第08講函數(shù)的單調(diào)性

第07講函數(shù)的單調(diào)性課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①理解導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性關(guān)系②掌握導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)單調(diào)性③根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性能夠繪制函數(shù)的大致圖像1.掌握導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，并能夠用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性。2.利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性。3.熟練掌握導(dǎo)數(shù)為正函數(shù)單調(diào)遞增，導(dǎo)數(shù)為負(fù)，函數(shù)單調(diào)遞減。知識(shí)點(diǎn)01函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)單調(diào)性的判定方法：設(shè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果，則為增函數(shù)；如果，則為減函數(shù)．知識(shí)點(diǎn)02已知函數(shù)的單調(diào)性問題=1\*GB3①若在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增，則在該區(qū)間上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要滿足，才能得出在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增；=2\*GB3②若在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞減，則在該區(qū)間上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要滿足，才能得出在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞減．知識(shí)點(diǎn)03相利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟（1）求導(dǎo)化簡(jiǎn)定義域（化簡(jiǎn)應(yīng)先通分，盡可能因式分解；定義域需要注意是否是連續(xù)的區(qū)間）；（2）變號(hào)保留定號(hào)去（變號(hào)部分：導(dǎo)函數(shù)中未知正負(fù)，需要單獨(dú)討論的部分．定號(hào)部分：已知恒正或恒負(fù)，無(wú)需單獨(dú)討論的部分）；（3）求根作圖得結(jié)論（如能直接求出導(dǎo)函數(shù)等于0的根，并能做出導(dǎo)函數(shù)與x軸位置關(guān)系圖，則導(dǎo)函數(shù)正負(fù)區(qū)間段已知，可直接得出結(jié)論）；（4）未得結(jié)論斷正負(fù)（若不能通過第三步直接得出結(jié)論，則先觀察導(dǎo)函數(shù)整體的正負(fù)）；（5）正負(fù)未知看零點(diǎn)（若導(dǎo)函數(shù)正負(fù)難判斷，則觀察導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)）；（6）一階復(fù)雜求二階（找到零點(diǎn)后仍難確定正負(fù)區(qū)間段，或一階導(dǎo)函數(shù)無(wú)法觀察出零點(diǎn)，則求二階導(dǎo)）；求二階導(dǎo)往往需要構(gòu)造新函數(shù)，令一階導(dǎo)函數(shù)或一階導(dǎo)函數(shù)中變號(hào)部分為新函數(shù)，對(duì)新函數(shù)再求導(dǎo)．（7）借助二階定區(qū)間（通過二階導(dǎo)正負(fù)判斷一階導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而判斷一階導(dǎo)函數(shù)正負(fù)區(qū)間段）；知識(shí)點(diǎn)04含參函數(shù)單調(diào)性討論問題（1）求導(dǎo)化簡(jiǎn)定義域（化簡(jiǎn)應(yīng)先通分，然后能因式分解要進(jìn)行因式分解，定義域需要注意是否是一個(gè)連續(xù)的區(qū)間）；（2）變號(hào)保留定號(hào)去（變號(hào)部分：導(dǎo)函數(shù)中未知正負(fù)，需要單獨(dú)討論的部分．定號(hào)部分：已知恒正或恒負(fù)，無(wú)需單獨(dú)討論的部分）；（3）恒正恒負(fù)先討論（變號(hào)部分因?yàn)閰?shù)的取值恒正恒負(fù)）；然后再求有效根；（4）根的分布來定參（此處需要從兩方面考慮：根是否在定義域內(nèi)和多根之間的大小關(guān)系）；（5）導(dǎo)數(shù)圖像定區(qū)間；題型01函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系【典例1】已知的圖象如圖所示（其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），下面四個(gè)圖象中，是的大致圖象的是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】當(dāng)時(shí)，，∴，故在區(qū)間上為減函數(shù)，排除AB；當(dāng)時(shí)，，∴，故在區(qū)間上為減函數(shù)，排除D.故選：C.【變式1】已知函數(shù)的圖象如圖所示，則不等式的解集為（

）.A． B．C． D．【答案】A【解析】由的圖象可知，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，時(shí)，時(shí)，所以不等式的解集為.故選：A【變式2】已知函數(shù)y=fx，y=gx的導(dǎo)函數(shù)圖象如圖，那么y=fx，y=gA．B．C． D．【答案】D【詳解】從導(dǎo)函數(shù)的圖象可知兩個(gè)函數(shù)在處斜率相同，可以排除B、C.由于導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值反映的是原函數(shù)的斜率大小，明顯導(dǎo)函數(shù)的值在減小，所以原函數(shù)的斜率慢慢變小，排除A.故選：D【變式3】設(shè)函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，的圖象如圖所示，則其導(dǎo)函數(shù)f′x的圖象可能是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】A【詳解】由的圖象可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，則f′x≥0當(dāng)x∈0,+∞時(shí)，故選:A．題型02求函數(shù)單調(diào)區(qū)間【典例2】已知函數(shù)，若曲線在點(diǎn)處的切線方程為.(1)求和的值；(2)求的單調(diào)區(qū)間.【答案】(1)；；(2)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.【詳解】（1）由題可得，所以，即，切線方程為，所以.所以；.（2）由（1）得，，函數(shù)定義域?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.【變式1】函數(shù)在上的單調(diào)性是（

