初升高數(shù)學暑假銜接（人教版）初高銜接第03講：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（教師版）

第03講：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系【考點梳理】考點一、一元二次方程的根的判斷式一元二次方程，用配方法將其變形為：(1)當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根：；(2)當時，方程有兩個相等的實數(shù)根：；(3)當時，方程沒有實數(shù)根．由于可以用的取值情況來判定一元二次方程的根的情況．因此，把叫做一元二次方程的根的判別式：.考點二、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系一元二次方程的兩個根為：.所以：，.定理：如果一元二次方程的兩個根為，那么：.說明：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系由十六世紀的法國數(shù)學家韋達發(fā)現(xiàn)，所以通常把此定理稱為韋達定理．上述定理成立的前提是．【題型歸納】題型一：一元二次方程的根的判斷式1．關(guān)于x的一元二次方程，根的情況是（

）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根C．只有一個實數(shù)根 D．沒有實數(shù)根【答案】A【分析】直接利用一元二次方程根的判別式即可得．【詳解】解：一元二次方程中的，則這個方程根的判別式為，所以這個方程有兩個不相等的實數(shù)根，故選：A．【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的判別式是解題關(guān)鍵．2．關(guān)于的一元二次方程的根的情況是（）A．沒有實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根C．有兩個不相等的實數(shù)根 D．實數(shù)根的個數(shù)與實數(shù)的取值有關(guān)【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式求出，即可得出答案．【詳解】解：∵，∴關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，故C正確．故選：C．【點睛】本題考查了根的判別式，一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當時，方程無實數(shù)根．3．在正比例函數(shù)中，的值隨值的增大而減小，則關(guān)于的一元二次方程根的情況是（

）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．無實數(shù)根 D．無法確定【答案】A【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的性質(zhì)得到k<0，再根據(jù)一元二次方程的根的判別式即可解答．【詳解】解：∵正比例函數(shù)中，的值隨值的增大而減小，∴，∵關(guān)于的一元二次方程為，∴，∴一元二次方程為有兩個不相等的實數(shù)根．故選．【點睛】本題考查了正比例函數(shù)的性質(zhì)，一元二次方程根的判別式，掌握一元二次方程根的判別式是解題的關(guān)鍵．題型二:判斷式求參數(shù)問題4．若關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則的值可以是（）A． B． C．0 D．【答案】C【分析】根據(jù)關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根得到，解得，即可得到解答．【詳解】解：∵關(guān)于的一元二次方程的根的判別式是：．∵方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴，解得．∴的值可以是0，故選：C．【點睛】本題主要考查一元二次方程根的判別式，一元二次方程的根與有如下關(guān)系：①當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；②當時，方程有兩個相等的實數(shù)根；③當時，方程無實數(shù)根．5．一元二次方程有兩個實數(shù)根a，b，那么一次函數(shù)的圖象一定不經(jīng)過的象限是（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求出與的值，然后根據(jù)一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出答案．【詳解】解：由根與系數(shù)的關(guān)系可知：，，∴∴一次函數(shù)解析式為：，故一次函數(shù)的圖象一定不經(jīng)過第四象限．故選：D．【點睛】本題考查了一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練運用根與系數(shù)的關(guān)系以及一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．6．已知關(guān)于x的方程的兩實根為，若，則m的值為（

）A． B． C．或3 D．或1【答案】A【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得，再由可得，然后根據(jù)一元二次方程根的判別式可得，即可確定m的值．【詳解】解：∵關(guān)于x的方程的兩實數(shù)根為，∴，∵，∴，∴，解得：，∵方程有兩個實數(shù)根，∴，解得：，∴．故選：A．【點睛】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式等知識點，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．題型三：一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系7．已知m，n是方程的兩根，則代數(shù)式的值等于（

