2022年高考數(shù)學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃講義共16個(gè)【學(xué)生版】

2022年高考數(shù)學(xué)尖子生強(qiáng)基計(jì)劃專題1集合與簡易邏輯

一、真題特點(diǎn)分析：

1.突出對思維能力的考查。

例1.【2020年武漢大學(xué)9】設(shè)4是集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}的子集，只含有3個(gè)元素，

且不含相鄰的整數(shù)，則這種子集/的個(gè)數(shù)為()

A.32B.56C.72D.84

例2.【2020年清華大學(xué)】已知集合4民。口{123,…,2020},且/03口。，則有

序集合組(4民。)的個(gè)數(shù)是().

例3【北大】已知4>0(7=1,2,...〃),立國=2求證:PJ(V2+x,.)>(V2+lY'.

x

i=i1=1

2.注重和解題技巧，考查學(xué)生應(yīng)用知識解決問題的能力。

例4.【北大】10、已知實(shí)系數(shù)二次函數(shù)與g(x)J(x)=g(x)和3/(x)+g(x)=0有兩重

根,/(x)有兩相異實(shí)根,求證：g(x)沒有實(shí)根.

二、應(yīng)試和準(zhǔn)備策略

1.注意知識點(diǎn)的全面

數(shù)學(xué)題目被猜中的可能性很小，一般知識點(diǎn)都是靠平時(shí)積累，因此，要求

學(xué)生平時(shí)要把基礎(chǔ)知識打扎實(shí)。剩下的就是個(gè)人的現(xiàn)場發(fā)揮。

2.注意適當(dāng)補(bǔ)充一點(diǎn)超綱內(nèi)容

如上面提及的一些平時(shí)不太注意的小章節(jié)或高考不一定考的問題，如矩陣,

行列式等也不可忽視。

3.適當(dāng)做近幾年的自主招生的真題

俗話說，知己知彼，百戰(zhàn)百勝。同學(xué)們可適當(dāng)?shù)赜?xùn)練近幾年自己所考的強(qiáng)

基計(jì)劃和高校自主招生的試題，熟悉一下題型和套路還是有益的。

總之，同學(xué)們?nèi)羰亲⒁庖恍┲R點(diǎn)的延伸和加深，考試時(shí)必定會有一種居

高臨下的感覺。

三、知識要點(diǎn)拓展

一、知識補(bǔ)充：容斥原理

基本公式：(l)card(AUB)=card(A)+card(B)—card(ACB)；(2)card(AUBU

C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(ACB)-card(APlC)-card(BPlC)+card(APlB

nc)

圖1-3-1

問題：開運(yùn)動(dòng)會時(shí)，高一某班共有28名同學(xué)參加比賽，有15人參加游泳比賽，

有8人參加田徑比賽，有14人參加球類比賽，同時(shí)參加游泳比賽和田徑比賽的

有3人，同時(shí)參加游泳比賽和球類比賽的有3人，沒有人同時(shí)參加三項(xiàng)比賽，問

同時(shí)參加田徑比賽和球類比賽的有多少人？只參加游泳一項(xiàng)比賽的有多少人？

二.抽屜原理

抽屜原理的基本形式

定理1、如果把n+1個(gè)元素分成n個(gè)集合，那么不管怎么分，都存在一個(gè)集合，

其中至少有兩個(gè)元素。

證明：（用反證法）若不存在至少有兩個(gè)元素的集合，則每個(gè)集合至多1個(gè)元素,

從而n個(gè)集合至多有n個(gè)元素，此與共有n+1個(gè)元素矛盾，故命題成立。

例1.已知在邊長為1的等邊三角形內(nèi)（包括邊界）有任意五個(gè)點(diǎn)（圖1）。證

1

明：至少有兩個(gè)點(diǎn)之間的距離不大于5.

三、針對性訓(xùn)練

1.對集合{1,2,…，n}及其每一個(gè)非空了集，定義一個(gè)唯一確定的“交替和”

如下：按照遞減的次序重新排列該子集，然后交替地減或加后繼的數(shù)所得的結(jié)果,

例如，集合{124,6,9}的“交替和”是9-6+4-2+1=6.6,6}的“交替和”是6-5=1,

{2}的交替和是2。那么，對于n=7。求所有子集的“交替和”的總和。

2.n元集合具有多少個(gè)不同的不交子集對？

3.以某些整數(shù)為元素的集合「具有下列性質(zhì)：①尸中的元素有正數(shù)，有負(fù)數(shù)；②

產(chǎn)中的元素有奇數(shù)，有偶數(shù)；③一1七尸；④若x,了?尸，則x+ydP。試判斷

實(shí)數(shù)0和2與集合P的關(guān)系。

4.若I，邑,S3為非空集合，對于1，2,3的任意一個(gè)排列。/，左，若xeSQeJ,

則x-ye巢

(1)證明：三個(gè)集合中至少有兩個(gè)相等。

(2)三個(gè)集合中是否可能有兩個(gè)集無公共元素？

G

5.設(shè)5={1,2,3,…,200},/=u且A具有下列性質(zhì):(1)對

任意1W/V100,恒有at+aj/201；(2)%=10080o

試證A中的元素為奇數(shù)的個(gè)數(shù)是4的倍數(shù)，且a.為定值.

i=l

6.(江蘇五校)已知集合幺={a,a2,口3,***,a〃},其中a’GR77>2),

/(/)表示的所有不同值的個(gè)數(shù).

