八年級上冊數(shù)學：711 平行線的證明章末十一大題型總結（拔尖篇）

專題7.11平行線的證明章末十一大題型總結（拔尖篇）

【北師大版】

?題型梳理

【題型?平行線在三角板中的運用】.............................................................1

【題型2平行線在折疊中的運住】...............................................................15

【胭型3旋轉使平行】.........................................................................21

【題型4利用平行線求角度之間的關系】........................................................25

【題型5利用平行線解決角度定值問題】........................................................36

【題型6平行線的閱讀理解類何題】............................................................45

【題型7平行線的性質在生活中的應用】........................................................55

【題型8平行線與動點的綜合應用】............................................................58

【題型9與角平分線有關的三隹形角的計算問題】................................................69

【題型10與平行線有關的三角形角的計算問題】.................................................78

【題型11與折疊有關的三角形角的計算問題】...................................................91

【題型1平行線在三角板中的運用】

【例1】（2023下?浙江溫州?八年級校考期中）將一副直角三角板如圖1,擺放在直線MN上（直角三角板ABC

和直角三角板EOC,LEDC=90°,/-DEC=60°,4ABC=90。，/BAC=45。），保持三角板EDC不動，將

三角板4BC繞點C以每秒5。的速度，順時針方向旋轉，旋轉時間為，秒，當4C與射線CN重合時停止旋轉.

D

B

圖2

⑴如圖2,當4c為NDCE的角平分線時，直接寫出此時，的值；

⑵當力C旋轉至NDCE的內部時，求乙。&4與/EC8的數(shù)量關系.

⑶在旋轉過程中，當三角板48c的其中一邊與ED平行時，請直接寫出此時/的值.

【答案】（1）3

⑵乙ECB-Z.DCA=15°

(3)15或24或33

【分析】(1)根據角平分線的定義求出乙4cE=15。，然后求出I的值即可；

(2)根據旋轉得：/-ACE=53表示出ZDC4=30°-53Z-ECB=45°-53即可得出匕EC8-LDCA=15°；

(3)分三種情況進行討論，分別畫出圖形，求出，的值即可.

【詳解】(1)解：如圖2,團NEDC=90°,乙DEC=60°,

圖2

0Z.DCE=30°,

團AC平分4DCE,

^ACE=^z.DCE=15°,

0t=^=3,

答：此時/的值是3；

(2)解：當71。旋轉至WCE的內部時，如圖3；

圖3

由旋轉得：44c￡=53

^DCA=30°-5t,Z.ECB=45°-5t,

^Z-ECB-Z.DCA=（45。-5t）-（30°-5t）=15°：

（3）解：分三種情況：

①當力BIIDE時，如圖4,

A

D

/

MECN

圖4

此時8C與CO重合，

￡=(30+45)+5=15；

圖5

團4CIIDE,

^Z.ACD=ZD=90°,

^ACE=90°+30°=120°,

￡=120+5=24；

圖6

,:BCIIDE

Z.BCD=乙CDE=90°

Z.ACD=90°+30°+45°=165°

???t=165+5=33

綜上，/的值是15或24或33.

故答案為：15或24或33.

【點睛】本題主要考杳了旋轉的性質，角平分線的計算，平行線的性質，解題的關鍵是數(shù)形結合，注意分

類討論.

【變式1-1］（2023下?河南安陽?八年級統(tǒng)考期末）如圖1,將一副三角板中的兩個直角頂點C疊放在一起,

其中4A=30°,乙B=60°,4。==45°.

品用圖2

⑴觀察猜想，團8c。與財CE的數(shù)量關系是；E18CE與西C。的數(shù)量關系是

(2)類比探究，若按住三角板力不動，順時針繞直角頂點C轉動三角形DCE,試探究當財。。等于多少度時

CEI/AB,畫出圖形并簡要說明理由;

⑶拓展應用，^BCE=3^ACD,求0AC。的度數(shù)：并直接寫出此時OE與4c的位置關系.

【答案】（1）4BCD=LACE,乙BCE+Z-ACD=180°

（2）當乙力CD=60°或120°時，CE//AB

（3）LACD=45°,4c1DE或AC//OE

【分析】（1）由三角板的特點可知〃CB=乙DCE=90°,即可求出NBC。=〃CE.再根據4BCE=^ACB+

/LACE,Z-ACD=Z.DCE-AACE,即可求出NBCE+N/CO=180°；

（2）分類討論結合平行線的性質即可求解；

（3）由（1）ABCE+AACD=180°,即可求出乙4C。=45。，再分類討論結合平行線的判定和性質即可得

出DE與AC的位置關系.

【詳解】（1）^ACB=Z.DCE=90°,

^ACB-Z.ACD=乙DCE-LACD,即ZBCD=Z.ACE.

13N8CE=Z.ACB+Z.ACE,Z.ACD=Z-DCE-Z.ACE,

⑦匕BCE+Z,ACD=4ACB4-ZDCE=90°+90°=180°.

故答案為：乙BCD=Z.ACE,Z-BCE十Z-ACD=180°;

(2)分類討論：①如圖1所示,

圖I

也CE〃八B,

SZ.ACE=Z.BAC=30°,

^ACD=乙DCE-LACE=90°-30°=60°；

②如圖2所示，

A

圖2

QCE//AB,

團4CE=匕8=60°,

^ACD=360°-^ACB-乙DCE-乙BCE=360°-90°-90°-60°=120°.

