全國(guó)統(tǒng)考2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用3.3定積分與微積分基本定理學(xué)案理含解析北師大版

3.3定積分與微積分基本定理必備學(xué)問(wèn)預(yù)案自診學(xué)問(wèn)梳理1.定積分的定義假如函數(shù)f(x)的圖像在區(qū)間[a,b]上連續(xù),用分點(diǎn)a=x0<x1<…<xi-1<xi<…<xn=b將區(qū)間[a,b]等分成n個(gè)小區(qū)間,在每個(gè)小區(qū)間[xi-1,xi]上任取一點(diǎn)ξi(i=1,2,…,n),作和式∑i=1nf(ξi)Δx=∑i=1nb-anf(ξi),當(dāng)n→+∞時(shí),上述和式無(wú)限接近某個(gè)常數(shù),這個(gè)常數(shù)叫作函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分2.定積分的幾何意義(1)當(dāng)函數(shù)f(x)的圖像在區(qū)間[a,b]上連續(xù)且恒有f(x)≥0時(shí),定積分abf(x)dx的幾何意義是由直線x=a,x=b(a≠b),y=0和曲線y=f(x)所圍成的曲邊梯形(圖①中陰影部分)的面積圖①圖②(2)一般狀況下,定積分abf(x)dx的幾何意義是介于x軸、曲線y=f(x)以及直線x=a,x=b之間的曲邊梯形(圖②中陰影部分)面積的代數(shù)和,其中在x軸上方的面積等于該區(qū)間上的積分值,在x軸下方的面積等于該區(qū)間上積分值的相反數(shù)3.定積分的性質(zhì)(1)abkf(x)dx=(k為常數(shù));(2)ab[f(x)±g(x)]dx=;(3)abf(x)dx=(其中a<c<b).4.微積分基本定理一般地,假如f(x)是圖像在區(qū)間[a,b]上連續(xù)的函數(shù),并且F'(x)=f(x),那么abf(x)dx=.這個(gè)結(jié)論叫作微積分基本定理,又叫作牛頓—萊布尼茨公式,其中F(x)叫作f(x)的一個(gè)原函數(shù).為了便利,我們常把F(b)-F(a)記作,即abf(x)dx=F(x)|ab=F(b)-F(a5.定積分在物理中的兩個(gè)應(yīng)用(1)變速直線運(yùn)動(dòng)的路程:假如變速直線運(yùn)動(dòng)物體的速度為v=v(t),那么從時(shí)刻t=a到t=b所經(jīng)過(guò)的路程s=abv(t)dt(2)變力做功:某物體在變力F(x)的作用下,沿著與F(x)相同的方向從x=a移動(dòng)到x=b時(shí),力F(x)所做的功是W=abF(x)dx1.定積分與曲邊梯形的面積的關(guān)系:設(shè)圖中陰影部分的面積為S,則(1)如圖(1),S=abf(x)dx(2)如圖(2),S=-abf(x)dx(3)如圖(3),S=acf(x)dx-cbf(x)d(4)如圖(4),S=ab[f(x)-g(x)]dx2.設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[-a,a]上連續(xù),則有:(1)若f(x)是偶函數(shù),-aaf(x)dx=20af(x(2)若f(x)是奇函數(shù),則-aaf(x)dx=考點(diǎn)自診1.推斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)若函數(shù)y=f(x)的圖像在區(qū)間[a,b]上連續(xù),則abf(x)dx=abf(t)dt.((2)若f(x)是圖像連續(xù)的偶函數(shù),則-aaf(x)dx=20af(x)dx;若f(x)是圖像連續(xù)的奇函數(shù),則-aaf(x)dx=(3)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)的曲線y=f(x)和直線x=a,x=b(a≠b),y=0所圍成的曲邊梯形的面積S=ab|f(x)|dx.()(4)若abf(x)dx<0,則由y=f(x),x=a,x=b以及x軸所圍成的圖形肯定在x軸下方.()(5)已知質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)的速度v=10t,則質(zhì)點(diǎn)從t=0到t=t0所經(jīng)過(guò)的路程是0t010tdt=5t02.2.已知函數(shù)f(x)=x,1<x≤4,x|x|,-A.14 B.143 C.7 D3.汽車以v=(3t+2)m/s做變速運(yùn)動(dòng)時(shí),在第1s至2s之間的1s內(nèi)經(jīng)過(guò)的路程是()A.5m B.112C.6m D.1324.(2024湖南師大附中測(cè)試)直線y=4x與曲線y=x3在第一象限內(nèi)圍成的封閉圖形的面積為()A.22 B.42 C.2 D.45.(2024江西南昌模擬)設(shè)a>0,若曲線y=x與直線x=a,y=0所圍成的封閉圖形的面積為a2,則a=.

