浙江省麗水市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末考試 數(shù)學(xué) 含解析

麗水市學(xué)年第一學(xué)期普通高中教學(xué)質(zhì)量監(jiān)控高二數(shù)學(xué)試題卷（）本試題卷分選擇題和非選擇題兩部分全卷共4頁，滿分分，考試時(shí)間分鐘.注意事項(xiàng)：．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別填在試題卷和答題卷規(guī)定的位置上.．答題時(shí)，請按照答題卷上注意事項(xiàng)的要求，在答題卷相應(yīng)的位置上規(guī)范作答，在本試題卷上的作答一律無效.85分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，求得直線的斜率，得出，結(jié)合傾斜角的定義，即可求解.【詳解】由直線，可得直線的斜率為，設(shè)直線傾斜角為，可得，因?yàn)椋?故選：A.2.預(yù)測人口的變化趨勢有多種方法，“直接推算法”使用的公式是為預(yù)測期人口數(shù)，kn，那么在這期間人口數(shù)（）第1頁/共21頁A.呈上升趨勢B.呈下降趨勢C.擺動(dòng)變化D.不變【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，可知為預(yù)測期內(nèi)年增長率，當(dāng)，可知年增長率為負(fù)，由此即可求出結(jié)果.數(shù)呈下降趨勢.故選:B.3.已知，若，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求導(dǎo)，根據(jù)求解.【詳解】解：，所以，即，故選：C.4.“太極圖”“陰陽魚太極圖”系中的“太極圖”的最小值為（）第2頁/共21頁A.-1B.C.D.【答案】B【解析】【分析】表示點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，求出過點(diǎn)且與以為圓心的半圓相切的切線斜率即可得．【詳解】表示點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，由圖可知過點(diǎn)且與以為圓心半圓相切的一條切線的斜率最小，設(shè)切線方程為，即，由，解得或，所以的最小值是．故選：B．5.是從點(diǎn)P出發(fā)的三條射線，每兩條射線的夾角均為，那么直線與平面所成角的余弦值是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】作圖，找到直線在平面上的投影在構(gòu)建多個(gè)直角三角形，找出邊與角之間的關(guān)系，繼而得到線面角；也可將三條射線截取出來放在正方體中進(jìn)行分析.【詳解】解法一：如圖，設(shè)直線在平面的射影為，第3頁/共21頁作于點(diǎn)G，于點(diǎn)H，連接，易得，又平面，則平面，又平面，則，有故．已知，故為所求．解法二：如圖所示，把放在正方體中，的夾角均為．建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為1，則，所以，設(shè)平面的法向量，則令，則，所以，所以．設(shè)直線與平面所成角為，所以，第4頁/共21頁所以．故選B．6.已知函數(shù)的圖象如圖所示，不等式的解集是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)圖象的單調(diào)性確定導(dǎo)函數(shù)的符號，結(jié)合的符號即可判斷.【詳解】由圖可得：當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則.則不等式的解集是.故選：B.7.記拋物線的焦點(diǎn)為為拋物線上一點(diǎn)，，直線與拋物線另一交點(diǎn)為，則（）A.B.C.2D.3【答案】C【解析】【分析】先求出拋物線方程及直線方程，聯(lián)立，求出交點(diǎn)進(jìn)而可得答案.【詳解】，由拋物線定義可知到準(zhǔn)線距離為，即，解得，第5頁/共21頁即拋物線方程為，不妨取，又，所以，聯(lián)立，消去整理得，解得，即，則.故選：C8.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過的直線（為常數(shù)）與在第一象限交于點(diǎn).若（的離心率是（）A.B.C.D.5【答案】D【解析】【分析】先利用直線過右焦點(diǎn)，簡化直線方程，設(shè)點(diǎn)，分別根據(jù)點(diǎn)在雙曲線上和建立方程組的齊次式，解方程即得離心率.【詳解】如圖，由直線過右焦點(diǎn)，可得，即直線方程為，第6頁/共21頁不妨設(shè)點(diǎn)，依題意，由①化簡得：，解得或，因當(dāng)時(shí)，點(diǎn)，顯然不合題意，舍去；把代入②，可得：，化簡得：，用代入計(jì)算可得：，即，解得或的離心率是5.故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題主要考查雙曲線的離心率問題，屬于難題.求圓錐曲線的離心率一般有以下兩種方法：（1）直接法：通過求出的值，直接求得；（2）齊次方程法：利用條件構(gòu)造關(guān)于的齊次方程，解方程可得.36分在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知圓，，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，圓與圓相離B.當(dāng)時(shí)，是圓與圓的一條公切線C.當(dāng)時(shí)，圓與圓相交D.當(dāng)時(shí)，圓與圓的公共弦所在直線方程是【答案】ABD【解析】【分析】通過計(jì)算兩圓的圓心距，再與兩圓半徑之和、半徑之差比較來判斷位置關(guān)系；對于公切線，需要判斷兩圓圓心到直線的距離是否等于半徑；對于公共弦，可通過兩圓方程相減得到.