廣東春季高考數(shù)學集合與常用邏輯用語考點歸納總結

專題01集合與常用邏輯用語

目錄

考情解讀.......................................................................................1

知識梳理.......................................................................................2

考點精講.......................................................................................4

考點一：集合的基本概念....................................................................4

考點二：集合間的基本關系..................................................................9

考點三：集合的基本運算...................................................................12

考點四：利用集合的運算求參數(shù)的值(范圍)...................................................17

考點五：充分、必要條件的判定.............................................................19

考點六：充分、必要條件的應用.............................................................23

考點七：含有量詞的命題的否定及真假判斷..................................................26

考點八：含有量詞命題的應用...............................................................30

實戰(zhàn)訓練......................................................................................33

考情回顧

考點考頻考查內容

果口5年5考集合間的關系、集合的運算

充分條件和必要條件5年1考判斷充分條件和必要條件

全稱量詞和存在量詞5年4考含有量詞命題的否定

考情解讀

1.集合的含義與表示

(1)了解集合的含義、元素與集合的屬于關系

(2)能用自然語言、圖形語言、集合語言(列舉法或描述法)描述不同的具體問題

2.集合間的基本關系

(1)理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集.

(2)在具體情境中，了解全集與空集的含義.

1

3.集合的基本運算

(1)理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集

(2)理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集

(3)能使用韋恩圖(Venn)表達集合的關系及運算

4.充分條件與必要條件

(1)理解命題的概念.

⑵了解“若夕，則4"形式的命題.

(3)理解必要條件、充分條件與充要條件的意義，

5.全稱量詞與存在量詞

(1)理解全稱量詞與存在量詞的意義.

(2)能正確地對含有一個量詞的命題進行否定.

知識梳理

1、元素與集合

(1)集合中元素的三個特性：確定性、互異性、無序性.

(2)元素與集合的關系：屬于或不屬于，數(shù)學符號分別記為：e和B

(3)集合的表示方法：列舉法、描述法、韋恩圖(ve〃〃圖).

(4)常見數(shù)集和數(shù)學符號

數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集

符號NN*或生ZQR

①確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的；也就是說，給定一個集合，那么任何一個元素在不

在這個集合中就確定了.給定集合/={1,2,3,4,5},可知le/,在該集合中，不在該集合中；

②互異性：一個給定集合中的元素是互不相同的；也就是說，集合中的元素是不重復出現(xiàn)的.

集合A={a,b,c}應滿足awb豐c.

③無序性：組成集合的元素間沒有順序之分。集合/={1,2,3,4,5}和8={1,3,5,2,4}是同一個集合.

④列舉法

把集合的元素一一列舉出來，并用花括號“{卜括起來表示集合的方法叫做列舉法.

⑤描述法

用集合所含元素的共同特征表示集合的方法稱為描述法.

具體方法是：在花括號內先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值(或變化)范圍，再畫一條豎

線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征.

2

2、集合間的基本關系

（1）子集：一般地，對于兩個集合/、B,如果集合/中任意一個元素都是集合5中的元素，我們

就說這兩個集合有包含關系，稱集合Z為集合5的子集，記作/口3（或B衛(wèi)4）,讀作“Z包含于

8”（或“8包含Z”）.

（2）真子集：如果集合/口3,但存在元素xeB,且xe/,我們稱集合/是集合8的真子集，記

作Z8（或5”/）.讀作“z真包含于5”或“8真包含/

（3）相等：如果集合Z是集合8的子集,且集合8是集合/的子集（BjA）,此時，集

合/與集合8中的元素是一樣的，因此，集合Z與集合5相等，記作2=8.

（4）空集的性質：我們把不含任何元素的集合叫做空集，記作0；0是任何集合的子集，是任何非

空集合的真子集.

3、集合的基本運算

集合的并集集合的交集集合的補集

符號

A^BAHB若全集為U,則集合/的補集為CS

表不

C?

圖形C：O

表不

AUBAQB

集合{如￡/,

{x|xA,或x￡5}{x\x￡。，且xiA}

表不且

注：1.集合的運算性質

（1）/M=N,^00=0,A^B=B^A.

