專題9. 8 乘法公式（專項(xiàng)練習(xí)）

專題9.8乘法公式（專項(xiàng)練習(xí)）

一、單選題

1.已知代數(shù)式/-4x+7,則（）

A.有最小值7B.有最大值3

C.有最小值3D.無最大值和最小值

2.已知a+h=3，ab=2.則/+〃的值是（）

A.9B.7C.5D.13

3.設(shè)(a+3b)2=(a—3力A,則4=()

A.3B.6abC.0D.12ab

4.若a+b=l,a=b+9,則代數(shù)式/一〃的值等于()

A.3B.9C.12D.81

5.若4/一（加-l）x+9是完全平方式，則加的值為（）

A.13B.±12C.11或一13D.一11或13.

6.(-a-b)2等于()

A.a2-2ab+b2B.-a2+2ab-b2C.a2+2ab+b2D.-a2-2ab-b2

7.如圖，從邊長為a+2的正方形紙片中剪去一個邊長為a的小正方形，剩余部分可剪拼

成一個不重疊、無縫隙的長方形，若拼成的長方形一邊長為2,則它另一邊的長是（）

A.2a—2B.2aC.2a+1D.2a+2

8.等式（一a—l＞（）="_］中，括號內(nèi)應(yīng)填入（）

A.。+1B.\—ciC.-1—dD.a-\

9.若/一2（加一1封+9是完全平方式，則機(jī)的值為（)

A.4B.2或TC.±6D.—2或4

10.下列運(yùn)算中，不能用平方差公式運(yùn)算的是（)

A.（一〃-c）（-Z?+c）B._（x+y）（一%_y）

c.（x+y）（x-y）D.（x+y）（2x-2y）

11.若4=（2+1乂22+1乂24+1）（2&+1）+1,則A的末位數(shù)字是（）

A.4B.2C.5D.6

1.1

12.已知：機(jī)+—=3,則：帆+「■的值為（）

mm'

A.15B.18C.21D.9

13.我們已經(jīng)接觸了很多代數(shù)恒等式，知道可以用一些硬紙片拼成的圖形面積來解釋一些代

2

數(shù)恒等式.例如左圖可以用來解釋（a+b）2—（a-b）=4ab.那么通過右圖面積的計算，

驗(yàn)證了一個恒等式，此等式是（）

A.a2-b2=(a+b)(a-b)B.(a—b)(a+2b)-crab-b1

C.(a—b)2=a2—2ab+b2D.(a+b)2=/+2ab+b?

二、填空題

14.已知代數(shù)式/+2%+5可以利用完全平方公式變形為（x+l『+4,進(jìn)而可知f+2%+5

的最小值是4.依此方法，代數(shù)式產(chǎn)一），+5的最小值是.

16.如圖，正方形ABCD,根據(jù)圖形寫出一個正確的等式：

17.下圖是從一個正方形中剪下一個小正方形后，拼成一個矩形的過程.根據(jù)下圖，寫出一

個正確的等式：.

18.若k2+丁2_]乂尤2+,2+])=8,則％2+》2=

19.計算：(x+2#(x2+4y2)(x_2y)=.

20.已知。＜2,如果一個正方形的面積是(。2一4。+4)。加2,則這個正方形的周長是

___________________cm.

21.若a-b=7,ab=-12,則(。+勿2=

22.已知病+〃2=15,(m-n)2=1,則。"+〃)2=

23.若/—"優(yōu)+9是一個完全平方式，則，"的值是.

24.如圖，兩個正方形的邊長分別為a,b,如果。+h=出;=9,則陰影部分的面積為一.

25.若V+6x+加為完全平方式，則機(jī)=.

26.計算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1=.

三、解答題

27.圖1是一個長為2m、寬為2n的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長方形，然后

按圖2的形狀拼成一個正方形.

(1)你認(rèn)為圖2中的陰影部分的正方形的邊長等于；

(2)請用兩種不同的方法求圖2中陰影部分的面積.

;

②?

(3)觀察圖2你能寫出(機(jī)+〃>,(m-n)2,相〃三個代數(shù)式之間的等量_________

(4)運(yùn)用你所得到的公式，計算若知人=8,ab=7,求。一方和/―/的值.