綜上可知當N/CD=60?；?20。時，CE//AB；

(3)根據(1)可知NBCE+=180°,

(33/4。。+Z-ACD=180°,

^Z-ACD=45°.

分類討論：①如圖3所示,

圖3

0Z/1CD=45°,

團/BCD=450=乙COE,

WC//DE.

^LACB=90°,即AC18C,

團4c1DE；

②如圖4所示，

^ACD=45°=^.CDE,

^AC//DE.

【點睛】本題考查三角板中的角度計算，平行線的判定和性質.利用數(shù)形結合和分類討論的思想是解題關

鍵.

【變式1-2］（2023上?湖南長沙?八年級校考期末）如圖，兩個形狀，大小完全相同的含有30、60。的三角

板如圖放置，附、P3與直線MN重合，且三角板附C,三角板均可以繞點。逆時針旋轉.

（1）①如圖1,團。PC=度.

②我們規(guī)定，如果兩個三角形只要有?組邊平行，我們就稱這兩個三角形為“攣生三角形”，如圖1,三角板

BPD不動,三角板以。從圖示位置開始每秒10。逆時計旋轉一周（0?！葱DV360。），問旋轉時間，為多少時，

這兩個三角形是"攣生三角形

（2）如圖3,若三角板以。的邊也從PN處開始繞點尸逆時針旋轉，轉速3。/秒，同時三角板尸8。的邊

P8從PM處開始繞點尸逆時針旋轉，轉速2。/秒，在兩個三角板旋轉過程中，（尸。轉到與PM重合時，兩

三角板都停止轉動）.設兩個三角板旋轉時間為/秒，以下兩個結論：①就為定值：②圖8PN+13CP。為

圖1圖2圖3

【答案】（1）①90：②/為3s或6s或9s或18s或21s或24s或27s；（2）①正確，②錯誤，證明見解析.

【分析】（1）①由平角的定義，結合已知條件可得：ZDPC=180。—ZCPA—ZDPB,從而可得答案；②當

BD//PM，有兩種情況，畫出符合題意的圖形，利用平行線的性質與角的和差求解旋轉角，可得旋轉時間；

當P/V/RD時，有兩種情況，畫出符合題意的圖形，利用平行線的性質與角的和差關系求解旋轉角，可得旋

轉時間；當4C〃0P時，有兩種情況，畫出符合題意的圖形，利用平行線的性質與角的和差關系求解旋轉角，

可得旋轉時間：當4。"。時，畫出符合題意的圖形，利用平行線的性質與角的和差關系求解旋轉角，可得

旋轉時間；當/C//BP時的旋轉時間與24〃RO相同：

（2）分兩種情況討論：當P。在MN上方時，當PO在MN下方時，①分別用含t的代數(shù)式表示乙CPD/8PN,

從而可得酸的值；②分別用含t的代數(shù)式表示“PQNBPM得到"PN+"產。是一個含t的代數(shù)式，從

而可得答案.

【詳解】解：（1）①配。尸C=180°-團CE4-團。PB,0CB4=6O°,團DPB=30°,

00￡>PC=18O-30-60=90°,

故答案為90：

②如圖1-1,當/WQPC時，

圖1-1

團尸038。，0DBP=9O°,

^CPN=^DBP=90°,

00C^=6O°,

團財PN=30°,

回轉速為10。/秒，

團旋轉時間為3秒：

如圖1-2,當P038O時,

^PC//BD^PBD=9Q°,

團團。戶8=回。8P=90°,

釀CB4=60°,

配L4PM=30°,

(3三角板以C繞點P逆時針旋轉的角度為180。+30。=210。，

回轉速為10。/秒，

回旋轉時間為21秒，

如圖1-3,當%(38。時，即點。與點C重合，此時助CP=(38PO=30。，貝lj

圖1-3

團必回8。，

釀04戶=0APN=9O°,

回三角板PAC繞點尸逆時針旋轉的角度為90。,

回轉速為10°/秒，

回旋轉時間為9秒，

如圖1-4,當外回B。時，

[MCiaBP,

團科團BD,

團[3。^P=團8%=90°,

用三角板21C繞點。逆時針旋轉的角度為90。+180。=270。,

回轉速為10°/秒，

回旋轉時間為27秒，

如圖1-5,當A03OP時，

圖1-5

釀。=回。P。=30°,

團0”N=18O°-30°-30°-60°=60°,

回三角板布C繞點尸逆時針旋轉的角度為60%

回轉速為10°/秒，

回旋轉時間為6秒，

如圖1?6,當AC//DP時，

vAC//DP,

:.Z.DPA=Z.PAC=90°,

乙DPN+ADPA=180°-30°+90°=240。，

回三角板布C繞點。逆時針旋轉的角度為240。,

回轉速為10°/秒，

因旋轉時間為24秒，

如圖1-7,當ACI3BD時，

D

00DBP=0BAC=9O°,

0點A在MN上，

(3三角板附。繞點P逆時針旋轉的角度為180°,

團轉速為10。/秒，

團旋轉時間為18秒，

當4C〃BP時,如圖131-4,旋轉時間分別為:9s,27s.

