量子力學(xué)中微擾理論的簡(jiǎn)單論述

-PAGE11-量子力學(xué)中微擾理論的簡(jiǎn)單論述微擾理論是量子力學(xué)的重要的理論，對(duì)于中等復(fù)雜度的哈密頓量，很難找到其薛定諤方程的精確解，只有幾個(gè)量子模型有精確解，像氫原子、量子諧振子、與箱歸一化粒子.這些量子模型都太過(guò)理想化，無(wú)法適當(dāng)?shù)孛枋龃蠖鄶?shù)的量子系統(tǒng).應(yīng)用微擾理論，可以將這些理想的量子模型的精確解，用來(lái)生成一系列更復(fù)雜的量子系統(tǒng)的解答.\o"量子力學(xué)"量子力學(xué)的微擾理論引用一些\o"數(shù)學(xué)"數(shù)學(xué)的\o"攝動(dòng)理論"微擾理論的近似方法.當(dāng)遇到比較復(fù)雜的量子系統(tǒng)時(shí)，這些方法試著將復(fù)雜的量子系統(tǒng)簡(jiǎn)單化或理想化，變成為有精確解的量子系統(tǒng)，再應(yīng)用理想化的量子系統(tǒng)的精確解，來(lái)解析復(fù)雜的量子系統(tǒng).基本的方法是，從一個(gè)簡(jiǎn)單的量子系統(tǒng)開(kāi)始，這簡(jiǎn)單的系統(tǒng)必須有精確解，在這簡(jiǎn)單系統(tǒng)的\o"哈密頓量"哈密頓量里，加上一個(gè)很弱的微擾，變成了較復(fù)雜系統(tǒng)的哈密頓量.假若這微擾不是很大，復(fù)雜系統(tǒng)的許多物理性質(zhì)（例如，\o"能級(jí)"能級(jí)，\o"量子態(tài)"量子態(tài)，波函數(shù)）可以表達(dá)為簡(jiǎn)單系統(tǒng)的物理性質(zhì)加上一些修正.這樣，從研究比較簡(jiǎn)單的量子系統(tǒng)所得到的知識(shí)，可以進(jìn)而研究比較復(fù)雜的量子系統(tǒng).微擾理論可以分為兩類，不含時(shí)微擾理論與含時(shí)微擾理論.不含時(shí)微擾理論的微擾哈密頓量不含時(shí)間，而含時(shí)微擾理論的微擾哈密頓量含時(shí)間.1非簡(jiǎn)并定態(tài)微擾論1.1理論簡(jiǎn)述近似方法的精神是從已知的較簡(jiǎn)單的問(wèn)題準(zhǔn)確解出發(fā)，近似地求較復(fù)雜的一些問(wèn)題的解，當(dāng)然，還希望了解這些求解方法的近似程度，估算出近似解和準(zhǔn)確解之間的最大偏離.下面我們將討論體系在受到外界與時(shí)間無(wú)關(guān)的微小擾動(dòng)時(shí)，它的能級(jí)和波函數(shù)所發(fā)生的變化.[1]假設(shè)體系的哈密頓量不顯含，定態(tài)的薛定諤方程滿足下述條件：（1）可分解為和兩部分厄米，而且遠(yuǎn)小于：，上式表示，與的差別很小，可視為加與上的微擾.由于不顯含，因此無(wú)論或是均不顯含.（2）的本征值和已經(jīng)求出，即在的本征方程中，能級(jí)及波函數(shù)都是已知的.微擾論的任務(wù)就是從的本征值和本征函數(shù)出發(fā)，近似求出經(jīng)過(guò)微擾后，的本征值和本征函數(shù).（3）的能級(jí)無(wú)簡(jiǎn)并，嚴(yán)格來(lái)說(shuō)，是要求通過(guò)微擾論來(lái)計(jì)算它的修正的那個(gè)能級(jí)無(wú)簡(jiǎn)并.例如，要通過(guò)微擾論計(jì)算對(duì)的第個(gè)能級(jí)的修正，就要求無(wú)簡(jiǎn)并，它相應(yīng)的波函數(shù)只有一個(gè).其他能級(jí)既可以是簡(jiǎn)并的，也可以不是簡(jiǎn)并的.[2]（4）的能級(jí)組成分立譜，或者嚴(yán)格點(diǎn)說(shuō)，至少必須要求通過(guò)微擾來(lái)計(jì)算它的修正的那個(gè)能級(jí)處于分立譜內(nèi)，是束縛態(tài).在滿足上述條件下，可利用定態(tài)非簡(jiǎn)并微擾論從已知的的本征值和本征函數(shù)近似求出的本征值和本征函數(shù).為表征微擾的近似程度，通常可引進(jìn)一個(gè)小的參數(shù)，將寫(xiě)成，將的微小程度通過(guò)反映出來(lái).