2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：兩條直線的位置關(guān)系（八大題型）（講義）（學(xué)生版+解析）

第02講兩條直線的位置關(guān)系

目錄

01考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航............................................................2

02知識(shí)導(dǎo)圖?思維引航............................................................3

03考點(diǎn)突破?題型探究............................................................4

知識(shí)點(diǎn)1：直線平行與垂直的判定..................................................4

知識(shí)點(diǎn)2：三種距離..............................................................4

解題方法總結(jié)...................................................................5

題型一：兩直線位置關(guān)系的判定...................................................6

題型二：兩直線的交點(diǎn)與距離問題.................................................8

題型三：有關(guān)距離的最值問題.....................................................9

題型四：點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱..........................................................10

題型五：點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱..........................................................11

題型六：線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱..........................................................12

題型七：線關(guān)于線對(duì)稱..........................................................12

題型八：直線系方程............................................................13

04真題練習(xí)?命題洞見............................................................14

05課本典例高考素材............................................................14

06易錯(cuò)分析?答題模板............................................................16

易錯(cuò)點(diǎn)：兩平行直線間的距離公式應(yīng)用錯(cuò)誤........................................16

答題模板：已知兩直線平行或垂直求參數(shù)..........................................17

考情透視.目標(biāo)導(dǎo)航

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析

高考對(duì)兩條直線的位置關(guān)系的考查比較穩(wěn)

（1）兩條直線的平行與

2022年上海卷第7題，5分定，考查內(nèi)容'頻率、題型難度均變化不大，備

垂直

2020年III卷第8題，5分考時(shí)應(yīng)熟練掌握兩條直線的位置關(guān)系、距離公

（2）兩直線的交點(diǎn)與距

2020年上海卷第7題，5分式'對(duì)稱問題等，特別要重視兩條直線的位置關(guān)

離問題

系以及點(diǎn)到直線的距離公式這兩個(gè)考點(diǎn).

復(fù)習(xí)目標(biāo)：

（1）能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直.

（2）能用解方程組的方法求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo).

（3）掌握平面上兩點(diǎn)間的距離公式'點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)求兩條平行直線間的距離.

老占突硒?力理慳宙

--------------H-H-u

知識(shí)

知識(shí)點(diǎn)1:直線平行與垂直的判定

兩條直線平行與垂直的判定以表格形式出現(xiàn)，如表所示.

兩直線方程平行垂直

《：4%+男丁+6=04g_44=0且

A4+B[B2-0

l2\A1x+B2y-\-C2=051c2—32clw0

Z.:y=k.x+b,-—一,

''（斜率存在）

l2,.y=k2x+b2冗二k?,bi或左1?左2=-1或與%2中有一個(gè)為

"（斜率不存在）X=X],X=X2，%1W%20,另一個(gè)不存在.

l2-x=x2

【診斷自測(cè)】(多選題)已知兩條直線乙，4的方程分別為3x+4y+12=0與冰+8y-ll=0,下列結(jié)論正確

的是()

7

A.若/i〃4，則a=6B若〃4,則兩條平行直線之間的距禺為了

32

C.若乙_LI,則Q=—D.若aw6,則直線乙，。一定相交

知識(shí)點(diǎn)2：三種距離

1、兩點(diǎn)間的距離

平面上兩點(diǎn)《(為,%),心(%,%)的距離公式為I4呂1=J(X-%產(chǎn)+(%-%I-

特別地，原點(diǎn)。(0,0)與任一點(diǎn)P(x,y)+/.

2、點(diǎn)到直線的距離

點(diǎn)心（無0,%）到直線/:Ac+劣+C=0的距離d=If%+a

VA2+B2

特別地，若直線為/：x=m,則點(diǎn)《(%,%)到/的距離2=|根-%|;若直線為/：y=n,則點(diǎn)?(%,%)到

/的距離d=|〃一%|

3、兩條平行線間的距離

已知44是兩條平行線，求4間距離的方法：

u）轉(zhuǎn)化為其中一條直線上的特殊點(diǎn)到另一條直線的距離.

（2）設(shè)/j：Ax+3y+G=0,/2：Ar+BY+C2=0，貝U4與/，之間的距離d=隼二^

yjA2+B2

注：兩平行直線方程中，x,y前面對(duì)應(yīng)系數(shù)要相等.

4,雙根式

雙根式土屈/+3+生型函數(shù)求解，首先想到兩點(diǎn)間的距離，或者利用單調(diào)性

求解.

