空間向量的數(shù)量積運(yùn)算備作業(yè)高二數(shù)學(xué)系列（蘇教版2019必修第二冊）

一、單選題

1.已知向量q,e2,e,是兩兩垂直的單位向量，且4=34+21-63，6=昌+羽則

(6”卜(；”=().

A.15B.3C.-3D.5

【答案】B

【分析】

利用數(shù)量積公式計算即可得出結(jié)果.

【詳解】

,??向量4，e?,e：是兩兩垂直的單位向量，且&=3g+2e2-03,b=e、+2q,

2

人)=3a/=3x(3e(+2e2—e3)(e,+2ei)=9|'—6|e3|=3.

故選：B

2.如圖，邊長為1的正方體45勿-4旦64中，則D4?町的值為()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】B

【分析】

建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求得兩向量的坐標(biāo)，利用空間向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公

式計算即得所求.

【詳解】

解：建立如圖所示坐標(biāo)系，則/(1,0,0),〃(0,0,0),8(1,1,0),4(0,0,1),

故￡>A=(1,0,0),BD、=(-1,-1,1),則

故選：B.

3.已知空間向量a,〃,c兩兩夾角均為60,其模均為1,則卜+b-2《=()

A.72B.y/3C.2D.75

【答案】B

【分析】

轉(zhuǎn)化為空間向量的數(shù)量積計算可求出結(jié)果.

【詳解】

卜+b-2c卜yj(a+b-2c)2=^a1+b2+4c2+2a-b-4a-c-4b-c

=J14-l+4+2xlxlx--4xlxlx-■-4xlxlx—

V222

=\/3?

故選：B

4.已知空間向量滿足a+b+c=0,H=2，W=3,|C|=4,則°與匕的夾角為()

A.30°B.45°

C.60°D.以上都不對

【答案】D

【分析】

設(shè)a與6的夾角為。，由a+〃+c=O,得“+b=-c，兩邊平方化簡可得答案

【詳解】

設(shè)“與b的夾角為0,

由a+/?+c=0,得Q+〃=-C，

兩邊平方，得夕+2a?b+b=c>

因為|4=2，W=3，H=4,

所以4+2x2x3cos6+9=16,解得cosO=-,

4

故選：D.

5.在棱長為1的正方體4604644中，設(shè)===c,則a-S+c)的值為

()

A.1B.0C.-1D.-2

【答案】B

【分析】

由正方體的性質(zhì)可知力氏4),胡兩兩垂直，從而對“S+c)化簡可得答案

【詳解】

由題意可得AB1ADMB.LA4,.

所以“_L_Lc,所以“力=O,a-c=0,

所以a-(b+c)=。

故選：B

6.在正方體ABCD-A，￡C'￡>'中，棱長為2,點M為棱">'上一點，則8M的最

小值為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】

以。分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求得結(jié)合向量

的數(shù)量積的運(yùn)算，即可求解.

【詳解】

如圖所示，以。分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則A(2,0,0),8(2,2,0),設(shè)M(0,0,a),

所以AM=(-2,0,a),BM=(-2,-2,a),

則AM?8M=(-2,0,a)?(-2,-2,a)=4+<?,

當(dāng)。=0時，AM.8M的最小值為4.

故選：D.

7.如圖，在平行六面體ABCO-ABCiR中，底面是邊長為1的正方形，若

ZAlAB=ZA1AD=60°,且AA=3,則AQ的長為

A.y/5B.20c.V14D.717

【答案】A

【分析】

由幾何圖形可得AC=4月+AA+AA，然后兩邊平方，根據(jù)向量的數(shù)量積可得1,

進(jìn)而得到Ac的長度.

【詳解】

因為AC=A4+42+AA，

22

所以A,C=(A,B；+A1D1+A1A)

=AB-+|A,D]|2+A,A+

=1+1+9+2(0+1X3XCOS1200+1X3XCOS1200)

故4。的長為石.

故選A.

