廣東省肇慶市2025屆高三數學第三次統(tǒng)一檢測試題文含解析

PAGE19-廣東省肇慶市2025屆高三數學第三次統(tǒng)一檢測試題文（含解析）一、選擇題（共12小題）1.已知集合A＝{x|x﹣1≥0}，B＝{x|x2﹣2x﹣8≤0}，則A∩B＝（）A.[4，+∞） B.[1，4] C.[1，2] D.[﹣2，+∞）【答案】B【解析】【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B.【詳解】∵集合A＝{x|x﹣1≥0}＝{x|x≥1}，B＝{x|x2﹣2x﹣8≤0}＝{x|﹣2≤x≤4}，∴A∩B＝{x|1≤x≤4}＝[1，4].故選：B.【點睛】本題考查交集的求法，考查交集定義等基礎學問，考查運算求解實力，是基礎題.2.復數z的共軛復數滿意，則z＝（）A.2+i B.2﹣i C.l+2i D.1﹣2i【答案】A【解析】【分析】把已知等式變形，再由復數代數形式的乘除運算化簡求得，再由共軛復數的概念得答案.【詳解】由5，得，∴z＝2+i.故選：A.【點睛】本題考查復數代數形式的乘除運算，考查復數的基本概念與復數模的求法，是基礎題.3.在等差數列{an}中，前n項和Sn滿意S8﹣S3＝45，則a6的值是（）A.3 B.5 C.7 D.9【答案】D【解析】【分析】由已知結合等差數列的性質即可求解.【詳解】因為S8﹣S3＝a4+a5+a6+a7+a8＝45，由等差數列的性質可得，5a6＝45，則a6＝9.故選：D.【點睛】本題主要考查了等差數列的性質的簡潔應用，屬于基礎試題.4.在中，，，，則在方向上的投影是（）A.4 B.3 C.-4 D.-3【答案】D【解析】分析：依據平面對量的數量積可得，再結合圖形求出與方向上的投影即可.詳解：如圖所示：，，，又，，在方向上的投影是：，故選D.點睛：本題考查了平面對量的數量積以及投影的應用問題，也考查了數形結合思想的應用問題.5.設，滿意約束條件，則的最大值是()A.0 B.3 C.4 D.5【答案】D【解析】【分析】作出題中不等式組表示的平面區(qū)域，再將目標函數對應的直線進行平移，可得最優(yōu)解，然后求解即可．【詳解】解：作出，滿意約束條件表示的平面區(qū)域得到如圖陰影部分及其內部，其中，1，，為坐標原點設，將直線進行平移，當經過點時，目標函數達到最大值2，．故選：．【點睛】本題考查通過幾何法求目標函數的最大值，著重考查了二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和簡潔的線性規(guī)劃等學問，屬于基礎題．6.命題p：曲線y＝x2的焦點為；命題q：曲線的漸近線方程為y＝±2x；下列為真命題的是（）A.p∧q B.￢p∧q C.p∨（￢q） D.（￢p）∧（￢q）【答案】B【解析】【分析】求出拋物線的焦點坐標，雙曲線的漸近線方程，推斷兩個命題的真假，即可得到選項.【詳解】曲線y＝x2的焦點為（0，），所以P是假命題；是真命題，曲線的漸近線方程為y＝±2x，q是真命題，所以是真命題.故選：B.【點睛】本題考查命題的真假的推斷與應用，拋物線以及雙曲線的簡潔性質的應用，是基本學問的考查.7.某企業(yè)引進現代化管理體制，生產效益明顯提高.2024年全年總收入與2024年全年總收入相比增長了一倍，實現翻番.同時該企業(yè)的各項運營成本也隨著收入的改變發(fā)生了相應改變.下圖給出了該企業(yè)這兩年不同運營成本占全年總收入的比例，下列說法正確的是（）A.該企業(yè)2024年原材料費用是2024年工資金額與研發(fā)費用的和B.該企業(yè)2024年研發(fā)費用是2024年工資金額、原材料費用、其它費用三項的和C.該企業(yè)2024年其它費用是2024年工資金額的D.該企業(yè)2024年設備費用是2024年原材料的費用的兩倍【答案】B【解析】【分析】先對折線圖信息的理解及處理，再結合數據進行簡潔的合情推理逐一檢驗即可得解．【詳解】解：由折線圖可知：不妨設2024年全年的收入為t，則2024年全年的收入為2t.對于選項A，該企業(yè)2024年原材料費用為0.3×2t＝0.6t，2024年工資金額與研發(fā)費用的和為0.2t+0.1t＝0.3t，故A錯誤；對于選項B，該企業(yè)2024年研發(fā)費用為0.25×2t＝0.5t，2024年工資金額、原材料費用、其它費用三項的和為0.2t+0.15t+0.15t＝0.5t，故B正確；對于選項C，該企業(yè)2024年其它費用是0.05×2t＝0.1t，2024年工資金額是0.2t，故C錯誤；對于選項D，該企業(yè)2024年設備費用是0.2×2t＝0.4t，2024年原材料的費用是0.15t，故D錯誤.