高中數(shù)學《高中全程學習方略》2025版必修第一冊2.2　第2課時　基本不等式的應用含答案

高中數(shù)學《高中全程學習方略》2025版必修第一冊2.2第2課時基本不等式的應用含答案第2課時基本不等式的應用【學習目標】1.進一步理解運用基本不等式求最值的條件,能夠靈活應用基本不等式求最值.2.能夠運用基本不等式解決生活中的應用問題.【素養(yǎng)達成】邏輯推理、數(shù)學運算數(shù)學建模類型一基本不等式的靈活應用(邏輯推理、數(shù)學運算)角度1“含有負”問題【典例1】已知x<0,則3x+12x的最大值為_______答案:-12【解析】因為x<0,所以-x>0.則3x+12x=-[12-x+(-3x)]≤-212(-x)·(-3x)=-12,當且僅當12【總結升華】“含有負”問題的解題步驟當a<0,b<0時,也可以利用基本不等式求最值,其步驟為:(1)各項提取“負號”,化負為正利用基本不等式;(2)利用不等式的性質,改變不等號的方向,求得最值.【即學即練】已知x<0,則x+1x-2有(A.最大值0 B.最小值0C.最大值-4 D.最小值-4【解析】選C.因為x<0,所以-x>0,所以x+1x-2=-[(-x)+1(-x當且僅當-x=-1x,即x=-1時“=”成立所以x+1x-2(x<0)有最大值-4角度2“湊定值”問題【典例2】(1)已知0<x<12,則y=12x(1-2x)的最大值為答案:1【解析】因為0<x<12,所以1-2x所以y=14×2x(1-2x)≤14×(2x+1-2x2)當且僅當2x=1-2x(0<x<12即x=14故當x=14時,ymax=1(2)已知x>32,則函數(shù)y=x-1+22x答案:5【解析】由x>32得x-3則函數(shù)y=x-1+22x-3=x-32+1x-32+1當且僅當x-32=1x-【總結升華】拼湊法求最值的解題策略拼湊法求解最值,其實質就是先對代數(shù)式變形拼湊出和或積為常數(shù)的兩項,然后利用基本不等式求解最值.【即學即練】1.若0<x<4,則y=x(12-3x)的最大值為_______.