綜上所述：當t為3s或6s或9s或18s或21s或24s或27s時，這兩個三角形是“李生三角形”;

(2)如圖，當P。在MN上方時，

①正確，

理由如下：設運動時間為f秒,見回B尸M=23

團團8PN=1800-230DPM=3OO-2t,^APN=3t.

00CPD=18O0-WPM-^CPA-^APN=90°-t,

/.1BPN=2/.CPD=180°-2t,

c“PD1

0—Z.-BP-N=2

②目BPN+SCPO=180°-2r+90°7=270。-3t,可以看H也BPN+(3CP。隨著時間在變化，不為定值，結論錯誤.

當PD在MN下方時，如圖，

①正確，

理由如下：設運動時間為f秒，貝!回3PM=23

0

00^^=180-2t,0DPM=2t-3O0,BAPN=3t.

00CPD=36O°-Z.CPA-乙APN-乙DPB-乙BPN

=360°-60°-3t-30°-(180°-2t)

=90°-t

tBPN=2Z.CPD=180°-2t,

@^BPN^CPD=180<,-2/+90。-/=270。-3],可以看出貼PN+0CPO隨著時間在變化，不為定值，結論錯誤.

綜上：①正確，②錯誤.

【點睛】本題考查的是角的和差倍分關系，平行線的性質與判定，角的動態(tài)定義（旋轉角）的理解，掌握

分類討論的思想是解題的關鍵.

【變式1-3］（2023上?福建泉州?八年級統(tǒng)考期末）如圖1,將三角板ABC與三角板力Df擺放在一起，其中

^ACB=30°,乙DAE=45°,iBAC=4=90。，固定三角板48C,將三角板40E繞點A按順時針方向旋轉,

當點E落在射線AC的反向延長線上時，即停止旋轉.

⑴如圖2,當邊4C落在乙04E內，

①乙。力。與/B4E之間存在怎樣的數(shù)量關系？試說明理由；

②過點4作射線力尸，AG,若乙CAF=^BAG=-￡EAG,求乙FAG的度數(shù)；

34

⑵設△力的旋技速度為3。/秒，旋轉時間為人若它的一邊與△AOC的某一邊平行（不含重合情況），試寫

出所有符合條件的/的值.

【答案】（1）（1）48力￡1一乙&40=45。（或48力￡"=乙乙4。+45°）,理由見解析；@105°

（2）5或15或35或45或50

【分析】（1）①由角的和差關系可得乙BAE+“4E=90。，Z.CAD+LCAE=45°,再把兩式相減即可得

至IJ結論：②先求解乙F4E=45°-^DAF=45°--/.CAD,-LEAG=乙BAE+LBAG=士乙BAE,結合/F4G=

33

^FAE+^EAG,=45°--ZC/1D4--^BAE=45°+-{LBAE-^CAD）,從而可得答案；

333

（2）分5種情況討論：如圖，當ADII8C時，如圖,當。臼L4B時，如圖,當DEIIBC時,如圖,當。EII4C時，

如圖，當力EIIBC時，再結合平行線的性質可得答案.

【詳解】（1）解：①4B4E-N&4D=45。（或乙B4E=4。4/）+45°）；

理由如下：Z.BAE+Z.CAE=90",

Z.CAD+Z.CAE=45°,

兩式相減得：乙BAE-Z.CAD=45°,

②團4C4F=：4C4D,

^FAE=450-Z.DAF=45°--LCAD,

3

團4B/1G=-Z.EAG,

4

團4BAG=-￡BAE,

3

團24G=Z.BAE+/.BAG=-Z.BAE,

3

0ZF/4G=Z.FAE+Z.EAG,

44

=45°--“AD+-^BAE

4

=45°+-(z5/lE-zC/lD)

4

=45°+-x45°=105°；

3

(2)如圖，當ADIIBC時,

0ZD/1C=乙ACB=30°,AEAC=45°-30°=15°,

0t=y=5；

如圖，當DEIIAB時,

^BAC+/.ADE=180°,則匕ADE=90。,

此時皿E=Z.DAE=45°,

0t=—=15；

如圖，當DEI山C時,

181r—9。"=9。。

團乙MAC=90°-30°=60°,

^Z-EAC=450+60°=105°,

或=誓=35；

如圖，當DEIIAC時,

B,0共線,

0ZC/1F=90°+45°=135°,

配二子=45；

如圖，當月EII8C時,

^LEAB=Z-B=60°,

^LEAC=600+90°=150°,

配=等=50.

【點睛】本題考查的是角的和差運算，角的倍分關系，角的旋轉定義的理解，平行線的性質，清晰的分類

討論是解本題的關鍵.

