．

32

=

【解答】解：把x＝6代入關(guān)于x的方?程???得：

32

=

，????

12

=

26﹣a＝6?4?，

解得：a＝2，

檢驗(yàn)：當(dāng)a＝2時(shí)，2（6﹣a）≠0，

∴a＝2是原分式方程的解，

故a的值為：2，

故答案為：2．

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了分式方程的解，解題關(guān)鍵是熟練掌握分式方程的解是使分式方程左右兩邊相等

的未知數(shù)的值．

13．關(guān)于x的方程1的解為非負(fù)數(shù)，則k的取值范圍是k≥﹣4，且k≠4．

??

?=

【考點(diǎn)】分式方2程??的4解；解??一2元一次不等式．

【專題】分式方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力．

【答案】k≥﹣4，且k≠4．

【分析】先解該分式方程，再根據(jù)題意確定此題結(jié)果．

【解答】解：兩邊同時(shí)乘以2（x﹣2）得，

k﹣2（x﹣2）＝2x，

解得x，

?+4

=

由題意得40，且2，

?+4?+4

≥≠

解得k≥﹣4，且k≠4，4

故答案為：k≥﹣4，且k≠4．

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了含字母常數(shù)分式方程問(wèn)題的解決能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確解分式方程，并能根據(jù)題意確

定最后結(jié)果．

14．若關(guān)于x的分式方程有增根，則m的值是2．

??

?3=

??2??2

【考點(diǎn)】分式方程的增根．

【專題】分式方程及應(yīng)用．

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由分式方程有增根求出m的值即可．

【解答】解：去分母得：x﹣3（x﹣2）＝m，

∵分式方程有增根，

∴x﹣2＝0，即x＝2，

把x＝2代入整式方程得：m＝2．

故答案為：2．

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了分式方程的增根，增根確定后可按如下步驟進(jìn)行：①化分式方程為整式方程；②

把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．

15．隨著“中國(guó)詩(shī)詞大會(huì)”節(jié)目的熱播，《唐詩(shī)宋詞精選》和《唐詩(shī)鑒賞辭典》也隨之熱銷．某書商看準(zhǔn)

商機(jī)，欲購(gòu)進(jìn)這兩種圖書，已知每本《唐詩(shī)鑒賞辭典》的進(jìn)價(jià)比《唐詩(shī)宋詞精選》多9元，花費(fèi)2400

元購(gòu)進(jìn)《唐詩(shī)鑒賞辭典》的數(shù)量與花費(fèi)1500元購(gòu)進(jìn)《唐詩(shī)宋詞精選》的數(shù)量一樣多．若設(shè)每本《唐詩(shī)

鑒賞辭典》的進(jìn)價(jià)為x元，則可列方程．

24001500

=

【考點(diǎn)】由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程．???9

【專題】分式方程及應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí)．

【答案】．

24001500

=

【分析】設(shè)?每本《?唐?詩(shī)9鑒賞辭典》的進(jìn)價(jià)為x元，則設(shè)每本《唐詩(shī)宋詞精選》的進(jìn)價(jià)為（x﹣9）元，根

據(jù)“花費(fèi)2400元購(gòu)進(jìn)《唐詩(shī)鑒賞辭典》的數(shù)量與花費(fèi)1500元購(gòu)進(jìn)《唐詩(shī)宋詞精選》的數(shù)量一樣多”，

即可列出分式方程．

【解答】解：設(shè)每本《唐詩(shī)鑒賞辭典》的進(jìn)價(jià)為x元，則設(shè)每本《唐詩(shī)宋詞精選》的進(jìn)價(jià)為（x﹣9）元，

根據(jù)題意得．

24001500

=

故答案為：???9．

24001500

=

【點(diǎn)評(píng)】本題?考查了?分?9式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．

三．解答題（共5小題）

16．以下是小明解方程的過(guò)程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀，并完成相應(yīng)任務(wù)．

