2025高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)鞏固卷14 空間幾何體的表面積和體積（六大考點(diǎn)）（原卷版）

考點(diǎn)鞏固卷14空間幾何體的表面積和體積（六大考點(diǎn)）考點(diǎn)01：斜二測(cè)畫法及應(yīng)用1、畫空間圖形的直觀圖，一般先用斜二測(cè)畫法畫出水平放置的平面圖形，再畫z軸，并確定豎直方向上的相關(guān)的點(diǎn)，最后連點(diǎn)成圖便可；2、直觀圖畫法口訣可以總結(jié)為：“橫長(zhǎng)不變，縱長(zhǎng)減半，豎長(zhǎng)不變，平行關(guān)系不變”；3、當(dāng)幾何體的形狀確定后，用斜二測(cè)畫法畫出相應(yīng)幾何體的直觀圖.注意用實(shí)線表示看得見的部分，用虛線表示看不見的部分，畫完直觀圖后還應(yīng)注意檢驗(yàn)；結(jié)論：直觀圖與原圖面積之間的關(guān)系：若一個(gè)平面多邊形的面積為S，其直觀圖的面積為S′，則有S′＝eq\f(\r(2),4)S或S＝2eq\r(2)S′；利用這一公式可由原圖形面積求其直觀圖面積或由直觀圖面積求原圖形面積；1．一水平放置的平面四邊形的直觀圖如圖所示，其中，軸，軸，軸，則四邊形的面積為（

）A．18 B． C． D．122．如圖,直角梯形滿足,它是水平放置的平面圖形的直觀圖,則該平面圖形的周長(zhǎng)是（）A． B．C． D．3．如圖所示，正方形的邊長(zhǎng)為，它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，則原平面圖形的周長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．4．用斜二測(cè)畫法畫出的水平放置的的直觀圖如圖所示，其中是的中點(diǎn)，且軸，軸，，那么（

）A． B．2 C． D．45．如圖，是水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖，若，且，則原圖形中邊上的高為（

）A． B． C． D．6．已知梯形按斜二測(cè)畫法得到的直觀圖為如圖所示的梯形，且，，，現(xiàn)將梯形繞?轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)幾何體，則該幾何體的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．7．如圖，是水平放置的用斜二測(cè)畫法畫出的直觀圖（圖中虛線分別與軸和軸平行），，，則的面積為（

）

A． B． C．24 D．488．水平放置的的直觀圖如圖，其中，，那么原是一個(gè)（

）

A．等邊三角形 B．直角三角形C．三邊中只有兩邊相等的等腰三角形 D．三邊互不相等的三角形9．一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖是一個(gè)底角為，腰和上底長(zhǎng)均為1的等腰梯形，則該平面圖形的面積等于（

）．A． B． C． D．10．如圖所示，一個(gè)水平放置的四邊形OABC的斜二測(cè)畫法的直觀圖是邊長(zhǎng)為2的正方形，則原四邊形的面積是（

）A． B． C．16 D．8考點(diǎn)02：空間幾何體的表面積側(cè)面積和表面積幾何體棱柱棱錐棱臺(tái)側(cè)面展開圖側(cè)面積公式ch(c為底面周長(zhǎng)，h為側(cè)棱長(zhǎng))ch′(c為底面周長(zhǎng)，h′為側(cè)面等腰三角形底邊上的高)(c+c′)h′(c′，c分別為上、下底面周長(zhǎng)，h′為側(cè)面等腰梯形的高)表面積公式幾何體圓柱圓錐圓臺(tái)球側(cè)面展開圖側(cè)面積公式表面積公式11．蒙古包是我國(guó)蒙古族牧民居住的房子，適于牧業(yè)生產(chǎn)和游牧生活．如圖所示的蒙古包由圓柱和圓錐組合而成，其中圓柱的高為，底面半徑為是圓柱下底面的圓心．若圓錐的側(cè)面與以為球心，半徑為的球相切，則圓錐的側(cè)面積為（

