專題251直線與圓的位置關系-原卷版

專題2.5.1直線與圓的位置關系【基本知識梳理】知識點1：直線與圓的位置關系的判斷直線l：Ax＋By＋C＝0與圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關系位置關系相交相切相離公共點個數(shù)2個1個0個判斷方法幾何法：設圓心到直線的距離為d＝eq\f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))d<rd＝rd>r代數(shù)法：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,x－a2＋y－b2＝r2，))消元得到一元二次方程，可得方程的判別式ΔΔ>0Δ＝0Δ<0【特別注意】直線與圓的位置關系的判斷方法(1)幾何法：由圓心到直線的距離d與圓的半徑r的大小關系判斷．(2)代數(shù)法：根據(jù)直線方程與圓的方程組成的方程組的解的個數(shù)來判斷．(3)直線系法：若直線恒過定點，可通過判斷定點與圓的位置關系來判斷直線與圓的位置關系．但有一定的局限性，必須是過定點的直線系．知識點2：圓的弦長問題求直線與圓相交時弦長的兩種方法：(1)幾何法：如圖①，直線l與圓C交于A，B兩點，設弦心距為d，圓的半徑為r，弦長為|AB|，則有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|AB|,2)))2＋d2＝r2，即|AB|＝2eq\r(r2－d2).圖①(2)代數(shù)法：如圖②所示，將直線方程與圓的方程聯(lián)立，設直線與圓的兩交點分別是A(x1，y1)，B(x2，y2)，圖②則|AB|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|(直線l的斜率k存在)．知識點3：圓的切線問題求過某一點的圓的切線方程(1)過圓上一點(x0，y0)的圓的切線方程的求法①若切線斜率存在且不為0，則先求切點與圓心連線所在直線的斜率k(k≠0)，由垂直關系得切線的斜率為－eq\f(1,k)，由點斜式方程可得切線方程．②若切線斜率為零或不存在，則由圖形可直接得切線方程y＝y(tǒng)0或x＝x0.(2)過圓外一點(x0，y0)的圓的切線方程的求法①若切線斜率存在，設切線的斜率為k，則切線方程為y－y0＝k(x－x0)，由圓心到直線的距離等于半徑建立方程，可求得k，也就得切線方程．②當切線斜率不存在時要加以驗證．③過圓外一點的切線有兩條．知識點4：圓的方程的實際應用（1）建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，用坐標和方程表示問題中的幾何要素，通過代數(shù)運算，解決幾何問題．（2）解決直線與圓的實際應用題的步驟①審題：從題目中抽象出幾何模型，明確已知和未知．②建系：建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，用坐標和方程表示幾何模型中的基本元素．③求解：利用直線與圓的有關知識求出未知．④還原：將運算結(jié)果還原到實際問題中去．【題型1直線與圓的位置關系的判定】【例1】（20232024·浙江紹興·高二上·期中）已知直線，圓，則直線與圓的位置關系是（）A.相交 B.相切 C.相離 D.以上都有可能【變式11】（20232024·安徽·高三·聯(lián)考）已知直線，圓，則該動直線與圓的位置關系是（）A.相離 B.相切 C.相交 D.不確定【變式12】（20232024·山東菏澤·高二上·期中）（多選）已知圓，則（）A.點在圓的內(nèi)部 B.圓的直徑為2C.過點的切線方程為 D.直線與圓相離【變式13】（20232024·山東德州·高二上·期中）直線與圓的公共點個數(shù)為（）．A.0個 B.1個 C.2個 D.1個或2個【題型2根據(jù)直線與圓的位置關系求參數(shù)】【例2】（20232024·福建廈門·高二下·期末）（多選）已知直線與圓：有公共點，則可以是（）A.1 B.2 C.3 D.4【變式21】（20232024·山西咸陽·高二下·期末）若直線與圓有公共點，則的一個取值是_______.【變式22】（20222023·山東煙臺·高二上·期中）若直線與圓相離，則過點的直線與圓的位置關系是（）A.相離 B.相切 C.相交 D.不確定【變式23】（20232024·湖南衡陽·高三上·期末）（多選）已知半徑為的圓的圓心在直線上，且圓與直線相切，則圓的圓心坐標可能為（）A. B. C. D.【變式24】（20232024·全國·高三·階段練習）已知直線l:mx+ny=1與圓O:x2+y2A．14 B．12 C．1【題型3圓的切線長及切線方程的求解】【例3】（20232024·天津·高二上·階段練習）圓在點處的切線方程為（

）A． B．C． D．【變式31】（20232024·山東青島·高二上·期中）過點作圓的兩條切線，，則四邊形的面積為（）A. B. C. D.【變式32】（20232024·山東濰坊·高二上·期中）已知圓：，直線：，為上的動點，過點作圓的切線，，切點分別為，，當四邊形面積最小時，的值為（）A. B. C. D.【變式33】（20232024·山東青島即墨·高二上·期中）（多選）已知點為圓的兩條切線，切點分別為，則下列說法正確的是（

