《電磁場(chǎng)與電磁波》課件-第3.4節(jié)

3.4分離變量法

分離變量法是把一個(gè)多變量的函數(shù)表示成幾個(gè)單變量函數(shù)乘積的方法。在直角、圓柱、球等坐標(biāo)系中都可以應(yīng)用分離變量法。本節(jié)要點(diǎn)直角坐標(biāo)系分離變量法圓柱坐標(biāo)系分離變量法球坐標(biāo)系分離變量法1.直角坐標(biāo)系中的分離變量法

如果待求問題的邊界面形狀適合用直角坐標(biāo)系表示,待求偏微分方程的解可表示為三個(gè)函數(shù)的乘積，且其中的每個(gè)函數(shù)僅是一個(gè)坐標(biāo)的函數(shù)。電位函數(shù)的拉普拉斯方程為代入拉普拉斯方程可得到以下四個(gè)方程：分離變量法（續(xù)）kx、ky、kz稱為分離常數(shù),它們?nèi)齻€(gè)中只有兩個(gè)是獨(dú)立的，且它不能全為實(shí)數(shù)，也不能全為虛數(shù)或者為零。

分離變量法（續(xù)）若kx為實(shí)數(shù)若kx為虛數(shù)，或若kx=0，則微分方程的解為

g(y)和h(z)的情況類似因而求得對(duì)于給定邊界條件的具體問題的解，拉普拉斯方程解的形式由邊界條件來(lái)確定。[例3-3]

長(zhǎng)方形截面的導(dǎo)體槽，槽可以視為無(wú)限長(zhǎng)，其上有一塊與槽絕緣的蓋板，槽的電位為零，蓋板的電位為U0，求槽內(nèi)的電位函數(shù)。解：這是一個(gè)矩形域的二維場(chǎng)問題。在直角坐標(biāo)系中，電位函數(shù)的拉普拉斯方程為：令由分離變量法得以下三個(gè)方程[例3-3]（續(xù)）sin(nx/a)

稱為在上述邊界條件下的本征函數(shù)

要滿足和時(shí)的邊界條件在f(x)的三種可能的解中，只有f(x)=A1sinkxx且kx的取值為n

/a

kx=n

/a

為本征值

[例3-3]（續(xù)）若要g(y)滿足時(shí)，的邊界條件電位函數(shù)的通解為

由常數(shù)方程得，即ky為虛數(shù)，因此g(y)的解必為第二種。只有[例3-3]（續(xù)）

由時(shí)的邊界條件決定，即系數(shù)Dn，利用三角函數(shù)的正交性質(zhì)再對(duì)x從0到a積分得因此電位函數(shù)將等式兩邊同乘以，xampsin電位函數(shù)與求和的階數(shù)U0=100V槽內(nèi)電位分布、等位線及梯度邊界條件改變槽內(nèi)電位分布、等位線及梯度分離變量法（小結(jié)）根據(jù)問題所給定的邊界情況，選定適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，寫出該坐標(biāo)系的拉普拉斯（或泊松）方程的表達(dá)式；確定待求電位函數(shù)為幾個(gè)變量函數(shù)；把待求的位函數(shù)表示為幾個(gè)未知函數(shù)的乘積，其中每一個(gè)函數(shù)僅是一個(gè)坐標(biāo)變量的函數(shù)；若待求位函數(shù)為二維函數(shù)，則將其表示成兩個(gè)單變量函數(shù)的乘積；將二個(gè)未知函數(shù)的乘積代入拉普拉斯（或泊松）方程，分解出二個(gè)常微分方程和一個(gè)常數(shù)方程。根據(jù)給定的邊界條件和而二個(gè)常數(shù)之間的關(guān)系，寫出二個(gè)常微分方程解的通解形式；用給定的邊界條件及三角函數(shù)的正交性，確定待定常數(shù)。練習(xí)題長(zhǎng)方形截面的導(dǎo)體槽，邊界條件如圖所示，求槽內(nèi)的電位函數(shù)。U=U0sinx/a邊界條件變化對(duì)結(jié)果的影響

以上為直角坐標(biāo)系中二維拉普拉斯方程的求解過程，三維拉普拉斯方程的求解與上述類似，只是解答形式較復(fù)雜，在展成傅立葉級(jí)數(shù)時(shí)會(huì)遇到雙重傅立葉積分。

2.

圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法

在求解圓柱空間或有柱面邊界的場(chǎng)問題時(shí)，采用圓柱坐標(biāo)較為方便。圓柱坐標(biāo)中電位的拉普拉斯方程為采用分離變量法，圓柱坐標(biāo)系中拉普拉斯方程的一個(gè)解為n階第一類貝塞爾函數(shù)

n階第二類貝塞爾函數(shù)或紐曼函數(shù)

式中的所有系數(shù)均由邊界條件確定！

第一類貝塞爾函數(shù)曲線特殊情況1如果我們研究的問題是圓柱沿方向無(wú)限長(zhǎng)，則電位與z無(wú)關(guān)，此時(shí)拉普拉斯方程變?yōu)閼?yīng)用分離變量法上述方程的解為式中的所有系數(shù)由邊界條件確定！

特殊情況2如果圓柱的電位是圓對(duì)稱的且z方向無(wú)限長(zhǎng)，即電位與z和

方向無(wú)關(guān)，此時(shí)拉普拉斯方程為此時(shí)方程的解為

以上分析了幾種條件下圓柱結(jié)構(gòu)拉普拉斯方程解的可能形式，下面舉例來(lái)說(shuō)明其具體應(yīng)用。式中的系數(shù)同樣由邊界條件確定！

[例3-5]

半徑為a、介電常數(shù)為

的無(wú)限長(zhǎng)介質(zhì)圓柱置于均勻電場(chǎng)E0中，圓柱軸線與E0垂直，求圓柱內(nèi)、外的電位和電場(chǎng)分布。分析：在均勻電場(chǎng)作用下，介質(zhì)圓柱表面將出現(xiàn)極化電荷，因而空間任一點(diǎn)的電位是均勻場(chǎng)的電位和圓柱面上的極化電荷所產(chǎn)生的電位的疊加。根據(jù)坐標(biāo)面一致的要求，選擇圓柱坐標(biāo)系如圖所示。此時(shí)，均勻電場(chǎng)的電位和圓柱表面的極化電荷所產(chǎn)生的電位均與坐標(biāo)z無(wú)關(guān)。[例3-5](續(xù))設(shè)柱內(nèi)、外的電位分別為

1和

2，其表達(dá)式分別為其邊界條件為

（1）在圓柱軸線

=0處，

1應(yīng)為有限值；（2）當(dāng)

時(shí)，

2應(yīng)為-E0

cos

；（3）在

=a的圓柱面上，

1=

2和

[例3-5](續(xù))由條件(1)得C2=0、Fn=0，此時(shí)圓柱內(nèi)電位表達(dá)為圓柱外的電位表達(dá)式為[例3-5](續(xù))由條件（3）得上面兩式任意角度都成立，比較sin

和cos

的系數(shù)得聯(lián)立兩組方程解得[例3-5](續(xù))再比較其它正弦和余弦項(xiàng)的系數(shù)得

綜合上述各系數(shù)，可得到圓柱內(nèi)、外的電位為[例3-5](續(xù))分別對(duì)電位函數(shù)求負(fù)梯度，可得相應(yīng)的電場(chǎng)強(qiáng)度

可見，介質(zhì)圓柱內(nèi)的電場(chǎng)比原外加電場(chǎng)要小，這是由于介質(zhì)圓柱在外加電場(chǎng)作用下發(fā)生極化，極化后在右半圓柱面上產(chǎn)生正的極化電荷，在左半圓柱面上產(chǎn)生負(fù)的極化電荷，極化電荷在圓柱內(nèi)產(chǎn)生的電場(chǎng)與外加電場(chǎng)E0反向，因而總電場(chǎng)減弱。外加電場(chǎng)中的介質(zhì)柱3.

球坐標(biāo)系中的分離變量法

在求解球空間或有球面邊界的場(chǎng)問題時(shí)，采用球坐標(biāo)較為方便。球坐標(biāo)中電位的拉普拉斯方程為，利用分離變量法求得方程的通解為m階l次第一類連帶勒讓德函數(shù)

球?qū)ΨQ性問題的解具有球?qū)ΨQ性問題的拉普拉斯方程的通解為

勒讓德多項(xiàng)式

[例3-7]

設(shè)有一半徑為a的接地導(dǎo)體球，放置于均勻的外電場(chǎng)E0中，球外為真空，試求空間任一點(diǎn)處的電位和電場(chǎng)分布。

zraOE0分析：靜電平衡狀態(tài)下球面和球內(nèi)電位處處相等，由于導(dǎo)體球接地，所以球面和球內(nèi)電位均為零。由于電位對(duì)極軸對(duì)稱，電位與坐標(biāo)

無(wú)關(guān)，此時(shí)電位函數(shù)的通解應(yīng)為：

[例3-7](續(xù))所以上式展開成如下形式

所以球外任意點(diǎn)的電位為球外任意點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為

由上式可見：在