關(guān)鍵實(shí)力學(xué)案突破考點(diǎn)定積分的計(jì)算【例1】計(jì)算下列定積分.(1)01(-x2+2x)dx(2)π0(sinx-cosx)dx(3)12e2(4)0π21思索計(jì)算定積分的步驟有哪些?解題心得計(jì)算定積分的步驟(1)把被積函數(shù)變形為冪函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與常數(shù)的積的和或差.(2)把定積分變形為求被積函數(shù)為上述函數(shù)的定積分.(3)分別用求導(dǎo)公式的逆運(yùn)算找到一個(gè)相應(yīng)的原函數(shù).(4)利用微積分基本定理求出各個(gè)定積分的值,然后求其代數(shù)和.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(1)-13(3x2-2x+1)d(2)12x-(3)π-π(x3cosx)d(4)02|1-x|dx考點(diǎn)利用定積分的幾何意義求定積分【例2】已知函數(shù)f(x)=-x+2,x≤2,1-(x-3A.9+4π8 BC.1+π2 D思索怎樣求曲線圍成平面圖形的面積?解題心得當(dāng)被積函數(shù)的原函數(shù)不易求,而被積函數(shù)的圖像與直線x=a,x=b,y=0所圍成的曲邊圖形形態(tài)規(guī)則,面積易求時(shí),利用定積分的幾何意義求定積分.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(2024四川成都一中測(cè)試)-11(1-x2+A.π4 B.πC.π D.π2+考點(diǎn)定積分的應(yīng)用(多考向探究)考向1求曲線圍成的平面圖形的面積【例3】(1)如圖所示,曲線y=x2-1,x=2,x=0,y=0圍成的陰影部分的面積為()A.02|x2-1|dB.12(1-x2)dx+01(x2-C.02(x2-1)dD.12(x2-1)dx+01(1-x2(2)(2024云南昆明一中測(cè)試)如圖是函數(shù)y=cos2x-5π6在一個(gè)周期內(nèi)的圖像,則陰影部分的面積是()A.34 B.5C.32 D.思索怎樣求曲線圍成的平面圖形的面積?考向2已知曲線圍成的面積求參數(shù)【例4】(2024安徽合肥摸底)由曲線f(x)=x與y軸及直線y=m(m>0)圍成的圖形的面積為83,則m的值為()A.2 B.3 C.1 D.8思索應(yīng)用怎樣的數(shù)學(xué)思想解決已知曲線圍成的面積求參數(shù)問(wèn)題?考向3定積分在概率中的應(yīng)用【例5】(2024山西太原聯(lián)考)如圖,在矩形ABCD中的曲線是y=sinx,y=cosx的一部分,點(diǎn)A(0,0),Bπ2,0,D(0,1),在矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是A.4π(3-1) B.C.4(3-1)π D.4(2-1)π思索怎樣求定積分與概率的交匯問(wèn)題?考向4定積分在物理中的應(yīng)用【例6】(1)一輛汽車在高速馬路上行駛,由于遇到緊急狀況而剎車,以速度v(t)=7-3t+251+t(t的單位:s,v的單位:m/s)行駛至停止.在此期間汽車行駛的距離(單位:m)是(A.1+25ln5 B.8+25ln11C.4+25ln5 D.4+50ln2(2)一物體在力F(x)=5,0≤x≤2,3x+4,x>2(單位:N)的作用下沿與力F相同的方向從x=0處運(yùn)動(dòng)到x=4(單位:m)思索利用定積分解決變速運(yùn)動(dòng)問(wèn)題和變力做功問(wèn)題的關(guān)鍵是什么?解題心得1.對(duì)于求平面圖形的面積問(wèn)題,應(yīng)首先畫出平面圖形的大致圖形,然后依據(jù)圖形特點(diǎn),選擇相應(yīng)的積分變量及被積函數(shù),并確定被積區(qū)間.2.已知圖形的面積求參數(shù),一般是先畫出它的草圖;然后確定積分的上、下限,確定被積函數(shù),由定積分求出其面積,再應(yīng)用方程的思想建立關(guān)于參數(shù)的方程,從而求出參數(shù)的值.3.與概率相交匯問(wèn)題.解決此類問(wèn)題應(yīng)先利用定積分求出相應(yīng)平面圖形的面積,再用相應(yīng)概率公式進(jìn)行計(jì)算.4.利用定積分解決變速運(yùn)動(dòng)問(wèn)題和變力做功問(wèn)題時(shí),關(guān)鍵是求出物體做變速運(yùn)動(dòng)的速度函數(shù)和變力與位移之間的函數(shù)關(guān)系,確定好積分區(qū)間,得到積分表達(dá)式,再利用微積分基本定理計(jì)算即得所求.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(1)如圖,由兩條曲線y=-x2,y=-14x2及直線y=-1所圍成的平面圖形的面積為.(2)已知t>1,若1t(2x+1)dx=t2,則t=.(3)如圖所示,在一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形AOBC內(nèi),曲線y=x3(x>0)和曲線y=x圍成一個(gè)葉形圖(陰影部分),向正方形AOBC內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)(該點(diǎn)落在正方形AOBC內(nèi)任何一點(diǎn)是等可能的),則所投的點(diǎn)落在葉形圖內(nèi)部的概率是()A.512 B.1C.14 D.(4)汽車以36km/h的速度行駛,到某處須要減速停車,設(shè)汽車以加速度a=-2m/s2剎車,則從起先剎車到停車,汽車走的距離是m.

