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文檔簡介
一、單選題
1.已知向量q,e2,e,是兩兩垂直的單位向量,且4=34+21-63,6=昌+羽則
(6”卜(;”=().
A.15B.3C.-3D.5
【答案】B
【分析】
利用數(shù)量積公式計算即可得出結(jié)果.
【詳解】
,??向量4,e?,e:是兩兩垂直的單位向量,且&=3g+2e2-03,b=e、+2q,
2
人)=3a/=3x(3e(+2e2—e3)(e,+2ei)=9|'—6|e3|=3.
故選:B
2.如圖,邊長為1的正方體45勿-4旦64中,則D4?町的值為()
A.-2B.-1C.1D.2
【答案】B
【分析】
建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,求得兩向量的坐標(biāo),利用空間向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公
式計算即得所求.
【詳解】
解:建立如圖所示坐標(biāo)系,則/(1,0,0),〃(0,0,0),8(1,1,0),4(0,0,1),
故£>A=(1,0,0),BD、=(-1,-1,1),則
故選:B.
3.已知空間向量a,〃,c兩兩夾角均為60,其模均為1,則卜+b-2《=()
A.72B.y/3C.2D.75
【答案】B
【分析】
轉(zhuǎn)化為空間向量的數(shù)量積計算可求出結(jié)果.
【詳解】
卜+b-2c卜yj(a+b-2c)2=^a1+b2+4c2+2a-b-4a-c-4b-c
=J14-l+4+2xlxlx--4xlxlx-■-4xlxlx—
V222
=\/3?
故選:B
4.已知空間向量滿足a+b+c=0,H=2,W=3,|C|=4,則°與匕的夾角為()
A.30°B.45°
C.60°D.以上都不對
【答案】D
【分析】
設(shè)a與6的夾角為。,由a+〃+c=O,得“+b=-c,兩邊平方化簡可得答案
【詳解】
設(shè)“與b的夾角為0,
由a+/?+c=0,得Q+〃=-C,
兩邊平方,得夕+2a?b+b=c>
因為|4=2,W=3,H=4,
所以4+2x2x3cos6+9=16,解得cosO=-,
4
故選:D.
5.在棱長為1的正方體4604644中,設(shè)===c,則a-S+c)的值為
()
A.1B.0C.-1D.-2
【答案】B
【分析】
由正方體的性質(zhì)可知力氏4),胡兩兩垂直,從而對“S+c)化簡可得答案
【詳解】
由題意可得AB1ADMB.LA4,.
所以“_L_Lc,所以“力=O,a-c=0,
所以a-(b+c)=。
故選:B
6.在正方體ABCD-A,£C'£>'中,棱長為2,點M為棱">'上一點,則8M的最
小值為()
A.1B.2C.3D.4
【答案】D
【分析】
以。分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,求得結(jié)合向量
的數(shù)量積的運(yùn)算,即可求解.
【詳解】
如圖所示,以。分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
則A(2,0,0),8(2,2,0),設(shè)M(0,0,a),
所以AM=(-2,0,a),BM=(-2,-2,a),
則AM?8M=(-2,0,a)?(-2,-2,a)=4+<?,
當(dāng)。=0時,AM.8M的最小值為4.
故選:D.
7.如圖,在平行六面體ABCO-ABCiR中,底面是邊長為1的正方形,若
ZAlAB=ZA1AD=60°,且AA=3,則AQ的長為
A.y/5B.20c.V14D.717
【答案】A
【分析】
由幾何圖形可得AC=4月+AA+AA,然后兩邊平方,根據(jù)向量的數(shù)量積可得1,
進(jìn)而得到Ac的長度.
【詳解】
因為AC=A4+42+AA,
22
所以A,C=(A,B;+A1D1+A1A)
=AB-+|A,D]|2+A,A+
=1+1+9+2(0+1X3XCOS1200+1X3XCOS1200)
故4。的長為石.
故選A.
