《復變函數(shù)積分》課件

第三章復變函數(shù)的積分復變函數(shù)的積分的概念和計算柯西定理和柯西公式解析函數(shù)的高階導數(shù)公式第一節(jié)復積分正確理解復變函數(shù)積分的概念掌握復變函數(shù)積分的一般計算法有向曲線A(起點)B(終點)CCC若C為逐段光滑的簡單閉曲線正方向——觀察者順此方向沿C前進一周，

C的內(nèi)部一直在觀察者的左邊1、復積分的定義２、復積分的計算3、復積分的基本性質(zhì)第二節(jié)柯西積分定理掌握并能運用柯西定理和牛頓-萊布尼茲公式計算積分掌握復合閉路定理并能運用其進行積分在區(qū)域內(nèi)的一個解析函數(shù)沿閉曲線的積分，不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的.——閉路變形原理第三節(jié)柯西公式掌握使用柯西公式進行積分計算了解平均值公式及最大模原理—Cauchy定理一、柯西公式則有：公式說明：若一個函數(shù)在簡單閉曲線C的內(nèi)部解析，在C上連續(xù)，則函數(shù)在C內(nèi)部的值完全可由C上的值決定.定理中曲線C不必是簡單的！如下圖。DCz1z0C1C2DCC1C2z0z1二、平均值公式三、最大模原理定理4.2(高階導數(shù)公式)設D是以有限條簡單閉曲線C為邊界的有界區(qū)域。設f(z)在D及C所組成的閉區(qū)域上解析，那么f(z)在D內(nèi)有任意階導數(shù)高階導數(shù)公式：證明：先證明結(jié)論關于n=1時成立。設是D內(nèi)另一點。只需證明，當h趨近于0時，下式也趨近于0

現(xiàn)在估計上式右邊的積分。設以z為心，以2d為半徑的圓盤完全在D內(nèi)，并且在這個圓盤內(nèi)取z+h，使得0<|h|<d，那么當時設|f(z)|在C上的一個上界是M，并且設C的長度是L，于是我們有因此當h趨近于0時，要證的積分趨于0。用數(shù)學歸納法完成定理的證明。設n=k時，結(jié)論成立。取z及z+h同上，那么有由此證明，當h趨近于0時，上式的右邊趨于0；于是定理的結(jié)論當n=k+1時成立。設函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，那么f(z)在D內(nèi)有任意階導數(shù)。注解1、以上討論表明，函數(shù)在一個區(qū)域內(nèi)的解析性是很強的條件，和僅僅在一個點可導是有非常大的差異；注解2、任意階導數(shù)公式是柯西公式的直接推論；定理4.3設函數(shù)f(z)在以為邊界的閉圓盤上解析，那么其中證明：令是圓那么，由導數(shù)公式，有其中，n=0,1,2,…;0!=1。注解：2、如果在C上解析，那么我們稱它為一個整函數(shù)，例如等。1、上面的不等式稱為柯西不等式。定理4.4：有界整函數(shù)一定恒等于常數(shù)證明：f(z)是有界整函數(shù)，即存在使得，f(z)在上解析。由柯西公式，有令，可見從而f(z)在C上恒等于常數(shù)。

關于整函數(shù)，我們有下面重要的劉維爾定理莫勒拉定理：應用解析函數(shù)有任意階導數(shù)，可以證明柯西定理的逆定理，定理5.1如果函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，并且對于D內(nèi)的任一條簡單閉曲線C，我們有那么f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析。證明：作以為z0心的圓盤在凸區(qū)域K內(nèi)，函數(shù)f(z)連續(xù)，并且對于K內(nèi)任何一個三角形的周界C，則可以證明f(z)在K內(nèi)有原函數(shù)F(z)，即于是F(z)在K內(nèi)解析。由4.1，f(z)在K內(nèi)，且在z0解析，從而有任意階導數(shù)。