）A．0 B．?11 C．9 D．11【答案】C【分析】將化為，根據(jù)m，n是方程的兩根，以及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得，，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意可得：，∵m，n是方程的兩根，∴，，∴，故選：C．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的解以及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握使方程兩邊相等的未知數(shù)的值是方程的解，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．8．已知m，n是一元二次方程的兩根，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得出，然后將分式化簡，代入即可求解．【詳解】解：∵，是一元二次方程的兩根，∴，∴，故選：C．【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，分式的化簡求值，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．9．設(shè)與為一元二次方程的兩根，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由根于系數(shù)的關(guān)系可得、，然后代入進行配方即可解答．【詳解】解：∵∴，，．，．的最小值為．故選：．【點睛】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、運用配方法求最值等知識點，掌握配方法是解答本題的關(guān)鍵．題型四：根和系數(shù)與判別式的綜合應(yīng)用10．已知關(guān)于x的一元二次方程(1)求證：無論m為何值，方程總有實數(shù)根；(2)若，是方程的兩個實數(shù)根，且，求m的值．【答案】(1)見解析(2)或．【分析】（1）根據(jù)一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系，只要判定即可得到答案；（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到，，整體代入得到求解即可得到答案．【詳解】（1）證明：關(guān)于的一元二次方程，∴，，，∴，∵，即，∴不論為何值，方程總有實數(shù)根；（2）解：∵，是關(guān)于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根，∴，，∵，∴，∴，整理，得，解得，，∴m的值為或．【點睛】本題考查一元二次方程根的情況與判別式關(guān)系，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟記一元二次方程判別式與方程根的情況聯(lián)系、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．11．已知關(guān)于x的一元二次方程．(1)若此方程有兩個不相等的實數(shù)根，，求m的取值范圍；(2)若此方程的兩根互為倒數(shù)，求的值．【答案】(1)(2)7【分析】（1）根據(jù)一元二次方程根的判別式進行求解即可；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合倒數(shù)的定義得到，再由進行求解即可．【詳解】（1）解：∵關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴，即，∴；（2）解：∵，是關(guān)于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根，，且互為倒數(shù)，∴，∴．【點睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，完全平方公式的變形求值，靈活運用所學知識是解題的關(guān)鍵．12．已知關(guān)于x的方程，其中p，q都是實數(shù)．(1)若時，方程有兩個不同的實數(shù)根，，且，求實數(shù)p的值．(2)若方程有三個不同的實數(shù)根，，，且，求實數(shù)p和q的值．(3)是否同時存在質(zhì)數(shù)p和整數(shù)q使得方程有四個不同的實數(shù)根，，，且？若存在，求出所有滿足條件的p，q．若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)或，(3)存在，時，；當時，【分析】（1）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得，，，代入可得關(guān)于的方程，解方程即可；（2）由方程有三個不同的實數(shù)根、、，可得，、是方程的兩根；由根與系數(shù)的關(guān)系可得，，．，進而得到關(guān)于的方程，解出即可求出的值；（3）方程有四個不同的實數(shù)根，，，，由（2）知，不妨設(shè)，是方程的兩根，，是方程的兩根，可得，進行討論即可求解．【詳解】（1）解：若，則方程為．因該方程有兩個不同的實數(shù)、，可得，，，解得；由，得，解得或．（注意因為，所以．（2）顯然．方程可寫成．因該方程有三個不同的實數(shù)根，即函數(shù)與的圖象有三個不同的交點，可得：，，即，因為、是方程的兩根，即．則，，．，解得．由，得，解得，∴或，．（3）存在．方程有四個不同的實數(shù)根，，，，由（2）知，不妨設(shè)，是方程的兩根，，是方程的兩根，則，，，，則，，因為，所以，因為是質(zhì)數(shù)，，，所以，，則，則無解，則，則無解，則，則，解得，則，則，解得，2，5，則，則，解得．故，5，所以存在滿足條件的，．當時，；當時，．【點睛】本題考查了一元二次方程的整數(shù)根與有理根，根與系數(shù)的關(guān)系，牢記兩根之和等于、兩根之積等于是【專題突破】一、單選題13．關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用一元二次方程根判別式的意義可得，然后解不等式即可解答．【詳解】解：一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，，解得，．故選：A．【點睛】本題主要考查一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系，掌握①，一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根；②，一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根；③，一元二次方程無實數(shù)根．14．關(guān)于的一元二次方程無實數(shù)根，則一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程無實數(shù)根得且，即可得，又∵，可得一次函數(shù)的圖象經(jīng)過一、二、四象限，即可得．【詳解】解：∵一元二次方程無實數(shù)根，∴且，，，，又∵，∴一次函數(shù)的圖象經(jīng)過一、二、四象限，∴一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過第三象限，故選：C．【點睛】本題考查了一元二次方程的根的判別式，一次函數(shù)的圖像性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握這些知識點．15．關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是（

）A．且 B．且C．且 D．【答案】C【分析】由關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，得到且，由此即可求出的取值范圍．【詳解】解：關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，且，解得：且，故選：C．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的定義以及根的判別式，一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當