）

A． B． C． D．12．某圓臺(tái)的下底面周長(zhǎng)是上底面周長(zhǎng)的4倍，母線長(zhǎng)為10，該圓臺(tái)的側(cè)面積為，則該圓臺(tái)的體積為（

）A． B． C． D．13．已知正三棱臺(tái)的上底面積為，下底面積為，高為2，則該三棱臺(tái)的表面積為（

）A． B． C． D．1814．在正四棱臺(tái)中，，若正四棱臺(tái)的高為，則其表面積為（

）A． B． C． D．15．已知圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓心為O，為底面直徑，，，點(diǎn)C在底面圓周上，且二面角為，則（

）A．該圓錐的側(cè)面積為 B．該圓錐的體積為C．的面積為 D．16．已知圓錐的底面半徑為2，其側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為的扇形，則該圓錐的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．17．在一個(gè)圓錐中，為圓錐的頂點(diǎn)，為圓錐底面圓的圓心，為線段的中點(diǎn)，為底面圓的直徑，是底面圓的內(nèi)接正三角形，①平面；②平面；③圓錐的側(cè)面積為；④三棱錐的內(nèi)切球表面積為．其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．418．已知圓錐的頂點(diǎn)為，母線所成角的余弦值為，且該圓錐的母線是底面半徑的倍，若的面積為，則該圓錐的表面積為（

）A． B． C． D．19．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)專著，是“算經(jīng)十書”（漢唐之間出現(xiàn)的十部古算書）中非常重要的一部．在《九章算術(shù)》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”．已知“塹堵”的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，且．若球的表面積為，則這個(gè)三棱柱的表面積是（

）A． B． C． D．20．如圖，為球形物品設(shè)計(jì)制作正四面體、正六面體、正八面體形狀的包裝盒，最少用料分別記為，則它們的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．考點(diǎn)03：空間幾何體的體積幾何體體積柱(S為底面面積，h為高)錐(S為底面面積，h為高)，臺(tái)(S′、S分別為上、下底面面積，h為高)，球(為球的半徑)21．某小區(qū)花園內(nèi)現(xiàn)有一個(gè)圓臺(tái)型的石碑底座，經(jīng)測(cè)量發(fā)現(xiàn)該石碑底座上底面圓的半徑為1，且上底面圓直徑的一端點(diǎn)的投影為下底面圓半徑的中點(diǎn)，高為3，則這個(gè)圓臺(tái)的體積為（

）A． B． C． D．22．如圖，是圓錐底面中心到母線的垂線，繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得曲面將圓錐分成體積相等的兩部分，則母線與軸的夾角余弦值為（

）A． B． C． D．23．中國(guó)載人航天技術(shù)發(fā)展日新月異.目前，世界上只有3個(gè)國(guó)家能夠獨(dú)立開展載人航天活動(dòng).從神話“嫦娥奔月”到古代“萬(wàn)戶飛天”，從詩(shī)詞“九天攬?jiān)隆钡奖诋嫛笆伺w天”……千百年來(lái)，中國(guó)人以不同的方式表達(dá)著對(duì)未知領(lǐng)域的探索與創(chuàng)新.如圖，可視為類似火箭整流罩的一個(gè)容器，其內(nèi)部可以看成由一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱組合而成的幾何體.圓柱和圓錐的底面半徑均為2，圓柱的高為6，圓錐的高為4.若將其內(nèi)部注入液體，已知液面高度為7，則該容器中液體的體積為（

）A． B． C． D．24．設(shè)四棱臺(tái)的上、下底面積分別為，，側(cè)面積為，若一個(gè)小球與該四棱臺(tái)的每個(gè)面都相切，則（

）A． B．C． D．25．最早的測(cè)雨器記載見于南宋數(shù)學(xué)家秦九韶所著的《數(shù)書九章》（1247年）.該書第二章為“天時(shí)類”，收錄了有關(guān)降水量計(jì)算的例子，其中“天池測(cè)雨”法是下雨時(shí)用一個(gè)圓臺(tái)形的天池盆收集雨水來(lái)測(cè)量平地降雨量（盆中水的體積與盆口面積之比）已知天池盆盆口直徑為一尺四寸，盆底直徑為六寸，盆深一尺二寸.當(dāng)盆中積水深六寸（注：1尺寸）時(shí)，平地降雨量是（

