2024年高中數(shù)學(xué)同步高分突破講義(人教A版2019)1.3空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示-(選擇性必修第一冊)(學(xué)生版+解析)

空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示1空間直角坐標(biāo)系(1)空間直角坐標(biāo)系在空間選定一點(diǎn)O和一個單位正交基底{i,j,k}，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以i,j,k的方向?yàn)檎较?、以它們的長為單位長度建立三條數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫做坐標(biāo)軸，這時我們就建立了一個空間直角坐標(biāo)系Oxyz，在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱這個坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系.(2)空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)在空間直角坐標(biāo)系O?xyz中，對空間任一點(diǎn)A，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)，使OA=xi+yj+zk,有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)2空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律①若a=(則aλaa||b?a⊥②若Ax1,③模長公式若a=(a1④夾角公式cos<?ABC中，AB⑤兩點(diǎn)間的距離公式:若A(則|或d【題型一】空間向量坐標(biāo)運(yùn)算【典題1】已知：a=(x,4,1)，b=(?2,y,?1)，c=(3,?2,z)，a(1)a,b,c；(2)【典題2】已知空間四點(diǎn)A(2,－1,1)、B(1,2,3)、C(0,2,1)、D(1,0,λ)在同一平面內(nèi)，則實(shí)數(shù)λ=．鞏固練習(xí)1(★)空間點(diǎn)A(x，y，z)，O(0，0，0)，B(2，3，2)，若|AO|=1，則|AB|2(★)已知向量a=(2,?1,3),b=(?4,2,t)的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)t3(★)若向量a=(7,λ,8),b=(1,?1,2),c=(2,3,1)，且4(★★)已知AB=(2,?1,3),AC=(?1,4,?2),AD=(5,?6,λ)，若A,B,C,D【題型二】建立空間坐標(biāo)系處理幾何問題【典題1】△ABC的三個頂點(diǎn)分別是A(1,?1,2)，B(5,?6,2)，C(1,3,?1)，則AC【典題2】如圖，BC=4，原點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A(32,12,0)，點(diǎn)D在平面yOz上，且【典題3】如圖，直角三角形OAC所在平面與平面α交于OC，平面OAC⊥平面α，∠OAC為直角，OC=4，B為OC的中點(diǎn)，且∠ABC=2π3，平面α內(nèi)一動點(diǎn)P滿足∠PAB=π3鞏固練習(xí)1(★)如圖三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)面BB1C1C是邊長為2菱形，∠CBB1=60°，BC1交2(★★)已知點(diǎn)A(1,?2,11)、B(4,2,3)，C(6,?1,4)，則△ABC中角C的大小是．3(★★)已知空間三點(diǎn)A(0,2,3)，B(2,5,2)，C(?2,3,6)，則以AB，AC為鄰邊的平行四邊形的面積為4(★★★)已知長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，AA1=2，A．存在點(diǎn)P，使得I1=I2 C．對任意的點(diǎn)P，有I1>I2 5(★★★)如圖，已知點(diǎn)P在正方體ABCD－A'B'C'D'的對角線BD'上，∠PDC=60°．設(shè)D'P=λD'B，則λ的值為6(★★★)三棱錐O－ABC中，OA，OB，OC兩兩垂直且相等，點(diǎn)P，Q分別是線段BC和OA上移動，且滿足BP≤空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示1空間直角坐標(biāo)系(1)空間直角坐標(biāo)系在空間選定一點(diǎn)O和一個單位正交基底{i,j,k}，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以i,j,k的方向?yàn)檎较?