第八單元數(shù)學(xué)廣角數(shù)與形解決問題專項(xiàng)（題型專練）-2023-2024學(xué)年六年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《知識(shí)解讀題型專練》（答案解析）（人教版）

保密★啟用前第八單元數(shù)學(xué)廣角—數(shù)與形解決問題專項(xiàng)答案解析1．（1）82，352（2）22＋2×7×2＋72圖見詳解【分析】根據(jù)題意，用算式中的數(shù)分別構(gòu)造兩個(gè)正方形和兩個(gè)長(zhǎng)方形。這四個(gè)圖形的面積相加正好是大正方形的面積，由此可知：圖①：12＋1×3×2＋32＝（1＋3）2＝42圖②：22＋2×5×2＋52＝（2＋5）2＝72圖③：42＋4×6×2＋62＝（4＋6）2＝102也就是說a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2，據(jù)此規(guī)律解答即可?！驹斀狻浚?）根據(jù)當(dāng)當(dāng)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空：32＋3×5×2＋52＝（3＋5）2＝82162＋16×19×2＋192＝（16＋19）2＝352（2）你能根據(jù)當(dāng)當(dāng)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，把如圖這個(gè)正方形分成四塊，用算式表示出來如下：22＋2×7×2＋72＝92；圖如下：

【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)與形的組合知識(shí)，結(jié)合題意分析解答即可。2．①②③④發(fā)現(xiàn)及說明見詳解【詳解】①②③…則：④發(fā)現(xiàn)：計(jì)算結(jié)果以最后一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母作分母，分子等于分母減1。如圖：依次選取余下的一半，就會(huì)出現(xiàn)這種情況：【點(diǎn)睛】數(shù)和圖形的規(guī)律是相對(duì)應(yīng)的，圖形的排列有什么變化規(guī)律，數(shù)的排列就有相應(yīng)的變化規(guī)律。3．（1）a＋b；（a＋b）2；（2）這四個(gè)圖形的面積和是a2＋b2＋2ab；（3）我發(fā)現(xiàn)大正方形的面積等于這四個(gè)圖形的面積之和，所以可以得出結(jié)論：（a＋b）2＝a2＋b2＋2ab。【分析】（1）由圖可知大正方形的邊長(zhǎng)為（a＋b），根據(jù)正方形的面積公式S＝a2，即可用字母表示出大正方形的面積；（2）根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式S＝a×b，正方形的面積公式S＝a2，分別求出兩個(gè)小長(zhǎng)方形①和②的面積，兩個(gè)小正方形③和④的面積，再將這四個(gè)圖形的面積相加即可解答；（3）通過觀察圖形，可知大正方形的面積等于這四個(gè)圖形的面積之和，用字母表示出來即可。【詳解】（1）大正方形的邊長(zhǎng)為（a＋b）；用字母表示大正方形的面積是：（a＋b）2。（2）①的面積a×b＝ab②的面積a×b＝ab③的面積a×a＝a2④的面積b×b＝b2ab＋ab＋a2＋b2＝a2＋b2＋2ab答：兩個(gè)長(zhǎng)方形①和②，兩個(gè)小正方形③和④，這四個(gè)圖形的面積和是a2＋b2＋2ab。（3）答：我發(fā)現(xiàn)大正方形的面積等于這四個(gè)圖形的面積之和，所以可以得出結(jié)論：（a＋b）2＝a2＋b2＋2ab?！军c(diǎn)睛】本題主要考查用字母表示數(shù)和探索圖形的規(guī)律。4．46人；8張【分析】觀察擺放的桌子，不難發(fā)現(xiàn)：在1張桌子坐4人的基礎(chǔ)上，多1張桌子，多2人．則有n張桌子時(shí)，有4＋2（n－1）＝2n＋2人；由此即可計(jì)算當(dāng)n＝22時(shí)，求出2n＋2的值；當(dāng)2n＋2＝18人時(shí)，求得桌子張數(shù)n的值?！驹斀狻康谝粡堊雷涌梢宰?人；拼2張桌子可以坐4＋2×1＝6人；拼3張桌子可以坐4＋2×2＝8人；故n張桌子拼在一起可以坐4＋2（n－1）＝2n＋2。當(dāng)n＝22時(shí)，2n＋2＝2×22＋2＝46（人）當(dāng)2n＋2＝18時(shí)，n＝8?！军c(diǎn)睛】此題考查了平面圖形的規(guī)律變化，解答此題關(guān)鍵是觀察圖形，分析、歸納并發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用規(guī)律解決問題。5．第五個(gè)圖形見解析；37個(gè)；201個(gè)；1＋4×4【分析】分析圖形的變化規(guī)律可知，后面一個(gè)圖形比相鄰的前一個(gè)圖形多4個(gè)點(diǎn)，第n個(gè)圖形點(diǎn)的個(gè)數(shù)用式子表示為：1＋4（n－1），據(jù)此解答。【詳解】1