）A．1寸 B．2寸 C．3寸 D．4寸26．菏澤市博物館里，有一條深埋600多年的元代沉船，對(duì)于研究元代的發(fā)展提供了不可多得的實(shí)物資料.沉船出土了豐富的元代瓷器，其中的白地褐彩龍風(fēng)紋罐（如圖）的高約為，把該瓷器看作兩個(gè)相同的圓臺(tái)拼接而成（如圖），圓臺(tái)的上底直徑約為，下底直徑約為，忽略其壁厚，則該瓷器的容積約為（

）A． B． C． D．27．如圖，圓柱形容器內(nèi)部盛有高度為的水，若放入3個(gè)相同的鐵球（球的半徑與圓柱底面半徑相等）后，水恰好淹沒最上面的鐵球，則一個(gè)鐵球的表面積為（

）A． B． C． D．28．已知是圓錐的軸截面，點(diǎn)C在SA上，且.若過點(diǎn)C且平行于SB的平面恰過點(diǎn)，且該平面與圓錐底面所成的二面角等于，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．29．若一個(gè)多面體的各面都與一個(gè)球的球面相切，則稱這個(gè)球是這個(gè)多面體的內(nèi)切球．在四棱錐中，側(cè)面是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，底面為矩形，且平面平面．若四棱錐存在一個(gè)內(nèi)切球，設(shè)球的體積為，該四棱錐的體積為，則的值為（

）A． B． C． D．30．泉州花燈技藝源于唐朝中期從形式上有人物燈、宮物燈、宮燈，繡房燈、走馬燈、拉提燈、錫雕元宵燈等多種款式．在2024年元宵節(jié)，小明制做了一個(gè)半正多面體形狀的花燈，他將正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，共截去八個(gè)三棱錐，得到一個(gè)有十四個(gè)面的半正多面體，如圖所示．已知該半正多面體的體積為，M為的中心，過M截該半正多面體的外接球的截面面積為S，則S的最大值與最小值之比（

）A． B． C．3 D．9考點(diǎn)04：空間幾何體的外接球球的外接問題1、公式法正方體或長(zhǎng)方體的外接球的球心為其體對(duì)角線的中點(diǎn)2、補(bǔ)形法（補(bǔ)長(zhǎng)方體或正方體）①墻角模型（三條線兩個(gè)垂直）題設(shè)：三條棱兩兩垂直（重點(diǎn)考察三視圖）②對(duì)棱相等模型（補(bǔ)形為長(zhǎng)方體）題設(shè)：三棱錐（即四面體）中，已知三組對(duì)棱分別相等，求外接球半徑（，，）3、單面定球心法（定+算）步驟：①定一個(gè)面外接圓圓心：選中一個(gè)面如圖：在三棱錐中，選中底面，確定其外接圓圓心（正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜邊中點(diǎn)上，普通三角形用正弦定理定外心）；②過外心做（找）底面的垂線，如圖中面,則球心一定在直線（注意不一定在線段上）上；③計(jì)算求半徑:在直線上任取一點(diǎn)如圖：則，利用公式可計(jì)算出球半徑.4、雙面定球心法（兩次單面定球心）如圖：在三棱錐中：①選定底面，定外接圓圓心②選定面，定外接圓圓心③分別過做面的垂線，和做面的垂線，兩垂線交點(diǎn)即為外接球球心.31．如圖，已知在四棱錐中，底面四邊形為等腰梯形，，，底面積為，且，則四棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．32．若某圓錐的內(nèi)切球與外接球的球心重合，且內(nèi)切球表面積為，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．33．已知圓錐的軸截面是一個(gè)正三角形，其中是圓錐頂點(diǎn)，AB是底面直徑．若C是底面圓O上一點(diǎn)，P是母線SC上一點(diǎn)，，，則三棱錐外接球的表面積是（

）A． B． C． D．34．在棱長(zhǎng)為2的正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．35．已知在直三棱柱中，，，為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，若平面，則三棱錐外接球的體積為（