【點睛】

本題考查向量數(shù)量積的應(yīng)用，利用數(shù)量積可解決垂直、長度、夾角等問題，用向量求長

度時，可將向量用基底或坐標(biāo)表示出來，然后根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算或坐標(biāo)運(yùn)算求解即可,

體現(xiàn)了向量具有數(shù)形二重性的特點.

8.在棱長為1的正四面體A8C。中，DBAC=（）

A.-1B.0C.--D.1

2

【答案】B

【分析】

uunuumuimuuuruunminuunminuuu

由向量的減法法則有AC=DC_OA，貝IJ08?AC=?（CzC_x=08?OC_08?ZM,

由向量的數(shù)據(jù)的定義可得答案.

【詳解】

由。8-AC=08.（DC-D4）=08-￡>C-08-D4=cos600-cos60°=0.

故選：B

二、多選題

9.棱長為1的正方體A8CD-ABCQ中，下列結(jié)論正確的是（）

A.AB=CRB.ABBC=O

C.AA,BtDt=0D.AC/AC=（）

【答案】BC

【分析】

根據(jù)正方體的幾何特征，利用空間向量的運(yùn)算求解判斷.

【詳解】

如圖所示：

由圖形知：因為AB=-CD,CD=CR,所以=—CQ,故A錯誤；

因為4BJ.3C，所以A8?8C=0，故B正確；

因為平面A蜴CQ,所以8a,所以A4,.4A=(),故C正確；

因為四邊形的GC是矩形，所以A&與AC不垂直，則AC「AC#O,故D錯誤.

故選：BC

10.設(shè)a,b,c是任意的非零空間向量，且它們互不共線，給出下列命題，其中正確

的是()

A.(a-b)c-(c-a)b=0B.\a\-\h\<\a-b\

C.(b-a)c-(c-a)b一定不與C垂直D.(34+2方>(3。-2匕)=91〃5-41b『

【答案】BD

【分析】

根據(jù)數(shù)量積的性質(zhì)判斷A,根據(jù)三角形的性質(zhì)判斷B,根據(jù)向量的垂直判斷C,根據(jù)向

量的運(yùn)算滿足平方差公式判斷D.

【詳解】

A:是表示與向量c共線的向量，而(c-aM是表示與向量6共線的向量，A錯

誤，

B：?,人是兩個不共線的向量，根據(jù)三角形任意兩邊之差小于第三邊可得

\a\-\b\<\a-b\,B正確,

C:[(ba)c-(c-a)b]c=(b-a)cc-(c-a)bc=0可能成立，：.C錯誤，

D：向量的運(yùn)算滿足平方差公式，，(3a+2b).(3a-2Z>)=9|a|2-4gF,正確，

故選：BD.

11.若a,4c是空間任意三個向量，/leR,下列關(guān)系中，不感辛的是()

A.\a+b\=\b-a\B.(a+b)-c=a-(b+c)

C.+b)=Aa+AbD.b=A,ci

【答案】ABD

【分析】

根據(jù)空間向量加法法則、數(shù)量積的運(yùn)算律、向量數(shù)乘法則和共線向量定理分別判斷各選

項.

【詳解】

由向量加法的平行四邊形法則，只有即Gb=O時，都有|。+勿=|6-。|,A不成

立；

由數(shù)量積的運(yùn)算律有(a+b>c=a?c+?c,a(b+c)=a-b+a-c,2/與"2不一定相

等，B不成立；

向量數(shù)乘法則，C一定成立；

只有。,6共線且二工3時，才存在；1,使得匕=2a，D這成立.

故選：ABD.

12.設(shè)a,b為空間中的任意兩個非零向量，下列各式中正確的有().

.2I12,,ci-bb

A.a=|?lB.——=—

a'a

C.(ab)2=a2-b2D.(a-b)2=a2-2a-b+b2

【答案】AD

【分析】

由向量數(shù)量積的運(yùn)算律及數(shù)量積的定義逐個判斷即可.

【詳解】

由數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律可知/〃是正確的；

而駕?運(yùn)算后是實數(shù)，2沒有這種運(yùn)算，B不正確；

a5

222222

(a^b)=(]a\-\b\cos0)=|〃『.|b|cos0^\a\^\h^=a-b9C不正確.