【診斷自測(cè)】（多選題）已知點(diǎn)聞。,4）到直線/：如+k1=0的距離為3,則實(shí)數(shù)加等于（）

A.0B.-C.3D.2

4

解題方法總結(jié)

1、點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱

點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的本質(zhì)是中點(diǎn)坐標(biāo)公式：設(shè)點(diǎn)尸（X[,y）關(guān)于點(diǎn)。（尤0,%）的對(duì)稱點(diǎn)為P\x2，必），則根

石+Z

據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，有02

可得對(duì)稱點(diǎn)P'（x2，%）的坐標(biāo)為（2%-玉，2%-%）

2、點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱

點(diǎn)尸（百，%）關(guān)于直線/:Ac+3y+C=0對(duì)稱的點(diǎn)為P（無2，%），連接PP，交/于M點(diǎn)，貝1J/垂直平分

kj-kpp.——1

pp,,所以pp_U，且〃為pp中點(diǎn)，又因?yàn)榧釉谥本€/上，故可得.尤]+尤2X+必，解出

.2+B2+~

出，%）即可，

3、直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱

法一：在已知直線上取兩點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式求

出直線方程；

法二：求出一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，再利用兩對(duì)稱直線平行，由點(diǎn)斜式得到所求直線方程.

4、直線關(guān)于直線對(duì)稱

求直線Z,：ox+6y+c=0，關(guān)于直線6：公+ey+/=O（兩直線不平行）的對(duì)稱直線4

第一步：聯(lián)立人6算出交點(diǎn)P（x0,%）

第二步：在4上任找一點(diǎn)（非交點(diǎn)）Q?,%），利用點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的秒殺公式算出對(duì)稱點(diǎn)

。'（々，%）

第三步：利用兩點(diǎn)式寫出4方程

5、常見的一些特殊的對(duì)稱

點(diǎn)（x,y）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為（x,-y）,關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為（-x,y）.

點(diǎn)（尤，y）關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)為（y,無），關(guān)于直線y=-x的對(duì)稱點(diǎn)為（-y,-龍）.

點(diǎn)（x,y）關(guān)于直線x=。的對(duì)稱點(diǎn)為（2a-x,y）,關(guān)于直線y=。的對(duì)稱點(diǎn)為（x,2b—y）?

點(diǎn)（尤，y）關(guān)于點(diǎn)（a,力）的對(duì)稱點(diǎn)為（2a-x,2b—y）■

點(diǎn)（x,y）關(guān)于直線尤+y=上的對(duì)稱點(diǎn)為（左-y,左-x）,關(guān)于直線尤-y=4的對(duì)稱點(diǎn)為（左+y,x-k）-

6、過定點(diǎn)直線系

過已知點(diǎn)尸（X。，%）的直線系方程y-%=—x-x。）（4為參數(shù)）.

7、斜率為定值直線系

斜率為左的直線系方程y=Ax+Z?（6是參數(shù)）.

8、平行直線系

與己知直線Ax+By+C=O平行的直線系方程Ax+By+A=O（九為參數(shù)）.

9、垂直直線系

與已知直線Ac+8y+C=0垂直的直線系方程&-Ay+4=0（%為參數(shù)）.

10、過兩直線交點(diǎn)的直線系

過直線4：4x+Ay+G=0與4：&x+B2y+C2=0的交點(diǎn)的直線系方程：

=

4了+4y+G+X（4x+B^y+C2）0（2為參數(shù).

（題[甲J]

題型一：兩直線位置關(guān)系的判定

【典例14】（湖北省“宜荊荊恩”2024屆高三9月起點(diǎn)考試數(shù)學(xué)試題）已知兩條直線

Zj:ax+4y—1=0,/,-x+ay+2=0,貝。"a=2”是“（〃夕’的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

21

【典例1-2］已知。＞0,b＞。,直線（a—l）%+y—1=0和x+2"+1=0垂直，則一+不的最小值為（）

ab

A.16B.8C.4D.2

【方法技巧】

【解題方法總結(jié)】

判斷兩直線的位置關(guān)系可以從斜率是否存在分類判斷，也可以按照以下方法判斷：一般地，設(shè)

4：Ax+gy+G=0（A，耳不全為0），Z2：A,X+B2J+C2=0（4，與不全為0）,貝I」：

當(dāng)4員-43尸0時(shí)，直線44相交；

當(dāng)44=4用時(shí)，44直線平行或重合，代回檢驗(yàn)；

當(dāng)時(shí)，4,直線垂直，與向量的平行與垂直類比記憶.

