高考數(shù)學(xué)一輪題型歸納(新高考地區(qū)專用)考點(diǎn)15導(dǎo)數(shù)的概念、運(yùn)算及其幾何意義6種常見(jiàn)考法歸類(原卷版+解析)

考點(diǎn)15導(dǎo)數(shù)的概念、運(yùn)算及其幾何意義6種常見(jiàn)考法歸類考點(diǎn)一平均變化率和瞬時(shí)變化率考點(diǎn)二導(dǎo)數(shù)定義的應(yīng)用考點(diǎn)三導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算考點(diǎn)四導(dǎo)數(shù)的幾何意義及應(yīng)用（一）切線的斜率與傾斜角（1）求切線的斜率（2）求切線的傾斜角（二）求切線方程（1）曲線在某點(diǎn)處的切線問(wèn)題（2）過(guò)某點(diǎn)的曲線的切線問(wèn)題（三）由曲線的切線（斜率）求參數(shù)（四）由曲線的切線條數(shù)求參數(shù)（五）兩條切線平行、垂直問(wèn)題（六）兩曲線的公切線問(wèn)題（七）距離最值問(wèn)題考點(diǎn)五導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的綜合考點(diǎn)六導(dǎo)數(shù)幾何意義的綜合應(yīng)用1.導(dǎo)數(shù)的概念及其意義(1)函數(shù)的平均變化率：對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，設(shè)自變量x從x0變化到x0＋Δx，相應(yīng)地，函數(shù)值y就從f(x0)變化到f(x0＋Δx).這時(shí)，x的變化量為Δx，y的變化量為Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0).我們把比值eq\f(Δy,Δx)，即eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)叫做函數(shù)y＝f(x)從x0到x0＋Δx的平均變化率.注：①增量可以是正數(shù)，也可以是負(fù)，但是不可以等于0．的意義：與0之間距離要多近有多近，即可以小于給定的任意小的正數(shù)；②當(dāng)時(shí)，在變化中都趨于0，但它們的比值卻趨于一個(gè)確定的常數(shù)，即存在一個(gè)常數(shù)與無(wú)限接近；(2)導(dǎo)數(shù)的概念：如果當(dāng)Δx→0時(shí)，平均變化率eq\f(Δy,Δx)無(wú)限趨近于一個(gè)確定的值，即eq\f(Δy,Δx)有極限，則稱y＝f(x)在x＝x0處可導(dǎo)，并把這個(gè)確定的值叫做y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)(也稱為瞬時(shí)變化率)，記作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝.①導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處的切線的斜率.也就是說(shuō)，曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處的切線的斜率是f′(x0).相應(yīng)的切線方程為y－y0＝f′(x0)(x－x0).②導(dǎo)數(shù)物理意義：函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是物體在時(shí)刻的瞬時(shí)速度，即；在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是物體在時(shí)刻的瞬時(shí)加速度，即．(4)導(dǎo)函數(shù)的概念：當(dāng)x＝x0時(shí)，f′(x0)是一個(gè)唯一確定的數(shù)，這樣，當(dāng)x變化時(shí)，y＝f′(x)就是x的函數(shù)，我們稱它為y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)(簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)).y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)有時(shí)也記作y′，即f′(x)＝y(tǒng)′=2.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算(1)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)＝c(c為常數(shù))f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝ax(a>0，且a≠1)f′(x)＝axlnaf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(a>0，且a≠1)f′(x)＝eq\f(1,xlna)f(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)(2)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則①函數(shù)和差求導(dǎo)法則：；②函數(shù)積的求導(dǎo)法則：；③函數(shù)商的求導(dǎo)法則：，則．(3)簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一般地，對(duì)于兩個(gè)函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)，如果通過(guò)中間變量u，y可以表示成x的函數(shù)，那么稱這個(gè)函數(shù)為函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)的復(fù)合函數(shù)，記作y＝f(g(x)).它的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為y′x＝y(tǒng)′u·u′x.即y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于y對(duì)u的導(dǎo)數(shù)與u對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積.3.導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的原則和方法（1）導(dǎo)數(shù)計(jì)算的原則：先化簡(jiǎn)解析式，再求導(dǎo)．（2）導(dǎo)數(shù)計(jì)算的方法：①連乘積形式：多項(xiàng)式的積的導(dǎo)數(shù)，通常先展開(kāi)再求導(dǎo)更簡(jiǎn)便．②分式形式：觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，先化為整式函數(shù)或較為簡(jiǎn)單的分式函數(shù)，再求導(dǎo)；③對(duì)數(shù)形式：先化為和、差的形式，再求導(dǎo)；④根式形式：先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，再求導(dǎo)；⑤三角形式：先利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為和或差的形式，再求導(dǎo).⑥絕對(duì)值形式：先化為分段函數(shù)，再求導(dǎo)⑦復(fù)合函數(shù)求導(dǎo):先確定復(fù)合關(guān)系，由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時(shí)可換元．4.曲線切線方程的求法：①以曲線上的點(diǎn)(x0，f(x0))為切點(diǎn)的切線方程的求解步驟：求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)；求切線的斜率f′(x0)；寫出切線方程y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)，并化簡(jiǎn)；②如果已知點(diǎn)(x1，y1)不在曲線上，則設(shè)出切點(diǎn)(x0，y0)，解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y0＝f（x0），,\f(y1－y0,x1－x0)＝f′（x0），))得切點(diǎn)(x0，y0)，進(jìn)而確定切線方程.求切線方程時(shí)，要注意判斷已知點(diǎn)是否滿足曲線方程，即是否在曲線上；與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線不一定是曲線的切線，曲線的切線與曲線的公共點(diǎn)不一定只有一個(gè).5.已知斜率求切點(diǎn)：已知斜率k，求切點(diǎn)(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.6.利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求參數(shù)的基本方法利用切點(diǎn)的坐標(biāo)、切線的斜率、切線的方程等得到關(guān)于參數(shù)的方程(組)或者參數(shù)滿足的不等式(組)，進(jìn)而求出參數(shù)的值或取值范圍．7.求解與導(dǎo)數(shù)的幾何意義有關(guān)問(wèn)題的注意點(diǎn)(1)注意曲線上橫坐標(biāo)的取值范圍；(2)謹(jǐn)記切點(diǎn)既在切線上又在曲線上．8.解決兩曲線的公切線問(wèn)題的兩種方法(1)利用其中一曲線在某點(diǎn)處的切線與另一曲線相切，列出關(guān)系式求解；(2)設(shè)公切線l在y＝f(x)上的切點(diǎn)P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切點(diǎn)P2(x2，g(x2))，則f′(x1)＝g′(x2)＝eq\f(fx1－gx2,x1－x2)．注：處理與公切線有關(guān)的參數(shù)問(wèn)題，通常根據(jù)曲線、切線、切點(diǎn)的三個(gè)關(guān)系列出參數(shù)的方程(組)并解出參數(shù)，建立方程(組)的依據(jù)主要是：①切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是切線的斜率；②切點(diǎn)在切線上；③切點(diǎn)在曲線上.9.導(dǎo)數(shù)的兩條性質(zhì)(1)奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù).(2)可導(dǎo)函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)數(shù)為f′(x)，若f′(x)為增函數(shù)，則f(x)的圖象是下凹的；反之，若f′(x)為減函數(shù)，則f(x)的圖象是上凸的.10.幾類重要切線方程(1)y＝x－1是曲線y＝lnx的切線，y＝x是曲線y＝ln(x＋1)的切線，…，y＝x＋n是曲線y＝ln(x＋n＋1)的切線，如圖1.圖1圖2(2)y＝x＋1與y＝ex是曲線y＝ex的切線，如圖2.(3)y＝x是曲線y＝sinx與y＝tanx的切線，如圖3.圖3圖4(4)y＝x－1是曲線y＝x2－x，y＝xlnx及y＝1－eq\f(1,x)的切線，如圖4.由以上切線方程又可得重要不等式，如lnx≤x－1，x＋1≤ex等.考點(diǎn)一平均變化率和瞬時(shí)變化率1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為5，則______．2．（2023春·江西贛州·高三統(tǒng)考期中）向一容器中勻速注水，容器中水面高度h（單位：cm）與注水時(shí)間t（單位：min）的函數(shù)關(guān)系為.記時(shí)水面上升的瞬時(shí)速度為時(shí)水面上升的瞬時(shí)速度為，從到t=4min水面上升的平均速度為V，則（

