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文檔簡介
2025屆湖南省汨羅市第二中學(xué)高考數(shù)學(xué)全真模擬密押卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.雙曲線的左右焦點為,一條漸近線方程為,過點且與垂直的直線分別交雙曲線的左支及右支于,滿足,則該雙曲線的離心率為()A. B.3 C. D.22.已知,則()A. B. C. D.3.劉徽是我國魏晉時期偉大的數(shù)學(xué)家,他在《九章算術(shù)》中對勾股定理的證明如圖所示.“勾自乘為朱方,股自乘為青方,令出入相補,各從其類,因就其余不移動也.合成弦方之冪,開方除之,即弦也”.已知圖中網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,其中“正方形為朱方,正方形為青方”,則在五邊形內(nèi)隨機取一個點,此點取自朱方的概率為()A. B. C. D.4.已知函數(shù),存在實數(shù),使得,則的最大值為()A. B. C. D.5.已知三點A(1,0),B(0,),C(2,),則△ABC外接圓的圓心到原點的距離為()A. B.C. D.6.函數(shù)的部分圖象如圖所示,則的單調(diào)遞增區(qū)間為()A. B.C. D.7.使得的展開式中含有常數(shù)項的最小的n為()A. B. C. D.8.某地區(qū)高考改革,實行“3+2+1”模式,即“3”指語文、數(shù)學(xué)、外語三門必考科目,“1”指在物理、歷史兩門科目中必選一門,“2”指在化學(xué)、生物、政治、地理以及除了必選一門以外的歷史或物理這五門學(xué)科中任意選擇兩門學(xué)科,則一名學(xué)生的不同選科組合有()A.8種 B.12種 C.16種 D.20種9.已知函數(shù),,若成立,則的最小值是()A. B. C. D.10.設(shè)點是橢圓上的一點,是橢圓的兩個焦點,若,則()A. B. C. D.11.已知分別為雙曲線的左、右焦點,點是其一條漸近線上一點,且以為直徑的圓經(jīng)過點,若的面積為,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.12.設(shè)直線的方程為,圓的方程為,若直線被圓所截得的弦長為,則實數(shù)的取值為A.或11 B.或11 C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知向量,,則______.14.正方體的棱長為2,是它的內(nèi)切球的一條弦(我們把球面上任意兩點之間的線段稱為球的弦),為正方體表面上的動點,當(dāng)弦的長度最大時,的取值范圍是______.15.展開式的第5項的系數(shù)為_____.16.已知實數(shù)、滿足,且可行域表示的區(qū)域為三角形,則實數(shù)的取值范圍為______,若目標(biāo)函數(shù)的最小值為-1,則實數(shù)等于______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在邊長為的正方形,分別為的中點,分別為的中點,現(xiàn)沿折疊,使三點重合,構(gòu)成一個三棱錐.(1)判別與平面的位置關(guān)系,并給出證明;(2)求多面體的體積.18.(12分)已知數(shù)列的前n項和,是等差數(shù)列,且.(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式;(Ⅱ)令.求數(shù)列的前n項和.19.(12分)已知函數(shù),.(1)判斷函數(shù)在區(qū)間上的零點的個數(shù);(2)記函數(shù)在區(qū)間上的兩個極值點分別為、,求證:.20.(12分)已知矩陣不存在逆矩陣,且非零特低值對應(yīng)的一個特征向量,求的值.21.(12分)若不等式在時恒成立,則的取值范圍是__________.22.(10分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時,求不等式的解集;(2)若的圖象與軸圍成的三角形面積大于6,求的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】
設(shè),直線的方程為,聯(lián)立方程得到,,根據(jù)向量關(guān)系化簡到,得到離心率.【詳解】設(shè),直線的方程為.聯(lián)立整理得,則.因為,所以為線段的中點,所以,,整理得,故該雙曲線的離心率.故選:.【點睛】本題考查了雙曲線的離心率,意在考查學(xué)生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.2、D【解析】
根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,即當(dāng)?shù)讛?shù)大于1時單調(diào)遞增,當(dāng)?shù)讛?shù)大于零小于1時單調(diào)遞減,對選項逐一驗證即可得到正確答案.【詳解】因為,所以,所以是減函數(shù),又因為,所以,,所以,,所以A,B兩項均錯;又,所以,所以C錯;對于D,,所以,故選D.【點睛】這個題目考查的是應(yīng)用不等式的性質(zhì)和指對函數(shù)的單調(diào)性比較大小,兩個式子比較大小的常用方法有:做差和0比,作商和1比,或者直接利用不等式的性質(zhì)得到大小關(guān)系,有時可以代入一些特殊的數(shù)據(jù)得到具體值,進而得到大小關(guān)系.3、C【解析】