【題型2平行線在折疊中的運用】

【例2】（2023下?浙江溫州?八年級校聯(lián)考期中）如圖，已知長方形紙片ABCQ,點E和點F分別在邊A。

和8C上，且團EFO37。，點〃和點G分別是邊AO和8c上的動點，現(xiàn)將點A,B,C,D分別沿EF,GH

折疊至點MM,P,K,若MNIIPK,則團K/7O的度數(shù)為（；

A.37°或143°B.74°或96。C.37°或105°D.74°或106°

【答案】D

【分析】分兩種情況討論，①當PK在AD上方時，延長MN、KH相交于點Q,根據MNIIPK,推出ENIIKQ,

得到24EN=乙4/。，求出Z4EN的度數(shù)，再根據NKHD=即可求解；②當PK在BC下方E寸，延長MN、

"K相交于點。，根據MNIIPK,推出ENIIA。，得到4力￡77=乙4，。，再根據4力“。+NK”O(jiān)=180。即可求解.

【詳解】解：①當尸K在40上方時，延長MN、K，相交于點Q,如圖所示

^MNWPK

團乙K=Z.Q

團4K=90°

團4Q=90°

團/MNE=90°

0ZAY/VE=Z.Q

團ENIIKQ

^Z.AEN=Z.AHQ

回乙EFC=37。，ADWBC

^Z.AEF=Z.EFC=37°

團翻折

^Z-AEF=乙NEF=37°

團匕AEN=74°

^Z.AHQ=74°

回匕KH。=^AHQ

^KHD=74°

②當PK在8C下方時，延長MN、HK相交于點0,如圖所示

^MNWPK

國40=Z.0KP=90°

團NMNE=90°

儂匕MNE=Z-0

^ENWHO

B/.AEN=Z.AHO

12ZFFC=37°,ADWBC

0Z/1EF=乙EFC=37°

團翻折

^AEF=乙NEF=37°

團乙AEN=74°

fS^AHO=74°

團41HOI乙KHD=180°

團匕K”D=106°

故選D.

【點睛】本題考查了翻折、平行線的判定和性質、對頂角等知識點，分情況討論，畫出對應圖形進行求解

是解答本題的關鍵.

【變式2-1］（2023下?福建寧德?八年級統(tǒng)考期末）如圖，將一條長方形彩帶4BCD進行兩次折疊，先沿折

痕MN向上折疊，再沿折痕4M向背面折疊，若要使兩次折疊后彩帶的夾角42=26。，則第一次折疊時41應

等于.

【答案】77

【分析】如圖所示，根據平行的性質可以得出答案.

團折疊,

0Z.1=45,

0z3+2z5=z3+2zl=180°,

0Z1=^(180°-z3),

回彩帶兩邊平行，

0z3=z4=46,

團折疊，彩帶兩邊平行，

團42=乙PEF=乙PMF=Z.6,

0Z3=Z2=26°,

0Z1(180°-Z3)=i(180°-26°)=77°.

故答案為：77.

【點睛】此題考查了平行線的性質，熟知兩直線平行，內錯角相等是解題的關鍵.

【變式2-2］（2023下?浙江溫州?八年級溫州市第十二中學校聯(lián)考期中）已知M,N分別是長方形紙條

邊AB,CD上兩點（AM>DN）,如圖1所示，沿M,N所在直線進行第一次折疊，點A,。的對應點分別

為點E,F,EM交CD于點、P；如圖2所示，繼續(xù)沿PM進行第二次折疊，點B,。的對應點分別為點G,H,

若乙1=乙2,則乙CPM的度數(shù)為（）

A.74°B.72°C.70°D.68°

【答案】B

【分析】由翻折的性質和長方形的性質可得出：￡AMN=^NMP=ZA=^2,iCPM=iHPM,據此可得

/.AMP=241,ZGMP=3zl,再根據HP||GM得NHPM+4GMP=180°,根據CP||8M得NCPM=Z.AMP=

241,據此可求出41=36。，進而可求出4cpM的度數(shù).

【詳解】解：由翻折的性質得：々AMN=LNMP,4cpM=4HPM,

團四邊形48co為長方形，

回4B||CD,

團ZJMN=Z1,

⑦乙NMP=Z1,

又比1=Z2,

團4AMN=乙NMP=zl=Z2,

0Z/1MP=2zl,Z.GMP=3Z1,

團HPIIGM,

團/”PM+Z.GMP=180°,

即：4HpM+3,1=180°,

回CP||BM,

團NCPM=^AMP=241,

團乙”PM=Z,CPM=241,

團2/1+3zl=180°,

0Z1=36°,

0ZCPM=2zl=72°.

故選：B.

【點睛】此題主要考查了圖形的翻折變換和性質，平行線的性質，解答此題的關鍵是準確識圖，利用圖形

翻折性質及平行線的性質準確的找出相關的角的關系.

【變式2-3］（2023下?河南南陽?八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知四邊形紙片/1BCD的邊力8IICD,E是邊CD上

任意一點，aBCE沿BE折卷，點C落在點F的位置.

圖①圖②圖③

⑴觀察發(fā)現(xiàn)：如圖①所示：Z.C=60°,4EO=45。，則.

⑵拓展探究：如圖②，點尸落在四邊形的內部，探究々FED,乙4BF,“之間的數(shù)量關系，并證明；

⑶遷移應用：如圖③，點尸落在邊的上方，則（2）中的結論是否成立？若成立，請證明：若不成立，請

寫出它們的數(shù)量關系并證明.

