考點(diǎn)15 不等式選講

考點(diǎn)15不等式選講【易錯(cuò)點(diǎn)分析】1.型不等式的解法（1）若，則，等價(jià)于，等價(jià)于或，然后根據(jù)a，b，c的值求解即可.（2）若，則的解集為，的解集為R.2.型不等式的解法（1）零點(diǎn)分區(qū)間法：①令每個(gè)絕對值符號內(nèi)的代數(shù)式為零，并求出相應(yīng)的根；②將這些根按從小到大的順序排列，把實(shí)數(shù)集分為若干個(gè)區(qū)間；③在所分區(qū)間內(nèi)去掉絕對值符號得若干個(gè)不等式，解這些不等式，求出解集；④各個(gè)不等式解集的并集就是原不等式的解集.（2）幾何法（利用的幾何意義）由于與分別表示數(shù)軸上與x對應(yīng)的點(diǎn)到與a，b對應(yīng)的點(diǎn)的距離之和與距離之差，因此對形如或的不等式，利用絕對值的幾何意義求解更直觀.（3）數(shù)形結(jié)合法通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)函數(shù)與方程的思想，正確求出函數(shù)的零點(diǎn)并畫出函數(shù)圖象是解題的關(guān)鍵.3.型不等式的解法（1）或.（2）.4.絕對值三角不等式定理1如果a，b是實(shí)數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立.定理2如果a，b，c是實(shí)數(shù)，那么，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立.5.不等式的證明（1）比較法①作差法：要證明，只需證.②作商法：要證明，只要證.（2）綜合法從已知條件，不等式的性質(zhì)和基本不等式等出發(fā)，通過邏輯推理，推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論.（3）分析法從要證的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至所需條件為已知條件或一個(gè)明顯成立的事實(shí)（定義、公理或已證明的定理、性質(zhì)等），從而得出要證的命題成立.（4）反證法先假設(shè)要證的命題不成立，以此為出發(fā)點(diǎn)，結(jié)合已知條件，應(yīng)用公理、定義、定理、性質(zhì)等，進(jìn)行正確的推理，得到和命題的條件（或已證明的定理、性質(zhì)、明顯成立的事實(shí)等）矛盾的結(jié)論，以說明假設(shè)不正確，從而證明原命題成立.（5）放縮法證明不等式時(shí)，通過把不等式中的某些部分的值放大或縮小，簡化不等式，從而達(dá)到證明的目的.1.已知函數(shù).

（1）解不等式；

（2）若，使得成立，求出實(shí)數(shù)m的取值范圍.2.已知.(1)當(dāng)時(shí)，解不等式；(2)若時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.3.已知函數(shù).

（I）當(dāng)時(shí)，解不等式；

（Ⅱ）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.4.已知不等式.(1)若，求不等式的解集.(2)若不等式的解集不是空集，求的取值范圍.5.已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求不等式的解集.(2)若函數(shù)的圖像與軸沒有交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.6.已知函數(shù).(1)求不等式的解集.(2)若關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.7.已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求不等式的解集.(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.8.已知.(1)若，求不等式的解集.(2)若當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.9.已知函數(shù).(1)若，求不等式的解集.(2)若對于任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.10.已知函數(shù).若，求不等式的解集；若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

答案以及解析1.答案：（I）當(dāng)時(shí)，，

解得，故；

當(dāng)時(shí)，，

解得，故；

當(dāng)時(shí)，，

解得，故.

綜上所述，不等式的解集為或.

（Ⅱ）函數(shù)

結(jié)合函數(shù)的圖象可知.

設(shè)，

，

滿足，

，

故實(shí)數(shù)m的取值范圍為.2.答案：（1）當(dāng)時(shí)，不等式可化為，

當(dāng)時(shí)，不等式可化為，解得；

當(dāng)時(shí)，不等式可化為，解得；

當(dāng)時(shí)，不等式可化為，解得.

綜上所述，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為.

（2）當(dāng)時(shí)，，

因此，在上恒成立.

則，解得又，所以故

因此實(shí)數(shù)a的取值范圍是.3.答案：（I）當(dāng)時(shí)，不等式，

即.

①當(dāng)時(shí)，原不等式化為

，

解得，所以；

②當(dāng)時(shí)，原不等式化為

，

所以；

③當(dāng)時(shí)，原不等式化為

，

解得，所以.

綜上，不等式的解集為.

（Ⅱ）由，得.

因?yàn)椋?/p>

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，

所以，

所以或，

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為或.4.答案：(1)當(dāng)時(shí)，原不等式為.若，則，此時(shí)不等式無解；若，則；若，則.綜上所述，不等式的解集為.(2)設(shè)，則..即的取值范圍為.5.答案：(1)當(dāng)時(shí)，不等式可化為，即，或，解得或.(2)當(dāng)時(shí)，要使函數(shù)的圖像與軸沒有交點(diǎn)，只需即；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的圖像與軸有交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，要使函數(shù)的圖像與軸沒有交點(diǎn)，只需此時(shí)無解.綜上所述，函數(shù)的圖像與軸沒有交點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍為.6.答案：(1)原不等式等價(jià)于或或解得或或.不等式的解集為.(2)不等式恒成立等價(jià)于，即.，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立.，則，解得，實(shí)數(shù)的取值范圍是.7.答案：(1)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，不等式無解；當(dāng)時(shí)，令，解得，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，，符合題意.綜上可得，不等式的解集為.(2)恒成立等價(jià)于.，.，，解得或.實(shí)數(shù)的取值范圍為.8.答案：(1)由，得，等價(jià)于或或解得或或無解.不等式的解集為.(2)當(dāng)時(shí)，.恒成立，即恒成立，即恒成立，，即，解得.實(shí)數(shù)的取值范圍是.9.答案：(1)當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，無解；當(dāng)時(shí)，，解得.綜上所述，不等式的解集為.(2)對于任意的，不等式恒成立，即恒成立，即恒成立.因?yàn)?，所以要使原不等式恒成立，只需，解得?所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.10.答案：(