?+11

=?2

解：去分母：x+1＝﹣??12﹣2（2?x﹣?2）…………．第一步．

去括號(hào)：x+1＝﹣1﹣2x﹣4…………，第二步

移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得：3x＝﹣6…………．第三步

系數(shù)化為1，得：x＝﹣2…………．第四步

檢驗(yàn)：當(dāng)x＝﹣2時(shí)，x﹣2＝﹣4≠0，

所以：x＝﹣2是原分式方程的解．

（1）填空：

①以上解題過(guò)程中，第一步去分母的依據(jù)等式的基本性質(zhì)；

②第二步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，這一步錯(cuò)誤的原因是去括號(hào)時(shí)第二項(xiàng)沒有變號(hào)；

（2）請(qǐng)你寫出此方程的正確求解過(guò)程．

【考點(diǎn)】解分式方程．

【專題】分式方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力．

【答案】（1）①等式的基本性質(zhì)；

②二，去括號(hào)時(shí)第二項(xiàng)沒有變號(hào)；

（2）答案見解析．

【分析】（1）觀察解方程的過(guò)程，進(jìn)行解答即可；

（2）按照解分式方程的一般步驟：去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化成1，然后進(jìn)行檢驗(yàn)

即可．

【解答】解：（1）①以上解題過(guò)程中，第一步去分母的依據(jù)等式的基本性質(zhì)，

故答案為：等式的基本性質(zhì)；

②第二步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，這一步錯(cuò)誤的原因是：去括號(hào)時(shí)第二項(xiàng)沒有變號(hào)，

故答案為：二，去括號(hào)時(shí)第二項(xiàng)沒有變號(hào)；

（2）正確的求解過(guò)程如下：

，

?+11

=?2

?去?分2母得2?：?x+1＝﹣1﹣2（x﹣2），

去括號(hào)得：x+1＝﹣1﹣2x+4，

移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得：3x＝2，

系數(shù)化為1，得：，

2

?=

檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，x﹣32≠0，

2

?=3

∴是原分式方程的解．

2

【點(diǎn)?=評(píng)3】本題主要考查了解分式方程，解題關(guān)鍵是熟練掌握解分式方程的一般步驟．

17．列方程解應(yīng)用題：

無(wú)人配送以其高效、安全、低成本等優(yōu)勢(shì)，正在成為物流運(yùn)輸行業(yè)的新趨勢(shì)．某物流園區(qū)使用1輛無(wú)人

配送車平均每天配送的包裹數(shù)量是1名快遞員平均每天配送包裹數(shù)量的5倍．要配送6000件包裹，使

用1輛無(wú)人配送車所需時(shí)間比4名快遞員同時(shí)配送所需時(shí)間少2天，求1名快遞員平均每天可配送包裹

多少件？

【考點(diǎn)】分式方程的應(yīng)用．

【專題】分式方程及應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí)．

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】設(shè)1名快遞員平均每天可配送包裹x件，則1輛無(wú)人配送車平均每天可配送包裹5x件，利用

工作時(shí)間＝工作總量÷工作效率，結(jié)合“要配送6000件包裹，使用1輛無(wú)人配送車所需時(shí)間比4名快

遞員同時(shí)配送所需時(shí)間少2天”，可列出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后，即可得出結(jié)論．

【解答】解：設(shè)1名快遞員平均每天可配送包裹x件，則1輛無(wú)人配送車平均每天可配送包裹5x件，

根據(jù)題意得：2，

60006000

?=

解得：x＝150，4?5?

經(jīng)檢驗(yàn)，x＝150是所列方程的解，且符合題意．

答：1名快遞員平均每天可配送包裹150件．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．

18．3月12日植樹節(jié)，某中學(xué)需要采購(gòu)一批樹苗開展種植活動(dòng)．據(jù)了解，市場(chǎng)上每捆A種樹苗的價(jià)格是樹