）A． B．C． D．3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的圖象如圖所示，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，則（

）A． B．C． D．4．【多選】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）為滿足人們對(duì)美好生活的向往，環(huán)保部門要求相關(guān)企業(yè)加強(qiáng)污水治理，排放未達(dá)標(biāo)的企業(yè)要限期整改．設(shè)企業(yè)的污水排放量與時(shí)間的關(guān)系為，用的大小評(píng)價(jià)在這段時(shí)間內(nèi)企業(yè)污水治理能力的強(qiáng)弱．已知整改期內(nèi)，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時(shí)間的關(guān)系如圖所示，則下列結(jié)論中正確的有（

）A．在這段時(shí)間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)B．在時(shí)刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)C．在時(shí)刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放都已達(dá)標(biāo)D．甲企業(yè)在，，這三段時(shí)間中，在的污水治理能力最強(qiáng)5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）為了評(píng)估某種治療肺炎藥物的療效，有關(guān)部門對(duì)該藥物在人體血管中的藥物濃度進(jìn)行測(cè)量．設(shè)該藥物在人體血管中藥物濃度c與時(shí)間t的關(guān)系為，甲、乙兩人服用該藥物后，血管中藥物濃度隨時(shí)間t變化的關(guān)系如下圖所示．給出下列四個(gè)結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．在時(shí)刻，甲、乙兩人血管中的藥物濃度相同；B．在時(shí)刻，甲、乙兩人血管中藥物濃度的瞬時(shí)變化率不同；C．在這個(gè)時(shí)間段內(nèi)，甲、乙兩人血管中藥物濃度的平均變化率相同；D．在，兩個(gè)時(shí)間段內(nèi)，甲血管中藥物濃度的平均變化率相同．6．（2023秋·云南楚雄·高三統(tǒng)考期末）已知某容器的高度為20cm，現(xiàn)在向容器內(nèi)注入液體，且容器內(nèi)液體的高度h（單位：cm）與時(shí)間t（單位：s）的函數(shù)關(guān)系式為，當(dāng)時(shí)，液體上升高度的瞬時(shí)變化率為3cm/s，則當(dāng)時(shí)，液體上升高度的瞬時(shí)變化率為（

）A．5cm/s B．6cm/s C．8cm/s D．10cm/s7．（2023·海南省直轄縣級(jí)單位·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）寧啟鐵路線新開(kāi)行“綠巨人”動(dòng)力集中復(fù)興號(hào)動(dòng)車組，最高時(shí)速為．假設(shè)“綠巨人”開(kāi)出站一段時(shí)間內(nèi)，速度與行駛時(shí)間的關(guān)系為，則出站后“綠巨人”速度首次達(dá)到時(shí)加速度為（

）A． B． C． D．8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某地在20年間經(jīng)濟(jì)高質(zhì)量增長(zhǎng)，GDP的值（單位，億元）與時(shí)間（單位：年）之間的關(guān)系為，其中為時(shí)的值.假定，那么在時(shí)，GDP增長(zhǎng)的速度大約是___________.（單位：億元/年，精確到0.01億元/年）注：，當(dāng)取很小的正數(shù)時(shí)，考點(diǎn)二導(dǎo)數(shù)定義的應(yīng)用9．（2023·上海閔行·統(tǒng)考二模）_____________．10．（2023春·江西·高三校聯(lián)考期中）已知，則（

）A．1 B．3 C．6 D．911．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則的值為（

）A． B． C．10 D．2012．（2023春·吉林長(zhǎng)春·高三長(zhǎng)春十一高?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，則__________.13．（2023春·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)是可導(dǎo)函數(shù)，且，則__________.14．（2023春·遼寧阜新·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，則______．15．（2023春·山東濟(jì)南·高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù)，若，則（

）A． B． C．1 D．2考點(diǎn)三導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算16．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．(1)；(2)；(3)(4)；17．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則（

）A． B． C． D．18．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）將函數(shù)的圖象上的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到點(diǎn)，且點(diǎn)恰好在的導(dǎo)函數(shù)的圖象上，則（

）A． B． C． D．考點(diǎn)四導(dǎo)數(shù)的幾何意義及應(yīng)用（一）切線的斜率與傾斜角（1）求切線的斜率19．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)在處的切線的斜率為（

）A．0 B．1 C．2 D．e20．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)在處的切線的斜率為（

）A．2 B．-2 C．0 D．121．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）曲線在點(diǎn)處的切線斜率為_(kāi)_____.（2）求切線的傾斜角22．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線的傾斜角為，則______．23．（2023春·陜西寶雞·高三寶雞中學(xué)校考階段練習(xí)）曲線在處切線的傾斜角為，則（

）A．2 B． C．1 D．24．（2023·福建福州·福州三中?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，且其圖象在點(diǎn)處的切線的傾斜角為，則的值為（

）A． B． C． D．25．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)點(diǎn)P是函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)P處切線的傾斜角為，則角的取值范圍是（

）A． B．C． D．26．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考一模）已知曲線：在處的切線為，曲線：在處的切線為，若存在實(shí)數(shù)t使得與的傾斜角互補(bǔ)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_____．27．（2023春·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，過(guò)點(diǎn)作曲線的兩條切線，，若的傾斜角互補(bǔ)，則___________.28．（2023春·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)的圖象在原點(diǎn)處的切線與在點(diǎn)處的切線的交點(diǎn)為P，則（

）A．2 B． C． D．（二）求切線方程（1）曲線在某點(diǎn)處的切線問(wèn)題29．（2023春·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）牛頓最早研究過(guò)函數(shù)的圖像與性質(zhì)，其圖像類似于三叉戟，因此這類曲線被稱為牛頓三叉戟曲線.牛頓三叉戟曲線在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B．C． D．30．（2023·江蘇常州·校考二模）已知函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，且時(shí)，，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)__________.31．（2023·青海西寧·統(tǒng)考一模）若是偶函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B． C． D．32．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）曲線在處的切線與坐標(biāo)軸圍成的面積為（

）A． B． C． D．33．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知是曲線在處的切線，若點(diǎn)到的距離為1，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．34．（2023春·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)為奇函數(shù)，則在處的切線方程為（）A． B．C． D．（2）過(guò)某點(diǎn)的曲線的切線問(wèn)題35．（2023春·上海浦東新·高三上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知曲線，過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，則切線的方程為_(kāi)___________.36．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若曲線在點(diǎn)處的切線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則（

）A． B． C．或 D．或37．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線的切線，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為_(kāi)__________.38．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線過(guò)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_________.39．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線的切線，則切線有（

）條A． B． C． D．40．（2023春·山東濱州·高三?？茧A段練習(xí)）過(guò)點(diǎn)作曲線的兩條切線，則這兩條切線的斜率之和為_(kāi)_____.41．（2023·陜西西安·西安一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知曲線在處的切線為m，則過(guò)點(diǎn)且與切線m垂直的直線方程為_(kāi)_________．（三）由曲線的切線（斜率）求參數(shù)42．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知曲線在處的切線的斜率為，則______.43．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的圖象的一條切線為，則a＝______44．（2023·寧夏吳忠·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知直線與曲線相切，則k=___________.45．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則的值為（

）A． B． C． D．146．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知直線與曲線相切，則的值為（