（2）/U/=N,/U0=/,A\JB=B^A.

（3）zn（c4）=0,4U（C必）=u,Cu（CuA）=A.

2.常用結論

（1）若有限集/中有〃個元素，則/的子集有〃個，真子集有2"—1個，非空子集有2"—1個，非空

真子集有2〃一2個.

（2）空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集.

（3）4JBOACB=4=AUB=B=CUA?CUB.

（4）CM4nB）=（C必）U（C團）,Cu（AUB）=（CuA）n（CuB）.

4、充分條件、必要條件與充要條件的概念

3

若則夕是夕的充金條件，q是p的必要條件

p是q的充分不必要條件p=>q且q/p

p是q的必要不充分條件p/q且q=p

p是q的充要條件pQq

夕是^的既不充分也不必要條件p與q且q與p

5、全稱量詞與存在量詞

(1)全稱量詞

短語“所有的”、“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“V”表示.

(2)存在量詞

短語“存在一個”、“至少有一個“在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“于，表示.

(3)全稱量詞命題及其否定

①全稱量詞命題：對M中的任意一個X,有p(x)成立；數(shù)學語言：VxeM,p(x).

②全稱量詞命題的否定：

(4)存在量詞命題及其否定

①存在量詞命題：存在M中的元素X,有p(x)成立；數(shù)學語言：3xeM，7?(x).

②存在量詞命題的否定：Vxe/，r?(x).

考點精講

考點一：集合的基本概念

【典型例題】

解題策略

(1)研究集合問題時，首先要明確構成集合的元素是什么，即弄清該集合是數(shù)集、點集，還是其他集合；然

后再看集合的構成元素滿足的限制條件是什么，從而準確把握集合的含義.

(2)利用集合元素的限制條件求參數(shù)的值或確定集合中元素的個數(shù)時，要注意檢驗集合中的元素是否滿足互

異性.

例1.(2023?廣東學業(yè)考試)給出下列說法：

①在一個集合中可以找到兩個相同的元素；

②好聽的歌能組成一個集合；

③高一(1)班所有姓氏能構成集合；

4

④把1,2,3三個數(shù)排列，共有6種情況，因此由這三個數(shù)組成的集合有6個.

其中正確的個數(shù)為（）

A.0B.IC.2D.3

【解析】對于①，集合中的元素是互不相同的，故①錯誤；

對于②，好聽的歌是不確定的，所以好聽的歌不能組成一個集合，故②錯誤；

對于③，高一（1）班所有姓氏是確定的，所以能構成集合，故③正確；

對于④，因為集合中的元素滿足無序性，故由1,2,3三個元素只能組成一個集合，故④錯誤,

所以正確的個數(shù)為1個.

故選：B.

例2.已知集合/={0,1,2},則下列結論正確的是（）

A.3eAB.leAC.2e/D.0任/

【答案】B

【分析】直接由元素與集合的關系即可求解.

【詳解】由元素與集合的關系可知：若集合N={0,1,2},則0c41e42c43e4

故選：B.

例3.已知集合/={1,2,3,a},4e/,貝!|a=（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】由元素與集合的關系即可求解.

【詳解】?.?/={L2,3,a},4e4

a=4

故選：D

例4.已知M是由1,2,3三個元素構成的集合，則集合M可表示為（）

A.{x|x=l}B.{x\x=2}C.{1,2}D.{1,2,3）

【答案】D

【分析】根據(jù)集合的知識確定正確選項.

【詳解】由于集合〃是由1,2,3三個元素構成,

5

所以M={1,2,3}.

故選：D

例5.已知集合/=卜|同＜5,xeZ},則N中元素個數(shù)為（）

A.8B.9C.10D.II

【答案】B

【分析】由列舉法即可判斷

【詳解】4={—,0,1,2,3,4},共有9個元素.

故選：B

例6.設集合Z={1,2,3},8={4,5},M=[x\x=a+b,aeA,beB],則M中的元素個數(shù)為.

【答案】4

【分析】求出所有。+6的值，根據(jù)集合元素的互異性可判斷個數(shù).