苗基地的倍，用300元在市場(chǎng)上購(gòu)買的A種樹苗比在樹苗基地購(gòu)買的少2捆．

5

（1）求樹4苗基地每捆A種樹苗的價(jià)格．

（2）樹苗基地每捆B種樹苗的價(jià)格是40元．學(xué)校決定在樹苗基地購(gòu)買A，B兩種樹苗共100捆，且A

種樹苗的捆數(shù)不超過(guò)B種樹苗的捆數(shù)．樹苗基地為支持該校活動(dòng)，對(duì)A、B兩種樹苗均提供八折優(yōu)惠．求

本次購(gòu)買最少花費(fèi)多少錢．

【考點(diǎn)】分式方程的應(yīng)用；一元一次不等式的應(yīng)用；一次函數(shù)的應(yīng)用．

【專題】分式方程及應(yīng)用；一元一次不等式（組）及應(yīng)用；一次函數(shù)及其應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí)．

【答案】（1）30元；

（2）2800元．

【分析】（1）設(shè)樹苗基地每捆A種樹苗的價(jià)格是x元，則市場(chǎng)上每捆A種樹苗的價(jià)格是x元，利用數(shù)

5

量＝總價(jià)÷單價(jià)，結(jié)合用300元在市場(chǎng)上購(gòu)買的A種樹苗比在樹苗基地購(gòu)買的少2捆，4可列出關(guān)于x

的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后，即可得出結(jié)論；

（2）設(shè)購(gòu)買m捆A種樹苗，則購(gòu)買（100﹣m）捆B種樹苗，根據(jù)購(gòu)買A種樹苗的捆數(shù)不超過(guò)B種樹

苗的捆數(shù)，可列出關(guān)于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范圍，設(shè)本次購(gòu)買共花費(fèi)w元，利

用總價(jià)＝單價(jià)×數(shù)量，可找出w關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)，即可解決最值問(wèn)題．

【解答】解：（1）設(shè)樹苗基地每捆A種樹苗的價(jià)格是x元，則市場(chǎng)上每捆A種樹苗的價(jià)格是x元，

5

根據(jù)題意得：2，4

300300

?5=

解得：x＝30，?4?

經(jīng)檢驗(yàn)，x＝30是所列方程的解，且符合題意，

答：樹苗基地每捆A種樹苗的價(jià)格是30元；

（2）設(shè)購(gòu)買m捆A種樹苗，則購(gòu)買（100﹣m）捆B種樹苗，

根據(jù)題意得：m≤100﹣m，

解得：m≤50．

設(shè)本次購(gòu)買共花費(fèi)w元，則w＝30×0.8m+40×0.8（100﹣m），

即w＝﹣8m+3200，

∵﹣8＜0，

∴w隨m的增大而減小，

∴當(dāng)m＝50時(shí)，w取得最小值，最小值＝﹣8×50+3200＝2800（元）．

答：本次購(gòu)買最少花費(fèi)2800元錢．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）

找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，找出w關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式．

19．在我國(guó)傳統(tǒng)節(jié)日清明節(jié)期間，學(xué)校將組織200名師生去革命烈士陵園掃墓．請(qǐng)你認(rèn)真閱讀如圖對(duì)話，

解決實(shí)際問(wèn)題．

根據(jù)對(duì)話內(nèi)容，求每輛甲、乙種客車各有多少個(gè)座位．

【考點(diǎn)】分式方程的應(yīng)用．

【專題】分式方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力；應(yīng)用意識(shí)．

【答案】甲、乙兩種客車每輛各有50、55個(gè)座位．

【分析】設(shè)甲種客車每輛有x個(gè)座位，則乙種客車每輛有（x+5）個(gè)座位，根據(jù)題意：若單獨(dú)租用甲種

客車若干輛則剛好坐滿，若單獨(dú)租用同樣輛數(shù)的乙種客車，則有20個(gè)空座位，列方程求解．

【解答】解：設(shè)甲種客車每輛有x個(gè)座位，則乙種客車每輛有（x+5）個(gè)座位，可得：，

200200+20

=

解得：x＝50，經(jīng)檢驗(yàn)：x＝50是原方程的解，且符合題意；??+5

∴x+5＝55，

答：甲、乙兩種客車每輛各有50、55個(gè)座位．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是分式方程的應(yīng)用，理解題意，確定相等關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．

