有限元法基本思想和分類

有限元法基本思想和分類有限元法基本思想有限元法是在連續(xù)體上直接進(jìn)行近似計(jì)算的一種數(shù)值方法，其基本思想通過下面的例子來說明。圖1簡答說明了早期數(shù)學(xué)上求解圓面積的近似方法。首先將連續(xù)的圓分割成一些三角形，求出每個(gè)三角形的面積，再將每個(gè)小三角形面積相加，即可得到圓面積的近似值。前面是“分”的過程，后面是“合”的過程。之所以要分，是因?yàn)槿切蚊娣e容易求得。這樣簡單的一分一合，就很容易求出圓面積的近似值。體現(xiàn)了有限元法的基本思想，即“拆整為零，集零為整”。“拆整為零”即“分”的過程，具體包括將連續(xù)的求解區(qū)域離散為有限個(gè)部分的集合，并認(rèn)為各部分只通過有線個(gè)點(diǎn)連接起來。例如圖2，可假想連續(xù)體（a）由許多小部件（b）組成，這些規(guī)則或不規(guī)則的小部分成為單元（element）。單元之間只通過有限個(gè)點(diǎn)連接起來，如（c）所示，單元①與單元②只在1、2兩點(diǎn)相連，這些連接點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn)（node）。這一過程稱有限元離散化過程。2）假定單元場函數(shù)在每個(gè)單元內(nèi)假定近似場函數(shù)（位移函數(shù)或應(yīng)力函數(shù)），并將單元內(nèi)的場函數(shù)由該單元各個(gè)節(jié)點(diǎn)的數(shù)值通過函數(shù)插值表示，這樣，未知的場函數(shù)（或包括其導(dǎo)數(shù)）在單元內(nèi)各個(gè)節(jié)點(diǎn)的數(shù)值就成為新的未知量（其個(gè)數(shù)稱為自由度），從而使一個(gè)連續(xù)的無限自由度問題變成離散的有限自由度問題。3）單元分析“集零為整”即“合”的過程，將單元的特性裝配在一起得到離散體整體的特性，并利用數(shù)值計(jì)算方法得到整個(gè)求解域上場有限元法分類有限元法按基本未知量可分為三大類，即有限元位移法、有限元力法、有限元混合法。在有限元位移法中，選節(jié)點(diǎn)位移作為基本未知量；在有限元力法中，選節(jié)點(diǎn)力作為基本未知量；在有限元混合法中，一部分基本未知量為節(jié)點(diǎn)位移，另一部分基本未知量為節(jié)點(diǎn)力。有限元位移法計(jì)算過程的系統(tǒng)性、規(guī)律性強(qiáng)，特別適宜編程求解。一般除板殼問題的有限元法應(yīng)用一定量的混合法外，其余全部采用有限元位移法。有限元法按求解問題的類型可分為兩大類：線彈性有限元法和非線性有限元法。其中線彈性有限元法是非線性有限元1）線彈性有限元法線彈性有限元法以理想彈性體為研究對(duì)象，所考慮的變形建立在小變形假設(shè)的基礎(chǔ)上。具體講，下面四條必須同時(shí)滿材料的應(yīng)力與應(yīng)變呈線性關(guān)系，滿足廣義胡克定理。應(yīng)變與位移的一階導(dǎo)數(shù)呈線性關(guān)系。線彈性有限元問題歸結(jié)為求解線性方程組問題，所需時(shí)間較少。線彈性有限元一般包括彈性靜力學(xué)分析與線性彈性動(dòng)力學(xué)分析兩個(gè)主要內(nèi)容。學(xué)習(xí)這些內(nèi)容需具備材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)、彈性力學(xué)、振動(dòng)力學(xué)、數(shù)值方法、矩陣代數(shù)、算法語言等方面的知識(shí)。2）非線性有限元法有限元法所求解的非線性問題可以分為如下三類1.材料非線性問題。在線彈性問題的四個(gè)條件中，不滿足第1條的稱為材料非線性問題。材料的非線性問題中，材料的應(yīng)力和應(yīng)變呈非線性關(guān)系。在工程實(shí)際中較為重要的材料非線性問題有：非線性彈性（包括分段線彈性）、彈塑性、2.幾何非線性問題。在線彈性問題的四個(gè)條件中，不滿足2、3條的稱為幾何非線性問題。幾何非線性由結(jié)構(gòu)變形的大位移造成。一般分兩類：一類叫小變形幾何非線性問題，在這類問題中應(yīng)變很小，但不能忽略高階應(yīng)變，所以它可以表述為結(jié)構(gòu)在加載過程中不能忽略小應(yīng)變的有限轉(zhuǎn)動(dòng)的彈性力學(xué)問題，如薄板的大撓度問題就屬于小變形幾何非線性問題；另一類叫有限變形（或大應(yīng)變）幾何非線性問題，在這類問題中，結(jié)構(gòu)將產(chǎn)生很大的變形和位移，變形過程已經(jīng)不可能直接用未受力時(shí)的位置和形態(tài)加以描述，平衡狀態(tài)的幾何位置也是未知的，而且必須給出應(yīng)力、應(yīng)變的新定義。由此可見，有限變形（或大應(yīng)變）幾何非線性問題的求解有別于小變形幾何非線性問題，如橡膠部件形成過程與金屬塑性加工過程均為有限變形幾何非線性問題。3.邊界非線性問題。在線彈性問題的四個(gè)條件中，不滿足第4條的稱為邊界非線性問題。邊界非線性包括兩個(gè)結(jié)構(gòu)物的接觸邊界隨加載和變形而改變引起的接觸非線性，也包括非線性彈性地基的非線性邊界在加工、密封、撞擊等問題中，接觸和摩擦的作用不可忽視，接觸邊界屬于高度非線性邊界。齒輪嚙合、沖壓成型、軋制成像、橡膠減震器、緊配合裝配等都是一些接觸問題。當(dāng)一個(gè)結(jié)構(gòu)與另一個(gè)結(jié)構(gòu)或外部邊界相接觸是通常要考慮非線性邊界條件實(shí)際的非線性可能出現(xiàn)上述兩種或三種非線性問題。上述三類非線性問題與線彈性問題的求解有很大不同，主要表現(xiàn)在如下三個(gè)方面：非線性問題