【變式1-1】直線3x-C+2）y+左+5=0與直線近+（2左-3）y+2=0相交，則實(shí)數(shù)上的值為（）

A.上片1或左中9B.左片1或左片一9

C.左wl且左看9D.k^lS.k^-9

【變式1-2】點(diǎn)“外,％）,。伍,%）為直線依-y+2=o上不同的兩點(diǎn)，則直線4：尤田-％〉=1與直線

：%x-y2y=1的位置關(guān)系是（）

A.相交B.平行C.重合D.不確定

【變式1-3］（2024?高三?廣東?開學(xué)考試）已知直線4：一蘇x+y-l=0,直線6：（2m—3）x+y-3=0,

貝U租=—3是乙〃4的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【變式1-4］（2024?高三?上海寶山?開學(xué)考試）已知集合4={（蒼＞）|尤+Q+2a=0},

2={（尤,曰麻+@-1=0},則下列結(jié)論正確的是（）

A.存在aeR,使得4=0

￡_3

當(dāng)〃=一時(shí)，Ar>B=

B.12，-2

C.當(dāng)A5=0時(shí)，a=l

D.對(duì)任意的awR,都有

題型二：兩直線的交點(diǎn)與距離問題

【典例2-1］(2024?高三?江蘇蘇州?開學(xué)考試)已知直線/|：x+y+C=0與直線4：—+為+。=。交于

CU),則原點(diǎn)到直線4距離的最大值為()

A.2B.JlC.也D.1

2

【典例2-2】若直線y=x+2左+1與直線y=一：》+2的交點(diǎn)在第一象限，則實(shí)數(shù)上的取值范圍是(

)

5_J_2￡

A.B.C.D.

2，-2552

【方法技巧】

兩點(diǎn)間的距離，點(diǎn)到直線的距離以及兩平行直線間的距離的計(jì)算，特別注意點(diǎn)到直線距離公式的結(jié)構(gòu).

【變式2-1】已知點(diǎn)4(2,1),8(3,4),C(-2,-l),則ABC的面積為一.

【變式2-2】已知平面上點(diǎn)以3,3)和直線/:2y+3=。，點(diǎn)尸到直線/的距離為d,貝儲(chǔ)=_.

【變式2-3］已知直線/：(m+1)尤-y-3m-2=0,則點(diǎn)到直線I的距離的最大值為.

【變式2-4］已知點(diǎn)A(-1,2),3(1,4),若直線/過點(diǎn)”(-2,-3),且A、8到直線/的距離相等，則直線/的

方程為-.

【變式2-514：x-y+3=O,與直線，2：2x+nzy-2=0平行，則直線4與4的距離為.

【變式2-6］若恰有兩組的實(shí)數(shù)對(duì)(48)滿足關(guān)系式片當(dāng)犁=巨胃絲生=乙則符合題意的f的值

VA2+B2VA2+B-

為.

【變式2-7］(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知直線4：y=2x和仆＞=履+1與x軸圍成的三角形是等腰三角形,

則人的取值不可能為()

A.-2B.--C.D.

322

題型三：有關(guān)距離的最值問題

【典例3-1】我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休.”事實(shí)上有很多代數(shù)問

題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，根據(jù)上述觀點(diǎn)，當(dāng)/（尤）=-2x+10+-10X+29取得最小值時(shí),

實(shí)數(shù)x的值為（）

【典例3-2］設(shè)/(x,y)="d+J+"(9+2)2+1+"(2-x)2+(y+3)2++(y+4)2,其中

-2<x<2,-4<y<0.^f(x,y)的最小值為()

A.8B.9C.6+拒D.4+3小

【方法技巧】

數(shù)學(xué)結(jié)合，利用距離的幾何意義進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

【變式3-1】已知a,b,c,d為四個(gè)實(shí)數(shù)，且。一6=-2,c-d=O,a+b=c+d,貝。

J/+S-4）2+J02+（d-5）2的最小值為（）

A.1-后B.—C.D.5

22

【變式3-2】己知（辦〃）為直線x+y-l=O上的一點(diǎn)，則交川+川++2》+*的最小值為（）

A.曬B.2A/3C.4D.372

【變式3-31J10X2—6X+1+J10X2+4X+4的最小值為（）

A.3B.20C.邁D.

55

【變式3-4］已知實(shí)數(shù)%,尤2,%，%，滿足x；+＞：=4,xl+yl=9,xtx2+yty2=0,則上+%—9|+民+%-9|

的最小值是—.