(5)用完全平方公式和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求代數(shù)式21+4x+3y2-18y+32的最小值.

28.我們知道某些代數(shù)恒等式可用一些卡片拼成的圖形面積來解釋，例如：圖(1)可以

用來解釋Y+2出?+〃=(a+b)2,實(shí)際上利用一些卡片拼成的圖形面積也可以對某些二次

三項(xiàng)式進(jìn)行因式分解.

如圖(2),將一張長方形紙板按圖中虛線裁剪成九塊，其中有兩塊是邊長都為用的大正方

形，兩塊是邊長都為〃的小正方形，五塊是長為加，寬為〃的全等小長方形，且〃?>〃.(以

上長度單位：cm)

(1)觀察圖形，可以發(fā)現(xiàn)代數(shù)式2m2+5加〃+2”2可以分解因式為

圖⑴

（2）若每塊小長方形的面積為10c〃/,四個正方形的面積和為58c加2,試求圖中所有裁剪

線（虛線部分）長之和.

圖(2)

29.計算：(1)(x+l)2-(x—l)(x+2)(2)(3x—y+4)(3x+y—4)

30.計算:

(1)2a(4a2-2a+l)

(2)(2x-l)(2x+2)-(-2x)2

(3)(-x-2yXx-2y)-(2y-xY

(4)99-xlOO-(用簡便方法計算)

22

參考答案

I.c

【分析】

利用完全平方公式把原式變形，根據(jù)偶次方的非負(fù)性解答即可.

【詳解】

解：x2-4x+7

=x2-4x+4+3

=(x-2)2+3,

,/(x-2)2>0,

(x-2)2+323,

???代數(shù)式x2-4x+7有最小值3,

故選：C.

【點(diǎn)撥】

本題考查的是配方法的應(yīng)用，掌握完全平方公式、偶次方的非負(fù)性是解題的關(guān)鍵.

2.C

【分析】

根據(jù)完全平方公式即可求出答案.

【詳解】

解：+=片+2。人+/?2,

.-.31=a2+b2+2x2,

：.a2+h2=9-4=5

故選：C.

【點(diǎn)撥】

本題考查完全平方公式，屬于基礎(chǔ)題型，熟記公式是解題的關(guān)鍵.

3.D

【分析】

利用完全平方公式進(jìn)行變形求解即可.

【詳解】

根據(jù)(x+y)~_(x-y)2=4移，

得4=（。+3刀2一（。-3切2=4438=12曲，

故選：D.

【點(diǎn)撥】

本題考查了完全平方公式的變形運(yùn)用，熟記完全平方公式及其變形形式是解決問題的關(guān)鍵.

4.B

【分析】

逆用平方差公式計算.

【詳解】

由題：a+b-\-a-b=9

則=^a+b^a-b^=\x9=9

故選:B.

【點(diǎn)撥】

本題考查了平方差公式的逆運(yùn)用，能夠熟練運(yùn)用基本公式是解決問題的關(guān)鍵.

5.D

【分析】

根據(jù)完全平方公式的概念進(jìn)行配湊即可.

【詳解】

由題意，4/一（加一1?+9是完全平方式，則4/—（加―1）X+9=（2X±3）2,

m-1=±2X2X3=±12,加=—11或13；

故選：D.

【點(diǎn)撥】

本題考查了完全平方式，熟練掌握完全平方式是解決問題的關(guān)鍵.

6.C

【分析】

直接利用完全平方公式計算即可.

【詳解】

解：（一a-/?）?=（a+b）2=/+2。。+/,

故選：C.

【點(diǎn)撥】

本題考查完全平方公式.熟記公式是解題關(guān)鍵.

7.D

【分析】

根據(jù)圖形的拼接，用大正方形的面積減去小正方形的面積可得新長方形的面積可得出答案.

【詳解】

解：設(shè)長方形邊長為X,

則有(a+2)2-a2=2x,

a2+4a+4-a2=2x,

x=2a+2,

故選D.

