2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸類與強(qiáng)化測(cè)試專題42空間點(diǎn)線面之間的位置關(guān)系教師版

專題42空間點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系一、【學(xué)問(wèn)梳理】【考綱要求】1.借助長(zhǎng)方體，在直觀相識(shí)空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上抽象出空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的定義.2.了解四個(gè)基本事實(shí)和一個(gè)定理，并能應(yīng)用定理解決問(wèn)題.【考點(diǎn)預(yù)料】1.與平面有關(guān)的基本事實(shí)及推論(1)與平面有關(guān)的三個(gè)基本事實(shí)基本事實(shí)內(nèi)容圖形符號(hào)基本事實(shí)1過(guò)不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面A，B，C三點(diǎn)不共線?存在唯一的α使A，B，C∈α基本事實(shí)2假如一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α基本事實(shí)3假如兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線P∈α，且P∈β?α∩β＝l，且P∈l(2)基本事實(shí)1的三個(gè)推論推論內(nèi)容圖形作用推論1經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面確定平面的依據(jù)推論2經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面推論3經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面2.空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系直線與直線直線與平面平面與平面平行關(guān)系圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言a∥ba∥αα∥β相交關(guān)系圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言a∩b＝Aa∩α＝Aα∩β＝l獨(dú)有關(guān)系圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言a，b是異面直線a?α3.基本事實(shí)4和等角定理平行公理：平行于同一條直線的兩條直線相互平行.等角定理：假如空間中兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).4.異面直線所成的角(1)定義：已知a，b是兩條異面直線，經(jīng)過(guò)空間隨意一點(diǎn)O作直線a′∥a，b′∥b，把a(bǔ)′與b′所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).(2)范圍：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).【常用結(jié)論】1.證明點(diǎn)共線與線共點(diǎn)都需用到基本事實(shí)3.2.兩異面直線所成的角歸結(jié)到一個(gè)三角形的內(nèi)角時(shí)，簡(jiǎn)潔忽視這個(gè)三角形的內(nèi)角可能等于兩異面直線所成的角，也可能等于其補(bǔ)角.【方法技巧】1.共面、共線、共點(diǎn)問(wèn)題的證明(1)證明共面的方法：先確定一個(gè)平面，然后再證其余的線(或點(diǎn))在這個(gè)平面內(nèi)．(2)證明共線的方法：先由兩點(diǎn)確定一條直線，再證其他各點(diǎn)都在這條直線上．(3)證明共點(diǎn)的方法：先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證其他直線經(jīng)過(guò)該點(diǎn)．2.點(diǎn)、直線、平面位置關(guān)系的判定，留意構(gòu)造幾何體(長(zhǎng)方體、正方體)模型來(lái)推斷，常借助正方體為模型．3.求異面直線所成的角的三個(gè)步驟一作：依據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角．二證：證明作出的角是異面直線所成的角．三求：解三角形，求出所作的角．4.作截面應(yīng)遵循的三個(gè)原則：①在同一平面上的兩點(diǎn)可引直線；②凡是相交的直線都要畫(huà)出它們的交點(diǎn)；③凡是相交的平面都要畫(huà)出它們的交線．5.作交線的方法有如下兩種：①利用基本事實(shí)3作交線；②利用線面平行及面面平行的性質(zhì)定理去找尋線面平行及面面平行，然后依據(jù)性質(zhì)作出交線．