）A． B． C． D．36．在梯形中,，且，沿對(duì)角線將三角形折起，所得四面體外接球的表面積為，則異面直線與所成角為（

）A． B． C． D．37．在直三棱柱中，為等邊三角形，，則三棱柱的外接球的體積為（

）A． B． C． D．38．“阿基米德多面體”也稱半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．如圖是以正方體的各條棱的中點(diǎn)為頂點(diǎn)的多面體，這是一個(gè)有八個(gè)面為正三角形，六個(gè)面為正方形的“阿基米德多面體”，若該多面體的棱長(zhǎng)為，則該多面體外接球的表面積為（

）A． B．C． D．39．榫卯結(jié)構(gòu)是中國(guó)古代建筑文化的瑰寶，在連接部分通過緊密的拼接，使得整個(gè)結(jié)構(gòu)能夠承受大量的重量，并且具有較高的抗震能力.這其中木楔子的運(yùn)用，使得榫卯配合的牢度得到最大化滿足，木楔子是一種簡(jiǎn)單的機(jī)械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛?木片等.如圖為一個(gè)木楔子的直觀圖，其中四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，且均為正三角形，，則該木楔子的外接球的體積為（

）

A． B． C． D．40．如圖，在矩形中，，，，分別在線段，上，，將沿折起，使到達(dá)的位置，且平面平面，則四面體的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．考點(diǎn)05：空間幾何體的內(nèi)切球球的內(nèi)切問題（等體積法）例如：在四棱錐中，內(nèi)切球?yàn)榍颍笄虬霃?方法如下：即：，可求出.41．六氟化硫，化學(xué)式為，在常壓下是一種無(wú)色、無(wú)臭、無(wú)毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途．六氟化硫分子結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)（正八面體每個(gè)面都是正三角形，可以看作是將兩個(gè)棱長(zhǎng)均相等的正四棱錐將底面粘接在一起的幾何體）．如圖所示，正八面體的棱長(zhǎng)為，此八面體的外接球與內(nèi)切球的體積之比為（

）A． B． C． D．42．已知球內(nèi)切于圓臺(tái)（即球與該圓臺(tái)的上、下底面以及側(cè)面均相切），且圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為，，且，則圓臺(tái)的體積與球的體積之比為（

）A． B． C． D．43．已知圓錐PO的頂點(diǎn)為P，其三條母線PA，PB，PC兩兩垂直，且母線長(zhǎng)為6，則圓錐PO的內(nèi)切球表面職與圓錐側(cè)面積之和為（

）A． B． C． D．44．六氟化硫，化學(xué)式為，在常壓下是一種無(wú)色、無(wú)臭、無(wú)毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途.六氟化硫分子結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)（正八面體每個(gè)面都是正三角形，可以看作是將兩個(gè)棱長(zhǎng)均相等的正四棱錐將底面粘接在一起的幾何體）.如圖所示，正八面體的棱長(zhǎng)為，下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)有（

）①異面直線與所成的角為45°；②此八面體的外接球與內(nèi)切球的體積之比為；③若點(diǎn)為棱上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為；④若點(diǎn)為四邊形的中心，點(diǎn)為此八面體表面上動(dòng)點(diǎn)，且，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為.A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)45．已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)都等于2，則該四棱錐的內(nèi)切球的表面積為（

）A． B． C． D．46．已知圓臺(tái)存在內(nèi)切球（與圓臺(tái)的上、下底面及側(cè)面都相切的球），若圓臺(tái)的上、下底面面積之和與它的側(cè)面積之比為，設(shè)圓臺(tái)與球的體積分別為，則（

）A． B． C． D．47．六氟化硫，化學(xué)式為，在常壓下是一種無(wú)色、無(wú)臭、無(wú)毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途.六氟化硫結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)，如圖所示，硫原子位于正八面體的中心，6個(gè)氟原子分別位于正八面體的6個(gè)頂點(diǎn)，若相鄰兩個(gè)氟原子之間的距離為，則下列錯(cuò)誤的是（