答案:12【解析】因為0<x<4,所以12-3x>0,所以y=x(12-3x)=13×3x(12-3x)≤13(3x+12-3x2)2=12,當且僅當3x2.已知x<54,則y=4x-2+14x答案:1【解析】因為x<54,所以5-4x所以y=4x-2+14x-5=-(5-4當且僅當5-4x=15-4x,即x=1時,上式等號成立,故當x=1時,角度3“分式型”問題【典例3】(易錯·對對碰)(1)已知x>-1,則x2+12x【解析】(1)x2+12x+20x+1=因為x>-1,所以x+1>0,所以(x+1)+9x+1+10≥2當且僅當x+1=9x+1,即x(2)已知x>-1,則x+1x2【解析】(2)y=x+1x2+3x因為x>-1,所以x+1>0,所以y≤12(x+1)當且僅當x+1=6x+1即x=6故所求最大值為26答案:(1)16(2)2【總結升華】求“分式型”代數(shù)式最值的策略根據“分式型”代數(shù)式的特點,拆分成能利用基本不等式求最值的形式.【即學即練】1.當x>0時,y=2xx2A.最小值1 B.最大值1C.最小值2 D.最大值2【解析】選B.因為x>0,所以y=2xx2+1=當且僅當x=1x,即x=1時,等號成立即y=2xx2.(2024·岳陽高一檢測)式子x2+4|答案:4【解析】x2+4|x|=|x|+4|x|≥2|類型二基本不等式的實際應用(數(shù)學建模)【典例4】(1)(2024·鄭州高一檢測)某合作社需要分裝一批蔬菜.已知這批蔬菜只由一名男社員分裝時,需要12天完成,只由一名女社員分裝時,需要18天完成.為了讓市民盡快吃到這批蔬菜,要求一天內分裝完畢.由于現(xiàn)有的男、女社員人數(shù)都不足以單獨完成任務,所以需要若干名男社員和若干名女社員共同分裝.已知分裝這種蔬菜時會不可避免地造成一些損耗.根據以往經驗,這批蔬菜分裝完畢后,參與任務的所有男社員會損耗蔬菜共80千克,參與任務的所有女社員會損耗蔬菜共30千克.則參與分裝蔬菜的男社員的平均損耗蔬菜量(千克)與女社員的平均損耗蔬菜量(千克)之和的最小值為()A.10 B.15 C.30 D.45【解析】選B.設安排男社員x名,女社員y名,根據題意,可得x12+y18=1,平均損耗蔬菜量之和為80x+30y,則80x+30y=(80x=40y9x+5x2y+253≥240y9x×5x2y則分裝蔬菜的男社員的平均損耗蔬菜量(千克)與女社員的平均損耗蔬菜量(千克)之和的最小值為15.(2)為了增強生物實驗課的趣味性,豐富生物實驗教學內容,我校計劃沿著圍墻(足夠長)劃出一塊面積為100平方米的矩形區(qū)域ABCD修建一個羊駝養(yǎng)殖場,規(guī)定ABCD的每條邊長均不超過20米.如圖所示,矩形EFGH為羊駝養(yǎng)殖區(qū),且點A,B,E,F四點共線,陰影部分為1米寬的鵝卵石小徑.設AB=x(單位:米),養(yǎng)殖區(qū)域EFGH的面積為S(單位:平方米).①將S表示為x的函數(shù),并寫出x的取值范圍;【解析】①因為AB=x,所以AD=100x,EF=x-2,FG=100所以S=(x-2)(100x-1)=102-200x-因為0<x≤20,0<100x≤20,解得5≤x所以S=102-200x-x,5≤x≤20②當AB為多長時,S取得最大值?并求出此最大值.【解析】②S=102-200x-x≤102-2x·200當且僅當x=102時,等號成立,經驗證,符合題意,即當AB=102米時,S取得最大值,最大值為(102-202)平方米.【總結升華】應用基本不等式解決實際問題的思路(1)先認真審題,設出變量,將實際問題抽象成數(shù)學問題;(2)建立相應的關系式,利用基本不等式求解;(3)根據實際背景寫出答案.【即學即練】為了改善居民的居住條件,某城建公司承包了棚戶區(qū)改造工程,按合同規(guī)定在4個月內完成.若提前完成,則每提前一天可獲2000元獎金,但要追加投入費用;若延期完成,則每延期一天將被罰款5000元.追加投入的費用按以下關系計算:6x+784x+3-118(千元),其中【解析】設城建公司獲得的附加效益為y千元,由題意得:y=2x-(6x+784x+3-118)=118-(4x+=118-[4(x+3)+784x+3=130-[4(x+3)+784x+3]=130-112=18(千元),當且僅當4(x+3)=784x+3,即x=11時取等號.2.3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式第1課時二次函數(shù)與一元二次方程、不等式(一)【學習目標】1.能夠借助一元二次函數(shù)求解一元二次不等式.2.會求簡單的分式不等式的解集.3.理解一元二次方程、二次函數(shù)與一元二次不等式之間的關系,并能解決相應的問題.【素養(yǎng)達成】直觀想象、邏輯推理邏輯推理、數(shù)學運算邏輯推理一、一元二次不等式的概念一般地,把只含有一個未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式,稱為一元二次不等式.教材挖掘(P50)當a滿足什么條件時,不等式(a+1)x2+x-2<0是一元二次不等式?提示:當a+1≠0,即a≠-1時,不等式(a+1)x2+x-2<0是一元二次不等式.二、一元二次不等式的解法1.二次函數(shù)的零點一般地,對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0),我們把使ax2+bx+c=0的實數(shù)x叫做二次函數(shù)y=ax2+bx+c的零點.2.二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對應關系Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象ax2+bx+c=0(a>0)的根x1,2=-x1=x2=-b沒有實數(shù)根ax2+bx+c>0(a>0)的解集{x|x<x1,或x>x2}xRax2+bx+c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}??版本交融(北師大版P36思考交流)y=ax2+bx+ca>0的圖象與方程ax2+bx+c=0的實數(shù)根、不等式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c提示:當Δ>0時,y=ax2+bx+ca>0的圖象與x軸的交點的橫坐標x1,x2是ax2+bx+c=0的兩個根,也是ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0的解集的區(qū)域端點版本交融(北師大版P37思考交流)根據不等式3x2+5x-2>0的解集,你能得出不等式3x2+5x-2≤0的解集嗎?提示:能.不等式3x2+5x-2≤0的解集是不等式3x2+5x-2>0解集相對于R的補集.【明辨是非】(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)不等式ax2+x-1<0是一元二次不等式.(×)提示:當a≠0時,ax2+x-1<0是一元二次不等式.(2)二次函數(shù)y=x2-4的零點是(2,0),(-2,0).(×)提示:應該是2和-2.(3)若y=ax2+bx+ca>0的兩個零點分別為1,2,則ax2+bx+c<0的解集為x1<(4)若方程ax2+bx+c=0(a≠0)沒有實數(shù)根,則不等式ax2+bx+c>0的解集為R.(×)提示:當a>0時,解集為R;當a<0時,解集為?.類型一解一元二次不等式(數(shù)學運算)【典例1】(類題·節(jié)節(jié)高)(1)不等式x2-2x-3>0的解集為_________;

【解析】(1)方程x2-2x-3=0的兩根是x1=-1,x2=3.函數(shù)y=x2-2x-3的圖象是開口向上的拋物線,與x軸有兩個交點(-1,0)和(3,0),如圖所示.觀察圖象可得不等式的解集為{x|x<-1或x>3}.(2)不等式-4x2+4x-1<0的解集為_________;

【解析】(2)原不等式變形為4x2-4x+1>0,因為方程4x2-4x+1=0有兩個相等的實根x1=x2=12.作出函數(shù)y=4x2-4x+1的圖象如圖由圖可得原不等式的解集為xx(3)設集合A={x|x2-5x-6<0},則集合A∩Z中有_________個元素.