二、【題型歸類】【題型一】平面的基本性質(zhì)【典例1】如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D中，E，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點(diǎn)，求證：E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面．【證明】如圖所示，連接CD1，EF，A1B，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點(diǎn)，所以EF∥A1B且EF＝eq\f(1,2)A1B.又因?yàn)锳1D1平行BC且A1D1=BC，所以四邊形A1BCD1是平行四邊形，所以A1B∥CD1，所以EF∥CD1，所以EF與CD1確定一個(gè)平面α，所以E，F(xiàn)，C，D1∈α，即E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面．【典例2】(多選)如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，O是DB的中點(diǎn)，直線A1C交平面C1BD于點(diǎn)M，則下列結(jié)論正確的是()A．C1，M，O三點(diǎn)共線B．C1，M，O，C四點(diǎn)共面C．C1，O，A1，M四點(diǎn)共面D．D1，D，O，M四點(diǎn)共面【解析】連接A1C1，AC，則AC∩BD＝O，又A1C∩平面C1BD＝M，所以三點(diǎn)C1，M，O在平面C1BD與平面ACC1A1的交線上，所以C1，M，O三點(diǎn)共線，所以選項(xiàng)A，B，C均正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選ABC.【典例3】如圖，空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，G，H分別在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.(1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；(2)設(shè)EG與FH交于點(diǎn)P，求證：P，A，C三點(diǎn)共線．【解析】(1)因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，所以EF∥BD.在△BCD中，eq\f(BG,GC)＝eq\f(DH,HC)＝eq\f(1,2)，所以GH∥BD，所以EF∥GH，所以E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面．(2)因?yàn)镋G∩FH＝P，P∈EG，EG?平面ABC，所以P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.所以P為平面ABC與平面ADC的公共點(diǎn)，又平面ABC∩平面ADC＝AC，所以P∈AC，所以P，A，C三點(diǎn)共線．【題型二】空間兩直線的位置關(guān)系【典例1】如圖，點(diǎn)N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段ED的中點(diǎn)，則()A．BM＝EN，且直線BM，EN是相交直線B．BM≠EN，且直線BM，EN是相交直線C．BM＝EN，且直線BM，EN是異面直線D．BM≠EN，且直線BM，EN是異面直線【解析】如圖，取CD的中點(diǎn)F，連接EF，EB，BD，F(xiàn)N，因?yàn)椤鰿DE是正三角形，所以EF⊥CD.設(shè)CD＝2，則EF＝eq\r(3).因?yàn)辄c(diǎn)N是正方形ABCD的中心，所以BD＝2eq\r(2)，NF＝1，BC⊥CD.因?yàn)槠矫鍱CD⊥平面ABCD，所以EF⊥平面ABCD，BC⊥平面ECD，所以EF⊥NF，BC⊥EC，所以在Rt△EFN中，EN＝2，在Rt△BCE中，EB＝2eq\r(2)，所以在等腰三角形BDE中，BM＝eq\r(7)，所以BM≠EN.易知BM，EN是相交直線．故選B．【典例2】已知空間三條直線l，m，n，若l與m異面，且l與n異面，則()A．m與n異面B．m與n相交C．m與n平行D．m與n異面、相交、平行均有可能【解析】在如圖所示的長(zhǎng)方體中，m，n1與l都異面，但是m∥n1，所以A，B錯(cuò)誤；m，n2與l都異面，且m，n2也異面，所以C錯(cuò)誤．故選D．【典例3】如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點(diǎn)，有以下四個(gè)結(jié)論：①直線AM與CC1是相交直線；②直線AM與BN是平行直線；③直線BN與MB1是異面直線；④直線AM與DD1是異面直線．其中正確的結(jié)論是________(注：把你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號(hào)都填上)．【解析】直線AM與CC1是異面直線，直線AM與BN也是異面直線，故①②錯(cuò)誤．答案：③④【題型三】求兩條異面直線所成的角【典例1】如圖，在底面為正方形，側(cè)棱垂直于底面的四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為()A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)【解析】連接BC1，易證BC1∥AD1，則∠A1BC1即為異面直線A1B與AD1所成的角．