）A．單調(diào)遞增B．單調(diào)遞減C．在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增D．在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減【答案】C【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，由，得；由，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.故選：C【變式2】函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由，當(dāng)f′x<0，得所以的單調(diào)遞減區(qū)間為．故選：B【變式3】已知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)?，所以，令，解得，?dāng)時(shí)，f′x當(dāng)時(shí)，f′x所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在0,π上的單調(diào)遞增區(qū)間為，故選：C．【變式4】函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.【答案】【詳解】由題意可知：的定義域?yàn)?，且，令，解得，故的單調(diào)遞增區(qū)間是.故答案為：.【變式5】已知函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【答案】(1)．(2)單調(diào)減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是．【詳解】（1），，又，所以切線方程為，即．（2），定義域是，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的單調(diào)減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是．題型03已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求參數(shù)的范圍【典例3】已知函數(shù)，．若在上是增函數(shù)，求a的取值范圍．【答案】【詳解】由已知條件，得，在上是增函數(shù)，，即在上恒成立，而在上是增函數(shù)，．．的取值范圍是．【變式1】若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以，又函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，則在上，，則.當(dāng)時(shí)，不恒為零，也符合題意，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C【變式2】若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】．因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，所以在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立．設(shè)，則．當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞減，故，所以．故選：D【變式3】已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【答案】【詳解】由題意得的定義域?yàn)?在上恒成立，即在上恒成立.設(shè)，則，.當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故答案為：【變式4】已知函數(shù)的減區(qū)間為，則.【答案】3【解析】由題意可得，，解集為，則.故答案為：3題型04已知函數(shù)的不單調(diào)，求參數(shù)的范圍【典例4】若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．C． D．m>1【答案】B【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，且，令，得，因?yàn)樵趨^(qū)間上不單調(diào)，所以，解得：故選：B.【變式1】若函數(shù)在上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，且，令，解得；令，解得；可知在?nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，若函數(shù)在上不單調(diào)，即，，可得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B【變式2】函數(shù)在上不單調(diào)的一個(gè)充分不必要條件是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】依題意，，因在上不單調(diào)，故導(dǎo)函數(shù)在上必有變號(hào)零點(diǎn).令，得，再令，則，由，得即在上單調(diào)遞增，所以，故只需，即，對(duì)于A，是的真子集,故A選項(xiàng)是一個(gè)充分不必要條件，而其他選項(xiàng)中，的范圍都不是的真子集，故都不正確.故選:A．【變式3】函數(shù)在R上不單調(diào)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，而，要使在R上不單調(diào)，則.故選：D【變式4】已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，函數(shù)．(1)求；(2)求最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；(3)若不是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)(2)最小正周期為，單調(diào)遞減區(qū)間為(3)【詳解】（1）依題意，．（2）由（1）知，，則的最小正周期為，由，得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為．（3）由（2）知，，當(dāng)時(shí)，，則，即，當(dāng)在上單調(diào)時(shí)，則對(duì)或成立．由，得，，則．由，得，，則．因此，當(dāng)在上單調(diào)時(shí)，或，于是得不是單調(diào)函數(shù)時(shí)，，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．題型05含參函數(shù)單調(diào)性討論【典例5】已知函數(shù)．討論當(dāng)時(shí)，的單調(diào)性．【答案】答案見解析【詳解】由題意，則，當(dāng)時(shí)，對(duì)于，則恒成立，在0,+∞上單調(diào)遞減．當(dāng)時(shí)，對(duì)于有2個(gè)大于0的零點(diǎn)，分別是，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，f′x<0，在和上單調(diào)遞減．綜上，當(dāng)時(shí)，在0,+∞上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減．【變式1】求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.【答案】答案見解析【詳解】函數(shù)的定義域是0,+∞，.①當(dāng)時(shí)，f′x<0在0,+∞上恒成立，故在②當(dāng)時(shí)，若，則f′x<0若，則f′x所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上可知，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為.【變式2】已知函數(shù)，討論的單調(diào)性.【答案】答案見解析【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由，得，由，得；由，得，于是有在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)0時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．