第06講平行四邊形存在性問題專題探究（原卷版）

第6講平行四邊形存在性問題專題探究【知識點睛】知識儲備：①平行四邊形是中心對稱圖形②中心對稱圖形的性質：對稱中心平分中心對稱圖形內通過該點的任意線段，且使中心對稱圖形的面積被平分③中點公式：方法策略：（1）有3個定點，找第4個點形成平行四邊形時：①設第4個點的坐標②以3個定點組成的3條線段為對角線分類討論③以中心對稱圖形的性質為等量關系列式求解例，如圖所示，平面直角坐標系內有A、B、C三點，在平面內找第4個點，構成平行四邊形；有2個定點，且另外兩個動點均在特殊的位置上時，方法策略同上。如，當如，當A、B已知，點C在直線y=x上，點D在另一直線上，則設C（a,a）；分類還分別分①以AB為對角線，②以AC為對角線，③以BC為對角線；依其性質分別表示出D點坐標；將點D坐標再分別帶入另一直線解析式，即可求出a的值，C、D坐標就都能求出來了。類型一幾何背景下的平行四邊形存在性問題1．如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，BD＝12cm，AC＝6cm，點E在線段BO上從點B以1cm/s的速度運動，點F在線段OD上從點O以2cm/s的速度運動．若點E，F(xiàn)同時運動，設運動時間為t秒，當t＝時，四邊形AECF是平行四邊形．2．如圖，四邊形ABCD中，AB∥DC，DC＝6cm，AB＝9cm．點P以1cm/s的速度由A點向B點運動，同時點Q以2cm/s的速度由C點向D點運動，其中一點到達終點時，另一點也停止運動，當線段PQ將四邊形ABCD截出一個平行四邊形時，此時的運動時間為s．3．如圖，在?ABCD中，AB＝10cm，F(xiàn)是AB的中點，E為邊CD上一點，DE＝4cm．點M從D點出發(fā)，沿D→C以1cm/s的速度勻速運動到點C；同時點N從點B出發(fā)，沿B→A以2cm/s的速度勻速運動到點A．一個點停止運動后，另一個點也隨之停止運動．當點M運動時間是秒時，以點M，E，N，F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形．4．如圖，在?ABCD中，AC與BD交于點M，點F在AD上，AF＝6cm，BF＝12cm，∠FBM＝∠CBM，點E是BC的中點，若點P以1cm/秒的速度從點A出發(fā)，沿AD向點F運動；點Q同時以2cm/秒的速度從點C出發(fā)，沿CB向點B運動，點P運動到F點時停止運動，點O也同時停止運動，當點P運動（）秒時，以點P、Q、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形．A．3 B．3或5 C．5 D．4或55．如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AB＝5cm，AD＝9cm．點P在AD邊上以1cm/s的速度從點A向點D運動，點Q在BC邊上以4cm/s的速度從點C出發(fā)，在CB間往返運動，兩個點同時出發(fā)，當點P到達點D時，P、Q同時停止運動，設運動時間為t（s）且t＞0，當以P，D，Q，B為頂點的四邊形是平行四邊形時，則t的所有可能值為．6．如圖，在平面直角坐標系中，已知點A的坐標為（9，0），點C的坐標為（3，3），四邊形OABC是平行四邊形，點D、E份別在邊OA、BC上，且OD＝OA，CE＝4．動點P、Q在平行四邊形OABC的一組鄰邊上，以點D、E、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形時，其面積為．7．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，動點P、Q分別從A、C同時出發(fā)，點P以1cm/s的速度由A向D運動，點Q以3cm/s的速度由C向B運動，其中一動點到達終點時，另一動點隨之停止運動，設運動時間為t秒．（1）AP＝，BQ＝，（分別用含有t的式子表示）；（2）當四邊形PQCD的面積是四邊形ABQP面積的2倍時，求出t的值．（3）當點P、Q與四邊形ABCD的任意兩個頂點所形成的四邊形是平行四邊形時，直接寫出t的值．類型二“三定一動”求平行四邊形的頂點坐標1．在平面直角坐標系xOy中，已知A（1，﹣1），B（4，2），C（0，3），下列坐標不能與A、B、C構成平行四邊形的是（）A．（﹣3，0） B．（5，﹣2） C．（3，6） D．（﹣3，﹣2）2．在平面直角坐標系中，點A、B、C的坐標分別是A（﹣2，5），B（﹣3，﹣1），C（1，﹣1），在x軸上方找到點D，使以A，B，C，D為頂點的四邊形是平行四邊形，那么點D的坐標是．3．在平面直角坐標系中，已知點A（4，0），點B（﹣3，2），點C（0，2），點P從點B出發(fā)，以2個單位每秒的速度沿射線BC運動，點Q從點A出發(fā)，開始以1個單位每秒的速度向原點O運動，到達原點后立刻以原來3倍的速度沿射線OA運動，若P，Q兩點同時出發(fā)，設運動時間為t秒，則當t＝時，以點A，Q，C，P為頂點的四邊形為平行四邊形．4．如圖，在平面直角坐標系的第一象限找一點A，第二象限找一點B，使OA＝，OB＝2，AB＝5，且A，B都是格點，連接OA，OB，AB．（畫出一個△OAB即可）．（1）判斷△OAB的形狀，并說明理由；（2）是否存在點C，使得O，A，B，C四點構成的四邊形為平行四邊形？如果存在，請直接寫出點C的坐標；如果不存在，請說明理由．5．如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的三個頂點A，O，C在坐標軸上，矩形的面積為12，對角線AC所在直線的解析式為y＝kx﹣4k（k≠0）．（1）求A，C的坐標；（2）若D為AC中點，過D的直線交y軸負半軸于E，交BC于F，且OE＝1，求直線EF的解析式；（3）在（2）的條件下，在坐標平面內是否存在一點G，使以C，D，F(xiàn)，G為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點G的坐標；若不存在，請說明理由．類型三“兩定兩動”求平行四邊形的頂點坐標1．在平面直角坐標系中，已知A（﹣4，2），B（2，5），在x軸、y軸上分別有兩動點C、D，若以點A，B，C，D為頂點的四邊形是平行四邊形，則點C的坐標為．2．在平面直角坐標系中，A（﹣1，1），B（3，2），C（2m，3m+1），點D在直線y＝﹣1上，若以A，B，C，D四點為頂點的四邊形是平行四邊形，則點D的坐標為．3．如圖，在平面直角坐標系xOy，直線y＝x+1與y＝﹣2x+4交于點A，兩直線與x軸分別交于點B和點C，D是直線AC上的一個動點，直線AB上是否存在點E，使得以E，D，O，A為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．4．如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝﹣x+3與x軸、y軸相交于A、B兩點，點C在線段OA上，將線段CB繞著點C順時針旋轉90°得到線段CD，此時點D恰好落在直線AB上，過點D作DE⊥x軸于點E．（1）求證：△BOC≌△CED；（2）請直接寫出點D的坐標，并求出直線BC的函數(shù)關系式；（3）若點P是x軸上的一個動點，點Q是線段CB上的點（不與點B、C重合），是否存在以C、D、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的P點坐標．若不存在，請說明理由．5．如圖，Rt△OAC是一張放在平面直角坐標系中的直角三角形紙片，點O與原點重合，點A在x軸上，點C在y軸上，OA＝6，∠CAO＝30°，將Rt△OAC折疊，使OC邊落在AC邊上，點O與點D重合，折痕為CE．（1）求點D的坐標；（2）在線段AC上有一動點P，連接EP和OP，求當