、以它們的長為單位長度建立三條數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫做坐標(biāo)軸，這時我們就建立了一個空間直角坐標(biāo)系Oxyz，在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱這個坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系.(2)空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)在空間直角坐標(biāo)系O?xyz中，對空間任一點(diǎn)A，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)，使OA=xi+yj+zk,有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)2空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律①若a=(則aλaa||b?a⊥②若Ax1,③模長公式若a=(a1④夾角公式cos<?ABC中，AB⑤兩點(diǎn)間的距離公式:若A(則|或d【題型一】空間向量坐標(biāo)運(yùn)算【典題1】已知：a=(x,4,1)，b=(?2,y,?1)，c=(3,?2,z)，a(1)a,b,c；(2)【解析】(1)∵a//b，∴故a=(2,4,1),又因?yàn)閎⊥c，所以b?c=0故c=(2)由(1)可得a+設(shè)向量a+c與b+則cos?θ=【典題2】已知空間四點(diǎn)A(2,－1,1)、B(1,2,3)、C(0,2,1)、D(1,0,λ)在同一平面內(nèi)，則實(shí)數(shù)λ=．【解析】∵空間四點(diǎn)A(2,－1,1)、B(1,2,3)、C(0,2,1)、D(1,0,λ)∴AD即(－1,1,λ－1)=m(－1,3,2)+n(－2,3,0)=(－m－2n,3m+3n,2m)，∴?m?2n=?13m+3n=1鞏固練習(xí)1(★)空間點(diǎn)A(x，y，z)，O(0，0，0)，B(2，3，2)，若|AO|=1，則【答案】2【解析】∵空間點(diǎn)A(x，y，z)，O(0，0，0)，B(2，3∴A是以O(shè)為球心，1∵B(2，∴|AB|的最小值為：|OB|－||OA|=3－1=22(★)已知向量a=(2,?1,3),b=(?4,2,t)的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)t【答案】(?【解析】∵向量a=(2,?1,3),∴&a?b=?8?2+3t<0∴實(shí)數(shù)t的取值范圍為(?∞3(★)若向量a=(7,λ,8),b=(1,?1,2),c=(2,3,1)，且【答案】3【解析】向量a=(7,λ,8),b=(1,?1,2),所以存在兩個實(shí)數(shù)x、y使得a=x即7=x+2yλ=?x+3y8=2x+y，解得x=3y=24(★★)已知AB=(2,?1,3),AC=(?1,4,?2),AD=(5,?6,λ)，若A,B,C,D【答案】8【解析】∵A,B,C,D四點(diǎn)共面，∴存在實(shí)數(shù)m,n，使得AD=m∴&2m?n=5&?m+4n=?6&3m?2n=λ【題型二】建立空間坐標(biāo)系處理幾何問題【典題1】△ABC的三個頂點(diǎn)分別是A(1,?1,2)，B(5,?6,2)，C(1,3,?1)，則AC【解析】方法一要求高BD，則只需求點(diǎn)D坐標(biāo)，可采取待定系數(shù)法.設(shè)點(diǎn)D(x、y、z)，則BD=x?5,y+6,z?2，AD由垂足D滿足的條件BD?∴BD∴|BD方法二等積法(思考：因?yàn)槿齻€點(diǎn)A、B、C確定了，則可求出?ABC的面積SABC，繼而可求高BD=∵A(1,?1,2)，B(5,?6,2)，C(1,3,?1)，∴cosA=AC∴S∵SABC=【點(diǎn)撥】我們利用空間向量的知識也是可以求出幾何中常見的量：線段長度(兩點(diǎn)距離公式)、角度(數(shù)量積)、面積等.【典題2】如圖，BC=4，原點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A(32,12,0)，點(diǎn)D在平面yOz上，且【解析】∵點(diǎn)D在平面yoz上，∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為0過點(diǎn)D作DH⊥BC，依題意易得DH=4sin30°sin即點(diǎn)D的豎坐標(biāo)為z=3，縱坐標(biāo)為∴|AD|=(【點(diǎn)撥】①在空間坐標(biāo)系中確定點(diǎn)的坐標(biāo)是個硬骨頭，基本方法是：(1)根據(jù)題意求出各線段長度，比如CD、BD；(2)確定空間點(diǎn)坐標(biāo)的意義，比如點(diǎn)D的豎坐標(biāo)與點(diǎn)D到平面xOy的距離有關(guān)；(3)把空間問題平面化；(4)留意D坐標(biāo)的正負(fù).