【變式3-5】已知點(diǎn)P,。分別在直線4：x+y+2=O與直線4：x+y-l=0上，且點(diǎn)4（一3,-3）,

5（3,0）,則|初+|尸。|+|。用的最小值為一.

【變式3-6］（多選題）已知兩點(diǎn)4（-5,-1）,3（0,4）點(diǎn)P是直線/：y=2元-1上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確

的是（）

A.存在尸（1,1）使附+閥最小B.存在尸&,。］使向『+附2最小

C.存在P（5,9）使|R4|-|PB|最小D.存在P（O,-1）使||R4Hp邳最小

【變式3-7］（多選題）已知直線/：x-2y+8=。和三點(diǎn)4（2,0）,3（-2,-4）,C（2,5）,過點(diǎn)C的直線乙與x軸、

y軸的正半軸交于M,N兩點(diǎn).下列結(jié)論正確的是（）

A.P在直線/上，貝。|即+|「邳的最小值為4夜

B.直線/上一點(diǎn)尸（12,10）使歸同-網(wǎng)|最大

LILIL111UULI

C.當(dāng)|CM|?|CN|最小時(shí)/|的方程是無+y-7=0

UUUWUUU

D.當(dāng)|OM||ON|最小時(shí)卜的方程是5元+y-15=0

【變式3-8】已知點(diǎn)M■（石,yl）在直線/］：y=x+2，點(diǎn)N（x2，y2）在直線/2：y=x上，且

Jx；+（%-5）2+￡的最小值為（）

A逑B.虛C.V41-V2D.5

22

【變式3-9］過定點(diǎn)A的動(dòng)直線x+分=。和過定點(diǎn)B的動(dòng)直線區(qū)-k2左+1=0交于點(diǎn)M,則|出+|Affi|的

最大值是（）

A.2A/2B.3C.V10D.715

【變式3-10］已知x,V為實(shí)數(shù)，代數(shù)式Jx2+12x+40+Jd+y2+Jy2_8y+20的最小值是.

題型四：點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱

【典例4-1】直線/經(jīng)過點(diǎn)P（-4,6）,與x軸、y軸分別交于A,8兩點(diǎn)，當(dāng)P為A8中點(diǎn)時(shí)，|A5|=

【典例4-2］已知A（a,6）,8（-2,6）,點(diǎn)P（2,3）是線段AB的中點(diǎn)，則°+匕=_.

【方法技巧】

求點(diǎn)P&,%)關(guān)于點(diǎn)M(x0,y0)中心對(duì)稱的點(diǎn)尸區(qū),為)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得「=2%。一%

［%=2%-%

【變式4-1】已知點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在＞軸上，線段AB的中點(diǎn)加的坐標(biāo)為(2,-1),則線段A2的長(zhǎng)度

為.

【變式4-2】設(shè)點(diǎn)A在無軸上，點(diǎn)B在y軸上，A8的中點(diǎn)是。(2,-1),則|AB|等于

【變式4-3】已知直線1與直線4：y=l及直線小x+y-7=。分別交于點(diǎn)P,Q.若PQ的中點(diǎn)為點(diǎn)”(L-1),

則直線1的斜率為

【變式4-4］已知直線/與直線4：2x-y+2=0和4：x+y-4=0的交點(diǎn)分別為A,B,若點(diǎn)P(2,0)是線段

的中點(diǎn)，則直線AB的方程為一.

題型五：點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱

【典例5-1】將一張坐標(biāo)紙對(duì)折，如果點(diǎn)(0,〃。與點(diǎn)(m-2,2)(〃/2)重合，則點(diǎn)(-4,1)與點(diǎn)_重合.

【典例5-2】點(diǎn)(3,0)關(guān)于直線尤-y+3=0對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為()

A.(3,6)B.(6,-3)C.(-6,3)D.(-3,6)

【方法技巧】

求點(diǎn)PC%%)關(guān)于直線10對(duì)稱的點(diǎn)P\x2,y2)

方法一：(一中一垂)，即線段尸產(chǎn)的中點(diǎn)M在對(duì)稱軸上，若直線PP的斜率存在，則直線尸產(chǎn)的斜

率與對(duì)稱軸10的斜率之積為一1,兩個(gè)條件建立方程組解得點(diǎn)P(%,%)