連接A1C1，由AB＝1，AA1＝2，易得A1C1＝eq\r(2)，A1B＝BC1＝eq\r(5)，故cos∠A1BC1＝eq\f(A1B2＋BC\o\al(2,1)－A1C\o\al(2,1),2×A1B×BC1)＝eq\f(4,5)，即異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為eq\f(4,5).故選D.【典例2】在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq\r(3)，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為()A.eq\f(1,5)B.eq\f(\r(5),6)C.eq\f(\r(5),5)D.eq\f(\r(2),2)【解析】如圖，連接BD1，交DB1于O，取AB的中點(diǎn)M，連接DM，OM.易知O為BD1的中點(diǎn)，所以AD1∥OM，則∠MOD為異面直線AD1與DB1所成角或其補(bǔ)角．因?yàn)樵陂L(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq\r(3)，AD1＝eq\r(AD2＋DD\o\al(2,1))＝2，DM＝eq\r(AD2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)AB))2)＝eq\f(\r(5),2)，DB1＝eq\r(AB2＋AD2＋BB\o\al(2,1))＝eq\r(5).所以O(shè)M＝eq\f(1,2)AD1＝1，OD＝eq\f(1,2)DB1＝eq\f(\r(5),2)，于是在△DMO中，由余弦定理，得cos∠MOD＝eq\f(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))2,2×1×\f(\r(5),2))＝eq\f(\r(5),5)，即異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為eq\f(\r(5),5).【典例3】在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P為B1D1的中點(diǎn)，則直線PB與AD1所成的角為()A.eq\f(π,2) B.eq\f(π,3) C.eq\f(π,4) D.eq\f(π,6)【解析】如圖，連接C1P，因?yàn)锳BCD－A1B1C1D1是正方體，且P為B1D1的中點(diǎn)，所以C1P⊥B1D1，又C1P⊥BB1，B1D1∩BB1＝B1，B1D1，BB1?平面B1BP，所以C1P⊥平面B1BP.又BP?平面B1BP，所以有C1P⊥BP.連接BC1，則AD1∥BC1，所以∠PBC1為直線PB與AD1所成的角.設(shè)正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，則在Rt△C1PB中，C1P＝eq\f(1,2)B1D1＝eq\r(2)，BC1＝2eq\r(2)，sin∠PBC1＝eq\f(PC1,BC1)＝eq\f(1,2)，所以∠PBC1＝eq\f(π,6).故選D.【題型四】空間幾何體的切割(截面)問(wèn)題【典例1】在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是棱DD1和BB1上的點(diǎn)，MD＝eq\f(1,3)DD1，NB＝eq\f(1,3)BB1，那么正方體中過(guò)M，N，C1的截面圖形是()A．三角形 B．四邊形C．五邊形 D．六邊形【解析】先確定截面上的已知邊與幾何體上和其共面的邊的交點(diǎn)，再確定截面與幾何體的棱的交點(diǎn)．如圖，設(shè)直線C1M，CD相交于點(diǎn)P，直線C1N，CB相交于點(diǎn)Q，連接PQ交直線AD于點(diǎn)E，交直線AB于點(diǎn)F，則五邊形C1MEFN為所求截面圖形．故選C.【典例2】(多選)正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，已知平面α⊥AC1，則關(guān)于α截此正方體所得截面的推斷正確的是()A．截面形態(tài)可能為正三角形B．截面形態(tài)可能為正方形C．截面形態(tài)可能為正六邊形D．截面面積最大值為3eq\r(3)【解析】易知A，C正確，B不正確，下面說(shuō)明D正確，如圖，截面為正六邊形，當(dāng)六邊形的頂點(diǎn)均為棱的中點(diǎn)時(shí)，其面積最大，MN＝2eq\r(2)，GH＝eq\r(2)，OE＝eq\r(OO′2＋O′E2)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)＝eq\f(\r(6),2)，所以S＝2×eq\f(1,2)×(eq\r(2)＋2eq\r(2))×eq\f(\r(6),2)＝3eq\r(3)，故D正確．故選ACD.【典例3】如圖，正方體A1C的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)M在棱A1D1上，A1M＝2MD1，過(guò)M的平面α與平面A1BC1平行，且與正方體各面相交得到截面多邊形，則該截面多邊形的周長(zhǎng)為_(kāi)_______．