）A．該正八面體結(jié)構(gòu)的外接球表面積為B．該正八面體結(jié)構(gòu)的內(nèi)切球表面積為C．該正八面體結(jié)構(gòu)的表面積為D．該正八面體結(jié)構(gòu)的體積為48．如圖，已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，為的交點(diǎn)，平面，，則四棱錐的內(nèi)切球的體積為（

）

A． B． C． D．49．已知一圓臺(tái)內(nèi)切球與圓臺(tái)各個(gè)面均相切，記圓臺(tái)上、下底面半徑為，若，則圓臺(tái)的體積與球的體積之比為（

）A． B． C．2 D．50．如圖，該幾何體為兩個(gè)底面半徑為1，高為1的相同的圓錐形成的組合體，設(shè)它的體積為，它的內(nèi)切球的體積為，則（

）A． B．C． D．考點(diǎn)06：空間幾何體的截面問題在立體幾何中，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，歷來(lái)是立體幾何的一個(gè)基本問題.過已知不共線三點(diǎn)，作幾何體的截面，既是轉(zhuǎn)化為平面問題一個(gè)方法，也是深化理解空間點(diǎn)、線、面關(guān)系的一個(gè)很好的途徑.1、確定截面的主要依據(jù)有（1）平面的四個(gè)公理及推論．（2）直線和平面平行的判定和性質(zhì)．（3）兩個(gè)平面平行的性質(zhì)．（4）球的截面的性質(zhì)．2、作截面的幾種方法（1）直接法：有兩點(diǎn)在幾何體的同一個(gè)面上，連接該兩點(diǎn)即為幾何體與截面的交線，找截面實(shí)際就是找交線的過程。（2）延長(zhǎng)線法：同一個(gè)平面有兩個(gè)點(diǎn)，可以連線并延長(zhǎng)至與其他平面相交找到交點(diǎn)。（3）平行線法：過直線與直線外一點(diǎn)作截面，拖直線所在的面與點(diǎn)51．已知直四棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為3，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，為棱上的一點(diǎn)，且為底面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（含邊界），則下列命題正確的是（

）A．若與平面所成的角為，則點(diǎn)的軌跡與直四棱柱的交線長(zhǎng)為B．若點(diǎn)到平面的距離為，則三棱錐體積的最大值為C．若以為球心的球經(jīng)過點(diǎn)，則該球與直四棱柱的公共部分的體積為D．經(jīng)過三點(diǎn)的平面截直四棱柱所得的截面面積為452．正方體的棱長(zhǎng)為6，，分別是棱，的中點(diǎn)，過，，作正方體的截面，則（

）A．該截面是五邊形B．四面體外接球的球心在該截面上C．該截面與底面夾角的正切值為D．該截面將正方體分成兩部分，則較小部分的體積為7553．已知一圓錐的底面半徑為，該圓錐的母線長(zhǎng)為2，A，B為底面圓的一條直徑上的兩個(gè)端點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．其側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形B．該圓錐的體積為πC．從A點(diǎn)經(jīng)過圓錐的側(cè)面到達(dá)B點(diǎn)的最短距離為D．過該圓錐的頂點(diǎn)作圓錐的截面，則截面面積的最大值為254．已知正方體的棱長(zhǎng)為2，棱的中點(diǎn)為，過點(diǎn)作正方體的截面，且，若點(diǎn)在截面內(nèi)運(yùn)動(dòng)（包含邊界），則（

）A．當(dāng)最大時(shí)，與所成的角為B．三棱錐的體積為定值C．若，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為D．若平面，則的最小值為55．已知正方體的棱長(zhǎng)為3，點(diǎn)是線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，是中點(diǎn)，則（

）A．該正方體外接球的表面積為B．直線與所成角的余弦值為C．平面截正方體所得截面為等腰梯形D．點(diǎn)到平面的距離為56．如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，，分別是棱，的中點(diǎn)，為底面上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，B．若在線段上運(yùn)動(dòng)，三棱錐的體積為定值C．存在點(diǎn)，使得平面截正方體所得的截面面積為D．當(dāng)為的