）A． B． C． D．47．（2023·陜西·統(tǒng)考二模）已知曲線在處的切線方程為，則_________，_________．48．（2023春·上海楊浦·高三復(fù)旦附中?？茧A段練習(xí)）已知為實(shí)數(shù)，函數(shù)在處的切線方程為，則的值為_(kāi)__________．（四）由曲線的切線條數(shù)求參數(shù)49．（2023·河南開(kāi)封·開(kāi)封高中?？家荒＃┮阎瘮?shù)，無(wú)論a取何值，曲線均存在一條固定的切線，則該切線方程為_(kāi)_______．50．（2023·海南?？凇ばＢ?lián)考模擬預(yù)測(cè)）過(guò)軸上一點(diǎn)作曲線的切線，若這樣的切線不存在，則整數(shù)的一個(gè)可能值為_(kāi)________．51．（2023春·湖北·高三安陸第一高中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，若曲線過(guò)點(diǎn)的切線有兩條，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____.52．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若過(guò)點(diǎn)可作曲線的兩條切線，則點(diǎn)可以是（

）A． B． C． D．53．（2023·廣東·統(tǒng)考二模）已知，若過(guò)點(diǎn)恰能作兩條直線與曲線相切，且這兩條切線關(guān)于直線對(duì)稱，則的一個(gè)可能值為_(kāi)_____．54．（2023春·江西宜春·高三江西省豐城中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若過(guò)點(diǎn)有3條直線與函數(shù)的圖象相切，則的取值范圍是__________.55．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若曲線有三條過(guò)點(diǎn)的切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．（五）兩條切線平行、垂直問(wèn)題56．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）曲線在處的切線平行于直線，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A．(1,0) B．(2,8)C．(1,0)和(-1,-4) D．(2,8)和(-1,-4)57．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，則實(shí)數(shù)（

）A． B．1 C． D．258．（2023春·陜西榆林·高三綏德中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)（且），曲線在處的切線與直線垂直，則___．59．（2023春·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則實(shí)數(shù)等于（

）A． B． C． D．60．（2023秋·山東日照·高三校聯(lián)考期末）若曲線在點(diǎn)處的切線與曲線在點(diǎn)處的切線垂直，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．61．（2023·浙江·統(tǒng)考一模）若曲線存在兩條互相垂直的切線，則a的取值范圍是________．（六）兩曲線的公切線問(wèn)題62．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若直線與曲線和都相切，則的斜率為_(kāi)_____．63．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知的圖象在處的切線與與函數(shù)的圖象也相切，則該切線的斜率__________.64．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知曲線與曲線有相同的切線，則這條切線的斜率為_(kāi)__________.65．（2023·山西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，，若存在直線，使是曲線的切線，也是曲線的切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．66．（2023·江西上饒·統(tǒng)考二模）若曲線與曲線有公切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍（

）A． B．C． D．67．（2023·湖南長(zhǎng)沙·湖南師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）若曲線和曲線恰好存在兩條公切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_________．68．（2023·陜西榆林·?？寄M預(yù)測(cè)）若直線與曲線相切，切點(diǎn)為，與曲線也相切，切點(diǎn)為，則的值為（

）A． B． C．0 D．1（七）距離最值問(wèn)題69．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在曲線上，則的最小值為（

）A． B．C． D．70．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在曲線上，則最小值為（

）A． B．C． D．71．（2023·甘肅白銀·甘肅省靖遠(yuǎn)縣第一中學(xué)校聯(lián)考二模）已知函數(shù)，直線，若直線與的圖象交于A點(diǎn)，與直線l交于B點(diǎn)，則A，B之間的最短距離是（

）A． B．4 C． D．872．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，，，滿足，則的最小值為（

）A． B．8 C．4 D．1673．（2023·河南開(kāi)封·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，且，則的最小值為（

）A． B．C． D．74．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若點(diǎn)，，則、兩點(diǎn)間距離的最小值為（

）A．1 B． C． D．275．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，其中，．若存在正數(shù)，使得成立，則實(shí)數(shù)的值是（

