（寒假）新高考數(shù)學一輪復習考點精講+隨堂檢測13拋物線方程及其性質（教師版）

資料整理【淘寶店鋪：向陽百分百】第第頁資料整理【淘寶店鋪：向陽百分百】第13課拋物線方程及其性質考點01拋物線的定義與方程【例1】若動點到點的距離和它到直線的距離相等，則動點的軌跡是（

）A．橢圓B．拋物線C．直線D．雙曲線【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用拋物線定義確定軌跡作答.【詳解】動點到點的距離和它到直線的距離相等，而點不在直線，所以動點的軌跡是以點到直線的垂線段中點為頂點，開口向右的拋物線.故選：B【變式1-1】（多選）若拋物線上一點到準線的距離等于它到頂點的距離，則點的坐標可以為（

）A．B．C．D．【答案】BD【分析】先求得焦點坐標，然后根據(jù)拋物線的定義求得點的坐標.【詳解】設拋物線的焦點為，則，依題意可知，所以，則.所以點坐標為：、.故選：BD

【變式1-2】若拋物線上一點到拋物線焦點的距離為，則點到原點的距離為（

）A．B．1C．D．【答案】D【分析】設，由拋物線定義列式求得，即可依次求，即點到原點的距離.【詳解】由題得焦點坐標為，則準線方程為，設，根據(jù)拋物線定義有有，∴，∴點到原點的距離為.故選：D.考點02拋物線方程與位置特征【例2】（多選）關于拋物線，下列說法正確的是（

）A．開口向左B．焦點坐標為C．準線為D．對稱軸為軸【答案】AD【分析】根據(jù)拋物線標準方程依次判斷選項即可得到答案.【詳解】對選項A，，開口向左，故A正確；對選項B，，焦點為，故B錯誤；對選項C，，準線方程為，故C錯誤；對選項D，，對稱軸為軸，故D正確.故選：AD【變式2-1】（多選）對于拋物線上，下列描述正確的是（

）A．開口向上，焦點為B．開口向上，焦點為C．焦點到準線的距離為4D．準線方程為【答案】AC【分析】寫出標準形式即，即可得到相關結論【詳解】由拋物線，即，可知拋物線的開口向上，焦點坐標為，焦點到準線的距離為4，準線方程為．故選：AC【變式2-2】拋物線的準線方程是，則實數(shù).【答案】【分析】將拋物線方程化為標準方程，根據(jù)其準線方程即可求得實數(shù).【詳解】拋物線化為標準方程：，其準線方程是，而所以，即，故答案為：考點03距離的最值問題【例3】拋物線的頂點為原點，焦點為，則點到拋物線上動點的距離最小值為（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】求得拋物線的方程，設出點的坐標，根據(jù)兩點間的距離公式以及二次函數(shù)的性質求得正確答案.【詳解】拋物線的焦點為，所以拋物線的方程為，且，所以拋物線的方程為，設，則，所以當時，取得最小值為.故選：B【變式3-1】若點在焦點為的拋物線上，且，點為直線上的動點，則的最小值為（

）A．B．C．D．4【答案】A【分析】先求得點的坐標，求得關于直線的對稱點，根據(jù)三點共線求得的最小值.【詳解】拋物線的焦點，準線，，則，不妨設，關于直線的對稱點為，由于，所以當三點共線時最小，所以的最小值為.故選：A

【變式3-2】已知拋物線的焦點為F，點，若點A為拋物線任意一點，當取最小值時，點A的坐標為（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】設點A在準線上的射影為D，則根據(jù)拋物線的定義把問題轉化為求取得最小值，數(shù)形結合求解即可.【詳解】設點A在準線上的射影為D，如圖，

則根據(jù)拋物線的定義可知，求的最小值，即求的最小值，顯然當D，B，A三點共線時最小，此時點的橫坐標為1，代入拋物線方程可知.故選：B.考點04拋物線中的三角形和四邊形問題【例4】已知點為拋物線的焦點，過點的直線交拋物線于兩點，為坐標原點，若，則的面積為（

）A．3B．C．D．【答案】C【分析】設，則，過分別作拋物線準線的垂線，垂足分別為，過作于，求得的傾斜角為，得到直線方程為，聯(lián)立方程組，結合根與系數(shù)的關系，求得，結合面積公式，即可求解.【詳解】設，則，如圖所示，不妨設的傾斜角為銳角，過分別作拋物線準線的垂線，垂足分別為，，則，，過作于，則，所以，所以的傾斜角為，由拋物線的焦點坐標為，所以直線方程為，即，聯(lián)立方程組，整理得，設，可得，可得，所以.故選：C.

【變式4-1】設F為拋物線的焦點，點M在C上，點N在準線l上，且平行于x軸，準線l與x軸的交點為E，若，則梯形的面積為（

）A．12B．6C．D．【答案】D【分析】由已知及拋物線定義證是正三角形，再求梯形的面積即可.【詳解】由題知，拋物線的焦點F為，準線l為，如圖所示.