體系經(jīng)微擾后的薛定諤方程是：將能級(jí)和波函數(shù)按展開(kāi)：，，…，，…分別表示能級(jí)和波函數(shù)的一級(jí)，二級(jí)…修正.將上兩式代入薛定諤方程中得： 然后比較上式兩端的的同次冪，可得出各級(jí)近似下的方程式：：：=：……零級(jí)近似顯然是無(wú)微擾時(shí)的定態(tài)薛定諤方程式，同樣還可以列出準(zhǔn)確到，……等各級(jí)的近似方程式.[3]1.2一級(jí)微擾求一級(jí)微擾修正只需要求解=.由于厄米，的本征函數(shù)系系展開(kāi)將此式代入的近似薛定諤方程中的為求出展開(kāi)系數(shù)，以左乘上式并對(duì)全空間積分，利用系的正交歸一性后，得當(dāng)時(shí)，得 當(dāng)時(shí)，得那么接下來(lái)計(jì)算，利用的歸一條件，在準(zhǔn)確到數(shù)量級(jí)后，又因波函數(shù)歸一，得：將代入上式得必為純虛數(shù)，即為實(shí)數(shù).準(zhǔn)確到的一級(jí)近似，微擾后體系的波函數(shù)是上式表明，的貢獻(xiàn)無(wú)非是使波函數(shù)增加了一個(gè)無(wú)關(guān)緊要的常數(shù)相位因子，那么，不失普遍性，可取因此，準(zhǔn)確到一級(jí)近似，體系的能級(jí)和波函數(shù)是上式表明，準(zhǔn)確到一級(jí)近似，在無(wú)微擾能量表象中的對(duì)角元給出能量的一級(jí)修正，非對(duì)角元給出波函數(shù)的一級(jí)修正.[4]1.3二級(jí)修正求二級(jí)修正需要求解=與求一級(jí)修正的步驟相似，將二級(jí)修正波函數(shù)按展開(kāi)將此式代入上式得:以左乘上式，并對(duì)全空間進(jìn)行積分后得：當(dāng)時(shí)，得，考慮到0，由上式得：當(dāng)時(shí)，由上式得：、至于，同樣可以由波函數(shù)的歸一條件算出，由得或同樣，若取為實(shí)數(shù)，那么由上式得：綜合上述，準(zhǔn)確到二級(jí)近似嗎，體系的能級(jí)和波函數(shù)是：同理，其他各級(jí)近似也可用類似的方法算出.[5]1.4非簡(jiǎn)并定態(tài)微擾的討論（1）由微擾后的能級(jí)可知，微擾實(shí)用的條件是只有滿足該式，才能滿足微擾級(jí)數(shù)的收斂性，保證微擾級(jí)數(shù)中最后一項(xiàng)小于前一項(xiàng).這就是的明確表示，微擾方法能否應(yīng)用，不僅決定于微擾的大小，而且決定于微擾的大小，而且還決定于無(wú)微擾體系兩個(gè)能級(jí)之間的間距.只有當(dāng)微擾算符在兩個(gè)無(wú)微擾體系波函數(shù)之間的矩陣元的絕對(duì)值遠(yuǎn)小于五微擾體系相應(yīng)的兩能級(jí)間隔時(shí)，才能用微擾論來(lái)計(jì)算.這就是為什么必須要求作微擾計(jì)算的能級(jí)處于分立譜，因?yàn)槿绻芗?jí)是連續(xù)譜，它和相鄰的能級(jí)的能級(jí)間距趨于零，對(duì)于除能外的其他所有能級(jí)，是不可能都被滿足的.[6]（2）如何在中劃分和十分重要，和取得好，上式不僅可以滿足，而且可以使級(jí)數(shù)收斂的很快，避免了繁長(zhǎng)的微擾計(jì)算.一般，除了要求的本征值和本征函數(shù)必須已知外，還可以從體系的對(duì)稱性及微擾矩陣元是否滿足一定的選擇定則來(lái)考慮劃分和.（3）能量本征函數(shù)和本征值的二級(jí)修正由相應(yīng)的一級(jí)修正給出，這樣我們可以說(shuō)，微擾論其實(shí)也是一種逐步逼近法.（4）關(guān)于的討論：由得出，若設(shè)我們將看成一個(gè)可變化的參數(shù)，則顯然當(dāng)0時(shí)，，這時(shí)體系未受到微擾的影響；當(dāng)1時(shí)，，微擾全部加進(jìn)去了.因此、可以想象體系當(dāng)從0緩慢變化到1的過(guò)程，也就是體系從無(wú)微擾的狀態(tài)逐步變成有微擾的狀態(tài)的過(guò)程.