【點睛】
本題考查向量數(shù)量積的應(yīng)用,利用數(shù)量積可解決垂直、長度、夾角等問題,用向量求長
度時,可將向量用基底或坐標(biāo)表示出來,然后根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算或坐標(biāo)運(yùn)算求解即可,
體現(xiàn)了向量具有數(shù)形二重性的特點.
8.在棱長為1的正四面體A8C。中,DBAC=()
A.-1B.0C.--D.1
2
【答案】B
【分析】
uunuumuimuuuruunminuunminuuu
由向量的減法法則有AC=DC_OA,貝IJ08?AC=?(CzC_x=08?OC_08?ZM,
由向量的數(shù)據(jù)的定義可得答案.
【詳解】
由。8-AC=08.(DC-D4)=08-£>C-08-D4=cos600-cos60°=0.
故選:B
二、多選題
9.棱長為1的正方體A8CD-ABCQ中,下列結(jié)論正確的是()
A.AB=CRB.ABBC=O
C.AA,BtDt=0D.AC/AC=()
【答案】BC
【分析】
根據(jù)正方體的幾何特征,利用空間向量的運(yùn)算求解判斷.
【詳解】
如圖所示:
由圖形知:因為AB=-CD,CD=CR,所以=—CQ,故A錯誤;
因為4BJ.3C,所以A8?8C=0,故B正確;
因為平面A蜴CQ,所以8a,所以A4,.4A=(),故C正確;
因為四邊形的GC是矩形,所以A&與AC不垂直,則AC「AC#O,故D錯誤.
故選:BC
10.設(shè)a,b,c是任意的非零空間向量,且它們互不共線,給出下列命題,其中正確
的是()
A.(a-b)c-(c-a)b=0B.\a\-\h\<\a-b\
C.(b-a)c-(c-a)b一定不與C垂直D.(34+2方>(3。-2匕)=91〃5-41b『
【答案】BD
【分析】
根據(jù)數(shù)量積的性質(zhì)判斷A,根據(jù)三角形的性質(zhì)判斷B,根據(jù)向量的垂直判斷C,根據(jù)向
量的運(yùn)算滿足平方差公式判斷D.
【詳解】
A:是表示與向量c共線的向量,而(c-aM是表示與向量6共線的向量,A錯
誤,
B:?,人是兩個不共線的向量,根據(jù)三角形任意兩邊之差小于第三邊可得
\a\-\b\<\a-b\,B正確,
C:[(ba)c-(c-a)b]c=(b-a)cc-(c-a)bc=0可能成立,:.C錯誤,
D:向量的運(yùn)算滿足平方差公式,,(3a+2b).(3a-2Z>)=9|a|2-4gF,正確,
故選:BD.
11.若a,4c是空間任意三個向量,/leR,下列關(guān)系中,不感辛的是()
A.\a+b\=\b-a\B.(a+b)-c=a-(b+c)
C.+b)=Aa+AbD.b=A,ci
【答案】ABD
【分析】
根據(jù)空間向量加法法則、數(shù)量積的運(yùn)算律、向量數(shù)乘法則和共線向量定理分別判斷各選
項.
【詳解】
由向量加法的平行四邊形法則,只有即Gb=O時,都有|。+勿=|6-。|,A不成
立;
由數(shù)量積的運(yùn)算律有(a+b>c=a?c+?c,a(b+c)=a-b+a-c,2/與"2不一定相
等,B不成立;
向量數(shù)乘法則,C一定成立;
只有。,6共線且二工3時,才存在;1,使得匕=2a,D這成立.
故選:ABD.
12.設(shè)a,b為空間中的任意兩個非零向量,下列各式中正確的有().
.2I12,,ci-bb
A.a=|?lB.——=—
a'a
C.(ab)2=a2-b2D.(a-b)2=a2-2a-b+b2
【答案】AD
【分析】
由向量數(shù)量積的運(yùn)算律及數(shù)量積的定義逐個判斷即可.
【詳解】
由數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律可知/〃是正確的;
而駕?運(yùn)算后是實數(shù),2沒有這種運(yùn)算,B不正確;
a5
222222
(a^b)=(]a\-\b\cos0)=|〃『.|b|cos0^\a\^\h^=a-b9C不正確.