②兩點(diǎn)間的距離公式:若A(x則|AB【典題3】如圖，直角三角形OAC所在平面與平面α交于OC，平面OAC⊥平面α，∠OAC為直角，OC=4，B為OC的中點(diǎn)，且∠ABC=2π3，平面α內(nèi)一動點(diǎn)P滿足∠PAB=π【解析】(題中垂直關(guān)系較多，較容易建系描出各點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而數(shù)量積OP?∵平面OAC⊥平面α，∴作AO'⊥OC，則AO'⊥平面α，過O'在平面α內(nèi)作OC的垂線O'X，如圖建立空間直角坐標(biāo)系O'－XYZ，∵∠OAC為直角，OC=4，B為OC的中點(diǎn)，且∴BC=AB=OB=2，∠ABO=O'A=3，O'B=1，OO'=1，O'C=3則O(0,?1,0)，A(0,0,3)，B(0,1,0)，設(shè)P(x,y,0)，(點(diǎn)P是動點(diǎn)，在坐標(biāo)系中引入變量x，y，再由限制條件∠PAB=π3得到x，則AP=(x,y,?3)∴AP∵∠PAB=∴AP∴y+3=x2+∴OP又∵x∴y≥?1，(點(diǎn)P是有固定軌跡的，即y是有范圍的，討論函數(shù)性質(zhì)也要優(yōu)先討論定義域)∴當(dāng)y=?1時，OP?CP的最小值為∴OP故答案為[0,+∞)．【點(diǎn)撥】①由平面OAC⊥平面α可想到建立空間直角坐標(biāo)系的方法，根據(jù)?OAC已知條件可求其他角、邊的大小，從而得到各點(diǎn)的坐標(biāo)；②而OP?CP由點(diǎn)③從數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算的角度得AP?AB=y+3，從數(shù)量積的定義AP?AB④由坐標(biāo)運(yùn)算易求OP?CP最小值化為⑤本題若想用非坐標(biāo)的方法解答：OP?而得不到點(diǎn)P的軌跡，較難求出BP2鞏固練習(xí)1(★)如圖三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)面BB1C1C是邊長為2菱形，∠CBB1=60°，BC1交【答案】(?3【解析】三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)面BBC1交B1C于點(diǎn)O，AO⊥側(cè)面如圖建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz，過A1作A1E⊥平面BCC1B1則B1E∥OC1，∴點(diǎn)A1的坐標(biāo)為(?故選：B．2(★★)已知點(diǎn)A(1,?2,11)、B(4,2,3)，C(6,?1,4)，則△ABC中角C的大小是．【答案】90°【解析】∵A(1,－2,11)、B(4,2,3)，C(6,－1,4)，∴|AC→|BC又∵∴CA可得cos∵∠ACB∈(0°,180°)∴∠ACB=90°故答案為90°3(★★)已知空間三點(diǎn)A(0,2,3)，B(2,5,2)，C(?2,3,6)，則以AB，AC為鄰邊的平行四邊形的面積為【答案】65【解析】AB∴AB|AB|=2∴cos∴sin∠BAC=1?co∴以AB，AC為鄰邊的平行四邊形的面積S=|AB故答案為：654(★★★)已知長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，AA1=2，A．存在點(diǎn)P，使得I1=I2 C．對任意的點(diǎn)P，有I1>I2 【答案】C【解析】如圖所示建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，以B1A1為x軸，B1C1為y軸，B1B為z軸，B1為坐標(biāo)原點(diǎn)，由題意則B(0,0,2)所以AB=(?4,0,0)，AP=(x?4,y,z?2)，AC1=(?4,3,?2)因?yàn)闈M足B1P=1，所以x2+y2∴I∴I∴II1－I2=－4(x－4)－3y=16－4x－3y>0I1－II2－I故選：C．5(★★★)如圖，已知點(diǎn)P在正方體ABCD－A'B'C'D'的對角線BD'上，∠PDC=60°．設(shè)D'P=λD'B，則λ的值為【答案】2【解析】以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD'為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體ABCD－A'B'C'D'的棱長為1，點(diǎn)P在正方體ABCD－A'B'C'D'的對角線BD'上，且∠PDA=60°，∵D'P→=λ則A(1,0,0)，C(0,1,0)，D'(0,0,1)，B(1,1,0)，P(λ,λ,1－λ)，∴DP→=(λ,λ,1－λ)∴cos<DC由0<λ<1，解得λ=2故選：C．6(★★★)三棱錐O－ABC中，OA，OB，OC兩兩垂直且相等，點(diǎn)P，Q分別是線段BC和OA上移動，且滿足BP≤【答案】[【解