【解析】在平面A1D1DA中找尋與平面A1BC1平行的直線時(shí)，只須要ME∥BC1，如圖所示，因?yàn)锳1M＝2MD1，故該截面與正方體的交點(diǎn)位于靠近D1，A，C的三等分點(diǎn)處，故可得截面為MIHGFE，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為3a，則ME＝2eq\r(2)a，MI＝eq\r(2)a，IH＝2eq\r(2)a，HG＝eq\r(2)a，F(xiàn)G＝2eq\r(2)a，EF＝eq\r(2)a，所以截面MIHGFE的周長(zhǎng)為ME＋EF＋FG＋GH＋HI＋I(xiàn)M＝9eq\r(2)a，又因?yàn)檎襟wA1C的棱長(zhǎng)為1，即3a＝1，故截面多邊形的周長(zhǎng)為3eq\r(2)．三、【培優(yōu)訓(xùn)練】【訓(xùn)練一】平面α過(guò)正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，則m，n所成角的正弦值為()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(1,3)【解析】如圖所示，設(shè)平面CB1D1∩平面ABCD＝m1，因?yàn)棣痢纹矫鍯B1D1，則m1∥m，又因?yàn)槠矫鍭BCD∥平面A1B1C1D1，平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1，所以B1D1∥m1，所以B1D1∥m，同理可得CD1∥n.故m，n所成角的大小與B1D1，CD1所成角的大小相等，即∠CD1B1的大小．又因?yàn)锽1C＝B1D1＝CD1(均為面對(duì)角線)，所以∠CD1B1＝eq\f(π,3)，得sin∠CD1B1＝eq\f(\r(3),2)，故選A.【訓(xùn)練二】已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)均為2，∠BAD＝60°.以D1為球心，eq\r(5)為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線長(zhǎng)為_(kāi)_______．【解析】如圖，連接B1D1，易知△B1C1D1為正三角形，所以B1D1＝C1D1＝2.分別取B1C1，BB1，CC1的中點(diǎn)M，G，H，連接D1M，D1G，D1H，則易得D1G＝D1H＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5)，D1M⊥B1C1，且D1M＝eq\r(3).由題意知G，H分別是BB1，CC1與球面的交點(diǎn)．在側(cè)面BCC1B1內(nèi)任取一點(diǎn)P，使MP＝eq\r(2)，連接D1P，則D1P＝eq\r(D1M2＋MP2)＝eq\r(（\r(3)）2＋（\r(2)）2)＝eq\r(5)，連接MG，MH，易得MG＝MH＝eq\r(2)，故可知以M為圓心，eq\r(2)為半徑的圓弧GH為球面與側(cè)面BCC1B1的交線．由∠B1MG＝∠C1MH＝45°知∠GMH＝90°，所以eq\o(GH,\s\up8(︵))的長(zhǎng)為eq\f(1,4)×2π×eq\r(2)＝eq\f(\r(2)π,2).【訓(xùn)練三】如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD各邊上的點(diǎn)，且AE∶EB＝AH∶HD＝m，CF∶FB＝CG∶GD＝n.(1)證明：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；(2)m，n滿足什么條件時(shí)，四邊形EFGH是平行四邊形？(3)在(2)的條件下，若AC⊥BD，試證明：EG＝FH.【解析】(1)證明：因?yàn)锳E∶EB＝AH∶HD，所以EH∥BD.又CF∶FB＝CG∶GD，所以FG∥BD.所以EH∥FG.所以E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面．(2)當(dāng)EH∥FG，且EH＝FG時(shí)，四邊形EFGH為平行四邊形．因?yàn)閑q\f(EH,BD)＝eq\f(AE,AE＋EB)＝eq\f(m,m＋1)，所以EH＝eq\f(m,m＋1)BD.同理可得FG＝eq\f(n,n＋1)BD，由EH＝FG，得m＝n.故當(dāng)m＝n時(shí)，四邊形EFGH為平行四邊形．(3)證明：當(dāng)m＝n時(shí)，AE∶EB＝CF∶FB，所以EF∥AC，又EH∥BD，所以∠FEH是AC與BD所成的角(或其補(bǔ)角)，因?yàn)锳C⊥BD，所以∠FEH＝90°，從而平行四邊形EFGH為矩形，所以EG＝FH.【訓(xùn)練四】如圖1，在邊長(zhǎng)為4的正三角形ABC中，D，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)．將△BCD與△AEF分別沿CD，EF同側(cè)折起，使得二面角A－EF－D與二面角B－CD－E的大小都等于90°，得到如圖2所示的多面體．(1)在多面體中，求證：A，B，D，E四點(diǎn)共面；(2)求多面體的體積．【解析】(1)證明因?yàn)槎娼茿－EF－D的大小等于90°，所以平面AEF⊥平面DEFC，又AE⊥EF，AE?