由題知，因為，所以，則.因為，所以，由拋物線的定義知，所以是正三角形，所以，則.故選：D【變式4-2】過的直線l與拋物線E：交于，兩點，且與E的準線交于點C，點F是E的焦點，若的面積是的面積的3倍，則【答案】【分析】由題意設直線的方程為，代入拋物線方程化簡利用根與系數(shù)的關系可得，再由的面積是的面積的3倍，可得到準線的距離是到準線有距離的3倍，則，從而可求出，進而可求得答案.【詳解】由，得，由題意可知直線的斜率存在，所以設直線的方程為，由，得，易得，所以，因為的面積是的面積的3倍，所以，所以到準線的距離是到準線的距離的3倍，所以，即，因為，所以，化簡得，解得或（舍去），所以，所以，故答案為：考點05拋物線的簡單幾何性質【例5】定義：既是中心對稱，也是軸對稱的曲線稱為“尚美曲線”，下是方程所表示的曲線中不是“尚美曲線”的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用圓、橢圓、雙曲線、拋物線的性質，根據(jù)條件，對各個選項逐一分析判斷即可得出結果.【詳解】選項A，表示圓心在原點，半徑為2的圓，由圓的性質知，的對稱中心為，對稱軸為軸，軸，即既是中心對稱，也是軸對稱，所以選項A錯誤；選項B，由橢圓的性質知，的對稱中心為，對稱軸為軸，軸，即既是中心對稱，也是軸對稱，所以選項B錯誤；選項C，由雙曲線的性質知，的對稱中心為，對稱軸為軸，軸，即既是中心對稱，也是軸對稱，所以選項C錯誤；選項D，由，得到，由拋物線性質知，關于軸對稱，無對稱中心，所以選項D正確.故選：D.【變式5-1】為拋物線的焦點，直線與拋物線交于兩點，則為（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】在拋物線中可借助直角三角形的正切值的求解.再由對稱性求.【詳解】拋物線中時可得，且則，?。ㄈ鐖D）

，,又對稱性可知.故選；C.【變式5-1】對拋物線，下列描述正確的是（

）A．開口向上，焦點為B．開口向上，焦點為C．開口向右，焦點為D．開口向右，焦點為【答案】A【解析】將拋物線方程改寫為標準方程形式，則可根據(jù)該方程判斷開口方向，以及焦點坐標.【詳解】由題知，該拋物線的標準方程為，則該拋物線開口向上，焦點坐標為.故選：A.考點06直線與拋物線的位置關系【例6】已知直線，拋物線，l與有一個公共點的直線有（

）A．1條B．2條C．3條D．1條、2條或3條【答案】C【分析】將直線方程和拋物線方程聯(lián)立，使得方程僅有一個實數(shù)根，求出對應的的取值個數(shù)即可.【詳解】聯(lián)立直線和拋物線方程可得，整理可得，直線l與有一個公共點等價于方程只有一個實數(shù)根，當時，方程為僅有一解，符合題意；當時，一元二次方程僅有一解，即，解得，所以滿足題意得直線有三條，即，和.故選：C【變式6-1】（多選）已知直線l過定點，則與拋物線有且只有一個公共點的直線l的方程為（

）A．B．C．D．【答案】ABC【分析】分斜率存在和不存在討論，當斜率存在時分二次系數(shù)是否為0討論可得.【詳解】（1）當過點的直線l的斜率存在時，設其方程為，由方程組消去y得，①若，則，解得，此時直線與拋物線只有一個交點，直線l的方程為，A正確；②若，令，解得，此時直線與拋物線相切，只有一個交點，直線l的方程為，即，B正確.（2）當過點的直線l的斜率不存在時，方程為，與拋物線相切，只有一個交點，C正確．綜上，直線l的方程為，或.故選：ABC.