）A． B． C． D．176．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）曲線與的公共切線的條數(shù)為_(kāi)_______．77．（2023·山東日照·統(tǒng)考二模）已知曲線與的兩條公切線的夾角余弦值為，則_________．考點(diǎn)五導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的綜合78．（2023·安徽亳州·高三?？茧A段練習(xí)）二項(xiàng)展開(kāi)式，則___________.79．（2023·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知，則等于___________.80．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，數(shù)列滿足，若，且，則數(shù)列的前2023項(xiàng)的和為_(kāi)_________.考點(diǎn)六導(dǎo)數(shù)幾何意義的綜合應(yīng)用81．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，若該拋物線上任意一點(diǎn)P處的切線斜率與直線PF的斜率之積為1，則這條切線的傾斜角為_(kāi)_____82．【多選】（2023·全國(guó)·校聯(lián)考二模）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，分別過(guò)，作拋物線的切線交于點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若直線的傾斜角為，則 B．點(diǎn)在直線上C． D．的最小值為83．（2023春·河南鄭州·高三鄭州四中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)滿足函數(shù)恰有5個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．84．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，，若方程恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）A． B．C． D．考點(diǎn)15導(dǎo)數(shù)的概念、運(yùn)算及其幾何意義6種常見(jiàn)考法歸類考點(diǎn)一平均變化率和瞬時(shí)變化率考點(diǎn)二導(dǎo)數(shù)定義的應(yīng)用考點(diǎn)三導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算考點(diǎn)四導(dǎo)數(shù)的幾何意義及應(yīng)用（一）切線的斜率與傾斜角（1）求切線的斜率（2）求切線的傾斜角（二）求切線方程（1）曲線在某點(diǎn)處的切線問(wèn)題（2）過(guò)某點(diǎn)的曲線的切線問(wèn)題（三）由曲線的切線（斜率）求參數(shù)（四）由曲線的切線條數(shù)求參數(shù)（五）兩條切線平行、垂直問(wèn)題（六）兩曲線的公切線問(wèn)題（七）距離最值問(wèn)題考點(diǎn)五導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的綜合考點(diǎn)六導(dǎo)數(shù)幾何意義的綜合應(yīng)用1.導(dǎo)數(shù)的概念及其意義(1)函數(shù)的平均變化率：對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，設(shè)自變量x從x0變化到x0＋Δx，相應(yīng)地，函數(shù)值y就從f(x0)變化到f(x0＋Δx).這時(shí)，x的變化量為Δx，y的變化量為Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0).我們把比值eq\f(Δy,Δx)，即eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)叫做函數(shù)y＝f(x)從x0到x0＋Δx的平均變化率.注：①增量可以是正數(shù)，也可以是負(fù)，但是不可以等于0．的意義：與0之間距離要多近有多近，即可以小于給定的任意小的正數(shù)；②當(dāng)時(shí)，在變化中都趨于0，但它們的比值卻趨于一個(gè)確定的常數(shù)，即存在一個(gè)常數(shù)與無(wú)限接近；(2)導(dǎo)數(shù)的概念：如果當(dāng)Δx→0時(shí)，平均變化率eq\f(Δy,Δx)無(wú)限趨近于一個(gè)確定的值，即eq\f(Δy,Δx)有極限，則稱y＝f(x)在x＝x0處可導(dǎo)，并把這個(gè)確定的值叫做y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)(也稱為瞬時(shí)變化率)，記作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝.①導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處的切線的斜率.也就是說(shuō)，曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處的切線的斜率是f′(x0).相應(yīng)的切線方程為y－y0＝f′(x0)(x－x0).②導(dǎo)數(shù)物理意義：函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是物體在時(shí)刻的瞬時(shí)速度，即；在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是物體在時(shí)刻的瞬時(shí)加速度，即．(4)導(dǎo)函數(shù)的概念：當(dāng)x＝x0時(shí)，f′(x0)是一個(gè)唯一確定的數(shù)，這樣，當(dāng)x變化時(shí)，y＝f′(x)就是x的函數(shù)，我們稱它為y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)(簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)).y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)有時(shí)也記作y′，即f′(x)＝y(tǒng)′=2.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算(1)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)＝c(c為常數(shù))f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝ax(a>0，且a≠1)f′(x)＝axlnaf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(a>0，且a≠1)f′(x)＝eq\f(1,xlna)f(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)(2)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則①函數(shù)和差求導(dǎo)法則：；②函數(shù)積的求導(dǎo)法則：；③函數(shù)商的求導(dǎo)法則：，則．(3)簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一般地，對(duì)于兩個(gè)函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)，如果通過(guò)中間變量u，y可以表示成x的函數(shù)，那么稱這個(gè)函數(shù)為函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)的復(fù)合函數(shù)，記作y＝f(g(x)).它的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為y′x＝y(tǒng)′u·u′x.即y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于y對(duì)u的導(dǎo)數(shù)與u對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積.3.導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的原則和方法（1）導(dǎo)數(shù)計(jì)算的原則：先化簡(jiǎn)解析式，再求導(dǎo)．（2）導(dǎo)數(shù)計(jì)算的方法：①連乘積形式：多項(xiàng)式的積的導(dǎo)數(shù)，通常先展開(kāi)再求導(dǎo)更簡(jiǎn)便．②分式形式：觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，先化為整式函數(shù)或較為簡(jiǎn)單的分式函數(shù)，再求導(dǎo)；③對(duì)數(shù)形式：先化為和、差的形式，再求導(dǎo)；④根式形式：先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，再求導(dǎo)；⑤三角形式：先利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為和或差的形式，再求導(dǎo).⑥絕對(duì)值形式：先化為分段函數(shù)，再求導(dǎo)⑦復(fù)合函數(shù)求導(dǎo):先確定復(fù)合關(guān)系，由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時(shí)可換元．4.曲線切線方程的求法：①以曲線上的點(diǎn)(x0，f(x0))為切點(diǎn)的切線方程的求解步驟：求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)；求切線的斜率f′(x0)；寫出切線方程y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)，并化簡(jiǎn)；②如果已知點(diǎn)(x1，y1)不在曲線上，則設(shè)出切點(diǎn)(x0，y0)，解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y0＝f（x0），,\f(y1－y0,x1－x0)＝f′（x0），))得切點(diǎn)(x0，y0)，進(jìn)而確定切線方程.求切線方程時(shí)，要注意判斷已知點(diǎn)是否滿足曲線方程，即是否在曲線上；與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線不一定是曲線的切線，曲線的切線與曲線的公共點(diǎn)不一定只有一個(gè).5.已知斜率求切點(diǎn)：已知斜率k，求切點(diǎn)(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.6.利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求參數(shù)的基本方法利用切點(diǎn)的坐標(biāo)、切線的斜率、切線的方程等得到關(guān)于參數(shù)的方程(組)或者參數(shù)滿足的不等式(組)，進(jìn)而求出參數(shù)的值或取值范圍．7.求解與導(dǎo)數(shù)的幾何意義有關(guān)問(wèn)題的注意點(diǎn)(1)注意曲線上橫坐標(biāo)的取值范圍；(2)謹(jǐn)記切點(diǎn)既在切線上又在曲線上．8.解決兩曲線的公切線問(wèn)題的兩種方法(1)利用其中一曲線在某點(diǎn)處的切線與另一曲線相切，列出關(guān)系式求解；(2)設(shè)公切線l在y＝f(x)上的切點(diǎn)P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切點(diǎn)P2(x2，g(x2))，則f′(x1)＝g′(x2)＝eq\f(fx1－gx2,x1－x2)．注：處理與公切線有關(guān)的參數(shù)問(wèn)題，通常根據(jù)曲線、切線、切點(diǎn)的三個(gè)關(guān)系列出參數(shù)的方程(組)并解出參數(shù)，建立方程(組)的依據(jù)主要是：①切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是切線的斜率；②切點(diǎn)在切線上；③切點(diǎn)在曲線上.9.導(dǎo)數(shù)的兩條性質(zhì)(1)奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù).(2)可導(dǎo)函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)數(shù)為f′(x)，若f′(x)為增函數(shù)，則f(x)的圖象是下凹的；反之，若f′(x)為減函數(shù)，則f(x)的圖象是上凸的.10.幾類重要切線方程(1)y＝x－1是曲線y＝lnx的切線，y＝x是曲線y＝ln(x＋1)的切線，…，y＝x＋n是曲線y＝ln(x＋n＋1)的切線，如圖1.圖1圖2(2)y＝x＋1與y＝ex是曲線y＝ex的切線，如圖2.(3)y＝x是曲線y＝sinx與y＝tanx的切線，如圖3.圖3圖4(4)y＝x－1是曲線y＝x2－x，y＝xlnx及y＝1－eq\f(1,x)的切線，如圖4.由以上切線方程又可得重要不等式，如lnx≤x－1，x＋1≤ex等.考點(diǎn)一平均變化率和瞬時(shí)變化率1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為5，則______．【答案】3【分析】利用函數(shù)平均變化率的計(jì)算公式計(jì)算.【詳解】解：函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為，解得.故答案為：3.2．（2023春·江西贛州·高三統(tǒng)考期中）向一容器中勻速注水，容器中水面高度h（單位：cm）與注水時(shí)間t（單位：min）的函數(shù)關(guān)系為.記時(shí)水面上升的瞬時(shí)速度為時(shí)水面上升的瞬時(shí)速度為，從到t=4min水面上升的平均速度為V，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)瞬時(shí)速度與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系結(jié)合導(dǎo)數(shù)運(yùn)算公式求，，根據(jù)平均速度的定義求，再比較它們的大小即可.【詳解】由得，因?yàn)?，，所以，，又，所以，，C正確.故選：C.3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的圖象如圖所示，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】結(jié)合圖象以及導(dǎo)數(shù)的知識(shí)求得正確答案.【詳解】由圖象可知，即.故選：D4．【多選】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）為滿足人們對(duì)美好生活的向往，環(huán)保部門要求相關(guān)企業(yè)加強(qiáng)污水治理，排放未達(dá)標(biāo)的企業(yè)要限期整改．設(shè)企業(yè)的污水排放量與時(shí)間的關(guān)系為，用的大小評(píng)價(jià)在這段時(shí)間內(nèi)企業(yè)污水治理能力的強(qiáng)弱．已知整改期內(nèi)，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時(shí)間的關(guān)系如圖所示，則下列結(jié)論中正確的有（