平面AEF，平面AEF∩平面DEFC＝EF，所以AE⊥平面DEFC，同理，可得BD⊥平面DEFC，所以AE∥BD，故A，B，D，E四點(diǎn)共面．(2)解因?yàn)锳E⊥平面DEFC，BD⊥平面DEFC,EF∥CD，AE∥BD，DE⊥CD，所以AE是四棱錐A－CDEF的高，點(diǎn)A到平面BCD的距離等于點(diǎn)E到平面BCD的距離，又AE＝DE＝1，CD＝2eq\r(3)，EF＝eq\r(3)，BD＝2，所以V＝VA－CDEF＋VA－BCD＝eq\f(1,3)S梯形CDEF·AE＋eq\f(1,3)S△BCD·DE＝eq\f(7\r(3),6).【訓(xùn)練五】如圖1，在邊長(zhǎng)為4的正三角形ABC中，D，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)．將△BCD與△AEF分別沿CD，EF同側(cè)折起，使得二面角A－EF－D與二面角B－CD－E的大小都等于90°，得到如圖2所示的多面體．圖1圖2(1)在多面體中，求證：A，B，D，E四點(diǎn)共面；(2)求多面體的體積．【解析】(1)證明因?yàn)槎娼茿－EF－D的大小等于90°，所以平面AEF⊥平面DEFC，又AE⊥EF，AE?平面AEF，平面AEF∩平面DEFC＝EF，所以AE⊥平面DEFC，同理，可得BD⊥平面DEFC，所以AE∥BD，故A，B，D，E四點(diǎn)共面．(2)解因?yàn)锳E⊥平面DEFC，BD⊥平面DEFC，EF∥CD，AE∥BD，DE⊥CD，所以AE是四棱錐A－CDEF的高，點(diǎn)A到平面BCD的距離等于點(diǎn)E到平面BCD的距離，又AE＝DE＝1，CD＝2eq\r(3)，EF＝eq\r(3)，BD＝2，所以V＝VA－CDEF＋VA－BCD＝eq\f(1,3)S梯形CDEF·AE＋eq\f(1,3)S△BCD·DE＝eq\f(7\r(3),6)．【訓(xùn)練六】如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為正方形，邊長(zhǎng)為4，E為AB的中點(diǎn)，PE⊥平面ABCD.(1)若△PAB為等邊三角形，求四棱錐P－ABCD的體積；(2)若CD的中點(diǎn)為F，PF與平面ABCD所成角為45°，求PC與AD所成角的正切值.【解析】(1)∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，且△PAB為等邊三角形，E為AB的中點(diǎn)，∴PE＝PB·sin∠PBE＝AB·sin60°＝2eq\r(3)，又PE⊥平面ABCD，∴四棱錐P－ABCD的體積VP－ABCD＝eq\f(1,3)×42×2eq\r(3)＝eq\f(32\r(3),3).

(2)∵AD∥BC，∴∠PCB即PC與AD所成的角.如圖，連接EF，∵PE⊥平面ABCD，EF，BC?平面ABCD，∴PE⊥EF，PE⊥BC，又PF與平面ABCD所成角為45°，即∠PFE＝45°，∴PE＝EF·tan∠PFE＝4，∴PB＝eq\r(PE2＋BE2)＝eq\r(42＋22)＝2eq\r(5).又BC⊥AB，PE∩AB＝E，PE，AB?平面PAB，∴BC⊥平面PAB，又PB?平面PAB，∴BC⊥PB，∴tan∠PCB＝eq\f(PB,BC)＝eq\f(\r(5),2)，∴PC與AD所成角的正切值為eq\f(\r(5),2).四、【強(qiáng)化測(cè)試】【單選題】1.已知直線a和平面α，β，α∩β＝l，a?α，a?β，且a在α，β內(nèi)的射影分別為直線b和c，則直線b和c的位置關(guān)系是()A．相交或平行 B．相交或異面C．平行或異面 D．相交、平行或異面【解析】依題意，直線b和c的位置關(guān)系可能是相交、平行或異面．故選D.2.在四面體ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在直線AD，AB，CD，BC上，若直線EF和GH相交，則它們的交點(diǎn)確定()A．在直線DB上 B．在直線AB上C．在直線CB上 D．都不對(duì)【解析】直線EF和GH相交，設(shè)其交點(diǎn)為M.因?yàn)镋F?平面ABD，HG?平面CBD，所以M∈平面ABD且M∈平面CBD.因?yàn)槠矫鍭BD∩平面BCD＝BD，所以M∈BD，所以EF與HG的交點(diǎn)在直線BD上．故選A.3.如圖所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C?l，則平面ABC與平面β的交線是()A．直線AC B．直線ABC．直線CD D．直線BC【解析】由題意知，D∈l，l?β，所以D∈β，又因?yàn)镈∈AB，所以D∈平面ABC，所以點(diǎn)D在平面ABC與平面β的交線上．又因?yàn)镃∈平面ABC，C∈β，所以點(diǎn)C在平面β與平面ABC的交線上，所以平面ABC∩平面β＝CD.故選C.4.如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中點(diǎn)，則下列敘述正確的是()A．CC1與B1E是異面直線B．C1C與AE共面C．AE與B1C1是異面直線D．