方法二：先求經(jīng)過點(diǎn)P&,%)且垂直于對(duì)稱軸的直線(法線)10,然后由Q得線段PP的中

點(diǎn)從而得。一百

〔%=2%-%

【變式5-1］若直線乙h-2=(左-1卜和直線4關(guān)于直線＞=X+1對(duì)稱，則直線4恒過定點(diǎn)()

A.(2,0)B.(1,-1)C.(1,1)D.(-2,0)

【變式5-2】一條光線從點(diǎn)尸(-1,5)射出，經(jīng)直線x-3y+l=0反射后經(jīng)過點(diǎn)(2,3),則反射光線所在直線的

方程為（）

A.2x—y—1=0B.%—2=0

C.3x-y-3=0D.4%-y-5=0

【變式5-3】在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4,點(diǎn)尸是邊AB上異于A,5的一點(diǎn)，光從點(diǎn)尸出發(fā)

經(jīng)ACBC反射后又回到點(diǎn)P,反射點(diǎn)為Q,R,若光線QR經(jīng)過VABC的重心，貝ljAP=—.

題型六：線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱

【典例6-1】直線/：2》+3〉+2=0關(guān)于點(diǎn)A（2,0）對(duì)稱的直線方程為一.

【典例6-2】直線y=3x-4關(guān)于點(diǎn)尸（1,1）對(duì)稱的直線方程為.

【方法技巧】

求直線/關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱的直線八

求解方法是：在已知直線/上取一點(diǎn)尸（士,%）關(guān)于點(diǎn)M（Xo，%）中心對(duì)稱得P,（X2，%），再利用////,,由

點(diǎn)斜式方程求得直線，的方程（或者由//”,且點(diǎn)到直線I及I,的距離相等來求解）.

【變式6-1】直線/：2尸3k1=0關(guān)于點(diǎn)4（_1,-2）對(duì)稱的直線廠的方程為—.

【變式6-2】直線。尤+〉+3。-1=0恒過定點(diǎn)M,貝IJ直線2x+3y-6=0關(guān)于用■點(diǎn)對(duì)稱的直線方程為.

【變式6-3］在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將直線/沿?zé)o軸正方向平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，沿y軸正方向平移5個(gè)

單位長(zhǎng)度，得到直線//.再將直線。沿x軸正方向平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，沿y軸負(fù)方向平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，又

與直線/重合.若直線/與直線//關(guān)于點(diǎn)（2,3）對(duì)稱，則直線/的方程是.

題型七：線關(guān)于線對(duì)稱

【典例7-1】若直線/與直線x+y-l=0關(guān)于直線y=2對(duì)稱，則直線/的一般式方程為.

【典例7-2】直線/與直線y=6x關(guān)于直線y=x+l對(duì)稱，則直線/的傾斜角是.

【方法技巧】

求直線/關(guān)于直線/。對(duì)稱的直線

若直線//4，則///，，且對(duì)稱軸與直線/及r之間的距離相等.

22

止匕時(shí)分另IJ為Ax+By+C^O,Ax+By+CQ=O,Ax+By+C'=0(A+B^0),由

|C-C||C'-C|

00求得Cl從而得

若直線/與/。不平行，貝Ul0=Q.在直線/上取異于。的一點(diǎn)尸（石,弘）,然后求得尸（罰,%）關(guān)于直線

對(duì)稱的點(diǎn)尸'（Z，%），再由Q,P'兩點(diǎn)確定直線/'（其中/iZ0,l'=Q）.

【變式7-1】已知直線乙：尤7+3=0,直線/:x-y-l=0,若直線乙關(guān)于直線/的對(duì)稱直線為4，則直線4

的方程為.

【變式7-2］若直線/與直線依+%+c=0（必＞0）的夾角平分線為＞=X，則直線/的方程為

【變式7-3】直線32x-y+l=。關(guān)于直線和x+y+2=0的對(duì)稱直線方程為

【變式7-4】直線2x+y-5=0關(guān)于直線y=x+3的對(duì)稱直線的方程為.

題型八：直線系方程

【典例8-1】過兩直線2023%-2022》-1=0和2022*+2023，+1=0的交點(diǎn)且過原點(diǎn)的直線方程為一.

【典例8-2］經(jīng)過點(diǎn)尸（L0）和兩直線4"+2y-2=0；4：3x-2y+2=0交點(diǎn)的直線方程為.

【方法技巧】

利用直線系方程求解.

【變式8-1】已知兩直線qx+6jT=0和。2工+姐-1=。的交點(diǎn)為P（L2）,則過Qi?，2）,也）兩點(diǎn)的

直線方程為.

