專(zhuān)訓(xùn)3-利用矩形的性質(zhì)巧解折疊問(wèn)題

階段方法技巧訓(xùn)練（二）專(zhuān)訓(xùn)3利用矩形的性質(zhì)巧解折疊問(wèn)題習(xí)題課

折疊問(wèn)題往往通過(guò)圖形的折疊找出線段或角與原圖形之間的聯(lián)系，從而得到折疊部分與原圖形或其他圖形之間的關(guān)系，即折疊前后的圖形全等；在計(jì)算時(shí)，常常通過(guò)設(shè)未知數(shù)列方程求解．1訓(xùn)練角度利用矩形的性質(zhì)巧求折疊中的角1．當(dāng)身邊沒(méi)有量角器時(shí)，怎樣得到一些特定度數(shù)的角呢？

動(dòng)手操作有時(shí)可以解“燃眉之急”．如圖，已知矩形紙片ABCD(矩形紙片要足夠長(zhǎng))，我們按如下步驟操作可以得

到一個(gè)特定的角：(1)以點(diǎn)A所在直線為折痕，折疊紙片，使點(diǎn)B落在邊AD

上，折痕與BC交于點(diǎn)E；(2)將紙片展平后，再一次折疊紙片，以點(diǎn)E所在直線為

折痕，使點(diǎn)A落在BC上，折痕

交AD于F，求∠AFE的度數(shù)．設(shè)折疊后，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A′，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)B′，如圖，由折疊的性質(zhì)得∠AEF＝∠A′EF，∠BEA＝∠AEB′，∠B＝∠AB′E.∵四邊形ABCD為矩形，∴AD∥BC，∠BAB′＝∠ABE＝90°，∴∠AB′E＝90°.∴∠BEB′＝90°.∴∠BEA＝∠AEB′＝45°.又∵∠BEA＋∠AEF＋∠FEA′＝180°，∴∠FEA′＝67.5°.∵AD∥BC，∴∠AFE＝∠FEA′＝67.5°.解：2訓(xùn)練角度利用矩形的性質(zhì)巧求折疊中線段的長(zhǎng)2．如圖，將矩形紙片ABCD沿對(duì)角線AC折疊，使點(diǎn)B落到

點(diǎn)B′的位置，AB′與CD交于點(diǎn)E.(1)試找出一個(gè)與△AED全等的三角形，并加以證明；(2)若AB＝8，DE＝3，P為線段AC上的任意一點(diǎn)，PG⊥AE于點(diǎn)G，PH⊥EC于點(diǎn)H，試求PG＋PH的值．(1)△AED≌△CEB′.

證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴BC＝DA，∠B＝∠D.

由折疊的性質(zhì)，

知BC＝B′C，∠B＝∠B′，∴B′C＝DA，∠B′＝∠D.

在△AED和△CEB′中，∴△AED≌△CEB′.解：(2)如圖，延長(zhǎng)HP交AB于點(diǎn)M，則PM⊥AB.

由折疊可知∠1＝∠2，

又∵PG⊥AB′，∴PM＝PG.∵四邊形ABCD為矩形，∴CD＝AB＝8，CD∥AB.∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴AE＝CE＝8－3＝5.

在Rt△ADE中，DE＝3，AE＝5，∴AD＝

＝4.∵PH＋PM＝AD，∴PG＋PH＝AD＝4.3訓(xùn)練角度利用矩形的性質(zhì)巧求折疊中重疊的面積3．【2017·鄂州】如圖，將矩形ABCD沿對(duì)角線AC翻折，

點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，F(xiàn)C交AD于E.(1)求證：△AFE≌△CDE；(2)若AB＝4，BC＝8，求圖中陰影部分的面積．(1)由翻折的性質(zhì)可得AF＝AB，∠F＝∠B＝90°.∵四邊形ABCD為矩形，∴AB＝CD，∠B＝∠D＝90°.∴AF＝CD，∠F＝∠D.∵∠AEF＝∠CED，∴△AFE≌△CDE(AAS)．證明：(2)∵△AFE≌△CDE，∴AE＝CE，EF＝ED.

根據(jù)翻折的性質(zhì)可知FC＝BC＝8.

在Rt△AFE中，∵AE2＝AF2＋EF2，

即(8－EF)2＝42＋EF2.

解得EF＝3.∴AE＝5.∴陰影部分的面積為

EC·AF＝×5×4＝10.解：4訓(xùn)練角度利用矩形的性質(zhì)巧求折疊中線段的比4．如圖，將一張矩形紙片ABCD沿直線MN折疊，使點(diǎn)C

落在點(diǎn)A處，點(diǎn)D落在點(diǎn)E處，直線MN交BC于點(diǎn)M，

交AD于點(diǎn)N.(1)求證：CM＝CN；(2)若△CMN的面積與△CDN的面積比為3∶1，

求

的值．(1)由折疊的性質(zhì)可得點(diǎn)A，C關(guān)于直線MN對(duì)稱，∴∠ANM＝∠CNM.∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC.∴∠ANM＝∠CMN.∴∠CMN＝∠CNM.∴CM＝CN.證明：(2)過(guò)點(diǎn)N作NH⊥BC于點(diǎn)H，則四邊形NHCD是矩形，∴HC＝DN，NH＝DC.∵△CMN的面積與△CDN的面積比為3∶1，∴＝3.∴MC＝3DN＝3HC.∴MH＝2HC.

設(shè)DN＝x，則HC＝x，MH＝2x.∴CM＝3x＝CN.

在Rt△CDN中，DC＝