時，方程沒有實數(shù)根．16．已知是關(guān)于x的一元二次方程的一個解，則a的值為（

）A．0 B． C．1 D．2【答案】B【分析】把代入方程計算即可求出a的值．【詳解】解：把代入方程得：，解得：．故選：B．【點睛】此題考查了一元二次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，將方程的根代入原方程是解題的關(guān)鍵．17．對于實數(shù)a，b定義運算“※”為，例如．若關(guān)于x的方程沒有實數(shù)根，則m的值可以是（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】A【分析】根據(jù)新的運算法則列出一元二次方程，再根據(jù)一元二次方程根的判別式即可解答．【詳解】解：由題意可得：可化為：∵關(guān)于x的方程沒有實數(shù)根，∴，解得：，觀察發(fā)現(xiàn)僅有D選項符合題意．故選A．【點睛】本題主要考查了整式運算、一元二次方程根的判別式等知識點，掌握當一元二次根的判別式小于零，該方程無實數(shù)根是解答本題的關(guān)鍵．18．已知a，b是一元二次方程的兩根，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先化簡分式，由根與系數(shù)的關(guān)系得出，再將其代入計算即可得出結(jié)論．【詳解】解：，∵a，b是一元二次方程的兩根，∴，∴原式．故選：A．【點睛】本題考查了分式的化簡，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出是解題的關(guān)鍵．19．已知m、n是一元二次方程的兩根，則的值是（

）A．4 B． C．2 D．【答案】A【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系，進行求解即可．【詳解】解：∵m、n是一元二次方程的兩根，∴，∴；故選A．【點睛】本題考查根與系數(shù)的關(guān)系．熟練掌握兩根之和等于，兩根之積等于，是解題的關(guān)鍵．20．已知a，b是一元二次方程的兩根，則的值是(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)a，b是一元二次方程的兩根可得，分式化簡得，將代入求解即可．【詳解】解：∵a，b是一元二次方程的兩根，∴．∴故選：C．【點睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，分式的化簡求值，掌握相關(guān)公式和法則是解題的關(guān)鍵．21．已知，是一元二次方程的兩根，則的值是（

）A．2 B．3 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得，由根的定義可得，代入整理即可．【詳解】解：∵，是一元二次方程的兩根，∴，，∴．故選B．【點睛】本題考查了一元二次方程根的定義，以及根與系數(shù)的關(guān)系，若，為方程的兩個根，則，與系數(shù)的關(guān)系式：，．22．已知關(guān)于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根，，且，，則k的取值范圍是（

）A． B．C． D．且【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程的根的判別式，建立關(guān)于的不等式，求出的取值范圍．根據(jù)，，可得，結(jié)合，從而最后確定的取值范圍．【詳解】解：∵方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴，解得：，∵，，∴又∵，∴，解得：，綜上，的取值范圍為：．故選：C．【點睛】此題考查了一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系，關(guān)鍵是得到．23．若關(guān)于的方程的兩個實數(shù)根滿足關(guān)系式，則的值為(

)A．11 B． C．11或 D．11或或1【答案】C【分析】先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，再把兩邊平方后利用完全平方公式變形得到，然后將代入求關(guān)于k的方程，最后再利用判別式確定k的取值．【詳解】解：∵關(guān)于的方程的兩個實數(shù)根∴，∵∴∴，整理得：，解得，當時，方程變形為，即，，方程有兩個不相等的實數(shù)解；當時，方程變形為，即，，方程有兩個不相等的實數(shù)解；∴k的值為11或．故選：C．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式等知識點，若方程兩個為，則是解答本題的關(guān)鍵．24．若m，n是一元二次方程的兩個實數(shù)根，則（

