考點(diǎn)鞏固卷04 指對(duì)冪函數(shù)（六大考點(diǎn)）-新課標(biāo)2025年高考《數(shù)學(xué)》一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)通關(guān)卷（解析版）

第第頁(yè)試卷第=page22頁(yè)，共=sectionpages2828頁(yè)考點(diǎn)鞏固卷04指對(duì)冪函數(shù)（六大考點(diǎn)）考點(diǎn)01：指數(shù)基礎(chǔ)運(yùn)算及特殊運(yùn)算1、有理數(shù)指數(shù)冪的分類⑴正整數(shù)指數(shù)冪⑵零指數(shù)冪⑶負(fù)整數(shù)指數(shù)冪⑷0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義.2、有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)⑴⑵⑶⑷3、根式的定義一般地，如果，那么叫做的次根式，其中叫做根式，叫做根指數(shù)，叫做開(kāi)方數(shù).4、對(duì)于根式，要注意以下幾點(diǎn)⑴且；⑵當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；⑶負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根；⑷的任何次方根都是5、多重根號(hào)問(wèn)題，首先先寫(xiě)成指數(shù)形式，6、指數(shù)的逆運(yùn)算過(guò)程特殊運(yùn)算：形如，求下列各種形式的值的思路．（1）；根據(jù)計(jì)算即可；（2）；根據(jù)計(jì)算即可；（3）．由于，進(jìn)而根據(jù)即可求解.（4）；根據(jù)計(jì)算即可（5）根據(jù)計(jì)算即可（6）根據(jù)計(jì)算即可1．下列各式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解.【詳解】對(duì)于A，由指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，可得，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，可得，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，可得，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，可得，所以D正確.故選：D.2．用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示的結(jié)果是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化原則直接化簡(jiǎn)即可.【詳解】，.故選；B.3．化簡(jiǎn)的結(jié)果為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用根式的運(yùn)算性質(zhì)即可得出答案.【詳解】，.故選：D4．計(jì)算，結(jié)果是（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用指數(shù)冪的運(yùn)算及根式的意義計(jì)算作答.【詳解】.故選：B5．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】把函數(shù)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，根據(jù)導(dǎo)數(shù)公式可求出結(jié)果.【詳解】，則.故選：B6．化簡(jiǎn)的結(jié)果為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用平方差公式化簡(jiǎn)即可.【詳解】=======故選：B7．已知，則的值是（

）A．15 B．12 C．16 D．25【答案】A【分析】利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，又由立方差公式，，故選：A．8．化簡(jiǎn)的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先分析的取值范圍，再進(jìn)行根式化簡(jiǎn).【詳解】由題意得，，即，所以.故選：B9．下列各式中成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)可判斷AC選項(xiàng)；根據(jù)根式與指數(shù)冪的互化可判斷BD選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，，D選項(xiàng)正確.故選：D.10．設(shè)，，為奇函數(shù)，則的值為．【答案】【分析】先化簡(jiǎn)已知函數(shù)，再由函數(shù)為奇函數(shù)可得，由此式可解的值．【詳解】要使為奇函數(shù)，∵,∴需，∴，由,得,．故答案為：1.考點(diǎn)02：對(duì)數(shù)基礎(chǔ)運(yùn)算對(duì)數(shù)運(yùn)算法則①外和內(nèi)乘：②外差內(nèi)除：③提公次方法：④特殊對(duì)數(shù)：⑤指中有對(duì)，沒(méi)心沒(méi)肺，真數(shù)為幾，直接取幾：2、對(duì)數(shù)的定義一般地，如果，那么數(shù)叫做以為底的對(duì)數(shù)，記,其中叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，叫做對(duì)數(shù)的真數(shù)3、換底公式①常用換底②倒數(shù)原理③約分技巧④具體數(shù)字歸一處理：11．下列等式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，結(jié)合指數(shù)冪與對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則及運(yùn)算性質(zhì)，逐項(xiàng)計(jì)算，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，由，所以A正確；對(duì)于B中，由，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，由，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，由，所以D錯(cuò)誤．故選：A12．若實(shí)數(shù)，，滿足且，則（

）A． B．12 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)指對(duì)數(shù)的互化可得，，代入，即可計(jì)算得到的值.【詳解】因?yàn)榍?，易知且，所以，，所以，，所以，則.故選：D．13．工廠廢氣排放前要過(guò)濾廢氣中的污染物再進(jìn)行排放，廢氣中污染物含量（單位：mg/L）與過(guò)濾時(shí)間小時(shí)的關(guān)系為（，均為正的常數(shù)）．已知前5小時(shí)過(guò)濾掉了10%污染物，那么當(dāng)污染物過(guò)濾掉50%還需要經(jīng)過(guò)（