考點07拋物線的焦點弦問題【例7】直線經(jīng)過拋物線的焦點，且與拋物線交于，兩點．若，則（

）A．4B．C．8D．【答案】C【分析】首先根據(jù)焦半徑公式并結合條件，得到點的坐標，即可求得弦長.【詳解】拋物線的焦點坐標為，準線方程為，設，，，，因為，所以，得，①因為，所以，即，②由方程①②可得，，所以.故選：C【變式7-1】已知拋物線的焦點為，過點且斜率為的直線交拋物線于兩點，若，則（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，作出拋物線與直線AB的圖像，利用拋物線的定義將曲線上的點到焦點的距離轉化為曲線上的點到準線的距離，借助幾何圖形可判斷直線AB的傾斜角，從而可得答案．【詳解】如圖，當點在第一象限時，過點分別向準線作垂線，垂足為，作，垂足為，則軸，設，則，，由拋物線的定義得，則有，在中，等于直線的傾斜角，其正切值即為值，，，∴，于是直線l的傾斜角為，斜率．當點在第四象限時，根據(jù)拋物線的對稱性可得斜率為.故選：D．【變式7-2】設拋物線的焦點為F，過點F作直線l交拋物線于A、B兩點，若線段AB的中點E到y(tǒng)軸的距離為3，則弦AB的長為．【答案】10【分析】設，由中點到軸距離結合焦點弦長公式求解．【詳解】設，則，由拋物線方程可知，由線段的中點E到y(tǒng)軸的距離為3得，，∴故答案為：.考點08拋物線的中點弦問題【例8】已知直線與拋物線相交于兩點，若線段的中點坐標為，則直線的方程為（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】利用點差法可求得直線斜率，由直線點斜式方程可整理得到結果.【詳解】設，由得：，線段的中點為，，，，即直線的斜率為，直線的方程為：，即.故選：A.【變式8-1】拋物線：與直線交于，兩點，且的中點為，則的斜率為.【答案】【分析】設，兩點坐標分別為，，由，可得，進而結合中點坐標公式即兩點間的斜率公式求解即可.【詳解】已知的中點為，設，兩點坐標分別為，，則，可得，即，即又，所以.故答案為：.【變式8-2】已知拋物線與過焦點的一條直線相交于A，B兩點，若弦的中點M的橫坐標為，則弦的長【答案】【分析】根據(jù)題意設，聯(lián)立拋物線及韋達定理，結合弦中點橫坐標求參數(shù)，最后應用弦長公式求即可.【詳解】由題意拋物線焦點，且直線斜率不為0，設，聯(lián)立拋物線得，，故，，所以，即，則.故答案為：考點9直線與拋物線的綜合問題【例9】設O為坐標原點，點M，N在拋物線上，且.(1)證明：直線過定點；(2)設C在點M，N處的切線相交于點P，求的取值范圍.【答案】(1)證明見詳解；(2)【分析】（1）設直線方程與拋物線聯(lián)立，利用韋達定理結合平面向量數(shù)量積計算即可；（2）利用導數(shù)得出過M、N的切線方程，求出切線的交點P坐標，結合弦長公式得出比值，利用函數(shù)研究計算其范圍即可.【詳解】（1）由題意可設直線的方程為：，，聯(lián)立拋物線方程，所以，又，化簡得，解之得，即直線為：，顯然過定點；（2）由拋物線，則點的切線方程分別為，易知，聯(lián)立切線方程可得，結合（1）可知，∴，故，，由弦長公式及（1）可得，所以，易知，即的取值范圍為.【變式9-1】已知F是拋物線C：的焦點，是拋物線上一點，且.(1)求拋物線C的方程；(2)直線l與拋物線C交于A，B兩點，若（O為坐標原點），則直線l否會過某個定點？若是，求出該定點坐標.【答案】(1)；(2)恒過定點.【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用拋物線的定義求出值作答.（2）設出直線的方程，與的方程聯(lián)立，利用韋達定理及數(shù)量積的坐標表示計算作答.【詳解】（1）由知，拋物線的準線方程為，而是該拋物線的焦點，又，因此，解得，所以拋物線C的方程為.（2）顯然直線不垂直于y軸，設直線l：，，，由消去x并整理得，，即，于是，，，由，得，則有，即，因此，則，解得，滿足，直線過定點，所以直線恒過定點.

拋物線方程及其性質隨堂檢測1.已知是拋物線：的焦點，點在上且，則的坐標為（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】由結合拋物線的定義可求出的值，進而可求的坐標.【詳解】因為是拋物線：的焦點，所以，又，由拋物線的定義可知，解得，所以.故選：A2.設是拋物線上的一個動點，為拋物線的焦點，點，則的最小值為.【答案】5【分析】過作準線的垂線垂足為，交拋物線于，根據(jù)拋物線的定義可得，當、、三點共線時，小值．【詳解】拋物線，所以焦點為，準線方程為，當時，所以，因為，所以點在拋物線內部，如圖，過作準線的垂線垂足為，交拋物線于，由拋物線的定義，可知，故．即當、、三點共線時，距離之和最小值為．故答案為：．3.已知拋物線的頂點為坐標原點，準線為，直線與拋物線交于兩點，若線段的中點為，則直線的方程為．【答案】【分析】由題意可求得拋物線的方程，設，由“點差法”求出直線的斜率，再由點斜式方程即可得出答案.【詳解】因為拋物線的頂點為坐標原點，準線為，所以易得拋物線的方程為，設，因為線段的中點為，故，則，由，兩式相減得，所以，故直線的方程為，即．故答案為：.

4.如圖，已知點P是拋物線上的動點，點A的坐標為，則點P到點A的距離與到x軸的距離之和的最小值為.

【答案】12【分析】求出拋物線的焦點坐標和準線方程，利用拋物線定義將點P到點A的距離與到x軸的距離之和轉化為點P到點A的距離與到焦點的距離之和減去1，繼而利用幾何意義求得答案.【詳解】由拋物線方程可知其焦點為，準線為，點P是拋物線上的動點，則點P到x軸的距離為P到準線的距離減去1，

由拋物線定義知P到準線的距離等于P到焦點的距離，設P到x軸的距離為d，則，當且僅當三點共線時等號成立，而，故，即點P到點A的距離與到x軸的距離之和的最小值為12.5.傾斜角為的直線過拋物線的焦點，且與交于A，兩點(1)求拋物線的準線方程；(2)求的面積（為坐