【點(diǎn)撥】

本題考查平方差公式的幾何背景，正確表示兩個圖形的面積是得出關(guān)系式的關(guān)鍵.

8.B

【分析】

根據(jù)平方差公式的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行解答即可.

【詳解】

解：結(jié)合題意，可知相同項(xiàng)是-a,相反項(xiàng)是1和-1,

，空格中應(yīng)填：1-a.

故選:B.

【點(diǎn)撥】

本題考查了平方差公式，熟記平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，是解決此類問題的關(guān)鍵.

9.D

【分析】

先根據(jù)兩平方項(xiàng)確定出這兩個數(shù)，然后再根據(jù)完全平方公式的乘積的二倍項(xiàng)即可確定m的

值.

【詳解】

解：x2-2(m-l)x+9=x2-2(m-l)x+32,

-2(m-l)x=±2x3,

解得m=-2或m=4,

故選：D.

【點(diǎn)撥】

本題考查了完全平方式，根據(jù)完全平方式的特點(diǎn)得到-2(機(jī)-l)x=±2x3是解決問題的關(guān)

鍵.

10.B

【分析】

根據(jù)平方差公式逐項(xiàng)分析即可.

【詳解】

A.(-b-c)(-b+c)=(-b)2-c2,故能用平方差公式計算.此選項(xiàng)不符合題意.

B.-(x+y)(-%-y)=x2+2xy+y2,故不能用平方差公式計算.此選項(xiàng)符合題意.

C.(x+y)(x-y)=x2-y2,故能用平方差公式計算.此選項(xiàng)不符合題意.

D.(x+y)(2x-2y)=2(x+y)(x-y)=2(x2-y2)=2x2-2y2,故能用平方差公式計

算.此選項(xiàng)不符合題意.

故選：B.

【點(diǎn)撥】

本題考查了平方差公式，兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積等于這兩個數(shù)的平方差，用字母表

示為：(a+b)(a-b)=a2-b2.

11.D

【分析】

在原式前面加(2-1),利用平方差公式計算得到結(jié)果，根據(jù)2的乘方的計算結(jié)果的規(guī)律得

到答案.

【詳解】

A=(2+l)(22+l)(24+l)(28+l)+l

=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1

=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)+1

=（24-1）（24+1）（28+1）+1

=（28-1）（28+1）+1

=2'6>

；2的末位數(shù)字是2,

2z的末位數(shù)字是4,

23的末位數(shù)字是8,

2’的末位數(shù)字是6,

25的末位數(shù)字是2,

每4次為一個循環(huán)，

?.?16+4=4,

???2咐的末位數(shù)字與2,的末位數(shù)字相同，即末位數(shù)字是6,

故選：D.

【點(diǎn)撥】

此題考查利用平方差公式進(jìn)行有理數(shù)的簡便運(yùn)算，數(shù)字類規(guī)律的探究，根據(jù)2的乘方末位數(shù)

字的規(guī)律得到答案是解題的關(guān)鍵.

12.B

【分析】

把m+工=3兩邊平方得出加+上的值，再把機(jī)3+4變形代入即可得出答案

mnrm'

【詳解】

解：=3,

tn

1Y

m-\——=9,

m)

/.m2+，-=7

m"

???U)”T++卜%-1)=18

故選：B

【點(diǎn)撥】

本題考查了完全平方公式的應(yīng)用，熟練掌握公式是解題的關(guān)鍵

13.C

【分析】

利用不同的方法表示出空白部分的面積：一種是利用公式(a-加2直接計算，另一種是割補(bǔ)

法得"―2"+〃，根據(jù)面積相等即可建立等式，得出結(jié)論.

【詳解】

■空白部分的面積：(a-b)2,

還可以表示為：a2-2ab+lr-

/.此等式是（a-0I=a2-lab+b2.

故選：C.

【點(diǎn)撥】

本題考查了完全平方公式的幾何意義，注意圖形的分割與拼合，會用不同的方法表示出空白

部分的面積是解題的關(guān)鍵.

,3

14.4-

4

【分析】

把代數(shù)式V—y+5配方成a(x+b)2+c的形式，即可求解.

【詳解】

解：*.?y2_y+5=(y_J_]+43,

I2；4

3

「?y?—y+5的最小值是4—.