(5)設(shè)變力F(x)作用在質(zhì)點(diǎn)M上,使M沿x軸正向從x=1運(yùn)動(dòng)到x=10,已知F(x)=x2+1,且方向和x軸正向相同,則變力F(x)對(duì)質(zhì)點(diǎn)M所做的功為J(x的單位:m;力的單位:N).

1.求定積分的方法:(1)利用定義求定積分,可操作性不強(qiáng).(2)利用微積分基本定理求定積分的步驟如下:①求被積函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)F(x);②計(jì)算F(b)-F(a).(3)利用定積分的幾何意義求定積分.2.定積分abf(x)dx的幾何意義是x軸、曲線f(x)以及直線x=a,x=b圍成的曲邊梯形的面積的代數(shù)和.在區(qū)間[a,b]上連續(xù)的曲線y=f(x)和直線x=a,x=b(a≠b),y=0所圍成的曲邊梯形的面積S=ab|f(x)|d1.被積函數(shù)若含有肯定值號(hào),應(yīng)去掉肯定值號(hào),再分段積分.2.若積分式子中有幾個(gè)不同的參數(shù),則必需分清誰(shuí)是被積變量.3.定積分式子中隱含的條件是積分上限大于積分下限.4.定積分的幾何意義是曲邊梯形的面積,但要留意:面積非負(fù),而定積分的結(jié)果可以為負(fù).3.3定積分與微積分基本定理必備學(xué)問(wèn)·預(yù)案自診學(xué)問(wèn)梳理3.(1)kabf(x)d(2)abf(x)dx±abg(x(3)acf(x)dx+cbf(x4.F(b)-F(a)F(x)|考點(diǎn)自診1.(1)√(2)√(3)√(4)×(5)√2.B函數(shù)f(x)=x則-14f(x)dx=-11x|x|dx+14xdx=03.DS=12(3t+2)dt=32t2+2t