【變式8-2】設(shè)直線/經(jīng)過2x-3y+2=0和3x-4y-2=0的交點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸圍成等腰直角三角形，則直

線/的方程為.

【變式8-3］已知直線加的方程為（。+1）尤+皎-3。-1=0（。eR）,求坐標(biāo)原點(diǎn)。到加的距離的最大值—.

3

1.（2021年全國(guó)新高考n卷數(shù)學(xué)試題）拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)到直線y=x+l的距離為0,則P=

（）

A.1B.2C.20D.4

22

2.（2021年全國(guó)高考甲卷數(shù)學(xué)（文）試題）點(diǎn)（3,0）到雙曲線亮-方=1的一條漸近線的距離為（）

3.（2020年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)III））點(diǎn)（0,-1）到直線丁=笈（*+1）距離的最大值為

（）

A.1B.0C.73D.2

課本典例?高考素材W

1.己知點(diǎn)加（2,2）和N（5,-2）,點(diǎn)P在x軸上，且4WPN為直角，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

2.已知四邊形ABCO的四個(gè)頂點(diǎn)是A（2,2+2?）,B（-2,2）,C（O,2-20）,0（4,2）,求證：四邊形

ABCD為矩形.

3.如圖，已知直線4：x-2y+l=。與直線4：x-2y+4=0,在人上任取一點(diǎn)A,在4上任取一點(diǎn)8,連接

AB,取AB的靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)C,過點(diǎn)C作4的平行線4,求乙與4間的距離.

4.三條直線辦+2y+8=0,4x+3y=10與2x-y=10相交于一點(diǎn)，求a的值.

5.已知AO是VABC邊BC的中線，用坐標(biāo)法證明|AB「+|AC「=2（恒?！?依1》

6.已知Ovxvl,O<y<1.

(1)求證：yjx2+y2+^x2+(l-y)2+y](l-x)2+y2+yl(l-x)2+(l-y)2>272,并求使等式成立的條件.

(2)說明上述不等式的幾何意義.

7.已知;I為任意實(shí)數(shù)，當(dāng)力變化時(shí)，方程3%+4y-2+〃2%+y+2)=0表示什么圖形？圖形有何特點(diǎn)？

㈤6

〃居錯(cuò)分析±答題模板\\

易錯(cuò)點(diǎn)：兩平行直線間的距離公式應(yīng)用錯(cuò)誤

易錯(cuò)分析：應(yīng)用兩平行直線間的距離公式一定要注意兩平行直線的方程對(duì)應(yīng)x,y的系數(shù)相等時(shí)，才

可利用兩平行線間的距離公式求解.

【易錯(cuò)題1】ll：x-y+3=O,與直線4：2x+畋-2=0平行，則直線4與4的距離為.

【易錯(cuò)題2】?jī)善叫兄本€2x-y-l=0與4x-2y+3=。之間的距離為

答題模板：已知兩直線平行或垂直求參數(shù)

1、模板解決思路

當(dāng)需要通過兩直線的平行或垂直關(guān)系來求解參數(shù)的值時(shí)，一般的做法是首先考察這兩條直線的斜率。

如果兩條直線平行，那么它們的斜率相等；如果兩條直線垂直，那么它們的斜率之積為-1。

這里需要特別注意，當(dāng)直線垂直于X軸時(shí)，斜率不存在，此時(shí)應(yīng)單獨(dú)考慮。

2、模板解決步驟

第一步：將兩條直線的方程均化成斜截式.

第二步：根據(jù)兩直線平行或垂直，列出方程（組）.

第三步：解方程（組），求出參數(shù)的值，由兩直線平行求參數(shù)后要檢驗(yàn)兩直線是否重合.

【典型例題1】已知直線4:以—y—1=0,：6—2）y—1=0,若貝!.

71

【典型例題2】已知直線4：（，一4）x—3y+l=0和小3%—9+l）y+5=0垂直且〃>0乃>0,貝的最小

a2b

值為_.