1＋4

1＋4×2

1＋4×3

（

1＋4×4

）分析可知，第n個(gè)圖形點(diǎn)的個(gè)數(shù)：1＋4（n－1）＝1＋4n－4＝（4n－3）個(gè)當(dāng)n＝10時(shí)，4n－3＝4×10－3＝40－3＝37（個(gè)）當(dāng)n＝51時(shí)，4n－3＝4×51－3＝204－3＝201（個(gè)）答：第10個(gè)方框有37個(gè)點(diǎn)，第51個(gè)方框有201個(gè)點(diǎn)?！军c(diǎn)睛】分析圖形找出圖形變化的規(guī)律是解答題目的關(guān)鍵。6．（1）6根；11根；16根；21根；（2）26根；41根；（3）（5n＋1）根【分析】分析圖形可知，每增加一個(gè)六邊形就增加5根牙簽，第1個(gè)圖形一共用了6根牙簽，第2個(gè)圖形一共用了（6＋5）根牙簽，第3個(gè)圖形一共用了（6＋5×2）根牙簽，第4個(gè)圖形一共用了（6＋5×3）根牙簽……則第n個(gè)圖形一共用了[6＋5×（n－1）]根牙簽，據(jù)此解答?！驹斀狻浚?）第1幅圖用了6根，第2幅圖用了11根，第3幅圖用了16根，第4幅圖用了21根。（2）第5幅圖：6＋5×（5－1）＝6＋5×4＝6＋20＝26（根）第8幅圖：6＋5×（8－1）＝6＋40－5＝46－5＝41（根）答：第五幅圖將用26根牙簽，第八幅圖將用41根牙簽。（3）6＋5×（n－1）＝6＋5n－5＝（5n＋1）根答：第n幅圖一共要用（5n＋1）根?！军c(diǎn)睛】用含有字母的式子表示出圖形變化的規(guī)律是解答題目的關(guān)鍵。7．16根；24根；規(guī)律是：小棒的個(gè)數(shù)＝圖形序數(shù)×4，第n個(gè)圖形有4n根小棒【分析】根據(jù)題圖可知，第一個(gè)圖形有4根小棒，第二個(gè)圖形有2×4＝8根小棒，第三個(gè)圖形有3×4＝12根小棒，據(jù)此可知，小棒的個(gè)數(shù)＝圖形序數(shù)×4；第4個(gè)圖形時(shí)，有4×4＝16根小棒，第6個(gè)圖形時(shí)，有6×4＝64根小棒，當(dāng)?shù)趎個(gè)圖形時(shí)，有4n根小棒，據(jù)此解答即可?！驹斀狻?×4＝16（根）；4×6＝24（根）；我發(fā)現(xiàn)：小棒的個(gè)數(shù)＝圖形序數(shù)×4，所以第n個(gè)圖形有4n根小棒?！军c(diǎn)睛】解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)題圖找到規(guī)律，并根據(jù)規(guī)律解決實(shí)際問題。8．14【分析】（1）上半部往下折疊蓋在下半部上，這時(shí)上面的數(shù)字是1、2、3、4、5、6、7、8；（2）右半部往左折疊蓋在左半部上，這時(shí)上面的數(shù)字是11、12、15、16；（3）左半部往右折疊蓋在右半部上，這時(shí)上面的數(shù)字是9、13；（4）下半部往上折疊蓋在上半部上，這時(shí)上面的數(shù)字是14，據(jù)此解答即可?！驹斀狻考埰谧钌厦娴臄?shù)字是14；【點(diǎn)睛】解答本題時(shí)可以進(jìn)行實(shí)踐，得出結(jié)果。9．（1）見詳解（2）45個(gè)；55個(gè)【分析】（1）第一個(gè)圖形，白色三角形數(shù)量為0個(gè)，黑色三角形數(shù)量為1＝1個(gè)；第二個(gè)圖形，白色三角形數(shù)量為0＋1＝1個(gè)，黑色三角形數(shù)量為1＋2＝3個(gè)；第三個(gè)圖形，白色三角形數(shù)量為0＋1＋2＝3個(gè)，黑色三角形數(shù)量為1＋2＋3＝6個(gè)；第四個(gè)圖形，白色三角形數(shù)量為0＋1＋2＋3＝6個(gè)，黑色三角形數(shù)量為1＋2＋3＋4＝10個(gè)；