）A．在這段時(shí)間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)B．在時(shí)刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)C．在時(shí)刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放都已達(dá)標(biāo)D．甲企業(yè)在，，這三段時(shí)間中，在的污水治理能力最強(qiáng)【答案】ABC【分析】結(jié)合甲乙企業(yè)污水排放量與時(shí)間關(guān)系圖象，利用曲線在區(qū)間的變化率判斷企業(yè)的治污能力，進(jìn)而判斷各選項(xiàng)的正誤即可．【詳解】由題圖可知甲企業(yè)的污水排放量在時(shí)刻高于乙企業(yè)，而在時(shí)刻甲、乙兩企業(yè)的污水排放量相同，故在這段時(shí)間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)，故A正確；由題圖知在時(shí)刻，甲企業(yè)在該點(diǎn)的切線斜率的絕對(duì)值大于乙企業(yè)的，故B正確；在時(shí)刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量都低于污水達(dá)標(biāo)排放量，故都已達(dá)標(biāo)，故C正確；由題意可知，甲企業(yè)在，，這三段時(shí)間中，在時(shí)的污水治理能力明顯低于時(shí)的，故D錯(cuò)誤．故選：ABC．5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）為了評(píng)估某種治療肺炎藥物的療效，有關(guān)部門對(duì)該藥物在人體血管中的藥物濃度進(jìn)行測(cè)量．設(shè)該藥物在人體血管中藥物濃度c與時(shí)間t的關(guān)系為，甲、乙兩人服用該藥物后，血管中藥物濃度隨時(shí)間t變化的關(guān)系如下圖所示．給出下列四個(gè)結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．在時(shí)刻，甲、乙兩人血管中的藥物濃度相同；B．在時(shí)刻，甲、乙兩人血管中藥物濃度的瞬時(shí)變化率不同；C．在這個(gè)時(shí)間段內(nèi)，甲、乙兩人血管中藥物濃度的平均變化率相同；D．在，兩個(gè)時(shí)間段內(nèi)，甲血管中藥物濃度的平均變化率相同．【答案】D【分析】根據(jù)圖象以及導(dǎo)數(shù)的知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確選項(xiàng).【詳解】A選項(xiàng)，根據(jù)圖象可知，在時(shí)刻，甲、乙兩人血管中的藥物濃度相同，A選項(xiàng)結(jié)論正確.B選項(xiàng)，根據(jù)圖象以及導(dǎo)數(shù)的知識(shí)可知，在時(shí)刻，甲、乙兩人血管中藥物濃度的瞬時(shí)變化率不同，B選項(xiàng)結(jié)論正確.C選項(xiàng)，根據(jù)圖象可知，在這個(gè)時(shí)間段內(nèi)，甲、乙兩人血管中藥物濃度的平均變化率相同，C選項(xiàng)結(jié)論正確.D選項(xiàng)，根據(jù)圖象可知，在這個(gè)時(shí)間段內(nèi)，甲血管中藥物濃度的平均變化率為大于在這個(gè)時(shí)間段內(nèi)，甲血管中藥物濃度的平均變化率D選項(xiàng)結(jié)論錯(cuò)誤.故選：D6．（2023秋·云南楚雄·高三統(tǒng)考期末）已知某容器的高度為20cm，現(xiàn)在向容器內(nèi)注入液體，且容器內(nèi)液體的高度h（單位：cm）與時(shí)間t（單位：s）的函數(shù)關(guān)系式為，當(dāng)時(shí)，液體上升高度的瞬時(shí)變化率為3cm/s，則當(dāng)時(shí)，液體上升高度的瞬時(shí)變化率為（

）A．5cm/s B．6cm/s C．8cm/s D．10cm/s【答案】C【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義直接求得.【詳解】由，求導(dǎo)得：.當(dāng)時(shí)，，解得（舍去）.故當(dāng)時(shí)，液體上升高度的瞬時(shí)變化率為.故選：C7．（2023·海南省直轄縣級(jí)單位·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）寧啟鐵路線新開(kāi)行“綠巨人”動(dòng)力集中復(fù)興號(hào)動(dòng)車組，最高時(shí)速為．假設(shè)“綠巨人”開(kāi)出站一段時(shí)間內(nèi)，速度與行駛時(shí)間的關(guān)系為，則出站后“綠巨人”速度首次達(dá)到時(shí)加速度為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、瞬時(shí)變化率進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)?，所以；令，得，解得或（舍?；則當(dāng)時(shí)，，即速度首次達(dá)到時(shí)加速度為．故選：B.8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某地在20年間經(jīng)濟(jì)高質(zhì)量增長(zhǎng)，GDP的值（單位，億元）與時(shí)間（單位：年）之間的關(guān)系為，其中為時(shí)的值.假定，那么在時(shí)，GDP增長(zhǎng)的速度大約是___________.（單位：億元/年，精確到0.01億元/年）注：，當(dāng)取很小的正數(shù)時(shí)，【答案】0.52【分析】由題可得GDP增長(zhǎng)的速度為，進(jìn)而即得.【詳解】由題可知，所以，所以,即GDP增長(zhǎng)的速度大約是.故答案為：.考點(diǎn)二導(dǎo)數(shù)定義的應(yīng)用9．（2023·上海閔行·統(tǒng)考二模）_____________．【答案】/【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義及求導(dǎo)公式可得答案.【詳解】設(shè)函數(shù)，則；.故答案為：.10．（2023春·江西·高三校聯(lián)考期中）已知，則（

）A．1 B．3 C．6 D．9【答案】D【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義式以及極限的性質(zhì)可求答案.【詳解】.故選：D.11．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則的值為（

）A． B． C．10 D．20【答案】D【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可得，再用求導(dǎo)公式可得，代入即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，所?故選：D12．（2023春·吉林長(zhǎng)春·高三長(zhǎng)春十一高?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，則__________.【答案】/【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的定義求解作答.【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得：，所以.故答案為：13．（2023春·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)是可導(dǎo)函數(shù)，且，則__________.【答案】/【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是可導(dǎo)函數(shù)，且，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，有.故答案為：.14．（2023春·遼寧阜新·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，則______．【答案】【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，建立與的方程，求出，利用極限的運(yùn)算及導(dǎo)數(shù)的定義求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，又，則，解得，由定義可知，.故答案為：15．（2023春·山東濟(jì)南·高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù)，若，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則和定義求解即可．【詳解】，，，，，故選：D．考點(diǎn)三導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算16．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．(1)；(2)；(3)(4)；【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】利用基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和求導(dǎo)法則，逐一對(duì)各個(gè)求導(dǎo)即可求出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)?，所?（2）因?yàn)椋?（3）因?yàn)?，所以?）因?yàn)?，所?7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】在等式求導(dǎo)，再令，可得出關(guān)于的等式，解之即可.【詳解】在等式兩邊求導(dǎo)得，所以，，解得.故選：C.18．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）將函數(shù)的圖象上的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到點(diǎn)，且點(diǎn)恰好在的導(dǎo)函數(shù)的圖象上，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再由求解.【詳解】解：因?yàn)?，所以，由題意得，即，得，即，所以．故選：B．考點(diǎn)四導(dǎo)數(shù)的幾何意義及應(yīng)用（一）切線的斜率與傾斜角（1）求切線的斜率19．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)在處的切線的斜率為（

）A．0 B．1 C．2 D．e【答案】A【分析】將函數(shù)求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得到結(jié)果.【詳解】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可知:在處的切線的斜率為.故選:A.20．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)在處的切線的斜率為（

）A．2 B．-2 C．0 D．1【答案】A【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)后可得切線的斜率.【詳解】，故，故曲線在處的切線的斜率為2，故選：A.21．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）曲線在點(diǎn)處的切線斜率為_(kāi)_____.【答案】0【分析】求出點(diǎn)的導(dǎo)數(shù),即該點(diǎn)處切線斜率.【詳解】解:由題知,所以,所以,故在點(diǎn)處的切線斜率為0.故答案為:0（2）求切線的傾斜角22．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線的傾斜角為，則______．【答案】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，從而可得的值.【詳解】由，得則，解得．故答案為：.23．（2023春·陜西寶雞·高三寶雞中學(xué)?？茧A段練習(xí)）曲線在處切線的傾斜角為，則（

）A．2 B． C．1 D．【答案】C【分析】根據(jù)給定函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出，再利用齊次式法計(jì)算作答.【詳解】因?yàn)?，則，因此，所以.故選：C24．（2023·福建福州·福州三中?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，且其圖象在點(diǎn)處的切線的傾斜角為，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，結(jié)合三角函數(shù)的齊次式的解決方法及同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以所以，解得，所以由題意可知，，所以.故選：B.25．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)點(diǎn)P是函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)P處切線的傾斜角為，則角的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出，令后可求，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的取值范圍可得的范圍，從而可得的取值范圍.【詳解】∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴或.故選：B.26．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考一模）已知曲線：在處的切線為，曲線：在處的切線為，若存在實(shí)數(shù)t使得與的傾斜角互補(bǔ)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_____．【答案】【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合題意可得，即存在正根，由二次函數(shù)根的分布問(wèn)題求解即可.【詳解】由曲線可得，由曲線可得，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得：直線的斜率為，直線的斜率為，若存在實(shí)數(shù)t使得與的傾斜角互補(bǔ)，則方程，即存在正根，所以解得．故答案為：.27．（2023春·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，過(guò)點(diǎn)作曲線的兩條切線，，若的傾斜角互補(bǔ)，則___________.【答案】/【分析】設(shè)分別與函數(shù)相切于兩點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，解方程即可得的值.【詳解】對(duì)于函數(shù)，則，則可設(shè)分別與函數(shù)相切于兩點(diǎn)，所以，即，解得.故答案為：.28．（2023春·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)的圖象在原點(diǎn)處的切線與在點(diǎn)處的切線的交點(diǎn)為P，則（