[7]1.5海曼—費(fèi)曼定理設(shè)是的函數(shù)，因此他的本征方程和歸一條件為：由上式得：上式就是費(fèi)曼—海曼定理，它通過(guò)對(duì)微擾參數(shù)的積分給出了含微擾的能量和無(wú)微擾能量之差.2簡(jiǎn)并定態(tài)微擾論2.1理論簡(jiǎn)述：除一維束縛態(tài)外，一般情況下均有簡(jiǎn)并，因此簡(jiǎn)并微擾比非簡(jiǎn)并微擾更具有普遍性，可以說(shuō)，簡(jiǎn)并微擾是非簡(jiǎn)并微擾的特例.假定的第個(gè)能級(jí)有度簡(jiǎn)并，即對(duì)應(yīng)于有個(gè)本征函數(shù)（=1，2，3…….）.與簡(jiǎn)并微擾不同，現(xiàn)在由于不知道在這個(gè)本征函數(shù)中應(yīng)該取哪一個(gè)作為無(wú)微擾本征函數(shù).因此，簡(jiǎn)并微擾要解決的第一個(gè)問(wèn)題就是：如何適當(dāng)選擇零級(jí)波函數(shù)進(jìn)行微擾計(jì)算.設(shè)的本征方程是：歸一化條件是：的本征方程是：由于是完備系，將按展開(kāi)后，得：將此式代入上式得：以左乘上式兩端，對(duì)全空間進(jìn)行積分后有：其中：按微擾的精神，將的本征值和在表象中的本征函數(shù)按的冪級(jí)數(shù)作微擾展開(kāi)：再將這兩式代入后得：比較上式給出的兩端的同次冪，給出：：：如果討論的能級(jí)是第個(gè)能級(jí)，即，由的0次冪方程式得：即：是個(gè)待定的常數(shù).再由一級(jí)近似下的薛定諤方程得：在上式中，當(dāng)，得能級(jí)的一級(jí)修正為：為方便書(shū)寫(xiě)起見(jiàn)，略去指標(biāo)，記同一能級(jí)中，不同簡(jiǎn)并態(tài)，之間的矩陣元為.因此，上式可改寫(xiě)為：上式是一個(gè)以系數(shù)為未知數(shù)的線性齊次方程組，它有非零解的條件是其系數(shù)行列式為零，即：這是個(gè)次的久期方程.由這個(gè)久期方程可以解出的個(gè)根（a=1,2,3……）將這個(gè)根分別代入上個(gè)齊次線性方程組式后，可得出相應(yīng)的組解（a=1,2,3……），將它們代入后，得出與相應(yīng)的零級(jí)波函數(shù)的系數(shù).從而給出零級(jí)波函數(shù)和能量本征值的一級(jí)修正.它們分別是：那么，由上式可知，新的零級(jí)波函數(shù)實(shí)際上是原來(lái)相應(yīng)于第個(gè)能級(jí)的各個(gè)簡(jiǎn)并本征函數(shù)的線性組合，其組合系數(shù)由久期方程決定.一般地，如果久期方程無(wú)重根，將求得的代入：原則上可以求出組不同的解，那么可以求出個(gè)零級(jí)近似的波函數(shù).[8]2.2簡(jiǎn)并定態(tài)微擾論的討論（1）簡(jiǎn)并來(lái)自對(duì)守恒量的不完全測(cè)量.每一個(gè)守恒量對(duì)應(yīng)于一種對(duì)稱性.若由這個(gè)次的久期方程解出的（a=1,2,3……）無(wú)重根，那么，無(wú)微擾能級(jí)經(jīng)微擾后分裂為條，它們的波函數(shù)由各自對(duì)應(yīng)的（a=1,2,3……）表示.這時(shí)，簡(jiǎn)并將完全消除，原來(lái)帶來(lái)簡(jiǎn)并的對(duì)稱性或守恒量將發(fā)生或缺.同理，若有重根，只要不是重根，都將部分地消除簡(jiǎn)并，引起部分對(duì)稱或缺.[9]（2）經(jīng)過(guò)重新組合后的零級(jí)波函數(shù)（a=1,2,3……）彼此互相正交，滿足.（3）在屬于的維子空間中，若經(jīng)過(guò)非簡(jiǎn)并微擾方法重新組合后的（a=1,2,3……）為基矢，則有：由上式可知，在經(jīng)過(guò)非簡(jiǎn)并微擾方法處理后的簡(jiǎn)并態(tài)構(gòu)成的子空間中，對(duì)應(yīng)對(duì)角矩陣.因此，簡(jiǎn)并微擾方法的主要精神在于：重新組合簡(jiǎn)并態(tài)