【詳解】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑；圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為.則兩圓的圓心距.第7頁/共21頁對于A，當(dāng)時(shí)，.，知圓與圓相離，A正確；對于B，當(dāng)時(shí)，，由可得兩圓相離.因圓心到的距離為；圓心到的距離為，故是圓與圓的一條公切線，B正確；對于C，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋瑑蓤A相離，C錯(cuò)誤；對于D，當(dāng)時(shí)，將兩圓方程相減得：，整理得，即圓與圓的公共弦所在直線方程是，D正確.故選：ABD.10.已知等比數(shù)列的公比為q，前n項(xiàng)和，設(shè)，記的前n項(xiàng)和為，則下列判斷正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】BD【解析】【分析】先求得的取值范圍，根據(jù)的取值范圍進(jìn)行分類討論，利用差比較法比較出和的大小關(guān)系.【詳解】由于是等比數(shù)列，，所以，當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，，即，上式等價(jià)于①或②.解②得.解①，由于可能是奇數(shù)，也可能是偶數(shù)，所以.綜上所述，的取值范圍是.，所以，所以，而，且.第8頁/共21頁所以，當(dāng)，或時(shí)，，即，故BD選項(xiàng)正確，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.當(dāng)時(shí)，，即.當(dāng)或時(shí)，，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.綜上所述，正確的選項(xiàng)為BD.故選：BD【點(diǎn)睛】本小題主要考查等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，考查差比較法比較大小，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.已知正方體的棱長為，點(diǎn)為中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在正方形則下列說法正確的是（）A.若，則的長度是B.若平面，則的最小值是C.若，則點(diǎn)的軌跡長度是D.若平面，則點(diǎn)的位置唯一【答案】BCD【解析】A；建立空間直角坐標(biāo)系并得出各點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)，其中，利用坐標(biāo)法分別判斷選項(xiàng)BCD.【詳解】選項(xiàng)A：連接，取其中點(diǎn)，在中，為中位線，所以，由于，所以，A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：第9頁/共21頁如圖，以D為原點(diǎn)分別以DA、DC、為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，由于動(dòng)點(diǎn)F在正方形內(nèi)，可設(shè)，其中，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為．則，令，得，，故，而，若平面，則，則，即，所以，此時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，取最小值，故選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)C：，因?yàn)?，所以，得，則點(diǎn)的軌跡如圖線段，其中都為中點(diǎn)，則，C正確；第10頁/共21頁選項(xiàng)D：若平面，則，．由于，，，則，解得：或此時(shí)，即點(diǎn)F的位置唯一，故選項(xiàng)D正確.故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分．12.若，，且，則實(shí)數(shù)的值是________【答案】【解析】【分析】根據(jù)空間向量垂直，則數(shù)量積為零，以及向量的線性運(yùn)算，列式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，，故可?因?yàn)?，故可得，即，解?故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查空間向量的線性運(yùn)算，數(shù)量積運(yùn)算，以及向量垂直的坐標(biāo)公式，屬綜合基礎(chǔ)題.13.l時(shí)，拱頂?shù)剿娴木嚯x是______．第11頁/共21頁【答案】##【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為，求出拋物線的方程，再代點(diǎn)的坐標(biāo)可得答案．【詳解】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為，當(dāng)水面未下降時(shí)，水面與拱橋的交點(diǎn)，將代入拋物線方程，得，所以．當(dāng)水面下降后與拱橋的交點(diǎn)為，設(shè)，代入，得，解得，所以拱橋到水面的距離為．故答案為：．14.已知的定義域是，且，則不等式的解是_______.【答案】【解析】【分析】變形不等式，構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)確守單調(diào)性。進(jìn)而求解不等式.