【變式3】設(shè)，.(1)若，求在處的切線方程；(2)若，試討論的單調(diào)性.【答案】(1)(2)見解析【詳解】（1）若，則，，又，故，所以在處的切線方程為，即；（2），，當(dāng)時(shí)，，令，即，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞減，,上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)，即時(shí)，令，解得，或，令．解得，所以在，,上單調(diào)遞增，,上單調(diào)遞減；當(dāng)，即時(shí)，令，解得，或，令．解得，所以在，,上單調(diào)遞增，,上單調(diào)遞減．綜上：當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，,上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，所以在，,上單調(diào)遞增，,上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，所以在，,上單調(diào)遞增，,上單調(diào)遞減．【變式4】已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)討論的單調(diào)性．【答案】(1)(2)答案見解析【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，則，即切線的斜率為，又，故曲線在點(diǎn)處的切線方程為，化簡(jiǎn)得．（2）求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增．綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．題型06構(gòu)造函數(shù)問題【典例6】已知函數(shù)對(duì)于任意的滿足（其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），則下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】設(shè)，則，則在上單調(diào)遞增，對(duì)于A，，化簡(jiǎn)得，錯(cuò)；對(duì)于B，，化簡(jiǎn)得，錯(cuò)；對(duì)于C，，化簡(jiǎn)得，對(duì)；對(duì)于D，，化簡(jiǎn)得，錯(cuò).故選：C【變式1】已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)?，所以函?shù)在上單調(diào)遞增.又，所以解得.故選：C【變式2】已知函數(shù)為上的可導(dǎo)函數(shù)，且，均有，則有（

）A．，B．，C．，D．，【答案】B【詳解】令，則．由，均有，即，則在上單調(diào)遞增，，可得．故選：B【變式3】（多選）已知函數(shù)對(duì)于任意的都有，則下列式子成立的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【詳解】令，對(duì)于任意的，所以在上單調(diào)遞增，所以，A不對(duì)；，B正確；，C正確；，D不對(duì)．故選：BC1.下列函數(shù)中，在內(nèi)為增函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】對(duì)A，，在內(nèi)不滿足大于等于0恒成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，在內(nèi)大于0恒成立，故B正確；對(duì)C，，在內(nèi)不滿足大于等于0恒成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，，在內(nèi)不滿足大于等于0恒成立，故D錯(cuò)誤.故選：B2.若函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】函數(shù)，定義域?yàn)?，由，令，解得，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：C.3．已知函數(shù)是減函數(shù)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由，可得，因?yàn)楹瘮?shù)是減函數(shù)，所以對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，所以對(duì)恒成立，所以，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，所以，所以的取值范圍為.故選：D.4.若函數(shù)的減區(qū)間為，則的值為.【答案】3【詳解】的解集為，即的解集為，所以，解得.故答案為：.5.已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．(2)答案見解析【詳解】（1）定義域?yàn)?,+∞，且，令，得．當(dāng)x變化時(shí)，f′x，xf+0極大值所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）由（1）可知的最大值為，①當(dāng)時(shí)，在區(qū)間0,1上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．又f1=0，故在區(qū)間上只有一個(gè)零點(diǎn)．②當(dāng)時(shí)，，，則，所以在區(qū)間上無(wú)零點(diǎn)．綜上，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上只有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上無(wú)零點(diǎn)．6.已知函數(shù)，.(1)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)若函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，求實(shí)數(shù)a的值.【答案】(1)答案見解析(2)(3).【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)分三種情況得出函數(shù)的單調(diào)性；（2）由（1）知結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性列不等式求參；（3）由（1）知結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性列等式求參；【詳解】（1）由題意知.①當(dāng)時(shí)，恒成立，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是；②當(dāng)時(shí)，令，得或，令，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；③當(dāng)時(shí)，令，得或，令，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）由（1）知，若在內(nèi)單調(diào)遞減，則，解得，即a的取值范圍是.（3）由（1）知，若的單調(diào)遞減區(qū)間是，則，解得.7.已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，求a的取值范圍．【答案】(1)答案見解析(2)【詳解】（1）由題意得，，.當(dāng)，即時(shí)，恒成立，在R上為增函數(shù)；當(dāng)，即或時(shí)，由得，，由得，或，由得，，所以在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù).綜上得，當(dāng)