首先明確這是一個幾何概型面積類型,然后求得總事件的面積和所研究事件的面積,代入概率公式求解.【詳解】因為正方形為朱方,其面積為9,五邊形的面積為,所以此點取自朱方的概率為.故選:C【點睛】本題主要考查了幾何概型的概率求法,還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】
畫出分段函數(shù)圖像,可得,由于,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性,分析最值,即得解.【詳解】由于,,由于,令,,在↗,↘故.故選:A【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)性質(zhì)探究中的應(yīng)用,考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合,轉(zhuǎn)化劃歸,綜合分析,數(shù)學(xué)運算的能力,屬于較難題.5、B【解析】
選B.考點:圓心坐標(biāo)6、D【解析】
由圖象可以求出周期,得到,根據(jù)圖象過點可求,根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)求出單調(diào)增區(qū)間即可.【詳解】由圖象知,所以,,又圖象過點,所以,故可取,所以令,解得所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為故選:.【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),利用“五點法”求函數(shù)解析式,屬于中檔題.7、B【解析】二項式展開式的通項公式為,若展開式中有常數(shù)項,則,解得,當(dāng)r取2時,n的最小值為5,故選B【考點定位】本題考查二項式定理的應(yīng)用.8、C【解析】
分兩類進行討論:物理和歷史只選一門;物理和歷史都選,分別求出兩種情況對應(yīng)的組合數(shù),即可求出結(jié)果.【詳解】若一名學(xué)生只選物理和歷史中的一門,則有種組合;若一名學(xué)生物理和歷史都選,則有種組合;因此共有種組合.故選C【點睛】本題主要考查兩個計數(shù)原理,熟記其計數(shù)原理的概念,即可求出結(jié)果,屬于常考題型.9、A【解析】分析:設(shè),則,把用表示,然后令,由導(dǎo)數(shù)求得的最小值.詳解:設(shè),則,,,∴,令,則,,∴是上的增函數(shù),又,∴當(dāng)時,,當(dāng)時,,即在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,是極小值也是最小值,,∴的最小值是.故選A.點睛:本題易錯選B,利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值,解題時學(xué)生可能不會將其中求的最小值問題,通過構(gòu)造新函數(shù),轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值問題,另外通過二次求導(dǎo),確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間也很容易出錯.10、B【解析】∵∵∴∵,∴∴故選B點睛:本題主要考查利用橢圓的簡單性質(zhì)及橢圓的定義.求解與橢圓性質(zhì)有關(guān)的問題時要結(jié)合圖形進行分析,既使不畫出圖形,思考時也要聯(lián)想到圖形,當(dāng)涉及頂點、焦點、長軸、短軸等橢圓的基本量時,要理清它們之間的關(guān)系,挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.11、B【解析】
根據(jù)題意,設(shè)點在第一象限,求出此坐標(biāo),再利用三角形的面積即可得到結(jié)論.【詳解】由題意,設(shè)點在第一象限,雙曲線的一條漸近線方程為,所以,,又以為直徑的圓經(jīng)過點,則,即,解得,,所以,,即,即,所以,雙曲線的離心率為.故選:B.【點睛】本題主要考查雙曲線的離心率,解決本題的關(guān)鍵在于求出與的關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】
圓的圓心坐標(biāo)為(1,1),該圓心到直線的距離,結(jié)合弦長公式得,解得或,故選A.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
求出,然后由模的平方轉(zhuǎn)化為向量的平方,利用數(shù)量積的運算計算.【詳解】由題意得,.,.,,.故答案為:.【點睛】本題考查求向量的模,掌握數(shù)量積的定義與運算律是解題基礎(chǔ).本題關(guān)鍵是用數(shù)量積的定義把模的運算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積的運算.14、【解析】
由弦的長度最大可知為球的直徑.由向量的線性運用表示出,即可由范圍求得的取值范圍.【詳解】連接,如下圖所示:設(shè)球心為,則當(dāng)弦的長度最大時,為球的直徑,由向量線性運算可知正方體的棱長為2,則球的半徑為1,,所以,而所以,即故答案為:.【點睛】本題考查了空間向量線性運算與數(shù)量積的運算,正方體內(nèi)切球性質(zhì)應(yīng)用,屬于中檔題.15、70【解析】