AE與B1C1所成的角為60°【解析】由于CC1與B1E都在平面C1B1BC內(nèi)，故C1C與B1E是共面的，所以A錯(cuò)誤；由于C1C在平面C1B1BC內(nèi)，而AE與平面C1B1BC相交于E點(diǎn)，點(diǎn)E不在C1C上，故C1C與AE是異面直線，B錯(cuò)誤；同理AE與B1C1是異面直線，C正確；而AE與B1C1所成的角就是AE與BC所成的角，E為BC中點(diǎn)，△ABC為正三角形，所以AE⊥BC，D錯(cuò)誤．故選C.5.已知直線l?平面α，直線m?平面α，給出下面四個(gè)結(jié)論：①若l與m不垂直，則l與α確定不垂直；②若l與m所成的角為30°，則l與α所成的角也為30°；③l∥m是l∥α的必要不充分條件；④若l與α相交，則l與m確定是異面直線．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為()A．1B．2C．3D．4【解析】對(duì)于①，當(dāng)l與m不垂直時(shí)，假設(shè)l⊥α，那么由l⊥α確定能得到l⊥m，這與已知條件沖突，因此l與α確定不垂直，故①正確；對(duì)于②，易知l與m所成的角為30°時(shí)，l與α所成的角不愿定為30°，故②不正確；對(duì)于③，l∥m可以推出l∥α，但是l∥α不能推出l∥m，因此l∥m是l∥α的充分不必要條件，故③不正確；對(duì)于④，若l與α相交，則l與m相交或異面，故④不正確．故正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為1，選A.6.如圖，在正方體ABCD-A′B′C′D′中，平面α垂直于對(duì)角線AC′，且平面α截得正方體的六個(gè)表面得到截面六邊形，記此截面六邊形的面積為S，周長(zhǎng)為l，則()A．S為定值，l不為定值 B．S不為定值，l為定值C．S與l均為定值 D．S與l均不為定值【解析】設(shè)平面α截得正方體的六個(gè)表面得到截面六邊形ω，ω與正方體的棱的交點(diǎn)分別為I，J，N，M，L，K(如圖)．將正方體切去兩個(gè)正三棱錐A-A′BD和C′-B′CD′，得到一個(gè)幾何體V，則V的上、下底面B′CD′與A′BD相互平行，每個(gè)側(cè)面都是等腰直角三角形，截面六邊形ω的每一條邊分別與V的底面上的每一條邊平行．設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，eq\f(A′K,A′B′)＝γ，則IK＝γB′D′＝eq\r(2)aγ，KL＝(1－γ)A′B＝eq\r(2)a(1－γ)，故IK＋KL＝eq\r(2)aγ＋eq\r(2)a(1－γ)＝eq\r(2)a.同理可證LM＋MN＝NJ＋I(xiàn)J＝eq\r(2)a，故六邊形ω周長(zhǎng)為3eq\r(2)a，即周長(zhǎng)為定值．當(dāng)I，J，N，M，L，K都在對(duì)應(yīng)棱的中點(diǎn)時(shí)，ω是正六邊形．其面積S＝6×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))eq\s\up12(2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),4)a2，△A′BD的面積為eq\f(1,2)×(eq\r(2)a)2×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),2)a2，當(dāng)ω?zé)o限趨近于△A′BD時(shí)，ω的面積無(wú)限趨近于eq\f(\r(3),2)a2，故ω的面積確定會(huì)發(fā)生變更，不為定值．故選B.7.如圖，已知線段AB垂直于定圓所在的平面，B，C是圓上的兩點(diǎn)，H是點(diǎn)B在AC上的射影，當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)的軌跡()A．是圓 B．是橢圓C．是拋物線 D．不是平面圖形【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)B作圓的直徑BD，連接CD，AD，則BC⊥CD，再過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AD于點(diǎn)E，連接HE，因?yàn)锳B⊥平面BCD，所以AB⊥CD.又BC⊥CD，且AB∩BC＝B，所以CD⊥平面ABC，所以CD⊥BH.又BH⊥AC，且AC∩CD＝C，所以BH⊥平面ACD，所以BH⊥AD，BH⊥HE.又留意到過(guò)點(diǎn)B與直線AD垂直的直線都在同一個(gè)平面內(nèi)，于是結(jié)合點(diǎn)B，E位置，可知，當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)的軌跡是以BE為直徑的圓．故選A．8.如圖，點(diǎn)N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段ED的中點(diǎn)，則()A．BM＝EN，且直線BM，EN是相交直線B．BM≠EN，且直線BM，EN是相交直線C．BM＝EN，且直線BM，EN是異面直線D．BM≠EN，且直線BM，EN是異面直線【解析】如圖，取CD的中點(diǎn)O，連接ON，EO，因?yàn)椤鱁CD為正三角形，所以EO⊥CD，又平面ECD⊥平面ABCD，平面ECD∩平面ABCD＝CD，所以EO⊥平面ABCD.設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，則EO＝eq\r(3)，ON＝1，所以EN2＝EO2＋ON2＝4，得EN＝2.