湖南省長沙市寧鄉(xiāng)市2025屆高二上數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)檢測試題含解析

湖南省長沙市寧鄉(xiāng)市2025屆高二上數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)檢測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)等比數(shù)列的前項和為，且，則（）A. B.C. D.2．南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》中討論過高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項之差并不相等，而是逐項差數(shù)之差或者高次差相等．例如“百層球堆垛”：第一層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，第四層有10個球，第五層有15個球，…，各層球數(shù)之差：，，，，…即2，3，4，5，…是等差數(shù)列．現(xiàn)有一個高階等差數(shù)列，其前6項分別為1，3，6，12，23，41，則該數(shù)列的第8項為（）A.51 B.68C.106 D.1573．已知正方形的四個頂點都在橢圓上，若的焦點F在正方形的外面，則的離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.4．已知等差數(shù)列的前項和為，，，當取最大時的值為（）A. B.C. D.5．已知橢圓C的焦點為，過F2的直線與C交于A，B兩點.若，，則C的方程為A. B.C. D.6．在等比數(shù)列中，若，則公比（）A. B.C.2 D.37．已知集合A={1，a，b}，B={a2，a，ab}，若A=B，則a2021+b2020=（）A.-1 B.0C.1 D.28．下列結(jié)論正確的個數(shù)為（）①若，則；②若，則；③若，則；④若，則A.4 B.3C.2 D.19．甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，則不同的排法有（）A.24種 B.6種C.4種 D.12種10．點到直線的距離是（）A. B.C. D.11．過點且斜率為的直線方程為（）A. B.C. D.12．如圖，在平行六面體中，，則與向量相等的是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知某地區(qū)內(nèi)貓的壽命超過10歲的概率為0.9，超過12歲的概率為0.6，那么該地區(qū)內(nèi)，一只壽命超過10歲的貓的壽命超過12歲的概率為___________.14．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是________；15．已知定義在實數(shù)集R上的函數(shù)f(x)滿足f（1）＝3，且f(x)的導(dǎo)數(shù)在R上恒有<2(x∈R)，則不等式f(x)<2x＋1的解集為______.16．橢圓的左、右焦點分別為，，為坐標原點，則以下說法正確的是（）A.過點的直線與橢圓交于，兩點，則的周長為8B.橢圓上存在點，使得C.橢圓的離心率為D.為橢圓上一點，為圓上一點，則點，的最大距離為3三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，.（1）若函數(shù)與在x=1處的切線平行，求函數(shù)在處的切線方程；（2）當時，若恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.18．（12分）已知橢圓C：的焦距為，點在C上（1）求C的方程；（2）過點的直線與C交于M，N兩點，點R是直線：上任意一點，設(shè)直線RM，RQ，RN的斜率分別為，，，若，，成等差數(shù)列，求的方程.19．（12分）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，已知.（1）求數(shù)列的通項公式;（2）當為何值時，最大，并求的最大值.20．（12分）已知，（1）若，p且q為真命題，求實數(shù)x的取值范圍；（2）若p是q的充分條件，求實數(shù)m的取值范圍21．（12分）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，動點M滿足（1）求動點M的軌跡方程；（2）若動點M在雙曲線C上，設(shè)雙曲線C的左支上有兩個不同的點P，Q，點，且，直線NQ與雙曲線C交于另一點B．