根據(jù)二項式定理的通項公式,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:第5項為故第5項的的系數(shù)為故答案為:70.【點睛】本題考查的是二項式定理,屬基礎(chǔ)題。16、【解析】
作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域,利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的最小值,利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論.【詳解】作出可行域如圖,則要為三角形需滿足在直線下方,即,;目標(biāo)函數(shù)可視為,則為斜率為1的直線縱截距的相反數(shù),該直線截距最大在過點時,此時,直線:,與:的交點為,該點也在直線:上,故,故答案為:;.【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用,利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類問題的基本方法,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)平行,證明見解析;(2).【解析】
(1)由題意及圖形的翻折規(guī)律可知應(yīng)是的一條中位線,利用線面平行的判定定理即可求證;(2)利用條件及線面垂直的判定定理可知,,則平面,在利用錐體的體積公式即可.【詳解】(1)證明:因翻折后、、重合,∴應(yīng)是的一條中位線,∴,∵平面,平面,∴平面;(2)解:∵,,∴面且,,,又,.【點睛】本題主要考查線面平行的判定定理,線面垂直的判定定理及錐體的體積公式,屬于基礎(chǔ)題.18、(Ⅰ);(Ⅱ)【解析】試題分析:(1)先由公式求出數(shù)列的通項公式;進而列方程組求數(shù)列的首項與公差,得數(shù)列的通項公式;(2)由(1)可得,再利用“錯位相減法”求數(shù)列的前項和.試題解析:(1)由題意知當(dāng)時,,當(dāng)時,,所以.設(shè)數(shù)列的公差為,由,即,可解得,所以.(2)由(1)知,又,得,,兩式作差,得所以.考點1、待定系數(shù)法求等差數(shù)列的通項公式;2、利用“錯位相減法”求數(shù)列的前項和.【易錯點晴】本題主要考查待定系數(shù)法求等差數(shù)列的通項公式、利用“錯位相減法”求數(shù)列的前項和,屬于難題.“錯位相減法”求數(shù)列的前項和是重點也是難點,利用“錯位相減法”求數(shù)列的和應(yīng)注意以下幾點:①掌握運用“錯位相減法”求數(shù)列的和的條件(一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的積);②相減時注意最后一項的符號;③求和時注意項數(shù)別出錯;④最后結(jié)果一定不能忘記等式兩邊同時除以.19、(1);(2)見解析.【解析】
(1)利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性與極值,結(jié)合零點存在定理可得出結(jié)論;(2)設(shè)函數(shù)的極大值點和極小值點分別為、,由(1)知,,且滿足,,于是得出,由得,利用正切函數(shù)的單調(diào)性推導(dǎo)出,再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可得出結(jié)論.【詳解】(1),,,當(dāng)時,,,,則函數(shù)在上單調(diào)遞增;當(dāng)時,,,,則函數(shù)在上單調(diào)遞減;當(dāng)時,,,,則函數(shù)在上單調(diào)遞增.,,,,.所以,函數(shù)在與不存在零點,在區(qū)間和上各存在一個零點.綜上所述,函數(shù)在區(qū)間上的零點的個數(shù)為;(2),.由(1)得,在區(qū)間與上存在零點,所以,函數(shù)在區(qū)間與上各存在一個極值點、,且,,且滿足即,,,又,即,,,,,由在上單調(diào)遞增,得,再由在上單調(diào)遞減,得,即.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點個數(shù)問題,同時也考查了利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,考查分析問題和解決問題的能力,屬于難題.20、【解析】
由不存在逆矩陣,可得,再利用特征多項式求出特征值3,0,,利用矩陣乘法運算即可.【詳解】因為不存在逆矩陣,,所以.矩陣的特征多項式為,令,則或,所以,即,所以,所以【點睛】本題考查矩陣的乘法及特征值、特征向量有關(guān)的問題,考查學(xué)生的運算能力,是一道容易題.21、【解析】
原不等式等價于在恒成立,令,,求出在上的最小值后可得的取值范圍.【詳解】因為在時恒成立,故在恒成立.令,由可得.令,,則為上的增函數(shù),故.故.故答案為:.【點睛】本題考查含參數(shù)的不等式的恒成立,對于此類問題,優(yōu)先考慮參變分離,把恒成立
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