過(guò)M作CD的垂線，垂足為P，連接BP，則MP＝eq\f(\r(3),2)，CP＝eq\f(3,2)，所以BM2＝MP2＋BP2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2＋22＝7，得BM＝eq\r(7)，所以BM≠EN.連接BD，BE，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以N為BD的中點(diǎn)，即EN，MB均在平面BDE內(nèi)，所以直線BM，EN是相交直線．故選B.【多選題】9.四棱錐P－ABCD的全部棱長(zhǎng)都相等，M，N分別為PA，CD的中點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是()A.MN與PD是異面直線B.MN∥平面PBCC.MN∥ACD.MN⊥PB【解析】如圖所示，取PB的中點(diǎn)H，連接MH，HC，由題意知，四邊形MHCN為平行四邊形，且MN∥HC，所以MN∥平面PBC，設(shè)四邊形MHCN確定平面α，又D∈α，故M，N，D共面，但P?平面α，D?MN，因此MN與PD是異面直線；故A，B說(shuō)法均正確.若MN∥AC，由于CH∥MN，則CH∥AC，事實(shí)上AC∩CH＝C，C說(shuō)法不正確；因?yàn)镻C＝BC，H為PB的中點(diǎn)，所以CH⊥PB，又CH∥MN，所以MN⊥PB，D說(shuō)法正確.故選ABD.10.下圖中，G，N，M，H分別是正三棱柱(兩底面為正三角形的直棱柱)的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有()【解析】圖A中，直線GH∥MN；圖B中，G，H，N三點(diǎn)共面，但M?平面GHN，N?GH，因此直線GH與MN異面；圖C中，連接MG，GM∥HN，因此GH與MN共面；圖D中，G，M，N共面，但H?平面GMN，G?MN，因此GH與MN異面.故選BD.11.如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O是B1D1的中點(diǎn)，直線A1C交平面AB1D1于點(diǎn)M，則下列結(jié)論正確的是()A.A，M，O三點(diǎn)共線 B.A，M，O，A1共面C.A，M，C，O共面 D.B，B1，O，M共面【解析】∵M(jìn)∈A1C，A1C?平面A1ACC1，∴M∈平面A1ACC1，又∵M(jìn)∈平面AB1D1，∴M在平面AB1D1與平面A1ACC1的交線AO上，即A，M，O三點(diǎn)共線，∴A，M，O，A1共面且A，M，C，O共面，∵平面BB1D1D∩平面AB1D1＝B1D1，∴M在平面BB1D1D外，即B，B1，O，M不共面，故選ABC.12.如圖，已知二面角A－BD－C的大小為eq\f(π,3)，G，H分別是BC，CD的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別在AD，AB上，eq\f(AE,AD)＝eq\f(AF,AB)＝eq\f(1,3)，且AC⊥平面BCD，則以下說(shuō)法正確的是()A.E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面B.FG∥平面ADCC.若直線FG，HE交于點(diǎn)P，則P，A，C三點(diǎn)共線D.若△ABD的面積為6，則△BCD的面積為3【解析】由eq\f(AE,AD)＝eq\f(AF,AB)＝eq\f(1,3)知EF平行eq\f(1,3)BD，且EF=eq\f(1,3)BD又GH平行eq\f(1,2)BD，且GH=eq\f(1,2)BD∴EF∥GH，因此E，F(xiàn)，G，H共面，A項(xiàng)正確；假設(shè)FG∥平面ADC成立，因?yàn)槠矫鍭BC∩平面DAC＝AC，所以FG∥AC，又G是BC的中點(diǎn)，所以F是AB的中點(diǎn)，與eq\f(AF,AB)＝eq\f(1,3)沖突，B項(xiàng)不正確；因?yàn)镕G?平面ABC，P∈FG，所以P∈平面ABC，同理P∈平面ADC，因?yàn)槠矫鍭BC∩平面ADC＝AC，所以P∈AC，所以P，A，C三點(diǎn)共線，因此C正確；易知S△BCD＝coseq\f(π,3)·S△ABD＝eq\f(1,2)×6＝3，D正確.故選ACD.【填空題】13.已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為_(kāi)_______．【解析】如圖所示，補(bǔ)成直四棱柱ABCD－A1B1C1D1，則所求角為∠BC1D或其補(bǔ)角，∵BC1＝eq\r(2)，BD＝eq\r(22＋1－2×2×1×cos60°)＝eq\r(3)，C1D＝AB1＝eq\r(5)，易得C1D2＝BD2＋BCeq\o\al(2,1)，即BC1⊥BD，因此cos∠BC1D＝eq\f(BC1,C1D)＝eq\f(\r(2),\r(5))＝eq\f(\r(10),5)．14.在空間中，給出下面四個(gè)命題，其中假命題為_(kāi)_______．(填序號(hào))①過(guò)平面α外的兩點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面與平面α垂直；②若平面β內(nèi)有不共線三點(diǎn)到平面α的距離都相等，則α∥β；③若直線l與平面α內(nèi)的隨意一條直線垂直，則l⊥α；④兩條異面直線在同一平面內(nèi)的射影確定是兩條相交直線．