故選：.【點睛】本題考查了對折線圖信息的理解及進行簡潔的合情推理，屬于基礎題．8.函數（其中為自然對數的底數）的圖象大致為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先依據函數的奇偶性解除A、C,再由時,的趨向性推斷選項即可【詳解】由題,的定義域為,因為,所以是偶函數,圖象關于軸對稱,故解除A、C；又因為,則當時,,,所以,故選：D【點睛】本題考查函數奇偶性的應用,考查函數圖象9.已知的取值如下表：從散點圖可以看出與線性相關，且回來方程為，則A. B. C. D.【答案】B【解析】試題分析：∵點在回來直線上，計算得∴回來方程過點（2，4.5）代入得4.5=0.95×2+a，∴a=2.6；考點：回來方程10.如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某三棱錐的三視圖如圖所示，則該棱錐的外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】三棱錐的外接球即為長方體的外接球，求出長方體的外接球表面積，即可得到本題的答案.【詳解】在長為1，寬為1，高為2的長方體畫出該三棱錐的直觀圖，如圖中三棱錐A-BCD.該三棱錐的外接球即為長方體的外接球，故球的半徑，所以外接球的表面積.故選：B【點睛】本題主要考查由三視圖還原幾何體，以及幾何體外接球的表面積計算，難度適中.11.已知a＝2log32，b＝2﹣1.5，c＝2﹣0.5，則（）A.a＜b＜c B.c＜a＜b C.b＜c＜a D.b＜a＜c【答案】C【解析】【分析】利用指數與對數函數的單調性即可得出.【詳解】，，∴，故選：C.【點睛】本題考查了指數與對數函數的單調性，考查了推理實力與計算實力，屬于基礎題.12.在正三棱錐P﹣ABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，，點E在線段AB上，且AE＝2EB，過點E作該正三棱錐外接球的截面，則所得截面圓面積的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】構造以PA，PB，PC為棱長的正方體PADB﹣CFGH，且該正方體棱長為，以B為原點，BP為x軸，BD為y軸，BH為z軸，建立空間直角坐標系，則該正三棱錐外接球球心為AH中點O，半徑為R，求出EO，當所得截面圓面積取最小值時截面圓的圓心為E，從而當所得截面圓面積取最小值時截面圓的半徑為r，由此能求出所得截面圓面積的最小值.【詳解】∵在正三棱錐P﹣ABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，，∴構造以PA，PB，PC為棱長的正方體PADB﹣CFGH，且該正方體棱長為，以B為原點，BP為x軸，BD為y軸，BH為z軸，建立空間直角坐標系，則該正三棱錐外接球球心為AH中點O，半徑為R，∵點E在線段AB上，且AE＝2EB，∴E（，，0），O（），EO，過點E作該正三棱錐外接球的截面，當所得截面圓面積取最小值時截面圓的圓心為E，∴當所得截面圓面積取最小值時截面圓的半徑為：r，∴過點E作該正三棱錐外接球的截面，則所得截面圓面積的最小值為S＝πr2.故選：A.【點睛】本題考查截面圓面積的最小值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎學問，考查運算求解實力，是中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.《九章算術》中“兩鼠穿墻題”是我國數學的古典名題：“今有垣厚若干尺，兩鼠對穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半．問何日相逢，各穿幾何？題意是：有兩只老鼠從墻的兩邊打洞穿墻，大老鼠第一天進一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也進一尺，以后每天減半”，假如墻厚，__________天后兩只老鼠打穿城墻．【答案】6【解析】大老鼠每天打洞的距離是首項為1，公比為2的等比數列，小老鼠每天打洞的距離是首項為1，公比為的等比數列．