【答案】（1）15。

[2}LFED^LABF=LC,證明見解析

⑶不成立，數(shù)量關系應為：￡ABF—LFED=",證明見解析

【分析】（1）根據已知條件，結合平行線的性質，算出N4BC,再結合折疊、四邊形內角和，算出N/BC,

最后“艮據=/-ABC-4尸8C計算即可；

（2）過點F作MN||C0,交力。于點M,交BC于點N,由平行線的性質可得/尸EO=/EFN,根據平行公理

的推論可得MNII48,繼而得到乙AN8=418F,再結合折售的性質可得數(shù)量關系；

（3）過點尸作GHIIC。，由平行線的性質可得/FED=4”尸￡,根據平行公理的推論可得GHIL48,繼而得到

得=再結合折疊的性質可得數(shù)量關系.

【詳解】（1）解：?.TBIICD,ABCE沿BE折疊，點C落在點F的位置，zC=60°,Z.FED=45°,

Z.ABC=180°-zf=120°,(兩直線平行，同旁內角互補)

乙FEC=180°-乙FED=135°,

4F=NC=60°,

/.Z.FBC=360°一乙F一乙C一4FEC=360°-60°-60°-135°=105°,(四邊形內角和為360°)

/.ABF=/-ABC-乙FBC=120°-105°=15°,

故答案為：15。

(2)解：如下圖，過點尸作MNIICO,交4。于點M,交BC于點、N

DEC

貝IJ乙/=乙EFN,

vABWCD,

/.MN^AB,

/.Z.NFB=匕ABF,

Z.FED+Z.ABF=Z.EFN+Z,NFB=乙EFB,

由折疊的性質得，乙EFB=LC

二/FED+乙ABF=Z.C

(3)解.：如下圖，過點尸作GHIICD,則匕廣E,

vABWCD,

:.GHWAB,

:.4ABF=乙HFB=乙HFE+乙BFE=乙FED+乙BFE,

由折疊的性質得，乙BFE=LC

/.ABF=Z.FED+Z.C,即乙ABF—乙FED=^C

【點睛】本題考查了折疊的性質、平行線的性質、平行公理的推論.掌握折疊的性質和平行線的性質是解

題的關鍵.

【題型3旋轉使平行】

【例3】（2023下?江蘇蘇州?八年級統(tǒng)考期末）在一次課外活動中，小明將一副直角三角板如圖放置，石在

AC上，ZC=ZDAE=90°,NB=60。,N￡>=45。.小明將“IDE從圖中位置開始，繞點A按每秒6。的速

度順時針旋轉一周，在旋轉過程中，第秒時，邊A8與邊OE平行.

【答案】〈或？

22

【分析】分兩種情況：①。七在/W上方；②。七在A3下方，畫出相應的圖形，利用平行線的性質即可求

得答案.

【詳解】①當。E在46上方，

0ZC=ZmE=9O°,05=60°,0D=45°,

W/fAC=30°,0E=45°,

團4施1OE,

00/M￡=Q￡=45\

^CAE=^BAC+^BAE=75°,

75°?s

回旋轉時間為：=y（秒）；

②當OE在48卜方

(21ZC=ZZME=90°,團8=60°,團7)=45°,

配1BAC=3O°,0E=45%

EL4B0DE,

005AE+(3E=18OO,

005AE=18O°-SE=135°,

00C>4E=0BAE-[3B/1C=1O5O,

團旋轉角度為：360°-團CAE=255°,

團旋轉時間為：三75丁50=三85（秒），

602

7525

綜上所述：在旋轉過程中，第胃或三秒時，邊AB與邊OE平行，

22

故答案為：目或\.

22

【點睛】本題考查了平行線的判定和性質，解題的關鍵是對。E的位置進行討論，畫出相應圖形解答.

【變式3?1】（2023下?河北唐山?八年級統(tǒng)考期末）如圖，分別將木條a,b與固定的木條c釘在一起,4=50。,

Z2=8（r,順時針轉動木條小下列選項能使木條〃與〃平行的是（)

A.旋轉30。B.旋轉50。C.旋轉800D.旋轉130,

【答案】A

【分析】根據平行線的判定定理即可求解.

【詳解】解：在圖中標注出N3,如圖所示:

71

若〃〃b,則N2=Z3

vZl=Z3

Zl=Z2=50°

故應將木條。順時針轉動30°

故選:A

【點睛】本題考查平行線的判定定理.根據題意選擇合適的判定定理是解題的關鍵.

【變式3-2］（2023下?安徽六安,八年級統(tǒng)考期末）兩塊不同的三角板按如圖1所示搜放，AC邊與4c邊

重合，ZBAC=45°,=30°,接著如圖2保持二角板不動，將二角板ACO繞著點C（點。不動）

按順時針（如圖標示方向）旋轉，在旋轉的過程中，NAC4'逐漸增大，當NAC4'第一次等于90。時，停止

旋轉，在此旋轉過程中，N4C4'=。時，三角板ACZ）有一條邊與三角板ABC的一條邊恰好平行.

圖1圖2

【答案】30?；?5。

【分析】分C4'〃A8和才〃I兩種情況求解.