【解析】對(duì)于①，當(dāng)平面α外兩點(diǎn)的連線與平面α垂直時(shí)，此時(shí)過(guò)兩點(diǎn)有多數(shù)個(gè)平面與平面α垂直，所以①不正確；對(duì)于②，若平面β內(nèi)有不共線三點(diǎn)到平面α的距離都相等，平面α與β可能平行，也可能相交，所以②不正確；對(duì)于③，直線l與平面內(nèi)的隨意直線垂直時(shí)，得到l⊥α，所以③正確；對(duì)于④，兩條異面直線在同一平面內(nèi)的射影可能是兩條相交直線或兩條平行直線或直線和直線外的一點(diǎn)，所以④不正確．15.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，P，Q分別為A1B，B1D1，A1D，CD1的中點(diǎn)，則直線EF與PQ所成角的大小是________．【解析】如圖，連接A1C1，BC1，則F是A1C1的中點(diǎn)，又E為A1B的中點(diǎn)，所以EF∥BC1，連接DC1，則Q是DC1的中點(diǎn)，又P為A1D的中點(diǎn)，所以PQ∥A1C1，于是∠A1C1B是直線EF與PQ所成的角或其補(bǔ)角．易知△A1C1B是正三角形，所以∠A1C1B＝eq\f(π,3)．16.在棱長(zhǎng)為4的正方體ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分別為棱A1D1，CC1的中點(diǎn)，過(guò)P，Q，A作正方體的截面，則截面多邊形的周長(zhǎng)是________．【解析】如圖所示，過(guò)Q作QM∥AP交BC于M，由A1P＝CQ＝2，tan∠APA1＝2，則tan∠CMQ＝2，CM＝eq\f(CQ,tan∠CMQ)＝1，延長(zhǎng)MQ交B1C1的延長(zhǎng)線于E點(diǎn)，連接PE，交D1C1于N點(diǎn)，則多邊形AMQNP即為截面，依據(jù)平行線性質(zhì)有C1E＝CM＝1，eq\f(C1N,ND1)＝eq\f(C1E,PD1)＝eq\f(1,2)，則C1N＝eq\f(4,3)，D1N＝eq\f(8,3)，因此NQ＝eq\r(22＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))2)＝eq\f(2\r(13),3)，NP＝eq\r(22＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)))2)＝eq\f(10,3)，又AP＝eq\r(42＋22)＝2eq\r(5)，AM＝eq\r(42＋32)＝5，MQ＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，所以多邊形AMQNP的周長(zhǎng)為AM＋MQ＋QN＋NP＋PA＝5＋eq\r(5)＋eq\f(2\r(13),3)＋eq\f(10,3)＋2eq\r(5)＝eq\f(25＋9\r(5)＋2\r(13),3)．【解答題】17.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為正方形ABCD的中心，H為直線B1D與平面ACD1的交點(diǎn)．求證：D1，H，O三點(diǎn)共線．【解析】如圖，連接BD，B1D1，則BD∩AC＝O，因?yàn)锽B1eq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))DD1，所以四邊形BB1D1D為平行四邊形，又H∈B1D，B1D?平面BB1D1D，則H∈平面BB1D1D，因?yàn)槠矫鍭CD1∩平面BB1D1D＝OD1，所以H∈OD1.即D1，H，O三點(diǎn)共線．18.如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中點(diǎn)．已知∠BAC＝eq\f(π,2)，AB＝2，AC＝2eq\r(3)，PA＝2.求：(1)三棱錐P-ABC的體積；(2)異面直線BC與AD所成角的余弦值．【解析】(1)S△ABC＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)＝2eq\r(3)，三棱錐P-ABC的體積為V＝eq\f(1,3)S△ABC·PA＝eq\f(1,3)×2eq\r(3)×2＝eq\f(4\r(3),3).(2)如圖，取PB的中點(diǎn)E，連接DE，AE，則ED∥BC，所以∠ADE(或其補(bǔ)角)是異面直線BC與AD所成的角．在△ADE中，DE＝2，AE＝eq\r(2)，AD＝2，cos∠ADE＝eq\f(22＋22－2,2×2×2)＝eq\f(3,4).故異面直線BC與AD所成角的余弦值為eq\f(3,4).19.如圖，在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是AA1，D1C1的中點(diǎn)，過(guò)D，M，N三點(diǎn)的平面與正方體的下底面相交于直線l.(1)畫(huà)出l的位置；(2)設(shè)l∩A1B1＝P，求PB1的長(zhǎng)．【解析】(1)如圖，延長(zhǎng)DM與D1A1交于點(diǎn)O，連接NO，則直線N