所以距離之和所以這兩只老鼠相逢所需天數為6天.14.曲線在點（1，2）處的切線方程為______________．【答案】【解析】設，則，所以，所以曲線在點處的切線方程為，即．點睛:求曲線的切線方程是導數的重要應用之一，用導數求切線方程的關鍵在于求出斜率，其求法為：設是曲線上的一點，則以為切點的切線方程是．若曲線在點處的切線平行于軸（即導數不存在）時，由切線定義知，切線方程為．15.已知α為銳角，，則sinα＝_____.【答案】【解析】【分析】先利用α為銳角，，求得，又sinα，再利用兩角差的正弦公式即可求出結果.【詳解】∵α為銳角，，∴，sinα，故答案為：.【點睛】本題考查的學問點是兩角和與差的正弦公式，誘導公式，難度不大，屬于基礎題.16.已知點是雙曲線左支上一點，是雙曲線的左右焦點，且雙曲線的一條漸近線恰是線段的中垂線，則該雙曲線的離心率是______.【答案】【解析】【分析】依據題意得，通過斜率以及直角三角形關系建立等量關系，結合雙曲線的定義求解離心率.【詳解】由題：雙曲線的一條漸近線恰是線段的中垂線，O是的中點，所以漸近線與平行，所以，，所以，又所以，所以，離心率.故答案為：【點睛】此題考查求雙曲線的離心率，關鍵在于依據題意找出等量關系，結合幾何特征求解.三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知在△ABC中，角A、B、C對應的邊分別為a、b、c，.（1）求A；（2）若b＝4，c＝6，求sinB的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理，三角函數恒等變換的應用，結合范圍0＜A＜π，0＜B＜π即可解得A的值.（2）由余弦定理可得a的值，由正弦定理可求sinB的值.【詳解】（1）由asinB及正弦定理可得，因為A+B+C＝π，所以，又，所以，因為0＜A＜π，0＜B＜π，所以，所以，因此，即.（2）由余弦定理可得，所以，由正弦定理得，得.【點睛】本題主要考查了正弦定理，三角函數恒等變換的應用，余弦定理在解三角形中的應用，考查了計算實力和轉化思想，屬于基礎題.18.某快遞公司為了解本公司快遞業(yè)務狀況，隨機調查了100個營業(yè)網點，得到了這些營業(yè)網點2024年全年快遞單數增長率x的頻數分布表：（1）分別估計該快遞公司快遞單數增長率不低于40%的營業(yè)網點比例和快遞單數負增長的營業(yè)網點比例；（2）求2024年該快遞公司快遞單數增長率的平均數和標準差的估計值（同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值作為代表）.（精確到0.01）參考數據：【答案】（1）快遞單數增長率不低于40%的營業(yè)網點比例為21%；快遞單數負增長的營業(yè)網點比例為2%（2）平均數的估計值為30%，標準差的估計值為17%【解析】【分析】（1）依據頻數分布表得，所調查100個營業(yè)網點中，快遞單數增長率不低于的營業(yè)網點的頻率為0.21，快遞單數負增長的營業(yè)網點的頻率為0.02，由此能求出結果.（2）求出0.0296，S2，由此能求出2024年該快遞公司快遞單數增長率的平均數的估計值和標準差的估計值.【詳解】（1）依據頻數分布表得，所調查100個營業(yè)網點中，快遞單數增長率不低于的營業(yè)網點的頻率為，快遞單數負增長的營業(yè)網點的頻率為，用樣本頻率分布估計總體分布得該快遞公司快遞單數增長率不低于40%的營業(yè)網點比例為21%，快遞單數負增長的營業(yè)網點比例為2%.（2），S2＝（﹣0.10﹣0.3）2（0.10﹣0.3）2（0.30﹣0.3）2（0.50﹣0.3）2（0.70﹣0.3）2，∴，∴2024年該快遞公司快遞單數增長率的平均數的估計值為30%，標準差的估計值為17%.【點睛】本題考查頻率、平均數、標準差的求法，考查頻數分布表的性質等基礎學問，考查數據分析實力、運算求解實力，是基礎題.19.如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側面ABB1A1是邊長為2的菱形，且CA＝CB1.（1）證明：面CBA1⊥面CB1A；（2）若∠BAA1＝60°，A1C＝BC＝BA1，求點C到平面A1BC1的距離.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）設A1B∩AB1＝O，連接CO.