）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】先由函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)求得函數(shù)原點(diǎn)處的切線與在點(diǎn)處的切線的傾斜角的正切值，再由與兩傾斜角的關(guān)系結(jié)合兩角差的正切公式可得.【詳解】由，可得，，則曲線在點(diǎn)O處的切線的傾斜角為，設(shè)曲線在點(diǎn)A處的切線的傾斜角為，則．由圖可知，．故選：A（二）求切線方程（1）曲線在某點(diǎn)處的切線問(wèn)題29．（2023春·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）牛頓最早研究過(guò)函數(shù)的圖像與性質(zhì)，其圖像類似于三叉戟，因此這類曲線被稱為牛頓三叉戟曲線.牛頓三叉戟曲線在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可.【詳解】由題意可得：.所以在處的切線方程為：，即.故選：A30．（2023·江蘇常州·?？级＃┮阎瘮?shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，且時(shí)，，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)__________.【答案】【分析】先求出當(dāng)時(shí)，，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率，寫出切線方程.【詳解】設(shè)分別為函數(shù)的圖像上關(guān)于直線對(duì)稱的兩點(diǎn)，不妨設(shè)，則.所以，所以所以.所以當(dāng)時(shí)，.所以.而，所以.所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.故答案為：.31．（2023·青海西寧·統(tǒng)考一模）若是偶函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)偶函數(shù)定義可求得，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義可求得切線斜率，結(jié)合可得切線方程.【詳解】為偶函數(shù)，，即，，解得：，，則，，，在點(diǎn)處的切線方程為，即.故選：A.32．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）曲線在處的切線與坐標(biāo)軸圍成的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義可求得切線方程，由此確定與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得到圍成的三角形面積.【詳解】記，則，，又，曲線在處的切線方程為：，即，令，解得：；令，解得：；該切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為.故選：A.33．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知是曲線在處的切線，若點(diǎn)到的距離為1，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出直線的斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式寫出直線的方程，最后由點(diǎn)到直線的距離公式即可求出.【詳解】由題知，所以，因?yàn)槭乔€在處的切線，所以當(dāng)時(shí)，，且，所以，因?yàn)辄c(diǎn)到的距離為1，所以，解得：.故選：A34．（2023春·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)為奇函數(shù)，則在處的切線方程為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性確定的解析式，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程.【詳解】函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以，，即，則，，，所以切線斜率，切線方程為，即，故選：C.（2）過(guò)某點(diǎn)的曲線的切線問(wèn)題35．（2023春·上海浦東新·高三上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考開(kāi)學(xué)考試）已知曲線，過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，則切線的方程為_(kāi)___________.【答案】【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)切線所過(guò)的點(diǎn)得到的方程，解出后可得所求的切線方程.【詳解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，,則切線的斜率，故切線方程為，又因?yàn)辄c(diǎn)在切線上，所以，整理得到，解得，所以切線方程為．故答案為:.36．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若曲線在點(diǎn)處的切線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】設(shè)出切點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及切線過(guò)原點(diǎn)先寫出切線方程，由切線過(guò)切點(diǎn)可列方程計(jì)算.【詳解】由題意，，設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為，故切線的斜率.由于切線過(guò)原點(diǎn)，故切線方程為.又切線經(jīng)過(guò)切點(diǎn)，即.整理可得：，即.即，故或.故選：C37．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線的切線，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為_(kāi)__________.【答案】或【分析】設(shè)切點(diǎn)為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示出切線方程，將代入，即可求得本題答案.【詳解】由可得，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，所以切線斜率，又因?yàn)椋瑒t切線方程為，把代入并整理可得，解得或.故答案為：或38．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線過(guò)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_________.【答案】12【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程，可推出，將化為，結(jié)合基本不等式即可求得答案.【詳解】由函數(shù)可得，則，故函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，即，則由題意可得，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號(hào)，即的最小值為12，故答案為：1239．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線的切線，則切線有（