【詳解】當C4'〃A8H、J,

0Z4BC=9O°,

0ZfiC4f=9O°,

0Z4C5=45°,

401=45。：

當才〃47時,

0ZC4,￡>=3()°,

44c4'=30。；

故答案為：30?；?5。.

【點睛】本題考查了平行線的性質，三角板中的計算，熟練掌握平行線的性質是解題的關鍵.

【變式3-3］（2023下?河北唐山?八年級統(tǒng)考期中）如圖（1）,在三角形相。中，NA=38。，BC邊繞點C

按逆時針方向旋轉一周回到原來的位置.在旋轉的過程中（圖（2）,使C8'〃AB,貝Ij/&C4=（）

D.38°或52。

【答案】C

【分析】結合旋轉的過程可知，因為C*位置的改變，NAC8'與3A可能構成內錯角，也有可能構成同旁內

角，所以需分兩種情況加以計算即可.

【詳解】解：如圖（2）①,

當ZAC8'=38。時,

回44=38。，

團ZACB'=4.

^CB1//AB.

如圖(2)②，

圖⑵②

當乙4cBz=142。時,

0Z4=38°,

0ZAC?+ZA=142°+38°=180°.

^CB1//AB.

綜上可得，當乙4c8'=38。或NACB'=142。時，C8'〃AB.

故選：C.

【點睛】本題考查了平行線的判定、分類討論的數(shù)學思想等知識點，根據C9在旋轉過程中的不同位置，進

行分類討論是解題的關鍵.

【題型4利用平行線求角度之間的關系】

【例4】（2023下?廣東廣洲?八年級統(tǒng)考期末）點A,C,七在直線/上，點3不在直線,上，把線段A3沿

直線/向右平移得到線段CD

圖1備用圖圖2

（1）如圖1,若點E在線段AC上，求證：乙B+乙DkBED；

（2）若點上不在線段AC上，試清想并證明乙從乙D,乙班力之間的等量關系；

（3）在（1）的條件3如圖2所示，過點、B作PB〃ED,在直線4P,之間有點M,使得ZABE=^￡BM,

乙CDE=^EDM,同時點尸使得乙4B￡=〃乙仍F,乙CDE二n乙EDF,其中應1,設乙8加。=加，利用（1）中的結論求

乙BFD的度數(shù)（用含加，〃的代數(shù)式表示）.

【答案】（1）見解析；（2）當點E在CA的延長線上時，I3B瓦＞=（3。＞0&當點E在AC的延長線上時，

^BED^BET-^DET^B-^（3）

2n

【分析】（1）如圖1中，過點E作ETBAB.利用平行線的性質解決問題.

（2）分兩種情形：如圖2-1中，當點石在CA的延長線上時，如圖2-2中，當點石在AC的延長線上時，構

造平行線，利用平行線的性質求解即可.

（3）利用（1）中結論，可得勖例￡＞=蜘8M+E1CDW,^BFD=^ABF+^CDF,由此解決問題即可.

【詳解】解：（1）證明：如圖1中，過點￡作E7E4B.由平移可得AB團CD,

圖1

酎加￡T,AB^CD,

團團8=明月7,團7￡7)=團/),

^BED=^BET+^DET=^B+^D.

(2)如圖2-1中，當點￡在。的延長線上時，過點E作￡7IMB.

T%3

Q

EACI

圖2-1

M加叮，AB^CD,

回￡713czM48,

00^=0^ET,^TED=^D,

^BED=^DET-^BET=^D-^B.

如圖2-2中，當點E在AC的延長線上時,過點E作E/aAB.

瓦、。

ACI

圖2-2

(M庾叮，AB^CD,

MTJaCDMB,

00^=0^ET,^TED=^D,

^BE^BEnDET^-^D.

(3)如圖，設財3￡=團臼弘/=%,團CQ￡W￡OM=y,

BD

LM/A?1C79,

0/??=2.v+2y,

區(qū)"+y弓"，

^BBFD^ABF^CDF,^ABE=n^EBF,國CDET應EDF,

n?、一

el?lel?dl/?lFcD=——-lxd--n----1-y=——n-1(,x+,y)=——n-1X-1m=-mr(-n-l)

nn，nn22n

【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了平行線的性質，角平分線的定義等知識，解題的關鍵是學會條

件常用輔助線，構造平行線解決問題，屬于中考常考題型.

【變式4-1](2023下?廣東廣州?八年級統(tǒng)考期末)甲同學在學完《相交線與平行線》后，想通過折鐵絲的

方式進一步探索相交線與平行線的知識，他的具體操作步驟如下：

第一步：將一根鐵絲48在C,0,E處彎折得到如下圖①的形狀，其中AQIOE,CD\\BE.

第二步：將OE繞點。旋轉一定角度，再將BE繞點E旋轉一定隹度并在5E上某點F處彎折，得到如下圖②

的形狀.

第三步：再拿出另外一根鐵絲彎折成ZG,跟前面彎折的鐵絲疊放成如下圖③的形狀.