【詳解】因為集合〃中的元素x=Q+b,a^A,beB,所以當6=4時，Q=1,2,3,止匕時x=5,6,7.當

6=5時，a=\,2,3,止匕時x=6,7,8.

根據(jù)集合元素的互異性可知，x=5,6,7,8.即M={5,6,7,8},共有4個元素.

故答案為：4.

【即時演練】

1.數(shù)集{l,f-3}中的x不能取的數(shù)值的集合是（）

A.{2}B.{-2}C.{-A/2,2）D.{-2,2}

【答案】D

【分析】直接根據(jù)集合的互異性即可得結果.

【詳解】由集合的互異性可得一一3片1,即"±2,

所以無不能取的數(shù)值的集合是{々2},

故選：D.

2.方程-=x的所有實數(shù)根組成的集合（）

A.{0}B.{1}C.{0,1}D.0

6

【答案】C

【分析】求解一元二次方程的根組成的集合

【詳解】解方程x2=x,得x=0或x=l,

方程/=x的所有實數(shù)根組成的集合為{0,1}.

故選：C

3.圖中陰影區(qū)域所表示的集合為（）

A.{1}B.{2}C.{1,2}D.{5,6}

【答案】C

【分析】根據(jù)集合的定義以及表示方法，即可求解.

【詳解】陰影中有兩個數(shù)字，分別是1，2所以表示的集合為{1,2}.

故選：C

4.設M為我國四大河流長江、黃河、黑龍江、珠江組成的集合，那么集合M等于（）

A.{長江，黃河}B.{長江，黑龍江}

C.{長江，珠江}D.{長江，黃河，黑龍江，珠江}

【答案】D

【分析】根據(jù)集合的概念及表示即得.

【詳解】為我國四大河流長江、黃河、黑龍江、珠江組成的集合，

...7={長江，黃河，黑龍江，珠江}.

故選：D.

5.“notebooks”中的字母構成一個集合，該集合中的元素個數(shù)是

【答案】7

【分析】根據(jù)集合中元素的互異性知集合中不能出現(xiàn)相同的元素.

【詳解】根據(jù)集合中元素的互異性，"notebooks”中的不同字母為"n,o,t,e,b,k,s”，共7個，故該集

合中的元素個數(shù)是7；

故答案為：7.

6.已知數(shù)集A含有〃（〃￡N*）個元素，定義集合4*={%+引蒼》￡4}.

7

⑴若/={1,2,3},寫出/；

(2)寫出一個集合A,使得』=/；

(3)當〃=4時，是否存在集合A,使得/={2,3,4,6,7,8,10}?若存在，寫出一個符合條件的集合A；若不存

在，說明理由.

【答案】⑴{2,3,4,5,6}

⑵網(wǎng)

(3)不存在，理由見解析.

【分析】(1)根據(jù)集合的新定義，寫出中元素即可得解；

(2)根據(jù)條件分析集合中元素即可得解；

(3)根據(jù)題意可得不存在，利用反證法證明即可.

【詳解】(1)因為“={1,2,3},/*=卜+引居”1},

所以1+1=2,1+2=3,1+3=4,2+2=4,2+3=5,3+3=6為/*中元素，

故/*={x+y|x,yeN}={2,3,4,5,6}.

(2)取/={0},此時/*={x+y|x,ye/}={0},

滿足A=A*.

(3)當〃=4時，不存在集合A,使得/={2,3,4,6,7,8,10}.

(反證法)

假設〃=4時，存在集合A,使得/*={2,3,4,6,7,8,10},

不妨設4={。也c,d},且a<b<c<d,

貝+4<c+d<2d,

所以2a,。+44+0,6+0,6+1,0+1,24為/*中7個不同的元素，

所以2Q=2,a+6=3,a+c=4,6+c=6,6+d=7,c+d=8,2d=10,

由2a=2,〃+b=3,a+c=4解得a=l,b=2,c=3.

止匕時，6+C=5E/與5gZ*矛盾，

所以假設不成立，

故不存在這樣的集合A.