）（最終結(jié)果精確到1h，參考數(shù)據(jù)：，）A．43h B．38h C．33h D．28h【答案】D【分析】先確定廢氣中初始污染物含量，由題意求出常數(shù)，即可解出．【詳解】∵廢氣中污染物含量與過(guò)濾時(shí)間小時(shí)的關(guān)系為，令，得廢氣中初始污染物含量為，又∵前5小時(shí)過(guò)濾掉了10%污染物，∴，則，∴當(dāng)污染物過(guò)濾掉50%時(shí)，，則，∴當(dāng)污染物過(guò)濾掉50%還需要經(jīng)過(guò).故選：D.14．若，，則（

）A．1 B．－1 C．2 D．－2【答案】A【分析】本題考查指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化、對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則、換底公式的應(yīng)用.【詳解】由，所以故選：A15．設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用換底公式可得，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)分析求解.【詳解】根據(jù)換底公式有，，可得，整理得.故C正確，檢驗(yàn)可知其他選項(xiàng)均不符合.故選：C.16．已知定義在上的奇函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，探討函數(shù)的周期，再利用對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性及指對(duì)數(shù)運(yùn)算計(jì)算即得.【詳解】在上的奇函數(shù)滿足，則，于是，即函數(shù)的周期為4，而，則，，又當(dāng)時(shí)，，所以.故選：A17．已知，，用a，b表示為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由指對(duì)互化得，再把利用換底公式計(jì)算可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以?故選：C.18．．【答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用換底公式及對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即得.【詳解】.故答案為：19．方程的正實(shí)數(shù)解為.【答案】【分析】運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)先證，可得原方程為，，可得，再由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性和指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可得到方程的解．【詳解】先證（且，且，且），令，，兩邊取為底的對(duì)數(shù)，可得，，所以，所以，即，則即為，可得，由于在上單調(diào)遞增，，在上單調(diào)遞減，所以，在上單調(diào)遞減，可得在上單調(diào)遞減，又時(shí)，即時(shí)，有，則原方程的解有且只有一個(gè)為.故答案為：20．已知，，則．【答案】64【分析】將利用換底公式轉(zhuǎn)化成來(lái)表示即可求解.【詳解】由題，整理得，或，又，所以，故故答案為：64.考點(diǎn)03：指對(duì)數(shù)函數(shù)底數(shù)大小的比較形如：圖象如下：先畫(huà)一條的直線，明確交點(diǎn)，由下至上底數(shù)越來(lái)越大.形如：確定大小關(guān)系其中，先畫(huà)一條的直線，明確交點(diǎn)，由左至右底數(shù)越來(lái)越大.故21．圖中曲線分別表示的圖像，，的關(guān)系是（）A． B．C． D．解：如圖所示：當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以故選：C22．圖中曲線分別表示，，，的圖象，的關(guān)系是（）A．a(chǎn)<b<d<c B．b<a<c<dC．d<c<a<b D．c<d<a<b解：如圖所示，在第一象限中，隨著底數(shù)的增大，函數(shù)的圖象向x軸靠近，