圖①圖②圖③

請根據上面的操作步驟，解答下列問題：

(1)如圖①，若乙C=2乙D,求乙E；

⑵如圖②，若4CII8F,請判斷4C,乙D,乙E,乙F之間的數(shù)量關系，并說明理由：

⑶在(2)的條件下，如圖③，若乙ACD=3乙DCG,乙DEF=3乙DEG,設z￡)=%,zF=y,求4G.(用含

x,y的式子表示）

【答案】（1）4￡=60。

=+理由見解析

⑶/G=0+“

?5J

【分析】（1）根據平行線的性質得出2X+4〃=18。。，根據解題得出乙〃=6U。，進而根據。"WK,即可

求解；

（2）過點分別作4c的平行線DN,EM,根據平行線的性質得出匕MEO="VOE設4ME0=4NDE=a,

進而根據平行線的性質得出NC+乙CDE+a=180。，^DEF+a+z.F=180°,即可得出結論；

（3）根據（2）的結論可得/ACZ）+x=4OEF+y,4G+/ACG=/F+4GEF,根據已知乙4CD=340CG,

乙DEF=3乙DEG,可得/G+白乙ACO=?乙DEF+y,進而即可求解.

33

【詳解】（1）解:MCIIDE,

0ZC+Z.D=180°,

0zC=2/-D,

團3/0=180

解得：Z,D=60°,

^\CD\\BE.

團乙￡=ZD=60°；

（2）解：如圖所示，

圖②

過點E分別作力。的平行線ON,EM,

站仞||DN,

⑦乙MED=乙NDE,

設，M￡7）=乙NDE=a,

又（L4CII3F,

BACWDN,ME\\BFt

團4C+乙CDE+a=180°,乙DEF+a+Z.F=180°,

0ZC+Z.CDE=Z.DEF4-ZF,；

(3)0zD=x,Z.F=y,Z.C+Z.CDE=Z.DEF+zF,

即乙ACD+x=zDE尸+y,

0ZDEF-Z.ACD=x—y,

由(2)可得4G+N4CG=N/+乙GEF,

0Z/1CD=3Z.DCG,Z.DEF=3/.DEG,

22

(3NG+：4/CO=：NOEF+4F,

oo

+-Z-ACD=-/.DEF+y,

33

回z_G=y+1QDEF-z.ACD')=y+1(x-y)=+^y,

團zG=+^y.

【點睛】本題考查了平行線的性質與判定，熟練掌握平行線的性質與判定是解題的關鍵.

【變式4-2](2023下?安徽?八年級統(tǒng)考期末)如圖,直線mlln,Rt△ABC中〃CB=90。,RtAABC的邊

AC.48與直線〃[相交于D、E兩點，邊BC、48與直線〃交于尸、G兩點.

如圖1位置擺放，如果〃DE=46。，則NCFG=：

⑵將RtZk48。如圖2位置擺放，H為AC上一點、,^HFG+^CFG=180°,請寫出乙HFG與乙40E之間的數(shù)最

關系，并說明理由；

⑶將Rtz\4?C如圖3位置擺放，若4EOC=140。，延長4?交直線〃于點K,點P是射線EG上一動點，探究

乙PDK,乙DPK與乙PKG的數(shù)量關系，請直接寫出結論（題中的所有角都大于0。小于180。）.

【答案】⑴"FG=136°

(2)LHFG+^ADE=90°,理由見解析

(3)LPDK+乙DPK-4PKG=140＞或4POK+乙DPK+乙PKG=140°

【分析】（1）過點C作CHIIm,由mllzi知，CH\\m\\n,則可得=4/lDE=46。，Z.HCB+Z.CFG=180°,

再由"CB=90。，求得乙HCB,進而求得/Ck的度數(shù)；

（2）過點C作CQIIm,則CQIImim,則上ADE=zACQ,zCFG+zQCF=180°,結合已知即可求得NHRG與

，/IDE之間的數(shù)量關系；

（3）分點P在線段EG上或EG的延長線上兩種情況考慮即可求得.

【詳解】（1）解：過點C作cmw,如圖，

0m||n,

^CH\\m\\n,

團4AC〃=4ADE=46°,乙HCB十乙CFG=180°,

回乙1CB=90°,

0ZHCE=90°-46°=44°,

0ZCFG=180°-乙HCB=136°；

故答案為：136。；

（2）解：Z.HFG+Z-ADE=90°,理由如下:

過點C作CQIIm,則CQIImlln,

A

D

R

^ADE=AACQ,乙CFG+乙QCF=180°,

團LHFG+Z.CFG=180°,

0Z(?CF=乙HFG,

必CQ+LQCF=90°,

0Z/7FG+LADE=90°,

(3)解:過點尸作PMIbn,則PMIImlln；

①點尸在線段EG上時，如圖,

A

0ZDPM=乙EDP=乙EDC-乙PDK=140°-乙PDK,乙MPKLPKG,

^DPK=乙DPM+乙MPK=140°-乙PDK+乙PKG,

回NPDK4-(DPK-乙PKG=140°；

②點?在線段EG的延長線上時，如圖,

0PM||m||n,

（3NKPM=4PKG,乙PDE=ZJ）PM,

團/POE=乙EDC-乙PDK=140。一4POK,"PM=（DPK+乙KPM=乙DPK+乙PKG,

回/DPK+乙PKG=140°-乙PDK,

RJ1/PDK+乙DPK+乙PKG=140°,

綜上：乙PDK十乙DPK-乙PKG=140°或乙POK+乙DPK+乙PKG=140°.