）A．圓的圓心坐標為，半徑為B．切線C．直線的方程為D．【變式34】（20232024·山西太原·高二上·期末）已知圓的方程為，點在圓內(nèi).（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）求過點且與圓相切的直線的方程.【題型4已知切線求參數(shù)】【例4】（20232024·浙江寧波·高二上·期中）若直線與圓相切，則（）A.9 B.8 C.7 D.6【變式41】（20232024·全國·高三·模擬）“b=2”是“直線y=x+b與圓x2+A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式42】（20232024·浙江臺州·高二上·期中）已知點P，Q是圓O：上的兩個動點，點A在直線l：上，若的最大值為，則點A的坐標是（）A. B.C. D.【變式43】（20232024·山東臨沂·高二上·聯(lián)考）已知直線l：的圖象與曲線C：有且只有一個交點，則實數(shù)k的取值范圍是．【題型5求圓的弦長與中點弦】【例5】（20232024·四川達州·高二上·期中）已知直線與圓交于兩點，則（）A. B. C.4 D.8【變式51】（20232024·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·高二上·階段練習）已知直線l與圓C:x?12+y2=9相交于A,B兩點,弦AB的中點為MA．x+2y+4=0 B．x+2y?4=0 C．x?2y+4=0 D．x?2y?4=0【變式52】（20232024·山東棗莊·高二上·期中）直線被圓截得的最短弦長為________.【變式53】（20222023·山東德州·高二上·期中）已知圓C與x軸相切，圓心C在直線上，且與軸正半軸相交所得弦長為．（1）求圓C的方程；（2）過點的直線交圓于C，于E，F(xiàn)兩點，且，求直線的方程．【題型6已知圓的弦長求方程或參數(shù)】【例6】（20232024·山東威?！じ叨稀て谀┮阎本€與圓交于，兩點，且，則實數(shù)（）A. B. C. D.【變式61】（20232024·浙江杭州·高二上·期末）已知圓C：x2﹣2x+y2＝0與直線l：y＝mx+2m（m＞0），過l上任意一點P向圓C引切線，切點為A和B，若線段AB長度的最小值為2，則實數(shù)m的值為（）A．277 B．77 C．14【變式62】（20232024·全國·高三·階段練習）直線y=kx+2與圓(x?2)2+(y?3)2=4相交于M,N兩點，若MNA．?34,34 B．?3【變式63】（20232024·湖南長沙·高二上·期末）已知圓經(jīng)過點且圓心在直線上.（1）求圓的方程；（2）已知直線經(jīng)過點，直線與圓相交所得的弦長為8，求直線的方程.【題型7直線與圓有關的最值問題】【例7】（20232024·北京豐臺·高二上·期中）已知點為圓上一點，記為點到直線的距離.當變化時，的最大值為______.【變式71】（20232024·湖南·高二上·期中）（多選）已知直線：和圓：，則（）A.直線恒過定點B.直線與圓相交C.存在使得直線與直線：平行D.直線被圓截得的最短弦長為【變式72】（20232024·陜西·高二上·期中）已知直線l：x?y+4=0與x軸相交于點A，過直線l上的動點P作圓x2+y2=4的兩條切線，切點分別為C，D兩點，記M是CD的中點，則【變式73】（20232024·福建廈門·高二上·期中）數(shù)學家阿波羅尼斯證明過這樣一個命題：平面內(nèi)到兩定點距離之比為常數(shù)且的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標系中，，動點滿足，得到動點的軌跡是阿氏圓.若對任意實數(shù)，直線與圓恒有公共點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【題型8直線與圓的方程的應用】【例8】（20232024·山東聊城·高二上·期中）2023年第19屆亞運會在中國浙江杭州舉行，杭州有很多圓拱的懸索拱橋，經(jīng)測得某圓拱索橋（如圖）的跨度米，拱高米，在建造圓拱橋時每隔5米需用一根支柱支撐，則與相距30米的支柱的高度是__________米.（注意：）【變式81】（20232024·湖北荊州·高二上·期中）如圖，這是某圓弧形山體隧道的示意圖，其中底面AB的長為16米，最大高度CD的長為4米，以C為坐標原點，AB所在的直線為x軸建立直角坐標系.(1)求該圓弧所在圓的方程;(2)若某種汽車的寬約為2.5米，高約為1.6米，車輛行駛時兩車的間距要求不小于0.5米以保證安全，同時車頂不能與隧道有剮蹭，則該隧道最多可以并排通過多少輛該種汽車?(將汽車看作長方體)

【變式82】（20232024·浙江臺州·高二上·期中）如圖，某海面有O，A，B三個小島（小島可視為質(zhì)點，不計大?。?，A島在O島正東方向距O島20千米處，B島在O島北偏東45°方向距O島千米處．以O為坐標原點，O的正東方向為x軸的正方向，10千米為一個單位長度，建立平面直角坐標系．圓C經(jīng)過O，A，B三點．（1）求圓C的方程；（2）若圓C區(qū)域內(nèi)有未知暗礁，現(xiàn)有一漁船D在O島的南偏東30°方向距O島40千米處，正沿著北偏東30°方向行駛，若不改變方向，試問該漁船是否有觸礁