可知0＜c＜d＜1＜a＜b，故選：D．23．如圖，曲線，，，分別對(duì)應(yīng)函數(shù)，，，的圖象，則（）A． B．C． D．解：作直線，它與各曲線，，，的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是各對(duì)數(shù)的底數(shù)，由此可判斷出各底數(shù)的大小必有：.故選：A24．如圖所示的曲線，，，分別是函數(shù)，，，的圖象，則的大小關(guān)系是（）A． B．C． D．解：作直線，分別與這四條曲線交于點(diǎn)，如下圖所示由，解得；，解得；，解得；，解得則由圖象可知，對(duì)應(yīng)的底數(shù)為．故選：B25、如圖是指數(shù)函數(shù)①；②；③；④的圖象，則與的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．解：根據(jù)函數(shù)圖象可知函數(shù)①；②為減函數(shù)，且時(shí)，②①，所以，根據(jù)函數(shù)圖象可知函數(shù)③；④為增函數(shù)，且時(shí)，③④，所以故選：B26．已知在同一坐標(biāo)系下，指數(shù)函數(shù)和的圖象如圖，則下列關(guān)系中正確的是（）A． B． C． D．解：很顯然均大于1；與的交點(diǎn)在與的交點(diǎn)上方，故，綜上所述:.故選:考點(diǎn)04：指對(duì)數(shù)函數(shù)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)a>10<a<1圖象最特殊點(diǎn)即圖象都過(guò)性質(zhì)①定義域R值域②即當(dāng)圖象都過(guò)定點(diǎn)(0，1)，③即不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)④當(dāng)x>0時(shí)，y>1；當(dāng)x<0時(shí)，0<y<1④當(dāng)x<0時(shí)，y>1；當(dāng)x>0時(shí)，0<y<1⑤在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)⑤在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)由于對(duì)數(shù)圖象是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)，所以對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象只需由相應(yīng)的指數(shù)函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)稱即可，當(dāng)然也分和兩種情況討論，討論如下a>10<a<1圖象性質(zhì)①定義域：(0，＋∞)②值域：R③當(dāng)x＝1時(shí)，y＝0，即過(guò)定點(diǎn)(1，0)④當(dāng)x>1時(shí)，y>0；當(dāng)0<x<1時(shí)，y<0④當(dāng)x>1時(shí)，y<0；當(dāng)0<x<1時(shí)，y>0⑤在(0，＋∞)上是增函數(shù)⑤在(0，＋∞)上是減函數(shù)27．函數(shù)的圖象過(guò)定點(diǎn)，且定點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程，其中，，則的最小值為（

）A． B．9 C． D．8【答案】B【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到，再由乘“1”法及基本不等式計(jì)算可得.【詳解】對(duì)于函數(shù)，令，即時(shí)，所以函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，又定點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程，所以，即，又，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，的最小值為．故選：B．28．已知函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)P，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）.A． B．C． D．【答案】B【分析】由指數(shù)型函數(shù)所過(guò)的定點(diǎn)求解即可.【詳解】令，解得，則，即過(guò)定點(diǎn).故選：B29．函數(shù)，且恒過(guò)定點(diǎn)（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)，且求出的值，代入求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)值即可得出函數(shù)恒過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】由已知得，由此可知函數(shù)恒過(guò)定點(diǎn)，故選：B.30．函數(shù)且的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，則為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】令上的指數(shù)為0即可得到答案.【詳解】對(duì)于函數(shù)，令，可得，則，所以，函數(shù)且的圖象恒過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo)為．故選：A31．已知函數(shù)且的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，且點(diǎn)在直線上，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，進(jìn)而可得，結(jié)合基本不等式和指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)而得到答案．【詳解】當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，由點(diǎn)在直線上，則,故，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立,故的最小值是.故選：B32．函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，且點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程，其中，，則的最小值為（

）A．7 B．6 C． D．【答案】C【分析】先利用必過(guò)定點(diǎn)確定的坐標(biāo)，后利用基本不等式‘1’的代換處理即可.【詳解】在中，當(dāng)時(shí)，，故，將代入直線方程中，化簡(jiǎn)得，故，當(dāng)且僅當(dāng)‘’時(shí)取等，即的最小值為.故選：C33．當(dāng)且時(shí)，函數(shù)恒過(guò)定點(diǎn)（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，與無(wú)關(guān)，則函數(shù)恒過(guò)定點(diǎn)．故選：B.34．已知函數(shù)圖象恒過(guò)的定點(diǎn)在雙曲線的一條漸近線上，雙曲線離心率為e，則等于（

）．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】先利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求得函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，代入雙曲線的漸近線方程，求得，結(jié)合離心率的定義，即可求解.【詳解】由函數(shù)，令，可得，且，所以函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，又由雙曲線的一條漸近線方程為，將點(diǎn)代入漸近線方程，可得，解得，所以雙曲線的離心率為，所以.故選：C.35．若函數(shù)，且的圖象所過(guò)定點(diǎn)恰好在橢圓上，則的最小值為（