）條A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)切點(diǎn)為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示出切線方程，將代入方程，即可求得答案.【詳解】由可得，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線的切線，設(shè)切點(diǎn)為，則切線斜率為，切線方程為，又，所以，即，所以，即切線有1條.故選：B.40．（2023春·山東濱州·高三校考階段練習(xí)）過(guò)點(diǎn)作曲線的兩條切線，則這兩條切線的斜率之和為_(kāi)_____.【答案】【分析】考慮與時(shí)，設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，求出相應(yīng)的切線方程，將代入，得到相應(yīng)的斜率，相加得到答案.【詳解】時(shí)，，設(shè)切點(diǎn)，則，切線過(guò)，，，時(shí)，，切點(diǎn)，，切線過(guò)，，，故.故答案為：.41．（2023·陜西西安·西安一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知曲線在處的切線為m，則過(guò)點(diǎn)且與切線m垂直的直線方程為_(kāi)_________．【答案】．【分析】求得，得到切線的斜率，進(jìn)而求得所求直線的斜率，結(jié)合點(diǎn)斜式方程，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得，則，即切線m的斜率為，所以所求直線的斜率為1，其方程為，即．故答案為：.（三）由曲線的切線（斜率）求參數(shù)42．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知曲線在處的切線的斜率為，則______.【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解.【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，因?yàn)榍€在點(diǎn)處的切線的斜率為，所以，解得，故答案為：43．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的圖象的一條切線為，則a＝______【答案】1【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，由題目中的切線方程，設(shè)出切點(diǎn)，求導(dǎo)，建立方程，可得答案.【詳解】求導(dǎo)函數(shù)得，設(shè)直線與曲線切于點(diǎn)，則，，解得.故答案為：.44．（2023·寧夏吳忠·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知直線與曲線相切，則k=___________.【答案】1【分析】設(shè)切點(diǎn)為，，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義推得.由可推得.構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)可推得有唯一解，求出，即可得出答案.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，，則.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可知.又，即.令，則，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，在處取得極小值，也是最小值.又，所以有唯一解，所以，即切點(diǎn)為，所以.故答案為：1.45．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則的值為（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】依據(jù)題意列出關(guān)于的方程組，即可求得的值【詳解】由切點(diǎn)在曲線上，得①；由切點(diǎn)在切線上，得②；對(duì)曲線求導(dǎo)得，∴，即③，聯(lián)立①②③，解之得故選：A.46．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知直線與曲線相切，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)切點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得表示出切線的斜率，進(jìn)而求出，即可求解.【詳解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)椋?，所以切線的斜率，解得，又，即，所以.故選：A.47．（2023·陜西·統(tǒng)考二模）已知曲線在處的切線方程為，則_________，_________．【答案】【分析】直接利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程待定系數(shù)即可.【詳解】易知由題意可得當(dāng)時(shí)，，所以.故答案為：1；48．（2023春·上海楊浦·高三復(fù)旦附中?？茧A段練習(xí)）已知為實(shí)數(shù)，函數(shù)在處的切線方程為，則的值為_(kāi)__________．【答案】/【分析】求解導(dǎo)函數(shù)，計(jì)算處的導(dǎo)數(shù)值，再由切線方程得切線的斜率，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義列式求解出的值，再根據(jù)函數(shù)解析式求解切點(diǎn)坐標(biāo)并代入切線方程即可求解出的值，從而計(jì)算出的值.【詳解】因?yàn)?，所以，則，由處的切線方程為，得切線的斜率為，所以，得，所以，當(dāng)時(shí)，，所以切點(diǎn)為，將代入切線方程得：，解得，所以.故答案為：（四）由曲線的切線條數(shù)求參數(shù)49．（2023·河南開(kāi)封·開(kāi)封高中?？家荒＃┮阎瘮?shù)，無(wú)論a取何值，曲線均存在一條固定的切線，則該切線方程為_(kāi)_______．【答案】【分析】由題意得，，，此時(shí)這兩個(gè)值均與無(wú)關(guān)，可得切點(diǎn)為即可得出答案．【詳解】，則，，，此時(shí)這兩個(gè)值均與無(wú)關(guān)，∴無(wú)論取何值，曲線均存在一條固定的切線，此時(shí)切點(diǎn)為，切線斜率為1，故切線方程為，即.故答案為∶50．（2023·海南?？凇ばＢ?lián)考模擬預(yù)測(cè)）過(guò)軸上一點(diǎn)作曲線的切線，若這樣的切線不存在，則整數(shù)的一個(gè)可能值為_(kāi)________．【答案】，，，只需寫出一個(gè)答案即可【分析】設(shè)切點(diǎn)為，利用導(dǎo)數(shù)求切線方程，代入一點(diǎn)，關(guān)于的方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解，由判別式解不等式求整數(shù)的值.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，因?yàn)?，所以切線方程為．因?yàn)榍芯€經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，由題意關(guān)于的方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解，則，解得．因?yàn)闉檎麛?shù)，所以的取值可能是，，.故答案為：，，，只需寫出一個(gè)答案即可51．（2023春·湖北·高三安陸第一高中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，若曲線過(guò)點(diǎn)的切線有兩條，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____.【答案】【分析】設(shè)切點(diǎn)為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，再根據(jù)切線過(guò)點(diǎn)的切線有兩條，從而可得關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的根，由此即可得解.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，直線的斜率為，又，則，所以切線方程為，將代入化簡(jiǎn)得，所以方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，所以，且，所以或，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.52．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若過(guò)點(diǎn)可作曲線的兩條切線，則點(diǎn)可以是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，利用導(dǎo)數(shù)寫出切線方程，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入切線方程，可得出關(guān)于的二次方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，可得出，可得出，然后逐項(xiàng)檢驗(yàn)可得出合適的選項(xiàng).【詳解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得，所以，切線斜率為，所以，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入切線方程可得，即，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)可作曲線的兩條切線，則關(guān)于的方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解，所以，，即，即，對(duì)于點(diǎn)，，A不滿足；對(duì)于點(diǎn)，，B不滿足；對(duì)于點(diǎn)，，C滿足；對(duì)于點(diǎn)，，D不滿足.故選：C.53．（2023·廣東·統(tǒng)考二模）已知，若過(guò)點(diǎn)恰能作兩條直線與曲線相切，且這兩條切線關(guān)于直線對(duì)稱，則的一個(gè)可能值為_(kāi)_____．【答案】（或或或）【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，利用導(dǎo)數(shù)求出切線方程，將點(diǎn)的方程代入切線方程，可得出，設(shè)過(guò)點(diǎn)且與曲線相切的切線的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為、，易知、關(guān)于的方程的兩個(gè)根，且，利用三次方程根與系數(shù)的關(guān)系可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)?，則，切線斜率為，所以，曲線在處的切線方程為將點(diǎn)的坐標(biāo)代入切線方程可得，設(shè)過(guò)點(diǎn)且與曲線相切的切線的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為、，且，因?yàn)檫@兩條切線關(guān)于直線對(duì)稱，則，所以，，易知、關(guān)于的方程的兩個(gè)根，設(shè)該方程的第三個(gè)根為，則，則，所以，，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)恰能作兩條直線與曲線相切，則關(guān)于的方程只有兩個(gè)不等的實(shí)根，不妨設(shè)，則，若，則，可得，解得；若，則，所以，，可得，，所以，，解得.綜上所述，或.故答案為：（或或或）.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用過(guò)曲線外一點(diǎn)作曲線的切線求參數(shù)的值，解題的關(guān)鍵在于寫出切線方程后，將切點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為三次方程的根，結(jié)合三次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解.54．（2023春·江西宜春·高三江西省豐城中學(xué)校考階段練習(xí)）若過(guò)點(diǎn)有3條直線與函數(shù)的圖象相切，則的取值范圍是__________.【答案】【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程，進(jìn)而將有3條切線轉(zhuǎn)化為方程有三個(gè)不等實(shí)數(shù)根，再轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖像有三個(gè)交點(diǎn)問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)作出的圖象，數(shù)形結(jié)合，即可求得答案.【詳解】由題意可得，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線斜率，所以切線方程為，將代入得.因?yàn)榇嬖谌龡l切線，即方程有三個(gè)不等實(shí)數(shù)根，則方程有三個(gè)不等實(shí)數(shù)根等價(jià)于函數(shù)的圖像有三個(gè)交點(diǎn)，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；在和上，單調(diào)遞減，，當(dāng)或時(shí)，，畫出的圖象如圖，要使函數(shù)的圖像有三個(gè)交點(diǎn)，需，即，即的取值范圍是，故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示出切線方程，根據(jù)切線條數(shù)可得有三個(gè)不等實(shí)數(shù)根，解答此類問(wèn)題常用方法是轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性或求得極值，進(jìn)而作出圖像，數(shù)形結(jié)合，解決問(wèn)題.55．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若曲線有三條過(guò)點(diǎn)的切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出過(guò)點(diǎn)的切線方程為，利用方程的解個(gè)數(shù)與函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)的關(guān)系將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖象與直線在R上有3個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值，根據(jù)數(shù)形結(jié)合的思想即可求解.【詳解】設(shè)該切線的切點(diǎn)為，則切線的斜率為，所以切線方程為，又切線過(guò)點(diǎn)，則，整理得.要使過(guò)點(diǎn)的切線有3條，需方程有3個(gè)不同的解，即函數(shù)圖象與直線在R上有3個(gè)交點(diǎn)，設(shè)，則，令，令或，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減，且極小值、極大值分別為，如圖，由圖可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象與直線在R上有3個(gè)交點(diǎn)，即過(guò)點(diǎn)的切線有3條.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故選：B.（五）兩條切線平行、垂直問(wèn)題56．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）曲線在處的切線平行于直線，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A．(1,0) B．(2,8)C．(1,0)和(-1,-4) D．(2,8)和(-1,-4)【答案】C【分析】求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)等于4解方程，求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而求得點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】依題意,令，解得故點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,0)和(-1,-4)，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，直線斜率與平行的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題57．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，則實(shí)數(shù)（