8

考點二：集合間的基本關系

【典型例題】

解題策略

集合關系問題的應用技巧

（1）判斷兩集合的關系有兩種方法，一是化簡集合，通過表達式尋求；二是列舉元素，從元素關系中尋

找.

（2）已知兩集合的關系求參數(shù)時，關鍵是將兩集合的關系轉化為元素間的關系，進而轉化為參數(shù)滿足的

關系，解決這類問題常常要合理利用數(shù)軸、Venn圖幫助分析.同時，要注意空集是任何集合的子集，以防

漏解.

例1.（2024?廣東學業(yè)考試）已知集合/={丫€2|-1<工?2},則集合4的非空真子集有（）個

A.5B.6C.7D.8

【解析】由集合N={xeZ|-l<x?2}={0,1,2）,

所以集合力的非空真子集為：{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},共有6個.

故選：B.

例2.集合4={1,2,3}的所有子集的個數(shù)為（）

A.5個B.6個

C.7個D.8個

【答案】D

【解析】用列舉法求出集合/={1,2,3}的子集即可得解.

【詳解】解：因為集合/={1,2,3},則集合4={1,2,3}的子集為:?、{1}、{2}、⑶、{1,2}

{1,3}、{2,3}、{1,2,3}共8個,

故選：D.

【點睛】本題考查了集合子集的概念，屬基礎題.

例3.設集合M={1,2,3},則下列選項正確是（）.

A.IcAfB.C.D.{3}eM

【答案】B

【分析】利用元素與集合，集合與集合之間的關系逐一判斷即可.

9

【詳解】對于選項A：由元素與集合的關系可知leM,故A錯誤；

對于選項B：由元素與集合的關系可知,故B正確；

對于選項C：由元素與集合的關系可知3eM,故C錯誤；

對于選項D：由集合與集合的關系可知{3}=故D錯誤.

故選：B

例4.已知集合”={x|x>l},B={x\ax>\],若3=/,則實數(shù)。的取值范圍()

A.(0,1)B.(0,1]C.[0,1]D.[0,1)

【答案】C

【解析】就。=0,。>0,。<0分類討論后可得實數(shù)。的取值范圍.

【詳解】當”=0時，5=0,此時3=/,故。=0滿足.

當a>0時，5={x|x>—},因為8=/,故121即0<a41.

aa

當a<0時，B={x\x<—],此時Bq/不成立，

a

綜上，0<?<l.

故選：C.

【點睛】本題考查含參數(shù)的集合的包含關系，注意對含參數(shù)的集合，要優(yōu)先討論其為空集或全集的情形，

本題屬于基礎題.

例5.已知集合2=任|工=1},8=任|了2=4},若/=貝.

【答案】1

【解析】由/=得到1是方程/=a是方程的根，代入即可求解.

【詳解】由題意，集合/={x|x=l},8={x|x2=a},

因為所以leg,即1是方程Y=a是方程的根，解得。=1,

當。=1,可得集合6={-1,1},此時滿足/q8,

所以4=1.

故答案為：1.

【點睛】本題主要考查了根據(jù)集合間的關系求解參數(shù)問題，其中解答中熟記集合件的包含關系，結合元素

與集合的關系，列出方程求解是解答的關鍵，屬于基礎題.

例6.設集合N={1,2,3,4},5={1,2,3,a},且/=8,則a=()

10

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】根據(jù)集合相等直接得解.

【詳解】因為N={1,2,3,4},5={1,2,3,a},且4=3,

所以。=4.

故選：D

【即時演練】

1.已知集合/={04},3={-1,0,。+2},若4=8,貝匹的值為（）

A.-2B.-1

C.0D.1

【答案】B

【解析】根據(jù)/=8可得出關于。的等式，解出即可.

【詳解】；集合/={0』},8={-1,0,。+2},AcB,.-.a+2=1,解得a=-l.

故選：B.

【點睛】本題考查利用集合的包含關系求參數(shù)，考查計算能力，屬于基礎題.

2.已知集合/={0,2,3},8=卜|尤=”也”,6€耳，則集合3的真子集的個數(shù)是（）

A.3B.4C.15D.16

【答案】C

【分析】由題意求出集合5所含元素的個數(shù)，可得集合8的真子集的個數(shù).