……以此類推：第n個(gè)圖形，白色三角形數(shù)量為：1＋2＋……＋（n－1）個(gè)，黑色三角形數(shù)量為：1＋2＋……＋n個(gè)，據(jù)此解答。【詳解】（1）由分析得：圖號(hào)①②③④白色三角形個(gè)數(shù)0136黑色三角形個(gè)數(shù)13610（2）白色三角形的個(gè)數(shù)：1＋2＋……＋9＝45（個(gè)）黑色三角形的個(gè)數(shù)：1＋2＋……＋10＝55（個(gè)）答：照這樣的規(guī)律畫下去，第10個(gè)圖形中有45個(gè)白色三角形、55個(gè)黑色三角形。【點(diǎn)睛】掌握?qǐng)D形的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵。10．90分鐘【分析】一個(gè)細(xì)胞經(jīng)過30分鐘分裂成2個(gè)細(xì)胞，2個(gè)細(xì)胞經(jīng)過30分鐘分裂成4個(gè)細(xì)胞，4個(gè)細(xì)胞經(jīng)過30分鐘分裂成8個(gè)細(xì)胞，據(jù)此解答?！驹斀狻慨媹D如下。30×3＝90（分鐘）答：需要90分鐘。【點(diǎn)睛】解決此題的關(guān)鍵是確定一個(gè)母細(xì)胞分裂成8個(gè)子細(xì)胞需要分裂的次數(shù)。11．（1）13根（2）（）根，過程見詳解【分析】第一個(gè)圖形需3根小棒，第二個(gè)圖形需3＋2根小棒，第三個(gè)圖形需3＋2×2根小棒；第四個(gè)圖形需3＋2×3根小棒……，（1）擺第6個(gè)圖形即可求。（2）擺n個(gè)圖形即可求?！驹斀狻浚?）3＋2×5＝3＋10＝13（根）答：第6個(gè)圖形需要13根小棒。