20．北京時(shí)間2023年12月18日23時(shí)59分，位于甘肅東南部的積石山發(fā)生6.2級(jí)地震，造成重大人員傷

亡和財(cái)產(chǎn)損失，“一方有難，八方支援”，我縣某中學(xué)決定捐款采購(gòu)一批棉衣和棉被等物資支援災(zāi)區(qū)，已

知棉衣的單價(jià)比棉被的單價(jià)貴50元，且用1000元購(gòu)買棉衣的數(shù)量與用800元購(gòu)買棉被的數(shù)量相同．

（1）求棉衣的單價(jià)；

（2）該中學(xué)準(zhǔn)備購(gòu)買棉衣、棉被共100件，且購(gòu)買總費(fèi)用不超過(guò)22000元，求最多可以購(gòu)買多少件棉

衣．

【考點(diǎn)】分式方程的應(yīng)用；一元一次不等式的應(yīng)用．

【專題】分式方程及應(yīng)用；一元一次不等式（組）及應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí)．

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】（1）設(shè)棉衣的單價(jià)是x元，則棉被的單價(jià)是（x﹣50）元，利用數(shù)量＝總價(jià)÷單價(jià)，結(jié)合用1000

元購(gòu)買棉衣的數(shù)量與用800元購(gòu)買棉被的數(shù)量相同，可列出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后，即可得

出結(jié)論；

（2）設(shè)該中學(xué)購(gòu)買m件棉衣，則購(gòu)買（100﹣m）件棉被，利用總價(jià)＝單價(jià)×數(shù)量，結(jié)合總價(jià)不超過(guò)

22000元，可列出關(guān)于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出結(jié)論．

【解答】解：（1）設(shè)棉衣的單價(jià)是x元，則棉被的單價(jià)是（x﹣50）元，

根據(jù)題意得：，

1000800

=

解得：x＝250，???50

經(jīng)檢驗(yàn)，x＝250是所列方程的解，且符合題意．

答：棉衣的單價(jià)是250元；

（2）設(shè)該中學(xué)購(gòu)買m件棉衣，則購(gòu)買（100﹣m）件棉被，

根據(jù)題意得：250m+（250﹣50）（100﹣m）≤22000，

解得：m≤40，

∴m的最大值為40．

答：最多可以購(gòu)買40件棉衣．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，

正確列出分式方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．

考點(diǎn)卡片

1．實(shí)數(shù)的運(yùn)算

（1）實(shí)數(shù)的運(yùn)算和在有理數(shù)范圍內(nèi)一樣，值得一提的是，實(shí)數(shù)既可以進(jìn)行加、減、乘、除、乘方運(yùn)算，

又可以進(jìn)行開方運(yùn)算，其中正實(shí)數(shù)可以開平方．

（2）在進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算時(shí)，和有理數(shù)運(yùn)算一樣，要從高級(jí)到低級(jí)，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算

加減，有括號(hào)的要先算括號(hào)里面的，同級(jí)運(yùn)算要按照從左到右的順序進(jìn)行．

另外，有理數(shù)的運(yùn)算律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然適用．

【規(guī)律方法】實(shí)數(shù)運(yùn)算的“三個(gè)關(guān)鍵”

1．運(yùn)算法則：乘方和開方運(yùn)算、冪的運(yùn)算、指數(shù)（特別是負(fù)整數(shù)指數(shù)，0指數(shù)）運(yùn)算、根式運(yùn)算、特殊三

角函數(shù)值的計(jì)算以及絕對(duì)值的化簡(jiǎn)等．

2．運(yùn)算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的，在同一級(jí)運(yùn)算中要從左到右依次運(yùn)

算，無(wú)論何種運(yùn)算，都要注意先定符號(hào)后運(yùn)算．

3．運(yùn)算律的使用：使用運(yùn)算律可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，提高運(yùn)算速度和準(zhǔn)確度．

2．分式方程的解

求出使分式方程中令等號(hào)左右兩邊相等且