【詳解】解：由集合/={0,2,3},8={x|x=a也可得8={0,4,6,9},

其中集合8中含有4個元素，可得集合3的真子集的個數(shù)是2"-1=15個，

故選：C.

【點睛】本題主要考查集合的子集、真子集的個數(shù)，求出集合B中元素的個數(shù)是解題的關鍵.

3.（2023高三上?廣東?學業(yè)考試）已知。=WU務設集合屈={1,3},卜2<9}，則（）

A.UUB.{-3,1}屋。

C.{2,3"D.{T3}=U

11

【答案】D

【分析】先求出全集U,從而判斷四個選項的正誤，可得答案.

【詳解】由題意，＜9}={-2,-1,01,2},

得。=河口電河={1,3}口{一2,-1,0,1,2}={-2,-1,0,1,2,3},

故let/,A錯誤；-3eU,故B錯誤，

{2,3}cU,故{2,3}/U屬于集合間符號使用不正確，C錯誤，

{-1,3}CC/,D正確，

故選：D

4.已知集合M={3,4},N={x|(x-3)(x+“)=0,aeR},若"=N,貝！|。=()

A.3B.4C.-3D.-4

【答案】D

【分析】依題意可得3eN,且4eN,即可得到x=3和x=4為方程(x-3)(x+a)=0的兩個實數(shù)根，從而得

解；

【詳解】解：因為加={3,4}且屈=",

所以3eN,且4eN,

又N={尤|(x-3)(x+a)=0,qeR},

所以x=3和x=4為方程(無一3)(尤+。)=0的兩個實數(shù)根，

所以。=-4；

故選：D

考點三：集合的基本運算

【典型例題】

解題策略

求解集合基本運算的方法步驟

12

確定確定集合中的元素及其滿足的條件，如

元素函數(shù)的定義域、值域，不等式的解集等

根據(jù)元素滿足的條件解方程或不等

化簡

式，得出元素滿足的最簡條件，將集合

集合

清晰的表示出來

運算利用交集或并集的定義求解，必要時

求解可應用數(shù)軸或Venn圖來直觀解決

例1.(2021?廣東學業(yè)考試)已知集合/={x|(x-4)(x+2)<0},8={-3,-1,1,3,5},則/0|8=()

A.{-1,1,3}B.{-3,-1,1,3}C.{-1,1,3,5}D.{-3,5}

【解析】因為4={x[(x-4)(x+2)<0}=(-2,4)

又&={-3,-1,1,3,5},

所以=1,3).

故選：A.

例2.(2024?廣東學業(yè)考試)已知集合”={1,2},N={-1,0,1),則”|JN=()

A.{0,1,2}B.{1}C.{0,1}D.{-1,0,1,2}

【解析】?.?集合M={1，2},N={-1,0,1},

.?."UN={-1,0,1,2}.

故選：D.

例3.已知。={2,4,6,8},4={6,8},則用/=()

A.{2}B.{2,4}C.{2,4,6}D.{2,4,6,8}

【答案】B

【分析】利用補集的定義即可求解.

【詳解】由。={2,4,6,8},4={6,8},

則。4={2,4},

故選：B.

例5.（2023?廣東學業(yè)考試）設集合。={1,2,3,4,5,6},A={2,4,6},B={2,3,4},

13

則的（4J8）=（）

A.{1,5}B.{2,4}C.{1,3,5}D.{2,3,4,6}

【解析】vA={2,4,6},B={2,3,4},

/I|j8={2,3,4,6},.??（/|<>|的={1，5}.

故答案為：A.

例6.（2022?廣東學業(yè)考試）已知全集與={0,1,2,3,4},設集合N={0,1,2）,5={1,2,3},則2C@/）=（

）

A.{3}B.0C.{1,2}D.{0}

【解析】vU={0,1,2,3,4},/={0,1,2},

.?.%N={3,4},又B={1,2,3},

.⑷&/）={3}?

故選：A.