3

故答案為：4—.

4

【點(diǎn)撥】

本題考查完全平方公式，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，在式子的變形中要注意變化前后式子的

值不變.

【分析】

原式整理后，直接利用平方差公式計算即可.

【詳解】

故答案為：U-p2.

16

【點(diǎn)撥】

本題考查平方差公式.熟記平方差公式（（。+份（。-6）=。2一〃）是解決此題的關(guān)鍵.

16.答案不唯一：（a+/?）2==a2+2a/?+》2

【分析】

根據(jù)圖形，從兩個角度計算面積即可求出答案.

【詳解】

解：（a+b）2=a2+2ab+b2

故答案為：（a+b）2=a2+2ab+b2

【點(diǎn)撥】

本題考查多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用運(yùn)算法則，本題屬于基礎(chǔ)題.

17.（a+4）~—（6/+1）=3（a+4+a+l）

【分析】

裁剪前，第二圖的面積等于大正方形面積減去小正方形面積，裁剪拼湊后面積等于長x寬,

它們面積相等，據(jù)此可列出等式.

【詳解】

解：如下圖的面積在裁剪前=（。+4）2-（〃+1）2,

裁剪拼湊后=（。+4+。+1）［。+4—（。+1）］—3（。+4+。+1）,

裁剪前后面積相等，故：3+4）2-3+1）2=3（a+4+a+l）

故答案為：（a+4）2-（。+1）2=3（a+4+a+l）.

【點(diǎn)撥】

本題考查了平方差公式的幾何背景.掌握等面積法是解題關(guān)鍵.

18.3

【分析】

運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計算.

【詳解】

V(x2+y2-+/+1)=8,

[x2+y2]2-l2=8,

.,.[x2+y2]2=9,

又?；x2+y2加

/.x2+y2=3.

故答案為:3.

【點(diǎn)撥】

考查了運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計算，解題關(guān)鍵是熟記平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2.

19.x4-16/

【分析】

可利用平方差公式進(jìn)行計算.

【詳解】

解：原式=(x+2y)(x_2y)(x2+4y2)

=(x2-4j2)(x2+4y2)

=x4-\6y4

故答案為：X4-16/

【點(diǎn)撥】

本題主要考查平方差公式，靈活的應(yīng)用平方差公式是解題得關(guān)鍵.

20.8-4a

【分析】

先利用完全平方公式對("-4a+4)進(jìn)行分解因式，再根據(jù)正方形面積公式即可求出正方

形的邊長，然后利用邊長即可求出周長.

【詳解】

解：：a2-4a+4=(a-2)2,

又,：a<2,

正方形的邊長為(2-a)cm,

...正方形的周長為：4(2-a)=(8-4a)cm,

故答案為：8-4a.

【點(diǎn)撥】

本題主要考查利用完全平方公式分解因式，涉及了正方形的面積和周長的計算問題，掌握公

式法分解因式是解題的關(guān)鍵.

21.1.

【分析】

利用整式的乘法公式進(jìn)行計算即可.

【詳解】

(?+Z?)2—(?—/?)"=4ab,

.?.(a+Zj)2=(a-Z?)2+4aZ?=72+4x(-12)=l,

故答案為：1.

【點(diǎn)撥】

本題考查了整式的乘法公式，理解完全平方和與完全平方差之間的聯(lián)系，是解決本題的關(guān)鍵.

22.29.

【分析】

利用完全平方公式計算即可求H；.

【詳解】

V(m1,nr+2mn+n2=1'

Vm2+n2=15>15-l=2/m,

mn=7,

(m+n)'=〃/+n2+2/wn=15+2x7=29.

【點(diǎn)撥】

此題考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵.

23.±6

【分析】

根據(jù)完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征求解即可.

【詳解】

解：,.,/―3+9=/—"田+32是完全平方式，

m=±6,

故答案為±6.

【點(diǎn)撥】

本題考查完全平方公式，解題的關(guān)鍵是正確理解完全平方公式，本題屬于基礎(chǔ)題型.