故選:AD.
【點睛】
本題主要考查了向量數(shù)量積的運(yùn)算律,屬于基礎(chǔ)題.
三、解答題
13.在三棱錐O-ABC中,已知側(cè)棱。1,0B,a1兩兩互相垂直,求證:底面,A8C是
銳角三角形.
【答案】證明見解析
【分析】
通過計算CBC4大于零得到角C為銳角,同理A8均為銳角,則可證明A8C是銳角
三角形.
【詳解】
如圖,由已知得OBOA=0,OBOC=0,OCO4=0
5PJCBCA=(0B-0Cj(0A_0C)=0BQ-0B0C-0CQ+0c2=0c2>(),
即|C8,C4kosc>0,即8sC>0,
Ce(O,i),,C為銳角
同理A8均為銳角
所以底面,ABC是銳角三角形
14.如圖,棱長為1的正四面體(四個面都是正三角形)OABC,M是棱BC的中點,
13
點N在線段QM上,點P在線段AN上,且MN=aON,AP=-AN.
o
(1)用向量04,OB,0C表示AN;
⑵求10Pl.
【答案】
(1)A7V——OAH—OBH—0c.
33
⑵運(yùn)
4
【分析】
(1)根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算即可求解;
(2)先計算OP2=(,OA+LO3+1OC],再開方即可求解.
U44J
(1)
解:AN=AO-^-ON=AO+-AM=A0+-x-(0B+0C}=-0A+-0B+-0C
332、,33f
所以AN=-0A+-0B+-0C-
33
(2)
OO1o
解:因為0P=0A+AP=0A+_AN=0A+二(QN_0A)=_0A+」0N
44、744
=-OA+-x-OM=-(9A+-xl(<9B+OC)=-C>A+-OB+-C>C.
443422、,444
又因為四面體Q43C是正四面體,
則|QA卜附=|oc|=i,
OAOB=OBOC=OAOC=Mx-=~,
22
OP2=\-OA+-OB+-Oc\=—(0A+0B+0C
U44J16、
0A2+OB2+OC2+2OAOB+2OBOC+2OAOC
.clclcD6
=—l+l+l+2x—+2x—+2x—=—
161222)16
所以|op卜手.
15.如圖,在三棱錐P-ABC中,P4_L平面ABC,CBVAB,AB=BC=a,PA=b.
B
(l)確定PC在平面ABC上的投影向量,并求PC.AB;
(2)確定PC在AB上的投影向量,并求PCA8.
【答案】
(1)PC在平面A8C上的投影向量為AC,PCAB=a2;
(2)PC在AB上的投影向量為AB,PCAB=a2-
【分析】
(1)根據(jù)R4_L平面ABC可得Ad在平面ABC上的投影向量,由空間向量的線性運(yùn)算
以及數(shù)量積的定義計算PCAB=(PA+A8+8C)M8的值即可求解;
(2)由投影向量的定義可得PC在AB上的投影向量,由數(shù)量積的幾何意義可得PCSB
的值.
(1)
因為PAJ-平面ABC,所以PC在平面ABC上的投影向量為AC,
因為PAJ?平面ABC,面ABC,可得以_LA8,所以P4AB=0,
因為C8_LAfi,所以BC-AB=O,
所以PCAB=(PA+AB+8C)AB=PAA3+A8A3+8CA8
=0+d!2+0=6!2.
(2)
iuuni
由⑴知:PCAB=a2^=
所以PC在A8上的投影向量為:
\\!\ABIIPC-ABABPC-ABABa2AB
PDCrcos(PoCr,AAOB)■?——=PC\-1~n-j~7?i——,=—;——;—??——-----------AB
'1'/網(wǎng)?r1pc|.網(wǎng)網(wǎng)網(wǎng)網(wǎng)raa'
由數(shù)量積的幾何意義可得:PC-AB=\AB\-\AB\=a2.
16.在平行六面體A8C3-A4C。中,AB=4
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