（2）3＋2×（n－1）＝3＋2n－2＝2n＋（3－2）＝2n＋1答：擺第n個(gè)圖形需要2n＋1根小棒?！军c(diǎn)睛】仔細(xì)觀察，比較總結(jié)規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵。12．（1）見詳解；（2）50；7n＋1【分析】（1）由圖可知，擺1個(gè)八邊形需要8根小棒，擺2個(gè)八邊形需要（8＋7）根小棒，擺3個(gè)八邊形需要（8＋7×2）根小棒，擺4個(gè)八邊形需要（8＋7×3）根小棒……（2）由（1）可知，每增加一個(gè)八邊形需要增加7根小棒，擺n個(gè)八邊形需要[8＋（n－1）×7]根小棒，求出當(dāng)n＝7時(shí)式子的值就是擺7個(gè)八邊形需要小棒的數(shù)量，據(jù)此解答。【詳解】（1）分析可知：（2）擺n個(gè)八邊形需要小棒的根數(shù)為：8＋（n－1）×7＝8＋7n－7＝（7n＋1）根當(dāng)n＝7時(shí)。7n＋1＝7×7＋1＝49＋1＝50（根）所以，擺7個(gè)八邊形需要50根小棒，如果想擺n個(gè)八邊形需要（7n＋1）根小棒?！军c(diǎn)睛】分析圖形找出八邊形個(gè)數(shù)和小棒根數(shù)的變化規(guī)律是解答題目的關(guān)鍵。13．（1）14（2）見詳解【分析】（1）觀察圖形可知，1，2，3，4，5，6，在三個(gè)圓中各用到2次，先求出它們的和的2倍，再除以3即為所求；（2）讓每個(gè)圓的相對(duì)的2個(gè)數(shù)字的和為7，進(jìn)行填寫即可。【詳解】（1）（1＋2＋3＋4＋5＋6）×2÷3＝21×2÷3＝14（2）如圖所示：【點(diǎn)睛】考查了發(fā)現(xiàn)規(guī)律，求出相等的和是解題的關(guān)鍵。14．（1）3；4；516；20；24（2）40個(gè)【分析】通過觀察圖可知：陰影部分邊長(zhǎng)×4，可求出陰影部分四邊的正方形個(gè)數(shù)，再加上4個(gè)角上的4個(gè)小正方形，就是周圍正方形個(gè)數(shù)。【詳解】（1）觀察圖形，完成表格。圖號(hào)①②③④⑤陰影部分邊長(zhǎng)（厘米）12345周圍正方形個(gè)數(shù)（個(gè)）812162024（2）9×4＋4＝36＋4＝40（個(gè)）以此類推，你知道圖⑨中涂色部分的周圍共有40個(gè)小正方形?！军c(diǎn)睛】通過觀察圖得出規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵。15．（1）4n個(gè)（2）50個(gè)【分析】第1個(gè)圖形中有●的個(gè)數(shù)：4個(gè)，4＝1×4；第2個(gè)圖形中有●的個(gè)數(shù)：8個(gè)，8＝2×4；第3個(gè)圖形中有●的個(gè)數(shù)：12個(gè)，12＝3×4；……第n個(gè)圖形中有●的個(gè)數(shù)：4n個(gè)?！驹斀狻浚?）4×n＝4n（個(gè)）答：第n個(gè)圖形需要4n個(gè)●。（2）200÷4＝50（個(gè)）答：擺第50個(gè)圖形需要用200個(gè)●。【點(diǎn)睛】本題是找規(guī)律的題型，從已知的圖形或數(shù)據(jù)中找到規(guī)律，并按規(guī)律解題。16．見詳解【分析】根據(jù)題意，“1”的四周8個(gè)方格中只能有1個(gè)△；“2”的四周8個(gè)方格中只能有2個(gè)△；“3”的四周8個(gè)方格中只能有3個(gè)△，由此根據(jù)圖中的兩個(gè)三角形，進(jìn)而畫出其它的三角形?！驹斀狻咳鐖D：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵是根據(jù)題意得出規(guī)律，再由規(guī)律解決問題。