(1)已知集合夕={2,4,6,8),0={2,4,8,16},分別求1(0,1(Q)；

(2)若集合2={2,4,8,…，2〃},求證：l(A)=n(n—l)；

2

(3)求/儲)的最小值.

7.通信工程中常用〃元數(shù)組(%,4,%，...%)表示信息，其中q=0或1,

人neN.設(shè)〃=(%,a2M3..........%)，v=(4也也....bn),d(〃,v)表示〃和v中相對

應(yīng)的元素不同的個(gè)數(shù).

(1)M=(0,0,0,0,0)問存在多少個(gè)5元數(shù)組V使得d(M,v)=l；

(2)〃=問存在多少個(gè)5元數(shù)組v使得d(〃,v)=3；

(3)令w=(0,0,0...0),...v=(/?],&,&.......b),求證：

〃個(gè)0

d(M,iv)+d(v,iv)2d(M,V).

2022年高考數(shù)學(xué)尖子生強(qiáng)基計(jì)劃專題2均值、柯西、排序

不等式

二、真題特點(diǎn)分析：

1.考查思維

【2021北大強(qiáng)基】設(shè)正整數(shù)叫〃均不大于2021,且,<&<竺立則這

77+1n

樣的數(shù)組（加,〃）個(gè)數(shù)為.

2.考查技巧

【2020清華強(qiáng)基】使得〃sinl>l+5cosl成立的最小正整數(shù)〃等于（）

A.3B.4C.5D.6

三、知識要點(diǎn)拓展：

1.兩個(gè)重要的不等式（二元均值不等式）：

①a°+b。22ab（a,beR）,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號成立。

②a+b2eR*）,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號成立。

2.最值定理：若x,yeR+,x+y=S，町=尸，則：

①如果P是定值，那么當(dāng)x=了時(shí)，S的值最?。?/p>

②如果S是定值，那么當(dāng)x=y時(shí)，P的值最大。

注意：

①前提：“一正、二定、三相等"，如果沒有滿足前提，則應(yīng)根據(jù)題目創(chuàng)設(shè)情境;

還要注意選擇恰當(dāng)?shù)墓剑?/p>

②“和定積最大，積定和最小”，可用來求最值；

③均值不等式具有放縮功能，如果有多處用到，請注意每處取等的條件是否一致。

（A）均值不等式：設(shè)%生，…%是〃個(gè)正實(shí)數(shù)，記Q“=/

AJi+出+…+%,

G"=…%，Hn=%---產(chǎn)----「，則?！?42G”2笈〃，其中等號成立的

-------1--------1-???H

2an

條件是4=4=??=%。。“,4,3,凡,分別稱為平方平均、算術(shù)平均、幾何平均、

調(diào)和平均。

2.柯西不等式：

柯西不等式的二維形式：若a,b,c,d都是實(shí)數(shù)，則

(a2+b2)(c2+d2)>(ac+bd),當(dāng)且僅當(dāng)ad=bc時(shí)，等號成立。

柯西不等式的一般形式：設(shè)a”的,%，…，％，仇也也，…也是實(shí)數(shù),則

(aJ+<?2+…+a”).(Z?j+Z?2+…+4~)2(%4+a,%+…，當(dāng)且僅當(dāng)

2=0

?=1,2,或存在一個(gè)數(shù)左，使得%=%0=1,2,…時(shí)，等號成立。

3.柯西不等式的幾個(gè)推論：

(1)當(dāng)4=&二…〃=1時(shí)，柯西不等式即為“(a；+片+…a：)"4+4+…aj,

222

%+4+…心4士土士工,此即上面提到

nn

的平方平均2算術(shù)平均。J

(2)當(dāng)"=工(i=l,2,…")時(shí)，有(a；+a22H—-----r)n2

a；"a.a,a?

(3)當(dāng)%z=1,2,???n)則

(向+病+…而>。

4.排序不等式(又稱排序定理)：

a

給定兩組實(shí)數(shù)%,n；如%…，bn.如果％<?V…<%；

4W力2V…〈，…那么

地+a2b+???+/[<哂+哂+,??+/&?afy+a2b2+…+a/“

(反序和)(亂序和)(同序和)

其中不，J……，」是12……，n的一個(gè)排列.

該不等式所表達(dá)的意義是和式￡盯％在同序和反序時(shí)分別取得最大值和最小值.

三、競賽題目精練

【江蘇競賽】設(shè)實(shí)數(shù)。，6滿足04a4gW6W1.證明：2(6-a)Wcos%a-cos油.