第12頁/共21頁【詳解】依題意，不等式，令函數(shù)，求導(dǎo)得，由，得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，原不等式為，因此，解得或，所以原不等式的解集為.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用同構(gòu)的思想變形，再構(gòu)造函數(shù)是露頭角問題的關(guān)鍵.四、解答題：本題共5小題，共分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知公差不為零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且，，成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】1）設(shè)數(shù)列的公差為，根據(jù)已知求出，即得解；（2）利用分組求和結(jié)合等差及等比求和公式計(jì)算求和即可.【小問1詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，則有，解得：，.【小問2詳解】由（1）知，.第13頁/共21頁16.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）求函數(shù)在上的最小值．【答案】（1）（2）【解析】1）當(dāng)時(shí)，利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2的取值進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，即可求得函數(shù)在上的最小值.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，該函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t，由得，所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.【小問2詳解】，其中，當(dāng)時(shí)，對任意的，，在上單調(diào)遞增，此時(shí)，；當(dāng)時(shí)，對任意的，，在上單調(diào)遞減，此時(shí)，；當(dāng)時(shí)，令，可得，列表如下：第14頁/共21頁減極小值增所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)，.綜上所述，.17.如圖，在四棱錐中，平面，，，.（1）證明：平面平面；（2）若與平面所成角的正弦值為，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】1）取中點(diǎn)為，連接，由題意得，故有，再由平面得，從而平面，即可得平面平面；（2平面即為與平面求出的余弦值.【小問1詳解】第15頁/共21頁如圖，取中點(diǎn)為，連接，則，又，所以，所以，即，且，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，平面，所以平面又平面，所以平面平面【小?詳解】作，垂足為，由（1）知：平面平面，因平面，且平面平面，則平面，故即為與平面所成角，則，解得.在中，由，可得，故，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，.，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為第16頁/共21頁則，得，取，設(shè)平面的一個(gè)法向量為則，得，取，所以，由圖知，二面角銳二面角，所以二面角的余弦值為.18.已知橢圓的焦距為，其短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與長軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成正三角形.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)為的左焦點(diǎn)，為直線上任意一點(diǎn)，過作的垂線交于點(diǎn)，.（i）證明：平分線段（其中（ii）設(shè)線段的中點(diǎn)為，若與面積之積是，求點(diǎn)的縱坐標(biāo).【答案】（1）（2iii）【解析】1）根據(jù)題意求，即可得橢圓方程；（2i）設(shè)的方程為，聯(lián)立方程可得線段的中點(diǎn)為，可知過的中點(diǎn)，即可知平分線段ii）根據(jù)題意求與的面積，列式求解即可.【小問1詳解】由題意可知：，即，且，則，可得，第17頁/共21頁所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【小問2詳解】橢圓方程化為，顯然直線的斜率不為0，且與橢圓必相交，（i）設(shè)的方程為，代入橢圓方程得：.設(shè)，的中點(diǎn)為，則，可得，又的方程為，則得，所以，即過的中點(diǎn)，即平分線段；（ii）因?yàn)?，可得，解得或所以，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：有關(guān)圓錐曲線弦長、面積問題的求解方法1.系數(shù)的關(guān)系、設(shè)而不求法簡化運(yùn)算；涉及過焦點(diǎn)的弦的問題，可考慮用圓錐曲線的定義求解；2.面積問題常采用底高，其中底往往是弦長，而高用點(diǎn)到直線距離求解即可，選擇底很重要，選第18頁/共21頁擇容易坐標(biāo)化的弦長為底．有時(shí)根據(jù)所研究三角形的位置，靈活選擇其面積表達(dá)形式，若求多邊形的面積問題，常轉(zhuǎn)化為三角形的面積后進(jìn)行求解；3.用．19.已知數(shù)表，其中表示數(shù)表中第行第列的實(shí)數(shù)，互不相同，且滿足下列條件：①；②.（1）對于數(shù)表，若，寫出所有滿足條件的數(shù)表；（2）對于數(shù)表，當(dāng)取