）A．6 B．12 C．16 D．18【答案】C【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)求出定點(diǎn)，根據(jù)定點(diǎn)在橢圓上，將定點(diǎn)代入橢圓方程，得到m與n的等量關(guān)系，再利用基本不等式即可求解.【詳解】由題意得，函數(shù)，且的圖象所過(guò)定點(diǎn)為，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.故選：C.36．函數(shù)（且）的圖象所過(guò)的定點(diǎn)為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)（且），令，解得，則，所以的圖象所過(guò)的定點(diǎn)為.故選：A.考點(diǎn)05：涉及指對(duì)數(shù)分段函數(shù)判斷參數(shù)的取值范圍形如：①如果為單調(diào)遞增函數(shù)，滿足：為遞增函數(shù)，為遞增函數(shù)，.②如果為單調(diào)遞減函數(shù)，滿足：為遞減函數(shù)，為遞減函數(shù)，.③如果由最大值，滿足：為遞增函數(shù)，為遞減函數(shù)，.④如果由最小值，滿足：為遞減函數(shù)，為遞增函數(shù)，.形如：①如果為單調(diào)遞增函數(shù)，滿足：為遞增函數(shù)，為遞增函數(shù)，.②如果為單調(diào)遞減函數(shù)，滿足：為遞減函數(shù)，為遞減函數(shù)，.③如果由最大值，滿足：為遞增函數(shù)，為遞減函數(shù)，.④如果由最小值，滿足：為遞減函數(shù)，為遞增函數(shù)，.37．已知在上滿足，則的取值范圍為（）A． B． C． D．解：第一步：因?yàn)樵谏蠞M足，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，第二步：所以恒成立，即且恒成立，即的取值范圍為，故選D.38．函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．解：第一步：函數(shù)在上單調(diào)遞減，第二步：需，解得.故選:B.39．若函數(shù)的值域?yàn)?，則的取值范圍為（）A．， B．， C．， D．，，解：第一步：①若時(shí)，則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，若函數(shù)值域?yàn)閯t需，解得；第二步：②若時(shí)，則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，不滿足函數(shù)值域?yàn)?，不符合題意，舍去，綜上：的取值范圍為，，故選：40．已知函數(shù)在上單調(diào),則的取值范圍為()A． B． C． D．解：又當(dāng)時(shí),是單調(diào)遞減函數(shù)在上是單調(diào)遞減函數(shù)根據(jù)分段函數(shù)的在定義域單調(diào)遞減,即要保證每段函數(shù)上單調(diào)遞減,也要保證在分界點(diǎn)上單調(diào)遞減可得:第二步：解得:.故選:A.41．已知函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．解：由題,當(dāng)時(shí),,則,因?yàn)榈闹涤驗(yàn)?則當(dāng)時(shí),需滿足,即,且，當(dāng)時(shí),,舍去；當(dāng)時(shí),設(shè),則對(duì)稱軸為,則,即；當(dāng)時(shí),有最大值,故舍去綜上,故選：B42、設(shè)函數(shù)有最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．解：因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，因?yàn)楹瘮?shù)有最大值，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，故選：D43．函數(shù)（且）在R上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．解：因?yàn)楹瘮?shù)（且）在R上單調(diào)遞減，所以，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D.44．如果函數(shù)，滿足對(duì)任意，都有成立，那么的取值范圍是（）A． B． C． D．解：因?yàn)閷?duì)任意都有成立，所以單調(diào)遞增，，解得故選：C考點(diǎn)06：指對(duì)數(shù)大小比較問(wèn)題指對(duì)數(shù)大小比較問(wèn)題已經(jīng)成為高考的重難點(diǎn)問(wèn)題，我們這里介紹五大核心思想.核心思想一：同步《升降》次法 形如：注意：一般情況下以為底的對(duì)數(shù)比較大小，底數(shù)真數(shù)次方一起同升同降.口訣：為底眼睛亮，底真次方同升降.核心思想二：先分離常數(shù)再比大小當(dāng)?shù)讛?shù)與真數(shù)出現(xiàn)倍數(shù)關(guān)系，必須先將對(duì)數(shù)分離常數(shù)后作比較. ① ②口訣：底真出現(xiàn)倍數(shù)時(shí)，分離常數(shù)用起來(lái)核心思想三：利用糖水變甜不等式比較大小當(dāng)對(duì)數(shù)比較大小形式中出現(xiàn)底數(shù)與真數(shù)成等差數(shù)列時(shí)，可以采用糖水不等式放縮處理.形如：則存在，或45．設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，利用指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，求得的取值范圍，即求解.【詳解】由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得，所以.故選：A.46．已知，，，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求得的范圍，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得的范圍，即可比較大小.【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，即，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，即，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，即，綜上，.故選：47．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性得到，利用指對(duì)運(yùn)算和指數(shù)函數(shù)單調(diào)性得到，利用對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性得到，則比較出大小.【詳解】因?yàn)椋?，則，，所