四、典例精講

例1.證明柯西不等式

212

例2.證明：對任意實(shí)數(shù)有〃一8.

b-1a-1

例3.設(shè)心>6>0,那么/+―1一的最小值是____

b(a—b)

A鏈接：如果題目變?yōu)椤?gt;6>0,求力+」一^的最小值,你會做嗎？

Jb(a-b)

例4.a、b為正的常數(shù)，0<x<l,/(x)=—+—^―,求/(x)的最小值.

X1-x

例5.(復(fù)旦)設(shè)〃是一個(gè)正整數(shù)，則函數(shù)x+工?在正實(shí)半軸上的最小值是

nxn

()O

(A)—(B)—(C)—(D)—

nn+1n77+1

例6.(交大)若滿足關(guān)系：ayJl-b2+bsjl-a2=1,則

a2+Z?2=o

例7.(南大)尸為A4BC內(nèi)一點(diǎn)，它到三邊309448的距離分別為4,出區(qū)，

S為A48c的面積。求證：—+—+—>(a+Z)+C)2(這里a,仇c分別表示

d232AS

5C,C4,48的長)。

例8.(浙大)有小于1的正數(shù)…X〃，且M+%2+x3+…+%=1。求證:

111,

>4

------+--?+-----r°

%—%xn-xn

例9.設(shè)A48c的三內(nèi)角4B、。所對的邊分別為a、b、c,其周長為1.

求證:

五、真題訓(xùn)練

(1)(復(fù)旦)設(shè)x,y,z〉0滿足xyz+.v+z=12,貝!Jlog4x+log?y+log?z的最大

值是()

(A)3(B)4(C)5(D)6

(2)(復(fù)旦)設(shè)實(shí)數(shù)a,“cwO,匕,廣,絲成等差數(shù)列，則下列一定成立的是

abc

()

(A)|b|<|ac|(B)b1>|ac\(C)a1<b2<c2(D)|昨⑷:舊

3.(復(fù)旦)當(dāng)。和b取遍所有實(shí)數(shù)時(shí)，函數(shù)

/(a,b)=(a+5-31cos切產(chǎn)+伍一2|sinb|)2所能取到的最小值為()

(A)1(B)2(C)3(D)4

4.(復(fù)旦)給定正整數(shù)〃和正常數(shù)a,對于滿足不等式端+。向的所有等差

2?+l

數(shù)列a”％,為，…和式￡%的最大值為()O

i=n+l

/A、JlOa/1、y/lOa(C)年(〃+1)(D)孚〃

(A)-^―(77+1)(B)----------n

2

2

5.(交大)方程X-px--!=0的兩根X1,、2滿足X：+V2+血?jiǎng)tp=

(peR)

7?

(A)(交大)已知x.y^R+,x+2y=l,則-+-的最小值

%y

是o

(B)(交大)若x,y,z>0且_?+/+z?=1,則二+±+1的最小值

XVZ

為。

(X+-I-+1)-2

(C)(交大)XER+,求/(x)=^_---------的最小值。

(1Y31

XH--+XH----T-

kX)X

(D)(清華)已知x/,z>0,a,Z?,c是x,y,z的一個(gè)排列。求證3+公+士、？。

xyz

(E)(復(fù)旦)比較log2425與log2526的大小。

2022年高考數(shù)學(xué)尖子生強(qiáng)基計(jì)劃專題3不等式性質(zhì)與證明

一、真題特點(diǎn)分析：

——3o

1.[2020中科大11.】已知1+0+…，證明：當(dāng)時(shí),

不等式成立，且當(dāng)c<2時(shí)，該不等式不成立.

3

2.【2020年武大】設(shè)正整數(shù)左使得關(guān)于X的方程kx=sinx在區(qū)間（-3萬,3萬）內(nèi)

恰有5個(gè)實(shí)根匹</<當(dāng)</</，貝U（）

.A「29%5萬

A.再+'2+%3+%4+%5=。B.<X5<—

C.&=tanx5D.%,5,玉成等差數(shù)列

二、知識要點(diǎn)拓展

L作差比較與作商比較法

作差比較：A>B<^A-B>0

A

作商比較法：A>^>0^->1

B

注：作完差之后，我們一般采用配方或因式分解

只有正數(shù)的比較大小我們才會采用作商比較

2.逐步調(diào)整法

特征：變量的個(gè)數(shù)大等于三個(gè)；

變量之間滿足對稱性；

等號在相等或極端值時(shí)取到。

注：逐步調(diào)整法可以和反證法相結(jié)合；這樣步驟顯得更精簡些。

3.絕對值不等式

公式：M—向日/土平M+忸

等號成立條件：A與B同號或異號時(shí)取到

注：不等式中加減號的選取依照具體題目的特點(diǎn)而定，關(guān)鍵是削去變量。

不等式中的等號成立條件一定要牢固掌握

不等式可以從兩個(gè)進(jìn)行推廣

4.構(gòu)造法與放縮法

構(gòu)造法：一般我們可以構(gòu)造函數(shù)，三角形或四邊形來解決不等式的證明問題；這些問題需要

我們豐富的聯(lián)想和扎時(shí)的基礎(chǔ)。

放縮法：一般運(yùn)用在多變量求和的不等式中，許多式子在沒有放縮時(shí)是無法求和的，經(jīng)常是

需要放縮之后，通過裂項(xiàng)相削來求和。所以，這類題目經(jīng)常和數(shù)列結(jié)合在一起考。

5.不等式的衍生問題

不等式經(jīng)常和函數(shù)，數(shù)列等內(nèi)容結(jié)合在一起考，屬于比較重要和綜合的考點(diǎn)；這更要求

我們在打牢基礎(chǔ)的同時(shí)，積極思考，注意類比和推廣，這樣才能掌握好這塊內(nèi)容。

三、應(yīng)試技巧和準(zhǔn)備策略

強(qiáng)基計(jì)劃中涉及到不等式的問題主要分為三類：不等式的證明、解不等式、不等式的應(yīng)