證明：動直線PB經(jīng)過定點22．（10分）已知函數(shù)f（x）＝ax3+bx2﹣3x在x＝﹣1和x＝3處取得極值.（1）求a，b的值（2）求f（x）在[﹣4，4]內(nèi)的最值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)給定條件求出等比數(shù)列公比q的關(guān)系，再利用前n項和公式計算得解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的的公比為q，由得：，解得，所以.故選：C2、C【解析】對高階等差數(shù)列按其定義逐一進行構(gòu)造數(shù)列，直到出現(xiàn)一般等差數(shù)列為止，再根據(jù)其遞推關(guān)系進行求解.【詳解】現(xiàn)有一個高階等差數(shù)列，其前6項分別為1，3，6，12，23，41，各項與前一項之差：，，，，，…即2，3，6，11，18，…，，，，，…即1，3，5，7，…是等差數(shù)列，所以，故選：C3、C【解析】如圖由題可得，進而可得，即求.【詳解】如圖根據(jù)對稱性，點D在直線y=x上，可設(shè)，則，∴，可得，，即，又解得.故選：C.4、B【解析】由已知條件及等差數(shù)列通項公式、前n項和公式求基本量，再根據(jù)等差數(shù)列前n項和的函數(shù)性質(zhì)判斷取最大時的值.【詳解】令公差為，則，解得，所以，當時，取最大值.故選：B5、B【解析】由已知可設(shè)，則，得，在中求得，再在中，由余弦定理得，從而可求解.【詳解】法一：如圖，由已知可設(shè)，則，由橢圓的定義有．在中，由余弦定理推論得．在中，由余弦定理得，解得所求橢圓方程為，故選B法二：由已知可設(shè)，則，由橢圓的定義有．在和中，由余弦定理得，又互補，，兩式消去，得，解得．所求橢圓方程為，故選B【點睛】本題考查橢圓標準方程及其簡單性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸的能力，很好的落實了直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng)6、C【解析】由題得，化簡即得解.【詳解】因為，所以，所以，解得.故選：C7、A【解析】根據(jù)A=B，可得兩集合元素全部相等，分別求得和ab=1兩種情況下，a，b的取值，分析討論，即可得答案.【詳解】因為A=B，若，解得，當時，不滿足互異性，舍去，當時，A={1，-1，b}，B={1，-1，-b}，因為A=B，所以，解得，所以；若ab=1，則，所以，若，解得或1，都不滿足題意，舍去，若，解得，不滿足互異性，舍去，故選：A【點睛】本題考查兩集合相等的概念，在集合相等問題中由一個條件求出參數(shù)后需進行代入檢驗，檢驗是否滿足互異性、題設(shè)條件等，屬基礎(chǔ)題.8、D【解析】根據(jù)常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0，可判斷①；根據(jù)冪函數(shù)的求導(dǎo)公式，可判斷②；根據(jù)指數(shù)函數(shù)以及對數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)公式，可判斷③④.【詳解】由得：，故①錯誤；對于，，故，故②正確；對于，則，故③錯誤；對于，則，故④錯誤，故選：D9、B【解析】由已知可得只需對剩下3人全排即可【詳解】解：甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，則只需對剩下3人全排即可，則不同的排法共有，故選：B10、B【解析】直接使用點到直線距離公式代入即可.【詳解】由點到直線距離公式得故選：B11、B【解析】利用點斜式可得出所求直線的方程.【詳解】由題意可知所求直線的方程為，即.故選：B.12、A【解析】根據(jù)空間向量的線性運算法則——三角形法，準確運算，即可求解.【詳解】由題意，在平行六面體中，，可得.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)條件概率公式求解即可.【詳解】設(shè)事件A：貓的壽命超過10歲，事件B：貓的壽命超過12歲.依題意有，，則一只壽命超過10歲貓的壽命超過12歲的概率.故答案為：14、【解析】函數(shù)，又函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減∴在區(qū)間上恒成立即，解得:，當時，經(jīng)檢驗適合題意故答案為【點睛】f(x)為增函數(shù)的充要條件是對任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)內(nèi)的任一非空子區(qū)間上f′(x)≠0.