證明A1B⊥AB1，CO⊥AB1，得到AB1⊥面CA1B，然后證明面CBA1⊥面CB1A.（2）說明線段CH的長就是點C到平面A1BC1的距離.然后轉化求解即可.【詳解】（1）證明：設A1B∩AB1＝O，連接CO.因為側面ABB1A1是菱形，所以A1B⊥AB1，又因為CA＝CB1，所以CO⊥AB1，又A1B∩CO＝O，所以AB1⊥面CA1B，又AB1?面CAB1，所以面CBA1⊥面CB1A.（2）在菱形ABB1A1中，因∠BAA1＝60°，所以△ABA1是等邊三角形，可得A1B＝2，所以BC＝2＝BB1，所以側面BB1C1C是菱形，故CB1⊥C1B，（*）在等邊三角形CA1B中，A1B⊥CO，又A1B⊥AB1，且CO∩AB1＝O，所以A1B⊥面CAB1，又CB1?面CAB1，所以CB1⊥A1B，結合（*）以及A1B∩C1B＝B得CB1⊥面A1C1B，設CB1∩C1B＝H，則線段CH的長就是點C到平面A1BC1的距離.經計算得，，所以，即點C到平面A1BC1的距離為.【點睛】本題考查直線與平面垂直的推斷定理的應用，空間點線面距離的求法，考查空間想象實力以及計算實力.20.已知點F1為橢圓1（a＞b＞0）的左焦點，在橢圓上，PF1⊥x軸.（1）求橢圓的方程；（2）已知直線l：y＝kx+m與橢圓交于（1，2），B兩點，O為坐標原點，且OA⊥OB，O到直線l的距離是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.【答案】（1）（2）是定值，定值為【解析】【分析】（1）由PF1⊥x軸可得c＝1，即可得橢圓的左右焦點的坐標，由橢圓的定義求出a的值，由a，b，c的關系求出a，b的值，進而求出橢圓的方程；（2）將直線l與橢圓的方程聯立求出兩根之積，由OA⊥OB，可得0，可得k，m的關系，求出原點到直線的距離的表達式，可得為定值.【詳解】（1）令焦距為2，依題意可得F1（﹣1，0），右焦點F2（1，0），，所以，所以橢圓方程為；（2）設A（x1，y1），B（x2，y2），由整理可得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2＝0，.所以y1y2＝（kx1+m）（kx2+m）＝k2x1x2+km（x1+x2）+m2＝k2kmm2，由，得3m2＝2（k2+1），所以原點O到直線l的距離為，為定值.【點睛】本題主要考查求橢圓的方程及直線與橢圓的綜合，屬于中檔題.21.設函數.（1）求f（x）的單調區(qū)間；（2）當x＞0時，ex﹣ax2﹣x﹣a≥0成立，求正實數a取值范圍.【答案】（1）單調增區(qū)間為，減區(qū)間為（2）【解析】【分析】（1），令，得x＝1或，a＞0，即可得出單調性；（2）由ex﹣ax2﹣x﹣a≥0，可得.對a分類探討，利用（1）的結論即可得出a的取值范圍.【詳解】（1）令，得x＝1或，因為a＞0，所以當或x＞1時，f'（x）＜0；當時，f'（x）＞0，所以f（x）的單調增區(qū)間為，減區(qū)間為，.（2）由ex﹣ax2﹣x﹣a≥0可得.由（1）可知，當，即0＜a≤1時，f（x）在（0，1）單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減，依題意有，即；當a＞1時，，與題意沖突.所以a的取值范圍是【點睛】本題考查了利用導數探討函數的單調性極值與最值、分類探討方法、方程與不等式的解法，考查了推理實力與計算實力，屬于中檔題.請考生在第22、23題中任選一題作答，假如多做，則按所做的第一題計分.作答時，請用2B鉛筆在答題卡上將所選題號后的方框涂黑.[選修4-4：坐標系與參數方程]22.在直角坐標系xOy中，曲線C的方程為.在以原點O為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，P的極坐標為，直線l過點P.（1）若直線l與OP垂直，求直線l的直角標方程：（2）若直線l與曲線C交于A，B兩點，且，求直線l的傾斜角.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）干脆利用轉換關系，把參數方程極坐標方程和直角坐標方程之間進行轉換求出結果.（2）利用一元二次方程根和系數關系式應用和三角函數關系式的恒等變換和正弦函數的值的應用求出結果.【詳解】（1）P的極坐標為，轉換為直角坐標為（），所以直線OP的斜率為，直線l的斜率為，所以直線l的方程為，整理得，（2）把直線的方程轉