17．（1）；（2）；（3）規(guī)律：后一種加數(shù)是前一個(gè)加數(shù)的一半的連加算式的和是：1減最后一個(gè)加數(shù)的差，即分母是最后一個(gè)加數(shù)的分母，分子比分母少1?！痉治觥窟@三個(gè)算式中每一個(gè)相加的加數(shù)中后一個(gè)加數(shù)的分母是前一個(gè)加數(shù)分母的2倍，可以利用拆項(xiàng)法分別算出算式（1）和是、算式（2）和是、算式（3）和是，通過比較可知，這三個(gè)算式的和正好分別是1減最后一個(gè)加數(shù)的差，由此解答?！驹斀狻浚?），＝＝1－＋－＋－＝1－＝（2）＋＋＋＝（1－）＋（－）＋（－）＋（－）＝1＋－＋－＋－＝1－＝（3）＋＋＋＋＝（1－）＋（－）＋（－）＋（－）＋（－）＝1－＋－＋－＋－＋－＝1－＝規(guī)律是：后一種加數(shù)是前一個(gè)加數(shù)的一半的連加算式的和是：1減最后一個(gè)加數(shù)的差，即分母是最后一個(gè)加數(shù)的分母，分子比分母少1?！军c(diǎn)評(píng)】此題主要考查利用拆項(xiàng)法求和的方法。18．（1）25；（2）n2【分析】觀察發(fā)現(xiàn)，每一層的點(diǎn)的個(gè)數(shù)依次為1、3、5、7、9、11……，第5層點(diǎn)的數(shù)量是9個(gè)；觀察每幅圖點(diǎn)的數(shù)量的總和，第一幅圖1個(gè)，可以表示為12，第二幅圖4個(gè)，可以表示為22，第三幅圖9個(gè)，可以表示為32，第四幅圖16個(gè)，可以表示為42，依此類推?！驹斀狻浚?）如圖所示：（個(gè)）第⑤個(gè)點(diǎn)圖總共有25個(gè)點(diǎn)。（2）第n個(gè)點(diǎn)圖里一共有n2個(gè)點(diǎn)?！军c(diǎn)睛】從1開始的連續(xù)的n個(gè)奇數(shù)相乘，結(jié)果可以表示為n2，概括為“天下無雙，個(gè)數(shù)平方”。19．（1）11；7（2）34；69（3）見詳解【分析】（1）觀察表格中的數(shù)據(jù)，三角形個(gè)數(shù)分別是1、2、3、4、……，吸管的根數(shù)分別是3、5、7、9、……，圖釘?shù)臄?shù)量分別是3、4、5、6、……；發(fā)現(xiàn)規(guī)律：三角形的個(gè)數(shù)每次增加1，則吸管的根數(shù)每次增加2，圖釘?shù)臄?shù)量每次增加1；由此規(guī)律把表格補(bǔ)充完整。（2）由上一題的規(guī)律推出用36個(gè)圖釘時(shí)做成的圖案中三角形的個(gè)數(shù)、吸管的根數(shù)。（3）從表格中選擇任意兩組數(shù)據(jù)，找出三角形個(gè)數(shù)、吸管根數(shù)、圖釘數(shù)量之間的關(guān)系。【詳解】（1）如下表：三角形個(gè)數(shù)12345…吸管的根數(shù)357911…圖釘?shù)臄?shù)量34567…（2）用36個(gè)圖釘時(shí)做成的圖案中有34個(gè)三角形，用了69根吸管。（3）選擇表格中的第二組、第三組數(shù)據(jù)；當(dāng)三角形的個(gè)數(shù)為2時(shí)，吸管的根數(shù)為5，5＝2×2＋1；圖釘?shù)臄?shù)量為4，4＝2＋2；當(dāng)三角形的個(gè)數(shù)為3時(shí)，吸管的根數(shù)為7，7＝2×3＋1；圖釘?shù)臄?shù)量為5，5＝3＋2；得出規(guī)律：吸管的根數(shù)＝三角形個(gè)數(shù)×2＋1；圖釘?shù)臄?shù)量＝三角形個(gè)數(shù)＋2?！军c(diǎn)睛】通過數(shù)與形的結(jié)合，從已知的圖形或數(shù)據(jù)中找到規(guī)律，并按規(guī)律解題。20．（1）（n＋1）×