【解析】(3)由x2-5x-6<0,解得-1<x<6,即A={x|-1<x<6},則A∩Z={0,1,2,3,4,5},故A∩Z共有6個元素.答案:(1){x|x<-1或x>3}(2)xx≠【總結升華】解一元二次不等式的一般方法和步驟【即學即練】1.(多選)下面不等式的解集為R的是()A.x2+x+1≥0 B.x2-25x+5>0C.x2+6x+10>0 D.2x2-3x+4<0【解析】選AC.選項A,Δ=1-4=-3<0,故不等式x2+x+1≥0的解集為R;選項B,Δ=0,故不等式x2-25x+5>0的解集為{x|x≠5};選項C,Δ=62-40=-4<0,故不等式x2+6x+10>0的解集為R;選項D,Δ=(-3)2-4×2×4<0,故不等式2x2-3x+4<0的解集為?.2.(2024·自貢高一檢測)已知集合A={x|x2-x-6<0},B={-2,0,2},則A∩B=()A.{-2,0} B.{-2,0,2}C.{-2,2} D.{0,2}【解析】選D.不等式x2-x-6<0可化為(x-3)(x+2)<0,解得-2<x<3,所以集合A={x|-2<x<3},所以A∩B={0,2}.3.不等式-x2+6x-10>0的解集為_________.

答案:?【解析】原不等式可化為x2-6x+10<0,因為Δ=36-40=-4<0,所以方程x2-6x+10=0無實根,所以原不等式的解集為?.類型二簡單的分式不等式的解法(數(shù)學運算)【典例2】(易錯·對對碰)解不等式:(1)2x【解析】(1)2x+11-x<0?不等式等價于(x+12)(x-1)>0,解得x>1或x<-1故原不等式的解集為xx(2)x+12【解析】(2)因為x+12x所以-x則(4-x)(2x-3)≤0且2x≠3.所以(x-4)(x-32)≥0且x≠3從而x<32或x≥4故原不等式的解集為xx【總結升華】分式不等式的解法(1)對于比較簡單的分式不等式,可直接轉化為一元二次不等式或一元二次不等式組求解,但要注意等價變形,保證分母不為零.(2)對于不等號右邊不為零的較復雜的分式不等式,先移項再通分(不要去分母),使之轉化為不等號右邊為零,然后再用上述方法求解.【即學即練】解不等式:(1)1-【解析】(1)原不等式可化為x-所以(所以-即-53<x≤1故原不等式的解集為x-(2)x-1【解析】(2)原不等式可化為x-所以x-1-(則x<-2.故原不等式的解集為{x|x<-2}.【補償訓練】不等式x2-2答案:{x|x≠-2}【解析】因為x2-2x-2x2即不等式x2-2x-2類型三“三個二次”之間的關系及應用(邏輯推理)【典例3】(1)若不等式ax2-x-c>0的解集為{x|-4<x<3},則有()A.a>0且函數(shù)y=ax2-x-c的零點為-4,3B.a>0且函數(shù)y=ax2-x-c的零點為3,4C.a<0且函數(shù)y=ax2-x-c的零點為-4,3D.a<0且函數(shù)y=ax2-x-c的零點為3,4【解析】選C.因為不等式ax2-x-c>0的解集為{x|-4<x<3},所以-4,3是方程ax2-x-c=0的兩個根,即-4,3是函數(shù)y=ax2-x-c的零點,所以-4+3=1a,-4×3=-c所以a=-1,c=-12,即a<0.(2)已知關于x的不等式ax2+bx+c<0的解集是{xx<-2或x>-12}【解析】由題意,-2,-12是方程ax2+bx+c=0的兩個根且a<0,故-2+(-12)=-ba,-2×(-12)=ca,解得a=c,b=52a.所以不等式ax2-bx+c>0,即為2x【總結升華】三個“二次”之間的關系提醒:易因為忽視二次項系數(shù)的符號和不等號的方向而寫錯不等式的解集.【即學即練】1.若不等式ax2-x-c>0的解集為{x|-2<x<1},則函數(shù)y=ax2-x-c的圖