）A． B． C． D．3【答案】D【分析】利用一元二次方程根的定義和根與系數(shù)關(guān)系得到，，，，對分子進行因式分解后，利用整體代入即可得到答案．【詳解】解：∵m，n是的兩個實數(shù)根，∴，，，∴，∴．故選：D．【點睛】本題考查了一元二次方程根的定義，根與系數(shù)關(guān)系等知識，關(guān)鍵在于利用因式分解正確變形，用整體代入方法解決．二、填空題25．已知關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，且，則實數(shù)_________．【答案】3【分析】利用一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根求出m的取值范圍，由根與系數(shù)關(guān)系得到，代入，解得的值，根據(jù)求得的m的取值范圍，確定m的值即可．【詳解】解：∵關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴，解得，∵，，∴，解得（不合題意，舍去），∴故答案為：3【點睛】此題考查一元二次方程根的判別式和一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，熟練掌握根的判別式和根與系數(shù)關(guān)系的內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．26．已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個不等實數(shù)根，，若，則k的值為______．【答案】2【分析】先利用一元二次方程根的判別式大于0建立不等式，解不等式即可得；再由一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系可得，解方程即可解答．【詳解】解：關(guān)于的一元二次方程有兩個不等實數(shù)根，此方程根的判別式，解得．由題意得：，解得或，又，的值為2，故答案為：2．【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式、以及根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程的相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．27．關(guān)于的一元二次方程兩個實數(shù)根、且，則m的取值范圍是________；【答案】【分析】根據(jù)根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系列出關(guān)于的不等式組，通過解該不等式組，求得的取值范圍．【詳解】解：∵的一元二次方程兩個實數(shù)根、∴，，解得：，∵，∴，解得：，∴．【點睛】本題考查了解不等式組，一元二次方程根的判別式，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．28．已知是方程的兩個實數(shù)根，且，則的值為___________．【答案】7【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出與的值，然后整體代入求值即可．【詳解】∵是方程的兩個實數(shù)根，∴，，∵，∴，，，∴解得．故答案為：7．【點睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，代數(shù)式求值．熟記一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：和是解題關(guān)鍵．29．若，是方程的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式的值為______．【答案】【分析】先根據(jù)一元二次方程根的定義得到，則化為，再利用根與系數(shù)的關(guān)系得，然后利用整體代入的方法計算．【詳解】解：∵，是方程的兩個實數(shù)根，∴，，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系：若，是一元二次方程的兩根，則，．掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．也考查了一元二次方程的解，求代數(shù)式的值，運用了整體代入的思想．三、解答題30．已知關(guān)于的方程．(1)求證：方程總有兩個實數(shù)根；(2)若方程的兩個實數(shù)根都是整數(shù)，求正整數(shù)的值．【答案】(1)見解析(2)或【分析】（1）求出判別式的符號，進行判斷即可；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系進行求解即可．【詳解】（1）解：∵，∴；∵，∴方程總有兩個實數(shù)根；（2）解：設(shè)方程的兩個根為，則：，∵方程的兩個實數(shù)根都是整數(shù)，∴是整數(shù)，∵為正整數(shù)，∴．【點睛】本題考查根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系．熟練掌握判別式大于0，方程有兩個不相等的實數(shù)根，判別式等于0，方程有兩個相等的實數(shù)根，判別式小于0，方程沒有實數(shù)根，以及根與系數(shù)的關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．31．已知關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根．(1)求實數(shù)的取值范圍；(2)當時，設(shè)方程的根為，，求代數(shù)式的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意可得一元二次方程根判別式，解不等式即可求解；（2）當時，方程為，根據(jù)一元二次方程根的定義，以及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系式得出，，，，代入代數(shù)式，進而即可求解．【詳解】（1）解：關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，，即，整理得：，解得：．故實數(shù)的取值范圍是：；（2）當時，方程為，該方程的兩個實數(shù)根分別為，，，，，，．【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程根的定義，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．32．已知，是方程的兩根，求下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）根據(jù)題意可得：，，然后將原式化為，再整體代入計算即可；（2）根據(jù)，整體代入計算后開平方根求得的值，將原式化為，再整體代入計算即可；（3）將原式化為，再整體代入計算即可；（4）由（2）知的值，再開算術(shù)平方根即可．【詳解】（1）解：∵，是方程的兩根，∴，，∴，∴的值為；（2）∵∴，∴，∴，∴的值為；（3）∵，∴的值為；（4）由（2）知：，∴的值為．【點睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：若，是一元二次方程的兩根，則，．掌握查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．33．閱讀材料，解答問題：【材料1】為了解方程，如果我們把看作一個整體，然后設(shè)，則原方程可化為，經(jīng)過運算，原方程的解為，．我們把以上這種解決問題的方法通常叫做換元法．【材料2】已知實數(shù)，滿足，，且，顯然，是方程的兩個不相等的實數(shù)根，由韋達定理可知，．根據(jù)上述材料，解決以下問題：(1)直接應(yīng)用：方程的解為；(2)間接應(yīng)用：已知實數(shù)，滿足：，且，求的值．【答案】(1)，，，(2)或或【分析】（1）利用換元法解方程，設(shè)，則原方程可化為，解關(guān)于的方程得到，，則或，然后分別解兩個元二次方程即可；（2）根據(jù)已知條件，當時，，解關(guān)于的一元二次方程得，則；當時，把、看作方程的兩不相等的實數(shù)根，則根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，，再變形得到，然后利用整體代入的方法計算．【詳解】（1）解：，設(shè)，則原方程可化為，解得：，，當時，，解得：，，當時，，解得：，，∴原方程的解為，，，，故答案為：，，，；（2）解：∵實數(shù)，滿足：，且，當時，，解關(guān)于的一元二次方程，得：，∴；當時，則、是方程的兩不相等的實數(shù)根，∴，，∴；∴的值為或或．【點睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：若，是一元二次方程的兩根，則，；也考查了換元法，解一元二次方程，求代數(shù)式的值，運用了恒