用，其中“不等式的證明”是難點(diǎn)。

證明不等式?jīng)]有固定的程序，證法因題而異，而且靈活多樣、技巧性強(qiáng)，一個(gè)不等式的證法

常不止一種。證明不等式的基本方法主要有：反證法、數(shù)學(xué)歸納法、變量代換法、構(gòu)造法

(如構(gòu)造函數(shù)、構(gòu)造圖形)等。

四、例題精講

例1.(復(fù)旦)設(shè)有集合S=｛x|log<3x2—4x)22,x>0｝,

7=｛刈匕§式2必—《2幻22/>0｝滿足5屋7,則實(shí)數(shù)左的取值范圍是()。

(F)k2>2(B)k2<2(C)k>42(D)k<41

例2.(復(fù)旦)設(shè)實(shí)數(shù)x/20,且滿足2x+y=5,則函數(shù)f(x,y)=x2+xy+2x+2y

的最大值是()。

97iOS4925

(B)—(B)—(C)—(D)—

81642

例3.(同濟(jì))求證：對于任何實(shí)數(shù)a,b,三個(gè)數(shù)|4+6|』”6|,|1-4|中至少有一

個(gè)不小于工。

2

例4.(清華)/(x)=上)/⑴=1,/(；)=|?，數(shù)列｛七｝滿足3=/區(qū))，且西=：。

ax+b232

(3)求當(dāng)?shù)耐?xiàng)；

(4)求證：xxx2■■■xn>-o

JF）AI7DF

例5.（清華）如圖：——=x,——=y,——=Z,5MBC=4,且y+z—x=l,求A5DE

ABACDFMBC」

面積的最大值。(原題為選擇題)

例6.(復(fù)旦)設(shè)/0)=/-爐+/-X+1,則/(X)有性質(zhì)()

(B)對任何實(shí)數(shù)x,/(x)總是大于0

(C)對任何實(shí)數(shù)x,/(x)總是小于0

(D)當(dāng)x〉0時(shí)，/(%)<0

(E)以上均不對

注：配方法是最基本的方法，尤其在證明/(x)20時(shí)常用。

例7.設(shè)…，X,W凡，且X]+X?+…+X”=1，求證

1+X11+x21+X?"+1

例8.(北大)求/(x)=|x—l|+|2x—1|+…+|2011x—1|的最小值。

14Q

例9.已知x,y,zeR+,且x+v+z=l,求一H--F—的最小值。

xyz

1010

例10.(清華)已知實(shí)數(shù)X”[-6,10],=50,=1、2、3、…、10,當(dāng)取到

Z=1Z=1

最大值時(shí)，有多少個(gè)-6?

五、真題精練

1.(復(fù)旦)若實(shí)數(shù)x滿足：對任意正數(shù)a〉0,均有/<i+a,則X的取值范圍是

()

(A)(—1,1)(B)[―1,1](C)(-Jl+a,Jl+a)(D)

不能確定

2.(復(fù)旦)設(shè)a,“c為非負(fù)實(shí)數(shù)，且滿足方程4'+9H——68x2^+96+4。+256=0,

則a+Z?+c的最大值和最小值()。

(A)互為倒數(shù)(B)其和為13(C)其乘積為4(D)

均不存在

3.（復(fù)旦）下列不等式中正確的是（）

12011201

(A)16<27<17(B)18<2了<19

k=\ykk=\y/k

120i120i

(C)20<y^=<21(D)22<y^<23

4.(交大)已知x/,z是非負(fù)整數(shù)，且x+y+z=10,x+2y+3z=30,則x+5y+3z

的取值范圍是O

%2+yficix+52—

有唯一解，則。=

5.（交大）已知不等式組43o

%2+yj_2.cix+5V—

12

6.（復(fù)旦）。1，。2"，an是各不相同的自然數(shù)，?>2,求證

lII

——+——+…+——<2o

\a\)\a2J\an7

7（復(fù)旦）也滿足何條件,可使三黑<1恒成立？

（B）（復(fù)旦）求證：1+3+工+-.+*<3o

、3

（C）（交大）已知正整數(shù)列與電,…，對大于1的〃，有％+出+…+%=]〃，

"化…”等。試證：—中至少有一個(gè)小于1。

2022年高考數(shù)學(xué)尖子生強(qiáng)基計(jì)劃專題5函數(shù)與方程

四、真題特點(diǎn)分析：

1.【2021年北大13】方程/_2孫+3了2_4》+5=0的整數(shù)解的組數(shù)為

2.【2020年清華29】已知函數(shù)〃x）=e、+a（x-l）+6在區(qū)間［1,3］上存在零

點(diǎn)，貝必?+/的最小值為（）

A.-B.eC.-D.e2

22

3【2020武大2】已知方程2「sinx=l,則下列判斷:

（1）方程沒有正數(shù)解；

（2）方程有數(shù)多個(gè)解；

（3）方程有一個(gè)正數(shù)解；

（4）方程的實(shí)根小于1.