第02講兩條直線的位置關(guān)系

目錄

01考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航............................................................2

02知識(shí)導(dǎo)圖?思維引航............................................................3

03考點(diǎn)突破?題型探究............................................................4

知識(shí)點(diǎn)1：直線平行與垂直的判定..................................................4

知識(shí)點(diǎn)2：三種距離..............................................................4

解題方法總結(jié)...................................................................5

題型一：兩直線位置關(guān)系的判定...................................................6

題型二：兩直線的交點(diǎn)與距離問題.................................................8

題型三：有關(guān)距離的最值問題.....................................................9

題型四：點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱..........................................................10

題型五：點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱..........................................................11

題型六：線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱..........................................................12

題型七：線關(guān)于線對(duì)稱..........................................................12

題型八：直線系方程............................................................13

04真題練習(xí)?命題洞見............................................................14

05課本典例高考素材............................................................14

06易錯(cuò)分析?答題模板............................................................16

易錯(cuò)點(diǎn)：兩平行直線間的距離公式應(yīng)用錯(cuò)誤........................................16

答題模板：已知兩直線平行或垂直求參數(shù)..........................................17

春情目標(biāo)導(dǎo)航

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析

高考對(duì)兩條直線的位置關(guān)系的考查比較穩(wěn)

（1）兩條直線的平行與

2022年上海卷第7題，5分定，考查內(nèi)容'頻率、題型難度均變化不大，備

垂直

2020年III卷第8題，5分考時(shí)應(yīng)熟練掌握兩條直線的位置關(guān)系、距離公

（2）兩直線的交點(diǎn)與距

2020年上海卷第7題，5分式'對(duì)稱問題等，特別要重視兩條直線的位置關(guān)

離問題

系以及點(diǎn)到直線的距離公式這兩個(gè)考點(diǎn).

復(fù)習(xí)目標(biāo)：

（1）能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直.

（2）能用解方程組的方法求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo).

（3）掌握平面上兩點(diǎn)間的距離公式'點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)求兩條平行直線間的距離.

考點(diǎn)突破■題型探究

知識(shí)固本

知識(shí)點(diǎn)1:直線平行與垂直的判定

兩條直線平行與垂直的判定以表格形式出現(xiàn)，如表所示.

兩直線方程平行垂直

4:4%+4)+G=o—44=。且

44+BXB2=o

l2-.\x+B2y+C2=04G-。。

4：尸勺+偽（斜率存在）

4：y=k2x+b2k[=6,4w偽或發(fā)出=-1或匕與心中有一個(gè)為

L:x=x,X=X,X=X,XW%2另一個(gè)不存在.

:L（斜率不存在）1210,

l2:x-x2

【診斷自測(cè)】（多選題）已知兩條直線4，的方程分別為3x+4y+12=0與雙+8y-ll=0,下列結(jié)論正確

的是（）

7

A.若W〃2,則。=6B.若則兩條平行直線之間的距離為了

4

32

C.若/i，4，貝！D.若則直線4，4一定相交

【答案】AD

【解析】?jī)蓷l直線4,4的方程分別為聶+分+12=0與儀+8y-11=0,它們不重合，

若/"〃2，則4a=3x8,得〃=6,檢驗(yàn)符合，故A選項(xiàng)正確；

若由A選項(xiàng)可知，4：6x+8y—11=0,直線乙的方程可化為6x+8y+24=0,

故兩條平行直線之間的距離為上當(dāng)翼=：,故B選項(xiàng)不正確；

V36+642

32

若4_L4,則3a+4x8=O,得。=-7，故C選項(xiàng)不正確；

由A選項(xiàng)知，當(dāng)。=6時(shí)，IJH2,所以若4*6,則直線4，&一定相交，故D選項(xiàng)正確.

故選：AD.

知識(shí)點(diǎn)2：三種距離

1、兩點(diǎn)間的距離

平面上兩點(diǎn)勺（玉,％）,￡0：2，%）的距離公式為I片61=-％）2+（y-%產(chǎn).

特別地，原點(diǎn)。（0,0）與任一點(diǎn)P（無，y）的距離|OP|=JO+y2.

2、點(diǎn)到直線的距離

點(diǎn)用Q。,%）到直線/:Ax+5y+C=0的距離dJ4"。；也十0!

VA2+B2

特別地，若直線為/：x=m,則點(diǎn)弓（%,為）到/的距離”=|相-/|；若直線為/：y=",則點(diǎn)/（%,%）到

/的距離d=|w-%|

3、兩條平行線間的距離

己知人/2是兩條平行線，求4工間距離的方法：

（1）轉(zhuǎn)化為其中一條直線上的特殊點(diǎn)到另一條直線的距離.

(2)設(shè)4:Ax+By+Q=0,/2:Ax+By+C2=0,則乙與I,之間的距離d=尸YI

A/A2+B2

注：兩平行直線方程中，x,y前面對(duì)應(yīng)系數(shù)要相等.