故選：AD.

【點睛】

本題主要考查了向量數(shù)量積的運(yùn)算律，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題

13.在三棱錐O-ABC中，已知側(cè)棱。1,0B,a1兩兩互相垂直，求證：底面，A8C是

銳角三角形.

【答案】證明見解析

【分析】

通過計算CBC4大于零得到角C為銳角，同理A8均為銳角，則可證明A8C是銳角

三角形.

【詳解】

如圖，由已知得OBOA=0,OBOC=0,OCO4=0

5PJCBCA=(0B-0Cj(0A_0C)=0BQ-0B0C-0CQ+0c2=0c2>(),

即|C8，C4kosc>0,即8sC>0,

Ce(O,i),，C為銳角

同理A8均為銳角

所以底面,ABC是銳角三角形

14.如圖，棱長為1的正四面體(四個面都是正三角形)OABC,M是棱BC的中點,

13

點N在線段QM上，點P在線段AN上，且MN=aON,AP=-AN.

o

(1)用向量04，OB，0C表示AN;

⑵求10Pl.

【答案】

(1)A7V——OAH—OBH—0c.

33

⑵運(yùn)

4

【分析】

(1)根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算即可求解;

(2)先計算OP2=(，OA+LO3+1OC],再開方即可求解.

U44J

(1)

解：AN=AO-^-ON=AO+-AM=A0+-x-(0B+0C}=-0A+-0B+-0C

332、,33f

所以AN=-0A+-0B+-0C-

33

(2)

OO1o

解：因為0P=0A+AP=0A+_AN=0A+二(QN_0A)=_0A+」0N

44、744

=-OA+-x-OM=-(9A+-xl(<9B+OC)=-C>A+-OB+-C>C.

443422、,444

又因為四面體Q43C是正四面體，

則|QA卜附=|oc|=i,

OAOB=OBOC=OAOC=Mx-=~,

22

OP2=\-OA+-OB+-Oc\=—(0A+0B+0C

U44J16、

0A2+OB2+OC2+2OAOB+2OBOC+2OAOC

.clclcD6

=—l+l+l+2x—+2x—+2x—=—

161222)16

所以|op卜手.

15.如圖，在三棱錐P-ABC中，P4_L平面ABC,CBVAB,AB=BC=a,PA=b.

B

(l)確定PC在平面ABC上的投影向量，并求PC.AB;

(2)確定PC在AB上的投影向量，并求PCA8.

【答案】

(1)PC在平面A8C上的投影向量為AC，PCAB=a2;

(2)PC在AB上的投影向量為AB，PCAB=a2-

【分析】

(1)根據(jù)R4_L平面ABC可得Ad在平面ABC上的投影向量，由空間向量的線性運(yùn)算

以及數(shù)量積的定義計算PCAB=(PA+A8+8C)M8的值即可求解；

(2)由投影向量的定義可得PC在AB上的投影向量，由數(shù)量積的幾何意義可得PCSB

的值.

(1)

因為PAJ-平面ABC,所以PC在平面ABC上的投影向量為AC，

因為PAJ?平面ABC,面ABC,可得以_LA8,所以P4AB=0，

因為C8_LAfi,所以BC-AB=O，

所以PCAB=(PA+AB+8C)AB=PAA3+A8A3+8CA8

=0+d!2+0=6!2.

(2)

iuuni

由⑴知：PCAB=a2^=

所以PC在A8上的投影向量為：

\\!\ABIIPC-ABABPC-ABABa2AB

PDCrcos(PoCr,AAOB)■?——=PC\-1~n-j~7?i——,=—；——；—??——-----------AB

'1'/網(wǎng)?r1pc|.網(wǎng)網(wǎng)網(wǎng)網(wǎng)raa'

由數(shù)量積的幾何意義可得：PC-AB=\AB\-\AB\=a2.

16.在平行六面體A8C3-A4C。中，AB=4