其中錯(cuò)誤的判斷有.

二、知識要點(diǎn)拓展

（B）一元二次方程ax2+6x+c=o（Q。0）有關(guān)公式

-b±yJb2-4ac

1.一元二次方程的根:x=------------

2a

he_

2.根與系數(shù)的關(guān)系：再+%2=-，Xi~—（韋達(dá)定理）

aa

3.判別式：A=&2-4ac.

二.函數(shù)不等式恒成立、能成立、恰成立問題

1.函數(shù)不等式的恒成立問題：

(1)不等式/(x)2加在集合。上恒成立o在集合。上f(x)min>m.

(2)不等式在集合。上恒成立O在集合。上/(X)max<〃.

2.函數(shù)不等式的能成立問題：

(1)在集合。上存在實(shí)數(shù)X使不等式/(X)2加成立O在集合。上

/(X)max2加?

(2)在集合。上存在實(shí)數(shù)X使不等式/(X)V〃成立O在集合。上4〃.

3.函數(shù)不等式的恰成立問題：

不等式在集合。上恰成立o該不等式的解集為。.

三.幾個(gè)常見的函數(shù)方程

1.正比例函數(shù)f(x)=CX,具有性質(zhì)：/(X+V)=/(%)+=c.

2.指數(shù)函數(shù)/(》)=優(yōu)，具有性質(zhì)：/(x+y)=/(xW),/(l)=a^0.

3.對數(shù)函數(shù)/(X)=logaX，具有性質(zhì)：

/(中)=/(X)+//),/⑷=l(a>0,"1).

方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)：

1.對于函數(shù)y=/(x),我們把使/(x)=0的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)了=/(x)的零點(diǎn).

2.方程/(x)=0有實(shí)數(shù)根u>函數(shù)y=/(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)o函數(shù)了=/(%)

有零點(diǎn)

3.零點(diǎn)存在定理：設(shè)函數(shù)/(x)在閉區(qū)間以a上連續(xù)，且/僅>/3)<0,那么在

開區(qū)間(a,6)內(nèi)至少存在一點(diǎn)c,使/(。)=0。

A函數(shù)零點(diǎn)的理解：

(1)函數(shù)了=/(x)的零點(diǎn)、方程/(x)=0的根、函數(shù)了=/(x)的圖像與x軸交點(diǎn)

的橫坐標(biāo)，實(shí)質(zhì)是同一個(gè)問題的三種不同表達(dá)形式，方程/(x)=0根的個(gè)數(shù)就是

函數(shù)了=/(X)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，亦即函數(shù)了=/(X)的圖像與X軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)

(2)函數(shù)的零點(diǎn)不是點(diǎn)，而是函數(shù)函數(shù)y=/(x)的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

即零點(diǎn)是一個(gè)實(shí)數(shù)。

(3)若函數(shù)/(X)在區(qū)間［a向上的圖象是一條連續(xù)的曲線，則/(a)./(b)<0是

/(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)的充分不必要條件。

二.高次方程韋達(dá)定理

①三次方程韋達(dá)定理

設(shè)三次方程+92+CX+d=0的三個(gè)根為七,》2，13>那么

b

X]+x2+----,

-a

c

<XjX2+x,x3+x2x3=—,

a

d

X1X2X3=―一-

、a

nnn2

②如果一元〃次多項(xiàng)式f(x)=anx+an^~'+an_2x~+■■■+a1x+a0的根為斗,馬，…，Z，

那么

1

X1+X2+?■?+X?=-%

an

再々+X[X3+?-?+XnAXn

a?-3

V2X3+X1X2X4++X?-2Xn-lX?

an

尤儼2七…X.=(-l)”出

an

以上定理稱為韋達(dá)定理。它確定了根與系數(shù)的關(guān)系。利用韋達(dá)定理，一元n次方程可直接求

方程的根。

3.整系數(shù)多項(xiàng)式

設(shè)/(x)eK[x],aeC,若/(tz)=0,則稱a為/(%)的根(或零點(diǎn))；又若x-a是/(%)

的左重因式，則稱a為/(X)的k重根，當(dāng)左=1時(shí)，稱a為/(x)的單根。

代數(shù)基本定理：任意一個(gè)次數(shù)不小于1的多項(xiàng)式至少有一個(gè)復(fù)數(shù)根。

根的個(gè)數(shù)定理：任意一個(gè)21)次多項(xiàng)式的復(fù)數(shù)根的個(gè)數(shù)(依重?cái)?shù)累加)恰有〃個(gè)，依