【點睛】本題考查了平行線的性質，平行公理推論，角的和差關系，構造平行線是本題的關鍵，注意分類

討論.

【變式4-3]（2023下?湖北武漢?八年級統(tǒng)考期末）【問題情境】如圖1,ABWCD,直線EG交AB于點H,交

CO丁點G,點F在直線48上.直接寫出NE/EF”,4EGO之間的數(shù)量關系為

【實踐運用】如圖2,4BIICD,直線EG交AB于點"，交CZ）于點G,點尸在直線48上.FT平分乙EFH,GM平

分iEGC,若NE=40。，求NFMG的度數(shù).

【拓廣探索】如圖3,ABWCD,直線EG交4?于點兒交CO于點G,點P為平面內不在直線48,CD,EG上

的一點，若乙BHP=x,乙DGP=y,則乙HPG=_（直接寫出答案，用x,y表示）.

【答案】【問題情境】NEGD=NFEH+NEFH；【實踐運用】z尸MG的度數(shù)為70。；【拓廣探索】，HPG的

大小為％-y或y-工或％+y或360。-x-y.

【分析】問題情境：如圖，作EQII4B,而4BIICD,則EQ||4B||CD,再利用平行線的性質可得結論；

實踐運用：設乙EFT=x,FT平分乙EFH,可得乙EFT=乙TFH=Z,AFM=%,由（1）得：匕EGO=乙EFH+ZE=

2x+40°,=-^HCG=70°-x.過點M作MK||A8,則MK||48||C0,可得NFMK==

2

X.乙KMG=（MGC=70。-x,再利用角的和差關系可得答案；

拓廣探索：對P點的位置有六種可能，再分情況畫出圖形，利用數(shù)形結合的方法解題即可.

【問題情境】如圖,作EQIL48,而力BIICD,

^EQWABWCD,

回iEGO="EG=（EHB,乙QEF=乙EFB,

團乙FEH=^QEG—乙QEF,

?￡FEH=￡EHB—乙EFH,

^EGD=Z,FEH+/-EFH.

【實踐運用】設4Eb=x,FT平分4EFH,

0ZFFT=Z.TFH=Z,AFM=%,

由（1）得：Z-EGD=/-EFH+zF=2x+40°,

團乙”CG=140°-2x.

團GM平分

=-Z.HCG=70°-%.

2

過點M作MKIAB,則MK||力BIICD,

BzFM/C=Z.AFM=x.

IZIMKIIG",

(3NKMG=Z.MGC=70°-%,

0ZFMG=Z.KMG+乙FMK=70°-x+x=70°.

【拓廣探索】對尸點的位置有六種可能,

①如圖所示，作PQ必所而御CD,

^PO\\AB\\CD,而乙BHP=x,4DGP=y,

團4DGP=Z.QPG=y,乙BHP=乙QPH=%,

回4HPG=3PG-乙HPQ=y-x,

②如圖所示，作PQMB,而A8IICD,

^POWABWCD,

^DGP=Z.QPG=y,乙BHP=乙QPH=x,

但乙HPG=乙QPG+Z.HPQ=y+x,

③如圖所示,作PQMB,而力BIICD,

E

^PQWABWCD,而NB，P=X,Z.DGP=y,

田4DG尸=Z.QPG=y,乙BHP=乙QPH=x,

國乙HPG=乙HPQ-乙QPG=x-y,

④如圖所示，作PQII48,而4?憶。,記PGMB的交點為N,

^PQWABWCD,而乙BHP=x,乙DGP=y,

(3/QPG=180°-Z-DGP=180。-y,(QPH=180°-乙PHB=180°-x,

團zJ/PG=乙GPQ-乙QPH=180°-y-180°+x=x-y,

⑤如圖所示，作PQIIA8,而御CD,

^PQWABWCD,而乙RHP=x,乙DGP=y,

⑦乙QPG=180°-Z-DGP=180°-y,乙QPH=180°-乙PHB=180°-x,

團N"PG=乙GPQ+"PH=180°-y+180°-x=360°-x-y,

⑥如圖所示，作PQII48,而御CD,

E

[^PQWABWCD,而乙BHP=x,乙DGP=y,

(3ZQPG=180°-Z,DGP=180°-y,"PH=180°-乙PHB=180°-x,

團N"PG="PH-AGPQ=180°-%-180°+y=y-x,

綜上：乙HPG的大小為％—y或y-工或％4-y或360。-x-y.

【點睛】本題考查的是平行公理的應用，平行線的性質，角平分線的性質，掌握“利用平行線的性質探究角

與角之間的數(shù)量關系"是解本題的關鍵.

【題型5利用平行線解決角度定值問題】

【例5】(2023下?河南商丘?八年級統(tǒng)考期末)已知ABWCD,P是截線MN上的一點，MN與CD,AB分別交

于E,F.

圖⑴

(1)如圖(1),尸在48、CO之間，若/EFB=50。，Z-EDP=35°,求乙MPD的度數(shù);

(2)如圖(1),當點P在線段￡尸上運動時，4COP與心48P的平分線交于Q,則益是否為定值？若是定值,

^DPD

請求