14.D由y=4x,y=x3,得x=0∴S=02(4x-x3)d=2x2-14x4

02=4.5.49封閉圖形如圖陰影部分所示則0axdx=23x32

關(guān)鍵實(shí)力·學(xué)案突破例1解(1)01(-x2+2x)dx=01(-x2)dx+012xdx=-13x3

01+(x2(2)π0(sinx-cosx)dx=π0sinxdx-π0cosxdx=(-cosx)

π0-sinx

(3)12e2x+1xdx=12e2xdx+121xx=12ed2x

12lnx

12=1(4)0π21-sin2xdx=0π2|sinx-cosx|dx=0π4(cosx-sinx)dx+π4π2(sinx-cosx)dx=(sinx+cosx)

0π4+(-cosx-sinx)

π對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1解(1)-13(3x2-2x+1)dx=(x3-x2+x)|-(2)12x-1xdx=12x2-lnx

(3)因?yàn)閥=x3cosx為奇函數(shù),所以π-π(x3cosx)dx=(4)02|1-x|dx=01(1-x)dx+12(x-1)dx=x-12x2

01+12x2-x

12=1-12-0+12×2例2A因?yàn)閒(x)=-所以124f(x)dx=122(-x+2)dx+241-(x-3)2dx,122(-x+241-(x-3)2dx的幾何意義為以(3,0)為圓心因而S=12×π×12=π所以124f(x)dx=98+對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2B-11(1-x2+sinx)dx=-111-x2dx+-11sinxdx又-111-x2dx表示以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心,以1為半徑的圓的上半圓的面積,∴-11(1-x2例3(1)A(2)B(1)由曲線y=x2-1,直線x=0,x=2和x軸圍成的封閉圖形的面積為S=01(1-x2)dx+12(x2-依據(jù)對(duì)稱性,它和函數(shù)y=|x2-1|,直線x=0,x=2和x軸圍成的封閉圖形的面積相等,如圖所示,即S=02|x2-1|d(2)陰影部分的面積為S=-0π6cos2x-5π6π62π3cos2x-5=-12sin2x-5π6

0π6+12sin2x-5π6

π6-12sin-π2-12sin-5π6+12sinπ2-12sin-π2=14+1=54.例4A由題知曲線f(x)=x與直線y=m的交點(diǎn)為(m2,m),則0m2(m-x)dx=mx-23x32

0m2=m3-23m3例5BS陰影=20π4(cosx-sinx)dx=2[sinx+cosx]

0π4=2(2-1),SABCD=π2×1=π2,由測(cè)度比是面積比可得,此點(diǎn)取自陰影部分的概率是P=S例6(1)C(2)36(1)由v(t)=7-3t+251+t=0,可得t=4,t=-83(舍去),因此汽車從剎車到停止一共行駛了4s,此期間行駛的距離為04v(t)dt=047-3t+251+tdt=7t-32t2+25ln(1+t)

04(2)由題意知,力F(x)所做的功為W=24F(x)dx=245dx+24(3x+4)dx=5×2+32x2+4x

24=10+32×42+4×4-32×22+4×2=36(J)對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(1)43(2)2(3)A(5)342(1)由y=-x2,y=-1得交點(diǎn)A(-1,-1),B(1,-1).由y=-14x2,y=-1得交點(diǎn)C(-2,-(2)1t(2x+1)dx=(x2+x)

1t=