次定理可知任何一個(gè)f{x)=anx"+---+a0^C[x]可以分解為

fl|k

/(x)=tzn(x-x1)?-?(x-xky,其中再加2…/,為兩兩不同的復(fù)數(shù)，aieN*,且

k

Z%=〃。這是多項(xiàng)式/(x)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的標(biāo)準(zhǔn)分解式。

Z=1

虛根成對定理：設(shè)/(》"火[刃/€4+萬為/(》)的復(fù)根，即/(Z)=O,則

7(^)=/(z)=0,于是三=a-4,也是/(x)的根。也就是說實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的虛根成對出

現(xiàn)。

n

實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式分解定理：設(shè)f(x)=anx+---+a0^R\x],則/(x)可分解為

22

/(x)=tzn(x-%1)?-)(x+^JX+CJ)---(x+2bjx+ci),其中

2

eR,bi,cieR,J3.6,<4cpl<z<l.m,leN,m+21=no

p

整系數(shù)多項(xiàng)式的有理根：設(shè)=+…+劭￡Z[x],—(夕/ez,pqWO,(p,q)=1)

q

是/(X)的有理根，貝1」P/旬應(yīng)/%，并且可寫/(x)=X-—g(x)=(qx-p)h(x),其

Iq)

中g(shù),/zeZ[x]o

依上述定理可知，若/（x）eZ[x],/（x）的首項(xiàng)系數(shù)為1,則/（x）的有理根都是整數(shù)根。

三、典例精講

例1.（復(fù)旦）設(shè)三次方程/+/+4=0的3個(gè)根互異，且可成等比數(shù)列，則它

們的公比是—

（A）(D)

22

---------±—1

22

A分析與解答：

例2.（北大）求Jx+11—6V^Zi+Jx+27—=1的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)。

例3.(復(fù)旦)設(shè)a,Z?￡(-泡+8),6w0,a,尸,,是三次方程+依+人=o的3

個(gè)根，則總以工+工,工+!」+工為根的三次方程是()

a(3(3yya

(4)a1x3+2abx2+b2x-a=0(B)b2x3+2abx2+a2x-b=0

(C)a2x3+2ab2x2+bx-a=Q(D)b2x3+2a2bx2-^-ax-b=0

2an

例4.（清華）請證明：方程l+x+土+三+…+二=0在〃為偶數(shù)的時(shí)候沒有實(shí)

2!3!n\

數(shù)根，在〃為奇數(shù)的時(shí)候，有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根。

例5.（復(fù)旦）方程3/_"=0的實(shí)根是（）

（A）不存在（B）有一個(gè)（C）有兩個(gè)（D）有三個(gè)

練習(xí)1：函數(shù)了與它的反函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

16

（B）1個(gè)（B）2個(gè)（C）3個(gè)（D）4個(gè)

練習(xí)2：關(guān)于X的方程卜2_1『_k2_1卜左=0,給出下列四個(gè)命題:

①存在實(shí)數(shù)上,使得方程恰有2個(gè)不同的實(shí)根

②存在實(shí)數(shù)人,使得方程恰有4個(gè)不同的實(shí)根

③存在實(shí)數(shù)人,使得方程恰有5個(gè)不同的實(shí)根

④存在實(shí)數(shù)人,使得方程恰有8個(gè)不同的實(shí)根

其中假命題的個(gè)數(shù)是)

A0B1C2D3

例6.(交大)設(shè)/(x)=(1+。)/+/_(3。+2)--4。，試證明對任意實(shí)數(shù)a：

(1)方程/(x)=0總有相同的實(shí)根；

(2)存在/,恒有/(%”0。

例7.(復(fù)旦)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)求方程佝金+戶1=3的實(shí)數(shù)根。

例8.(交大)已知函數(shù)/(x)=ax?+Z?x+c(aw0),且/(x)=x沒有實(shí)數(shù)根。問:

/(/(x))=x是否有實(shí)數(shù)根？并證明你的結(jié)論。

例9.(交大)當(dāng)/(x)=x時(shí)，x的取值稱為不動(dòng)點(diǎn)。證明：若/(/(%))有唯一不

動(dòng)點(diǎn)，則/(x)也有唯一不動(dòng)點(diǎn)。

四、重點(diǎn)總結(jié)

1.掌握判斷函數(shù)零點(diǎn)的常用方法：方程法，圖像法，定理法。注意在給定區(qū)間內(nèi)函數(shù)零點(diǎn)