）A． B．1 C． D．2【答案】D【分析】求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，可得函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)值，再由兩條直線平行與斜率的關(guān)系列式求解.【詳解】由，得，，曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，，即.故選：D.58．（2023春·陜西榆林·高三綏德中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)（且），曲線在處的切線與直線垂直，則___．【答案】【分析】求出，分析可得，即可求得的值.【詳解】因?yàn)椋ㄇ遥?，則，因?yàn)橹本€的斜率為，又因?yàn)榍€在處的切線與直線垂直，所以，，解得.故答案為：.59．（2023春·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則實(shí)數(shù)等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.【詳解】∵，∴，∴曲線在點(diǎn)處的切線的斜率，∵切線與直線垂直，∴直線的斜率為，∴.故選：C.60．（2023秋·山東日照·高三校聯(lián)考期末）若曲線在點(diǎn)處的切線與曲線在點(diǎn)處的切線垂直，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，利用斜率成積等于-1，求出曲線y=lnx在點(diǎn)P處的切線的斜率，利用導(dǎo)數(shù)即可求出切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入可解.【詳解】的導(dǎo)數(shù)為，所以曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為.因?yàn)榍€在點(diǎn)處的切線與曲線y=lnx在點(diǎn)P處的切線垂直，所以曲線y=lnx在點(diǎn)P處的切線的斜率.而y=lnx的導(dǎo)數(shù)，所以切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以切點(diǎn).故選：D61．（2023·浙江·統(tǒng)考一模）若曲線存在兩條互相垂直的切線，則a的取值范圍是________．【答案】【分析】先求導(dǎo)函數(shù)，由題可得，分類討論和時(shí)，是否存在符合的值即可判斷.【詳解】由題知，令，則．若函數(shù)曲線存在兩條互相垂直的切線則可得，，．當(dāng)時(shí)，，，與題目矛盾；當(dāng)時(shí)，由，可得的值域是故，使得，，．故答案為：．（六）兩曲線的公切線問(wèn)題62．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若直線與曲線和都相切，則的斜率為_(kāi)_____．【答案】【分析】設(shè)出的切點(diǎn)坐標(biāo)，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義表達(dá)出切線斜率，寫出切線方程，根據(jù)圓心到半徑距離為半徑列出方程，求出，從而求出斜率.【詳解】設(shè)的切點(diǎn)為，，故，則切線方程為：，即圓心到圓的距離為，即，解得：或（舍去）所以，則的斜率為故答案為：63．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知的圖象在處的切線與與函數(shù)的圖象也相切，則該切線的斜率__________.【答案】【分析】分別求兩條曲線的切線方程，比較系數(shù)得a的值.【詳解】函數(shù)的圖象在處的切線的切點(diǎn)為，因?yàn)椋郧芯€斜率為，切線方程為，即，設(shè)的圖象的切線的切點(diǎn)為，因?yàn)?，所以切線斜率為，切線方程為，即，由題，解得，，斜率為.故答案為：.64．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知曲線與曲線有相同的切線，則這條切線的斜率為_(kāi)__________.【答案】/0.5【分析】由題可設(shè)兩曲線的切點(diǎn)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線方程，進(jìn)而即得.【詳解】設(shè)曲線與曲線的切點(diǎn)分別為，，又，，所以，，所以切線為，即，，即，所以，所以，，即這條切線的斜率為.故答案為：.65．（2023·山西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，，若存在直線，使是曲線的切線，也是曲線的切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】分別設(shè)出直線與兩曲線的切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，根據(jù)題意得到，記且，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】設(shè)直線為曲線在點(diǎn)處的切線，，所以，即；設(shè)直線為曲線在點(diǎn)處的切線，，所以，即，由題意知，因?yàn)?，由可得，將其代入可得：，顯然，整理得.記且，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，則，即，化簡(jiǎn)得，解得，故選：.【點(diǎn)睛】求曲線的切線問(wèn)題主要分兩大類：一類是切點(diǎn)已知，那么只需將切點(diǎn)橫坐標(biāo)代入到原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)中求出切點(diǎn)和斜率即可；另一類是切點(diǎn)未知，那么先要設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，再考慮利用條件解出核心要素，進(jìn)而轉(zhuǎn)化成第一類問(wèn)題.66．（2023·江西上饒·統(tǒng)考二模）若曲線與曲線有公切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】分別求出兩曲線的切線方程，則兩切線方程相同，據(jù)此求出a關(guān)于切點(diǎn)x的解析式，根據(jù)解析式的值域確定a的范圍.【詳解】設(shè)是曲線的切點(diǎn)，設(shè)是曲線的切點(diǎn)，對(duì)于曲線，其導(dǎo)數(shù)為，對(duì)于曲線，其導(dǎo)數(shù)為，所以切線方程分別為：，，兩切線重合，對(duì)照斜率和縱截距可得：，解得（），令（），，得：，當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)，∴且當(dāng)x趨于時(shí)，，趨于；當(dāng)趨于時(shí)，趨于；∴，∴；故選：D．67．（2023·湖南長(zhǎng)沙·湖南師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）若曲線和曲線恰好存在兩條公切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_________．【答案】【分析】設(shè)與曲線相切的切點(diǎn)為，與曲線相切的切點(diǎn)為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出切線方程，可得到，由此構(gòu)造函數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程有兩解問(wèn)題即可.【詳解】由題意得，設(shè)與曲線相切的切點(diǎn)為，與曲線相切的切點(diǎn)為，則切線方程為，即，，即，由于兩切線為同一直線，所以，得．令，則，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增．即有處取得極小值，也為最小值，且為．又兩曲線恰好存在兩條公切線，即有兩解，結(jié)合當(dāng)時(shí)，趨近于0，趨于負(fù)無(wú)窮小，故趨近于正無(wú)窮大，當(dāng)時(shí)，趨近于正無(wú)窮大，且增加幅度遠(yuǎn)大于的增加幅度，故趨近于正無(wú)窮大，由此結(jié)合圖像可得a的范圍是，故答案為：68．（2023·陜西榆林·?？寄M預(yù)測(cè)）若直線與曲線相切，切點(diǎn)為，與曲線也相切，切點(diǎn)為，則的值為（

）A． B． C．0 D．1【答案】B【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出切線的斜率，得到切線方程，根據(jù)兩切線方程即可得解.【詳解】因?yàn)橹本€與曲線相切，切點(diǎn)為，可知直線的方程為，又直線與曲線也相切，切點(diǎn)為，可知直線的方程為，所以，兩式相除，可得，所以.故選：B（七）距離最值問(wèn)題69．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在曲線上，則的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先判斷出與關(guān)于直線對(duì)稱，然后說(shuō)明與無(wú)交點(diǎn)，再求出曲線上的點(diǎn)到直線的最小距離，則的最小值為，即可得出答案．【詳解】解：與互為反函數(shù)，所以與的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，設(shè)，則，令得，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，所以與無(wú)交點(diǎn)，則與也無(wú)交點(diǎn)，下面求出曲線上的點(diǎn)到直線的最小距離，設(shè)與直線平行且與曲線相切的切點(diǎn)，，，，解得，，得到切點(diǎn)，到直線的距離，的最小值為，故選：D．70．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在曲線上，則最小值為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】考慮到兩曲線關(guān)于直線對(duì)稱，求的最小值可轉(zhuǎn)化為求P到直線的最小距離，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求曲線上斜率為1的切線對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)坐標(biāo)，從而得此距離【詳解】解：與互為反函數(shù)，其圖像關(guān)于直線對(duì)稱先求出曲線上的點(diǎn)到直線的最小距離．設(shè)與直線平行且與曲線相切的切點(diǎn)，．，，解得．．得到切點(diǎn)，點(diǎn)P到直線的距離．最小值為．故選：B．71．（2023·甘肅白銀·甘肅省靖遠(yuǎn)縣第一中學(xué)校聯(lián)考二模）已知函數(shù)，直線，若直線與的圖象交于A點(diǎn)，與直線l交于B點(diǎn)，則A，B之間的最短距離是（

）A． B．4 C． D．8【答案】A【分析】根據(jù)平行切線法，求函數(shù)圖象上的點(diǎn)A到直線l的最短距離，即為A，B之間的最短距離.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，直線，若直線與的圖象交于A點(diǎn)，與直線l交于B點(diǎn)，直線的斜率為1，直線的斜率為，所以兩直線垂直，所以函數(shù)圖象上的點(diǎn)A到直線的最短距離，即為A，B之間的最短距離由題意可得，．令，解得(舍去)．因?yàn)椋↑c(diǎn)A，所以點(diǎn)A到直線的距離，則A，B之間的最短距離是．故選：A.72．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，，，滿足，則的最小值為（

）A． B．8 C．4 D．16【答案】B【分析】利用絕對(duì)值的性質(zhì)及兩點(diǎn)間的距離公式，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義及點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.【詳解】由得，，，即，，的幾何意義為曲線上的點(diǎn)到直線上的點(diǎn)連線的距離的平方，不妨設(shè)曲線，直線，設(shè)與直線平行且與曲線相切的直線方程為，顯然直線與直線的距離的平方即為所求，由，得，設(shè)切點(diǎn)為，，則，解得，直線與直線的距離為，的最小值為8．故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決此題的關(guān)鍵是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求曲線上的點(diǎn)到直線上的點(diǎn)連線的距離的平方，進(jìn)而再轉(zhuǎn)化為求曲線上的點(diǎn)到直線上點(diǎn)的距離的平方，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及點(diǎn)到直線的距離公