例7.已知集合/={-1,0,1,2},8={x|x>0},則下列結論不正確的是（）

A.B.0=C.{2}1/口8D.{x|x>0}=/U3

【答案】D

【分析】根據(jù)交集、并集的定義求出NcB,AUB,再根據(jù)元素與集合的關系、集合與集合的關系判斷即

可.

【詳解】因為/={T，0,L2},8=3耳0},

所以NcB={l,2},^uS={x|x>0}u{-l},

所以0^ADB,{2}c^n5,故A、B、C正確，D錯誤；

故選：D

【即時演練】

1.（2023?廣東學業(yè)考試）已知集合/={x|-l<x明，5={x|0?x-2},則）

A.{x|-1<x*2}B.{x|-1ex*2}C.{x|0?%*1}D.{x|-1<x<0}

【解析】集合Z={x|-lvx?l},B={x\0^x<2）,

14

={xI-1<x<2}.

故選：A.

2.(2020?廣東學業(yè)考試)設集合/={0,1},5={-1,0},貝)

A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{0}D.{-1,0}

【解析】；集合/={0,1},B={~1,0},

，4JB={T，o，i}?

故選：B.

3.集合/={1,2,3,4},B={Q,\,2},則/口5=()

A.{0,1}B.{1,2}C.{2,3}D.{354}

【答案】B

【分析】由交集的運算求解即可；

【詳解】由題意可得/口2={1,2},

故選：B.

4.設全集U={1,3,5,7},集合/={3,5},6={1,3,7},則/u&8)=.

【答案】{3,5}

【分析】確定電8={5},再計算并集得到答案.

【詳解】U={1,3,5,7},B={1,3,7},則務8={5},

4={3,5},則4u(升為={3,5}.

故答案為：{3,5}.

5.若集合"={1,2},N={2,3},尸={3,4},則(河斐治川尸等于()

A.0B.{3}C.{2,3,4}D.{1,2,3,4)

【答案】C

【分析】根據(jù)給定條件，利用交集、并集的定義直接求解即可.

【詳解】由丑={1,2},N={2,3},得血mN={2},而尸={3,4},

15

所以(MnN)UP={2,3,4}.

故選：C

6.已知集合。={2,3,4,5,7},A={2,3},B=[3,5,1},則/口(42)=()

A.{2,3,5,7}B.{2,3,4}C.{2}D.{2,3,4,7}

【答案】C

【分析】根據(jù)補集與交集的運算，可得答案.

【詳解】由題意，務B={2,4},NQ(令為={2}.

故選：C.

7.設全集U={-1,0,1,2},集合M={0,2},貝師/=()

A.{-1,0,1}B.{1,2}C.{-1,0}D.{-1,1}

【答案】D

【分析】直接由補集的定義即可求解.

【詳解】若全集】={-斐」,2},集合M={0,2},則2M=

故選：D.

8.設集合/={—2,-1,0,1},8={x[T<x<l},貝1]/八(43)=()

A.{-2,-1}B.{-1,1}C.{-2,0,1}D.{-2,-1,1)

【答案】D

【分析】根據(jù)集合的交并補運算即可求解.

【詳解】由3={尤[-1<X<1}可得48=卜上(-1或X21},

所以/c低為={-2,-1,1},

故選：D

9.設集合。={0=2,3,4,5,6},M={0,l,2,5},N={2,3,6},則(用N)=()

A.{2}B.{1,5}C.{0,1,5}D.{0,l,4,5}

【答案】C

【分析】應用集合的交補運算求集合.

16

【詳解】由題設dN={0,l,4,5},則Mn（0N）={0,l,5}.

故選：C

考點四：利用集合的運算求參數(shù)的值（范圍）

【典型例題】

解題策略

利用集合的運算求參數(shù)的方法

（1）將集合中的運算關系轉化為兩個集合之間的關系.若集合中的元素能一一列舉，則用觀察法得到不同集

合中元素之間的關系；若集合中的元素是用不等式（組）表示的，則一般利用數(shù)軸解決，要注意端點值能否取

到.

（2）將集合之間的關系轉化為解方程（組）或不等式（組）問題求解.