個(gè)數(shù)可能大于1個(gè)。

2.對于解無理方程，需要注意利用配方法，換元法，倒數(shù)法以及根據(jù)函數(shù)單調(diào)性去解方程。

3.關(guān)于三次方程或者高次方程，巧妙利用韋達(dá)定理，不同方程可以利用換元將根轉(zhuǎn)化，便

于解方程。

五、強(qiáng)化訓(xùn)練

（A組）

g+Jx+；=4的實(shí)數(shù)解為

1.方程X+

組實(shí)數(shù)解。

y2+2xy+1-8y=0

3.已知方程2氐3一(2+43■卜2+(4+6卜_1=()，其中兩個(gè)滿足條件工+:=4,

則此方程的根為。

4.求一切實(shí)數(shù)P,使得三次方程5丁—5(0+1)/+(710—1)x+1=660的三個(gè)根均為自

然數(shù)。______

5.解方程：一2.+產(chǎn)+1==2(-)2

X2+1+^(X2+1)2+1

6.試求多項(xiàng)式/(切=24/+26/+9》+1①的有理根

7.已知名“c為方程7x+7=0的根，則一二+—二+—二的值為

("I)(…一

8.解方程：（X+8）20°I+X2°°I+2X+8=0。

(B組)

1.已知多項(xiàng)式/(》)=/+/+/一4%-20的四個(gè)根中，有兩個(gè)根的絕對值相等，符號相

反，試求/(x)的有理數(shù)根。

2.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，將適合x<y，W<3，M<3,且使關(guān)于t的方程

(x3-/>4+(3x+y)/+-^—=0沒有實(shí)數(shù)根的點(diǎn)(x,y)所成的集合記為N,則由點(diǎn)集及

^-y

所成區(qū)域的面積為O

A81/4B83/4C81/5D83/5

3.已知實(shí)數(shù)x,y,z滿足：x>y>z,x+y+z=l,—+、2+z2=3。求實(shí)數(shù)％的取值范

圍。

4.設(shè)方程金99。+%)989+出儲988+3+%98/+%990=。的根都是正數(shù)。當(dāng)口觀?=T990

時(shí)，試求。1990的最大值。

2022年高考數(shù)學(xué)尖子生強(qiáng)基計(jì)劃專題6：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

五、真題特點(diǎn)分析:

[2021年清華4】恰有一個(gè)實(shí)數(shù)X使得f一依_1=0成立，則實(shí)數(shù)a的取

值范圍為().

2.【2020年清華17.】已知函數(shù)/(x)=37r+sinx(xe[-2,2]),則/(x)

e+e

的最大值與最小值的和是().

A.2B.eC.3D.4

二、知識要點(diǎn)拓展

導(dǎo)數(shù)的定義：設(shè)函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)七的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，若極限

lim/(x)-/(x。)(*)存在，則稱函數(shù)/在點(diǎn)/可導(dǎo)，并稱其極限值為函數(shù)/在

X~X0

x0的導(dǎo)數(shù)，記作/Go)。

若令x=x0+Ax,Ay=/(x0+Ax)-/(x0),則(*)式可改寫為

lim/(/+叔)一〃/)=lim電

——oAxoAx

-/*(xo)°

二.導(dǎo)數(shù)的幾何意義：

函數(shù)/在點(diǎn)/的導(dǎo)數(shù)/(%)是曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,/(x0))處切線的斜率。

若a表示這個(gè)切線與x軸正向的夾角，則/(x())=tana。

三.基本求導(dǎo)法則：

①(M±V)，=/±"；(2)(MV)'=M'V+MV',(CM)'=CU'(c

為常數(shù))；

③閭.^^,山=-=；④反函數(shù)導(dǎo)數(shù)

IvJv2IvJv2dxdx

dy

⑤復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)@=◎.四

dxdudx

四.基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式

①(。=0(c為常數(shù))；②(x)=ax"i(。為任何實(shí)數(shù))；

(3)(sinx)'=cosx,(cosx)'=-sinx,(tanx)'=sec2x,(cotx)'=-esc2x,

(secx)'=secxtanx,(esex)'=-esexcotx；

④(arcsinx)'=-(arccosx)'=,(|x\<1)

Vl-x2

(arctanx)'=-(arccotx)'=[】1；

⑤⑷)'="lna,?)'="；

@(logflx)'=—,(ln^)'=-

xmax

五.原函數(shù)：設(shè)/(x)是定義在區(qū)間。上的函數(shù)，若存在函數(shù)尸(x),對任意xe。

都有1(x)=/(x),則稱/(X)是/(X)的一個(gè)原函數(shù)。

一個(gè)函數(shù)若存在原函數(shù)，它必定有無窮多個(gè)原函數(shù)，若/(X)是/(X)的一個(gè)

原函數(shù)，則/(x)+C表示/(x)的全體原函數(shù).

六.不定積分：設(shè)/(X)是/(X)的一個(gè)原函數(shù)，則稱/(x)的全體原函數(shù)/(x)+C為

/(X)的不定積分。記為J/(x)dx,即J/(x)dx=E(x)+C。

七.不定積分的性質(zhì)：

①(J/(x)dxJ=/(x)；②J-(x)公=/(x)+C,

③J4f(x)dx=f(x)dx,④J"(x)土g(x)]dx=jf(x)dx±jg(x)dx。

八.常見積分公式

^dx-x+C,fxadx=—―xa+1+C,

Ja+1

P1

\-dx-\n\x\+C,I*a"dx—---優(yōu)+C,

JXJIna

jexdx=ex+C,Jsmxdx=-cosx+C,

[cosxdx=sinx+C,f-\-dx=tanx+C,

jJcosX

f-\—dx=-cotx+Co

Jsinx

九.函數(shù)的單調(diào)性：若函數(shù)/在伍/)內(nèi)可導(dǎo)，則/在伍/)內(nèi)遞增(遞減)的充

要條件是,(x)20(/,(x)<0),xe(a,b)o

三、典例精講

例1?已知/(x)在x=a處可導(dǎo)，且/'(。)=力，求下列極限:

⑴lim/(.+3/Q-/(,-/z)；(2)1向/("/)一/⑷

go2hgoh

練習(xí)1:若函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且x0e(a,b)則

1血/(4+〃)一/(X。一〃)

hfOh

的值為()

A./1(x0)B.2/1(x0)C.-27'(x0)D.0

練習(xí)2：(2000上海交大)已知/(x)在/處可導(dǎo)，則

f\x3h)-f\x-h)_

11111o+o—________________________________O

『0h

例2.求函數(shù)y=(x-a)(x-6)(x-c)的導(dǎo)數(shù)。

練習(xí)3./1)="3+3/+2,若/'(—1)=4,貝［a的值等于()

例3.函數(shù)y=皿的導(dǎo)數(shù)為

例4.求函數(shù)歹二(1+cos2x)3的導(dǎo)數(shù)。

例5.觀察(x")'=,(sinx)r=cosx,(cosx)'=-sinx,是否可判斷,可導(dǎo)的

奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)，可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)。

例6.求證下列不等式

Y2V2,卜

(1)x---<ln(l+x)<x---------xe(0,+oo)(相減)

22(1+x)

(2)sinx>—x€(0,—)(相除)

712

(3)x-sinx<tanx-xxe(0,

例7.已知函數(shù)/(x)=x,g(x)=ln(l+x),h(x)=-----

1+x

(1)證明：當(dāng)x>0時(shí)，恒有f(x)>g(x)；

Iry

(2)當(dāng)x〉0時(shí)，不等式g(x)>—匚(左20)恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍;

k+x

例8.利用導(dǎo)數(shù)求和：

2

(1)Sn=l+2x+3xH--F〃X"T(XWO,nuN*)；

(2)S”C：+2C：+3C：+…N*)。

例9.已知函數(shù)/(x)=/+x—i,a,夕是方程/(x)=0的兩個(gè)根(a>.),/(%)是/(x)

的導(dǎo)數(shù)；設(shè)％=1,—4(n=l,2,……)

(1)求a,〃的值；

(2)證明：對任意的正整數(shù)〃，都有““>a;

(3)記〃=111k￡(〃=1，2,…)，求數(shù)列｛〃｝的前〃項(xiàng)和S"。

四、真題訓(xùn)練

1.若/(x0)=-3,則lim/(/+/-30=()

°20h

A.-3B.-6C.-9D.-12

2.(上海交大)設(shè)廠(%)=2,則lim，(但一二人也二")=()

hf。h

(B)-2(B)2(C)-4(D)4

3./(x)與g(x)是定義在R上的兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)，若/(x),g(x)滿足/'(X)=g'(x),

則

/(X)與g(x)滿足()

A./(%)=g(x)B./(x)-g(x)為常數(shù)函數(shù)

C./(x)=g(x)=0D./(x)+g(x)為常數(shù)函數(shù)

4.若/(x)=since-cosx,則/'(a)等于()

A.sinceB.cosaC.sina+cosaD.2sina

5.若函數(shù)f{x}=x2+bx+c的圖象的頂點(diǎn)在第四象限，則函數(shù)/'(X)的圖象是

()

6.于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)/(x),若滿足(x-l)/'(x)20,則必有()

A./(0)+/(2)<2/(1)B./(0)+/(2)<2/(1)

C.7(0)+/(2)>2/(1)D./(0)+/(2)>2/(1)

7.函數(shù)y=3在點(diǎn)x=4處的導(dǎo)數(shù)是

111

A.B.C.D.

881616

8.設(shè)f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(a.b,c是兩兩不等的常數(shù))，則

abc

-；1—；1—；—的值是

/(?)/3)/(c)

9.證明下面不等式:

(1)已知：xe(O+oo),求證^―<<工；

x+1XX

(2)已知：n€N^n>2,求證：—+—H--F—<ln72<l+—+—F--—

23n27/-I

10.已知函數(shù)/(x)=lnx

(I)求函數(shù)g(x)=/(X+1)-X的最大值；

(II)當(dāng)0<a<b時(shí)，求證:f(b)-f(a)>2a,-2

a+b^

11.設(shè)/（x）的定義域?yàn)椋?,+oo）,/（x）的導(dǎo)函數(shù)為了'（X）,且對任意正數(shù)X均有

八X）〉”

X

（I）判斷函數(shù)/（x）=/也在（0,+8）上的單調(diào)性；

X

（II）設(shè)再,一€（°，+8），比較/（再）+/（%2）與/（西+%2）的大小，并證明你的

結(jié)論；

（III）設(shè)X],x2,…x“e（0,+co）,若〃22,比較