24.27

【分析】

陰影部分面積等于兩個正方形面積之和減去兩個直角三角形面積，求出即可.

【詳解】

Va+h=ab=9

/.S=/+/—g/—gb（Q+Z?）

+b2-ab^

；［（4+0）--3ab

gx（81—27）

=27.

故答案為：27.

【點(diǎn)撥】

本題考查了整式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

25.9

【分析】

完全平方式可以寫為首末兩個數(shù)的平方卜+而丁，則中間項(xiàng)為x和標(biāo)積的2倍，即可解

得m的值.

【詳解】

解：根據(jù)題意，V+Gx+m是完全平方式，且6>0,

可寫成+,

則中間項(xiàng)為x和右枳的2倍，

故6x=2x\[m>

m=9,

故答案填：9.

【點(diǎn)撥】

本題是完全平方公式的應(yīng)用，兩數(shù)的平方和，再加上或減去它們積的2倍，就構(gòu)成了一個完

全平方式.注意中間項(xiàng)的符號，避免漏解.

26.216

【分析】

在原來的算式前面乘上(2-1),根據(jù)平方差公式，進(jìn)行計算，即可求解.

【詳解】

原式=(2—1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1

=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)+1

=(24-1)(24+1)(28+1)+1

=(28—1)(28+1)+1

=(2|6-1)+1

=216.

故答案是：29

【點(diǎn)撥】

本題主要考查有理數(shù)的運(yùn)算，掌握平方差公式，是解題的關(guān)鍵.

27.(1)m-n；(2)①(m-n)2；②(m+n)2-4mn；(3)(m-n)2=(m+n)2-4mn；(4)

a-b=±6,a2—b2=±48；（5）3

【分析】

（l）根據(jù)陰影部分正方形的邊長等于小長方形的長減去寬解答；

（2）從整體與局部兩個思路考慮解答；

（3）根據(jù)大正方形的面積減去陰影部分小正方形的面枳等于四個長方形的面積解答：

（4）根據(jù)（0-32=（“+92-4時,可得a-b的值，再根據(jù)。2_力2=（4+8）（。一匕）求出〃

的值；

（5）利用完全平方公式將原式變形為2（x+iy+3（y-3丫+3,再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可求

出最小值為3.

【詳解】

解：（1）由圖可知，陰影部分小正方形的邊長為：m-n；

（2）根據(jù)正方形的面積公式，陰影部分的面積為（m-n）2,

還可以表示為（m+n）2-4mn；

（3）根據(jù)陰影部分的面積相等，（m-n）2=（m+n）2-4mn：

（4）方=8,a〃=7,

/.（a-bY=+-4ab=8?_4xy=36,

a—h=±6,

若a-b=6,則〃2一/=（4+6）（々-6）=8><6=48,

若。一〃=-6,則a2—/?2=（6r+Z?）（6f—Z?）=8x（—6）=-48；

（5）+4%+3y2-18y+32

=2x2+4x4-24-3/-18y+27+3

=2（x+l）2+3（y-3）2+3

V2（X+1）2>0,3（^-3）2>0,

???2（x+l）2+3（y—3『+3>3,即最小值為3.

【點(diǎn)撥】

本題考查了完全平方公式的幾何背景，準(zhǔn)確識圖，根據(jù)陰影部分的面積的兩種不同表示方法

得到的代數(shù)式的值相等列式是解題的關(guān)鍵.

28.（1）（m+2n）（2m+n）；（2）42cm.

【分析】

（1）根據(jù)圖形的面積直接可以得到；

（2）根據(jù)2川+2/=58，/m=10.可得加+*=29,可求得加+〃=7,根據(jù)圖形

可知，圖中所有裁剪線（虛線部分）長之和是6,〃+6〃，據(jù)此求解即可.

【詳解】

（1）根據(jù)圖形，依題意可得:2m2+5mn+In2-（m+2n）（2m+n）

（2）依題意得2療+2〃2=58，7加=10

m2+n2=29

Q（m+n）'=m2+2mn+n2

\（m+"I=29+20=49

m+n>Q

.,.m+n-l,

根據(jù)圖形可知，圖中所有裁剪線（虛線部分）長之和是：