應(yīng)注意此時式子中的等號不能省略，否則漏解15、【解析】構(gòu)造函數(shù)g(x)＝f(x)－2x－1，則原不等式可化為.利用導(dǎo)數(shù)判斷出g(x)在R上為減函數(shù)，直接利用單調(diào)性解不等式即可【詳解】令g(x)＝f(x)－2x－1，則g（1）＝f（1）－2－1＝0.所以原不等式可化為.因為，所以g(x)在R上為減函數(shù).由解得：x>1.故答案為：.16、ABD【解析】結(jié)合橢圓定義判斷A選項的正確性，結(jié)合向量數(shù)量積的坐標運算判斷B選項的正確性，直接法求得橢圓的離心率，由此判斷C選項的正確性，結(jié)合兩點間距離公式判斷D選項的正確性.【詳解】對于選項：由橢圓定義可得：，因此的周長為，所以選項正確；對于選項：設(shè)，則，且，又，，所以，，因此，解得，，故選項正確；對于選項：因為，，所以，即，所以離心率，所以選項錯誤；對于選項：設(shè)，，則點到圓的圓心的距離為，因為，所以，所以選項正確，故選：ABD三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用切線平行求出a，即可求出切線方程；（2）先把已知條件轉(zhuǎn)化為，令,，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值，即可求出實數(shù)a的取值范圍.【詳解】（1）,故,而,故，故,解得:，故,故的切線方程是:，即；（2）當時，恒成立等價于,令,.則，令，解得：；令，解得：；所以在上單減，在上單增，所以,所以.即實數(shù)a的取值范圍為.18、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)橢圓的焦距為，點在C上，由求解；（2）設(shè)，，，的斜率不存在時，則的方程為，與橢圓的方程聯(lián)立求得M，N的坐標，由，，成等差數(shù)列求解；的斜率存在時，設(shè)的方程為，與橢圓的方程聯(lián)立，然后由，，成等差數(shù)列，結(jié)合韋達定理求解；【小問1詳解】解：由題意得，解得，，所以C的方程為.【小問2詳解】設(shè)，，，當?shù)男甭什淮嬖跁r，則的方程為，將代入，得.因為，，成等差數(shù)列，所以，即，顯然當時，方程恒成立.當?shù)男甭蚀嬖跁r，設(shè)的方程為，聯(lián)立得，則，.，.因為，，成等差數(shù)列，所以，即恒成立.則，解得.綜上所述，的方程為.19、（1）（2）n為6或7；126【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，利用等差數(shù)列的通項公式求解；（2）由，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【小問1詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因為.所以，解得，所以；【小問2詳解】，當或7時，最大，的最大值是126.20、（1）；（2）.【解析】(1)解一元二次不等式可得命題p，q所對集合，再求交集作答.(2)求出命題q所對集合，再利用集合的包含關(guān)系列式計算作答.【小問1詳解】解不等式得：，則命題p所對集合，當時，解不等式得：，則命題q所對集合，由p且q為真命題，則，所以實數(shù)x的取值范圍是.【小問2詳解】解不等式得：，則命題q所對集合，因p是q的充分條件，則，于是得，解得，所以實數(shù)m的取值范圍是.21、（1）（2）證明見解析【解析】（1）根據(jù)雙曲線的定義求得的值得雙曲線方程；（2）確定垂直于軸，設(shè)直線BP的方程為，設(shè)，，則，直線方程代入雙曲線方程，由相交求得范圍，由韋達定理，利用N、B、Q三點共線，且NQ斜率存在，由斜率相等得出的關(guān)系，代入韋達定理的結(jié)論可求得的值，從而得直線BP所過定點【小問1詳解】因為，所以，動點M的軌跡是以點、為左、右焦點的雙曲線的左支，則，可得，，所以，點M的軌跡方程為；【小問2詳解】證明：∵，∴直線PQ垂直于x軸，易知，直線BP的斜率存在且不為0，設(shè)直線BP的方程為，設(shè)，，則，聯(lián)立，化簡得：，直線與雙曲線左支、右支各有一個交點，需滿足或，∴，，又，又N、B、Q三點共線，且NQ斜率存在，∴，即，∴，∴，∴，化簡得：，∴，∴，即，滿足判別式大于0，即直線BP方程為，所以直線BP過定點22、（1）a，b＝﹣1（2）f（x）min＝，f（x）max＝【解析】（1）先對函數(shù)求導(dǎo)，由題意可得＝3ax2+