（3）根據(jù)求解結果來確定參數(shù)的值或取值范圍.

例1.（2021?廣東學業(yè)考試）已知集合/={1,2},5={1,m,3},如果=/,那么實數(shù)加等于（）

A.-1B.0C.2D.4

【解析】=/，

???4={1,2},8={1,m,3},

m=2.

故選：C.

例2.（2020?廣東學業(yè)考試）已知集合/={1,3,而},5={1,m},^]B=A,則機=（）

A.0或百B.0或3C.1或有D.1或3

【解析】A^B=A<^B^A.

{1.m}c{1,3,4m},

:.m=3

或加=A/晟，解得冽=0或加=1（與集合中元素的互異性矛盾，舍去）.

綜上所述，冽=0或冽=3.

故選：B.

17

例3.已知集合4={1,2},8={a,/+3},若力口3={1},則實數(shù)“的值為()

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】由交集的結果，根據(jù)1+323及集合的性質，即可求。的值.

【詳解】由/口2={1},而1+323,故〃=1,

故選：B.

【即時演練】

1.設全集U=R,集合A={久|1Wx<4},B—{x\2a<x<3—a].

⑴若a=-2,求5n/，5n(V)

(2)若NU8=/,求實數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1)8n.4={x|l<x<4]；Bn(CM)={x|-4<x<1或4<x<5}

*，+,

【分析】(1)先代入。=-2化簡集合8,再利用集合的交并補運算即可得到結果；

(2)先由/U8=4得到8=工，再分類討論8=0與3工0兩種情況，結合數(shù)軸法即可得到所求.

【詳解】(1)因為。=-2,所以B={x|2a<%<3-a}={x|-4<%<5},

又因為4={x|lWx<4},U=R,

所以BnX={x|l<x<4},CyA=(x\x<1或x>4},

故Bn(CcM)={x|-4<%<1或4<%<5}.

(2)因為/U2=N,所以

因為B={x\2a<x<3—a],A={x|l<x<4},

所以當8=0時，2.a>3-a,解得91,此時8="；

當時，a<\,

由數(shù)軸法得[20：]二解得{"：;，故;V°<1；

綜上：a2—,即ae—,+oo|.

2[2)

2.已知全集為U,McN=M,則其圖象為()

18

【分析】根據(jù)給定條件，可得M=結合韋恩圖的意義判斷作答.

【詳解】全集為。，McN=M,則有MQN,選項BCD不符合題意，選項A符合題意.

故選：A

考點五：充分、必要條件的判定

【典例講解】

解題策略

充分條件、必要條件的3種判定方法

⑴定義法：根據(jù)p=g,進行判斷，適用于定義、定理的判斷性問題.

(2)集合法：根據(jù)0,q對應的集合之間的包含關系進行判斷，多適用于條件中涉及參數(shù)范圍的推斷問題.

(3)等價轉化法：根據(jù)一個命題與其逆否命題的等價性，把要判斷的命題轉化為其逆否命題進行判斷，適用

于以否定形式給出的問題.

例1.(2024?廣東學業(yè)考試)“x-3=0”是“(x-3)(x-4)=0”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【解析】(x-3)(x-4)=0ox=3或x=4,

因為x=3n(x-3)(x-4)=0,反之不成立，

故“x-3=0”是“(x-3)(x-4)=0”的充分不必要條件.

故選：A.

例2.“0〈尤<2”是"T<x<3"的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

19

【分析】根據(jù)充分必要條件的定義判斷.

【詳解】0<x<2時，一定有-l<x<3,滿足充分性，

但-l<x<3時，如x=2.5,不滿足0<x<2,即不滿足必要性,

“0<x<2”是“-1<x<3”的為充分不必要條件.

故選：A.

例3.已知。由力R,則“。=6"是％°的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】直接根據(jù)充分性和必要的定義判斷求解.

【詳解】當時，a2=b2,

當/=/時，a-+b,

則“°=b”是“/=b2”的充分而不必要條件.

故選：A.

例4.已知命題°：。+6>0,且ab>0,命題q:a>0,且b>0,貝！是4的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】利用充分必要條件的定義，結合不等式的性質即可得解.