4、雙根式

雙根式f（x）Zeg+q±*4+3+4型函數(shù)求解，首先想到兩點(diǎn)間的距離，或者利用單調(diào)性

求解.

【診斷自測(cè)】（多選題）已知點(diǎn)M（l,4）到直線Gm+y-1=0的距離為3,則實(shí)數(shù)優(yōu)等于（）

A.0B.一C.3D.2

4

【答案】AB

|;72+4-1|、3

【解析】依題意=3,即4加2-3加=0,解得加=0或根=；.

ylrn2+1

故選：AB.

解題方法總結(jié)

1＞點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱

點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的本質(zhì)是中點(diǎn)坐標(biāo)公式：設(shè)點(diǎn)尸（為，乂）關(guān)于點(diǎn)Q（x0,%）的對(duì)稱點(diǎn)為P5，/），則根

據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，有。

可得對(duì)稱點(diǎn)P,(x2,%)的坐標(biāo)為(2x0-x1,2%-%)

2、點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱

點(diǎn)尸(占，%)關(guān)于直線/:Ac+By+C=O對(duì)稱的點(diǎn)為尸，(三，/)，連接pp,交/于/點(diǎn)，則/垂直平分

k(?kpp,=—1

pp'，所以尸pj_/,且w為尸p中點(diǎn)，又因?yàn)槔谥本€/上，故可得，x+xv+v,解出

I22

(電，%)即可?

3、直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱

法一：在已知直線上取兩點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式求

出直線方程；

法二：求出一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，再利用兩對(duì)稱直線平行，由點(diǎn)斜式得到所求直線方程.

4、直線關(guān)于直線對(duì)稱

求直線4：++C=0,關(guān)于直線/,：公+0+/=0(兩直線不平行)的對(duì)稱直線《

第一步：聯(lián)立4,乙算出交點(diǎn)P(x。，為)

第二步：在4上任找一點(diǎn)(非交點(diǎn))Q(x/x)，利用點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的秒殺公式算出對(duì)稱點(diǎn)

Q'(z，%)

第三步：利用兩點(diǎn)式寫出A方程

5、常見的一些特殊的對(duì)稱

點(diǎn)(X,y)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為(x,-y),關(guān)于V軸的對(duì)稱點(diǎn)為(-x,j).

點(diǎn)(x,y)關(guān)于直線、=工的對(duì)稱點(diǎn)為(y,x),關(guān)于直線、=-戈的對(duì)稱點(diǎn)為(_y,-x).

點(diǎn)(x,y)關(guān)于直線x=。的對(duì)稱點(diǎn)為(2a-x,y),關(guān)于直線y=6的對(duì)稱點(diǎn)為(x,2b-y)-

點(diǎn)(x,y)關(guān)于點(diǎn)(a,6)的對(duì)稱點(diǎn)為(2a—x,2b—y)?

點(diǎn)(x,y)關(guān)于直線x+y=上的對(duì)稱點(diǎn)為(左-y,k-x),關(guān)于直線x-y=上的對(duì)稱點(diǎn)為(左+y,x-左).

6、過定點(diǎn)直線系

過已知點(diǎn)尸(%,%)的直線系方程y-%=A(x-/)(左為參數(shù)).

7、斜率為定值直線系

斜率為K的直線系方程y=丘+匕(Z?是參數(shù)).

8、平行直線系

與已知直線Av+gv+C=0平行的直線系方程Ar+3y+/l=0(2為參數(shù)).

9、垂直直線系

與已知直線Ar+3y+C=0垂直的直線系方程&-Ay+2=0(2為參數(shù)).

10、過兩直線交點(diǎn)的直線系

過直線4：4x+4y+G=0與4：4》+32、+。2=。的交點(diǎn)的直線系方程：

^x+Bty+Cr+A,{A2X+B2y+C2)=0(2為參數(shù)).

題型洞察

題型一：兩直線位置關(guān)系的判定

【典例1-1】(湖北省“宜荊荊恩”2024屆高三9月起點(diǎn)考試數(shù)學(xué)試題)已知兩條直線

/j:ax+4y-1=0,12:x+ay+2=0f貝!J"a=2”是“〃兒”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】當(dāng)"4時(shí)，?a=4-1則。=±2,

1a2

所以“a=2”是“/他”的充分不必要條件.

故選：A

21

【典例1-2】已知a>0,b>0,直線(a-l)x+y-l=0和x+2by+l=0垂直，則一+7的最小值為()