【詳解】當。+6>0,且a6>0時，

由ab>0得。,6同號，再由。+6>0得a>0,且6>0,即充分性成立；

當。>0,且6>0時，a+b>0,且ab>0,即必要性成立；

所以0是4的充要條件.

故選：C.

例5.已知。，例R,則“同>1,網(wǎng)>1”是“力+^>2”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】根據(jù)給定條件，利用充分條件、必要條件的定義判斷作答.

20

【詳解】由q,Z?GR,\a\>l,\b\>lf得/>1/2〉］,于是〃2+/>2,

由。，ZJGR,取a=l,6=2,滿足/+62>2,顯然“問〉1,問〉1"不成立，

所以“同>1,網(wǎng)>1”是“/+/>2”的充分不必要條件.

故選：A

例6.使不等式x>l成立的一個充分不必要條件是()

A.2<x<3B.x>0C.—2<尤<5D.x>1

【答案】A

【分析】根據(jù)充分不必要條件的知識確定正確答案.

【詳解】不等式x>l成立的一個充分不必要條件是2Vx<3,

x>0是x>l的必要不充分條件，

-2<x<5是x>1的非充分非必要條件，

X>1是X>1的充分必要條件.

故選：A

【即時演練】

13

1.“。=一力=一”是“5J50=25”的（

22

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】根據(jù)指數(shù)運算可得。+6=2,即可根據(jù)充分不必要條件的定義求解.

【詳解】由5吼5"=25可得5"、5&=5"拓=25,故。+6=2,

13

因此“。=一/=一”是“a+b=2”的充分不必要條件

22

故選：A

2.設6是實數(shù)，則“同>6”是“。>網(wǎng)”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

21

【分析】根據(jù)充分必要條件的定義求解.

【詳解】對于同＞6，比如。=1/=-3,顯然同=1＜網(wǎng)=3,不能推出”＞網(wǎng)；

反之，如果0＞阿，貝！］必有。＞0,，|4=。＞網(wǎng)26；

所以”是“a＞網(wǎng)”的必要不充分條件;

故選：B.

3.已知a,beR,則“a=6=0”是“a+6=0”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】根據(jù)“充分必要條件”的定義求解.

【詳解】如果。=6=0，則有a+6=0，是充分條件；如果。+6=0，則有a=-6，但不能推出。=6=0,

比如a=L6=-1,a+6=0,不是必要條件；

所以“。=6=0”是“a+6=0”的充分不必要條件；

故選：A.

4.已知a,beR,則是哼＞1”的（）

b

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】D

【分析】根據(jù)充分必要條件的定義判斷.

【詳解】a=l,b=Q滿足但:無意義，：＞1不成立，不充分,

bb

反之，。=-2,6=1滿足，＞1,但6,6無意義,即夜＞6不成立，因此不必要,

b

從而應為既不充分也不必要條件

故選：D.

5.“叫＞則”是“a＞6”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】A

22

【分析】根據(jù)條件，利用充分條件和必要條件的判斷方法即可得出結果.

【詳解】若。匕|>6|。|，則加卜61cl=("6)上|>0,又因為向20,所以”6>0,即a>b,

若a>b,因為卜|》0,當c=0時，Hd>“d不成立,

所以“aM>6問”是“a>b”的充分不必要條件.

故選：A.

6.已知空間中兩條不重合的直線6,則“。與6沒有公共點”是“?！?的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】由直線。與b沒有公共點表示兩條直線。//6或者。與6是異面直線，再根據(jù)充分必要性判斷.

【詳解】“直線。與6沒有公共點”表示兩條直線a//6或者。與6是異面直線，所以“。與6沒有公共點”是

“a〃6”的必要不充分條件.

故選：B

考點六：充分、必要條件的應用

【典例講解】

解題策略

應用充分條件、必要條件求解參數(shù)范圍的方法

(1)把充分條件、必要條件或充要條件轉化為集合之間的關系，然后根據(jù)集合之間的關系列出關于參數(shù)的不

等式(或不等式組)求解